INDICECARATULA INDICEDEDICATORIAINTRODUCCIONCAPITULO 1: SUCECIONES1.1 Definicin1.2 Limite de una sucesin1.3 Propiedades de las sucesiones1.4 Convergencia de sucesiones1.5 Sucesiones divergentes1.6 Sucesiones montonas y acotadasCAPITULO 2: SERIES INFINITAS DE NUMEROS REALES2.1 Definicin 2.2 Propiedades de las series infinitas 2.3 Serie geomtrica2.4 Series armnicas de orden p 2.5 Criterios de convergencia2.5.1 Criterio de acotacin2.5.2 Criterio de comparacin2.5.3 Criterio del cociente2.5.4 Criterio de la raz2.5.5 Criterio de la integral2.5.6 Criterio de Raabe2.6 Series alternadas2.6.1 Criterio de la razn absoluta2.7 Series de potencias2.7.1 Operaciones en serie de potencias2.8 Series de Taylor y MaclaurinBIBLIOGRAFIA

DEDICATORIA

INTRODUCCION

CAPITULO 1SUCECIONESDEFINICIN Se denomina sucesin de nmeros reales a toda funcin N en IR y se denota por: a: IN IR /a (n) =

Esto es, una sucesin es un arreglo ordenado de nmeros reales, de modo que tiene un primer elemento, un segundo elemento, un tercer elemento y as sucesivamente.Una sucesin se puede especificar proponiendo suficientes elementos inciales, como por ejemplo3, 5, 6, 8, 16, 18, 20,28,.dado por una formula explicita por el n-simo elemento, esto es 5n 2, n mediante una regla de recurrencia

Ejemplos:

,.

LIMITE DE UNA SUCESIN:

La sucesin se dice tiene limite L, y escribimos:

Si L es finito, diremos que la sucesin , es convergente, y si L es infinito o no existe, diremos que la sucesin es divergente.Ejemplos:Demostrar que la sucesin no es convergente.Solucin:Supongamos que , entonces para tal que , se tiene Tomandopar , se tiene para impar y , tenemos Por otro lado se tiene: Entonces contradiccin). por lo tanto, la sucesin es divergente.

Determine si la sucesin es convergente o divergente.Solucin:Tenemos, Haciendo cambio de variables , tenemos:

Por lo tanto, la sucesin es convergente. En los problemas sobre el clculo de lmites de una sucesin, es recomendable utilizar la relacin siguiente:

Si y si

Esto nos permite aplicar las reglas de L Hospital al problema de calcular el lmite de una sucesin. PROPIEDADES DE LAS SUCESIONESSean y suceciones convergentes y una constante, entonces:I. II. III. IV. V. Como las demostraciones de estas propiedades a cerca de lmites son semejantes a las correspondientes para funciones, se deja para el lector.Ejemplo:Probar que , si y si es divergente.Solucin:Para .Dado debemos encontrar tal que Tenemos .Por lo tanto, Si .

Teorema1: (teorema del emparedado para sucesiones) Sean y suceciones convergentes a L, esto es y existe un entero M tal que . Entonces

Ejemplo:Probar que Solucin:Para .Puesto que , entonces por el teorema emparedado se obtiene

CONVERGENCIA DE SUCESIONES

Teorema2: Sea una sucesin de nmeros reales.Si

Demostracin:Supongamos que existe y es menor que 1. Sea r un nmero tal que entonces tal que Sea p un nmero natural mayor que N. Entonces:

En general para cualquier IN, se tiene:

Como por lo tanto por el teorema del emparedado . Entonces

Teorema3: (TEOREMA DE LA MEDIA ARITMTICA) Sea es una sucesin de nmeros reales tal que Entonces

Teorema4:(TEOREMA DE LA MEDIA GEOMETRICA) Sea es una sucesin convergente y Entonces

SUCESIONES DIVERGENTES

Se dice que una sucesin es divergente a + esto es, Una sucesin es divergente a - esto es,

SUCESIONES MONTONAS Y ACOTADAS Dada una sucesin diremos que:1) Es creciente, si IN.2) Es estrictamente creciente, si IN.3) Es decreciente, si IN.4) Es estrictamente decreciente, IN.Con la frase sucesin montona describimos a sucesiones crecientes, estrictamente creciente, decrecientes y estrictamente decrecientes.

A. Se dice una sucesin es acotada inferiormente, si y solo si IR tal que IN.

B. Se dice una sucesin es acotada superiormente, si y solo si IR tal que IN.C. Se dice una sucesin es acotada, si y solo si existe IR tal que IN.

Si A es una cota inferior de una sucesin y si A tiene la propiedad de que para cada cota inferior C de , entonces A se llama mxima cota inferior de la sucesin. Anlogamente, si B es una cota superior de una sucesin y si B tienela propiedad de que cada cota superior D de entonces B se llama la mnima cota superior de la sucesin.

Teorema 5: toda sucesin acotada y montona es convergente. Si es creciente (decreciente, entonces:

Sea una sucesin creciente y supongamos que D es cota superior de esta sucesin, entonces es convergente y

Sea una sucesin decreciente y supongamos que C es una cota inferior. Entonces es convergente y

Teorema 6: Una sucesin montona convergente es acotada.

CAPITULO 2:SERIES INFINITAS DE NMEROS REALESDEFINICIN Sea una sucesin de nmeros reales. La suma infinita de los elementos de la sucesin se llama serie infinita de nmeros reales, es decir : es una serie infinita de nmeros reales, donde son llamados trminos de una serie infinita.

La sucesin definida por :

Se denomina sucesin de sumas parciales de la serie , donde es la n-sima suma parcial.

Se dice que una sucesin es sumable, si la sucesin de sumas parciales converge. En este caso denotamos por :

S recibe el nombre de suma de la sucesin

Si la sucesin , es convergente, convencionalmente se sustituye por la afirmacin de que la serie es convergente y si es divergente, entonces decimos que la serie es divergente.

PROPIEDADES DE LAS SERIES INFINITAS

Teorema7: si son series convergentes con sumas a y b respectivamente, y si c es un numero real; entonces es convergente y es convergente y

Teorema8: (criterio del n-simo termino para la divergencia) si la serie es convergente, entonces de forma equivalente, si , entonces la serie diverge.

SERIE GEOMTRICA Una serie de la forma

Se denomina una serie geomtrica de razn r.

Teorema9: La serie geomtrica converge, si 1 y diverge si 1Para el caso convergente la suma de la serie es

SERIES ARMNICAS DE ORDEN P Una serie de la forma

Se denomina serie armnica de orden p, donde IR .

Teorema 10: La serie armonica de orden p, diverge si y converge si

CRITERIOS DE CONVERGENCIACRITERIO DE ACOTACIN

Teorema 11: Una serie de trminos positivos es convergente, si y solo si, la sucesin de sumas parciales tiene una cota superior.

Demostracin: Sea

la n-sima suma parcial de la serie, entonces , pues los trminos de la serie son positivos, luego la sucesin es una sucesin creciente. Por hiptesis esta sucesin tiene una cota superior, digamos M, entonces M, IN. . Como la sucesin es montona y acotada, entonces la sucesin es convergente y adems CRITERIO DE COMPARACIN

Teorema 12: Supongamos que existe un elemento positivo N tal que entonces:Si converge, entonces la serie converge.si diverge, entonces diverge.

Demostracin: i. Si y , n-simas sumas perciales de las series y , respectivamente, adems , IN.como la serie es es convergente , entonces la sucesin es convergente y por lo tanto acotado. Por lo tanto es acotado, luego por el criterio de acotacin la serie es convergente.

Teorema 13: Si C1 , C2 , , Cn es una sucesin de nmeros positivos tal que = C , C >0 , entonces las dos series de trminos positivos :convergen o divergen simultneamente.

Demostracion : Como = C > 0 , existe un numero N tal que < Ck 0 ,entonces ambas series convergen o amabas divergen. = 0 y si converge , entonces converge . = + , y si diverge , entonces diverge .

Teorema 15: una serie de trminos positivos y supongamos que: . Entonces i) Si r > 1 , la serie converge.ii) Si r 1 , la serie diverge o cuando +iii) Si r= 1 , el criterio no decide y debe recurrirse a otro criterio.

CRITERIO DE LA RAZCRITERIO DE LA INTEGRAL CRITERIO DE RAABESERIES ALTERNADASCRITERIO DE LA RAZN ABSOLUTASERIES DE POTENCIASOPERACIONES EN SERIE DE POTENCIASSERIES DE TAYLOR Y MACLAURINUna funcin definida por una serie de potencias posee derivadas de todo los ordenes, que se pueden obtener derivando la serie de las potencias termino a termino de acuerdo al teorema anterior.Si tiene como dominio un intervalo abierto que contiene a c, entonces se tiene , y en general .La funcin f y sus derivadas tiene el mismo radio de convergencia de acuerdo con el teorema de derivadas de series. Al evaluar la funcin f y sus derivadas en el numero c , obtenemos:

Asi, , para cada entero positivo n, y la serie de potencias que representa a f esta dad por: