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Estadística. Sesión 12: Distribuciones de
probabilidad continua. Tercera parte.
Contextualización
En la presente sesión aprenderás una de las aplicaciones principales
de la distribución t-student, los intervalos de confianza, la cual es
utilizada en la estadística inferencial o estadística estimada.
Al finalizar la sesión habrás aprendido a utilizar la distribución t-
student para encontrar intervalos de confianza con medias
poblacionales desconocidas.
Fuente: http://www.matematicasypoesia.com.es/Estadist/distrinucion-t-student.gif
Introducción
En estadística inferencial cuando se calcula un intervalo de confianza para la media poblacional, suele no contarse con una buena estimación de la desviación estándar poblacional. En tales casos se usa la misma muestra para estimar µ y σ. Esta situación es el caso que se conoce como σ desconocida.
¿Qué es la estadística inferencial?
¿Qué son los intervalos de confianza con varianza
desconocida?
Cuando se usa s para estimar σ, el margen de error y la estimación por intervalo de la media poblacional se basan en una distribución de probabilidad conocida como distribución t.
Fuente: http://biplot.usal.es/problemas/confianza/contrastes_archivos/image059.gif
Explicación
Una de las principales contribuciones de la estadística es emplear
datos de una muestra para hacer estimaciones y probar hipótesis
acerca de las características de una población mediante un proceso
que se le conoce como inferencia estadística.
A las características numéricas de una población, como la media y la
desviación estándar, se les llama parámetros. El principal propósito
de la inferencia estadística es hacer estimaciones y pruebas de
hipótesis acerca de los parámetros poblacionales, usando la
información que proporciona una muestra.
Explicación
Para estimar el valor de un parámetro poblacional, la característica correspondiente se calcula con los datos de la muestra, a lo que se conoce como estadística muestral. Ejemplos: la media, la desviación estándar y la varianza son llamados estimadores puntuales.
Como no se puede esperar que un estimador puntual suministre el valor exacto del parámetro poblacional, se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error.
La fórmula general de una estimación por intervalo es:
Estimador puntual ± Margen de error
Explicación
El objetivo de la estimación por intervalo es aportar información de que tan cerca se encuentra la estimación puntual, obtenida de la muestra, del valor del parámetro poblacional.
Uso de la distribución de probabilidad t-student para el cálculo de intervalos de confianza con σ desconocida.
La distribución t es una familia de distribuciones de probabilidad similares; cada distribución t depende de un parámetro conocido como grados de libertad.
Explicación
La distribución t para un grado de libertad es única, como lo es la distribución t
para dos grados de libertad y así sucesivamente. A medida que el número de
grados de libertad aumenta, la diferencia entre la distribución t y la normal
estándar se va reduciendo.
Fuente: http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/guia_estadistica/modulo_10_archivos/figura1.gif
Explicación
Estimación por intervalo de la media poblacional: σ desconocida.
Donde s es la desviación estándar de la muestra, (1-α) es el coeficiente de
confianza y tα/2 es el valor de t que proporciona un área de α/2 en la cola
superior de la distribución t para n-1 grados de libertad.
Explicación
Para ilustrar la estimación por intervalo en el caso de σ
desconocida, analizaremos el siguiente ejemplo:
Estimar la media en el adeudo de las tarjetas de crédito
en la población de familias de Estados Unidos. No se
cuenta con desviación estándar poblacional σ, pero se
tiene datos muestrales que deberán usarse para estimar
tanto la media poblacional como la desviación estándar
poblacional:
Explicación
Saldos en las TC de una muestra de 24 familias:
9430 7535 4078 5604 5179 4416
10676 1627 10112 6567 13627 18719
14661 12195 10544 13659 7061 6245
13021 9719 2200 10746 12744 5742
Explicación
Con los datos de la tabla se calcula la media muestral ( ) y la
desviación estándar de la muestra(s=$4284.44). Ahora utilizaremos la tabla de
probabilidades de la distribución t-student para encontrar el valor de t0.025
correspondiente a 95% de confianza y n-1 = 23 grados de libertad.
T23,0.025= 2.0687
Pasaremos a calcular la estimación por intervalo:
Explicación
La estimación puntual de la media es $9004.46, el margen de
error es de $1809.20 y el intervalo de confianza de 95% va de:
9004.46-1809.20 < x < 9004.46+1809.20
En consecuencia, 95% de confianza de la media de los saldos
en las tarjetas de crédito de la población de todas las familias
está entre $7195.26 y $10,813.66
Conclusión
En esta sesión aprendimos el concepto de estadística inferencial y el uso de la distribución de probabilidad t-student para calcular estimaciones por intervalo de confianza para la media, cuando no se conoce la desviación estándar poblacional (σ).
Recordemos que el uso de la distribución t-student es directamente en la estadística inferencial a través de estimadores puntuales y para muestras menores a 30.
Es importante considerar que esta distribución también está relacionada con la distribución normal.
Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca
del tema para enriquecer tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los
siguientes sitios de Internet.
Reyes, L. (s/f). Distribucion t-student. Teoría de
pequeñas muestras. Consultado el día 30 de octubre
del 2013: http://fisica.udea.edu.co/~lab-
gicm/Laboratorio%20Fisica%201_2011/2010_teoria%20
de%20errores/Distribucion%20de%20t%20Student.pdf
¿Cómo se utiliza la tabla de la distribución t-student? (s/f). Consultado
el día 30 de octubre del 2013:
http://web.udl.es/Biomath/Bioestadistica/Dossiers/Temas%20especial
es/Estimacion/Como%20se%20utiliza%20la%20tabla%20t%20de%20
Student%20(formulas).pdf
Video relacionado con la distribución t-student:
Distribucion t-student. (2011). Consultado el día 30 de octubre del 2013: http://www.youtube.com/watch?v=miMjtkypyLg
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
Bibliografía
Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T. (2008).
Estadística para administración y economía. México:
Editorial Cengage Learning.