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Banco Central de Reserva del Perú 55º Curso de Extensión Universitaria Econometría Prof. Juan F. Castro

�� Sesión 2 – Análisis univariado de series de

tiempo

5. Series de tiempo no estacionarias en media La mayoría de series de tiempo asociadas a variables económicas exhibe una media y/o una varianza que no se mantiene constante en el tiempo. Sabemos que lo anterior implica que dichos procesos no pueden ser caracterizados como estacionarios. Por lo mismo, se requiere una extensión a la metodología tradicional (Box y Jenkins) si deseamos modelar estas series. En este capítulo lidiaremos con series cuya media no es constante en el tiempo y veremos cómo la extensión pertinente a la metodología tradicional pasa por transformar la serie de modo que se garantice su estacionariedad. La pregunta clave, en este caso, será cuál es la transformación necesaria. 5.1. ¿Por qué es importante analizar la estacionariedad

en media de una serie? En el trabajo empírico, cuando analizamos la estacionariedad en media de una serie, la gran pregunta es:

BCRP – 55º Curso de Extensión Universitaria (2008) Econometría

Prof. Juan F. Castro

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t

Estacionaria en tendencia (ET)Y

Estacionaria en diferencias (ED)

Esta distinción hace referencia a la transformación que debemos realizar para garantizar la estacionariedad del proceso. ¿Qué riesgo corremos si ignoramos esta distinción? Un ejemplo Consideremos los procesos: GENR x = 0.7 + x(-1) + nrnd

GENR z = 0.65 + z(-1) + nrnd

GENR w = 1.55 + 0.15*@TREND + 0.2*w(-1) + nrnd*1.5

GENR y = 0.55 + 0.55*@TREND + 0.33*y(-2) + nrnd*1.5

y comparemos Xt y Wt. ¿Qué elementos conforman estos dos procesos? Supongamos ahora que se plantean los modelos:

t 01 11 t 1t

t 02 12 t 1 2t

t 01 11 t 1t

t 02 12 t 2 2t

X Z

X Z t

W Y v

W Y t v

= α + α + ε

= α + α + δ + ε

= β + β +

= β + β + δ +

Si repitiéramos el proceso de muestreo un número grande veces, ¿cuántas de éstas esperan se acepte la significancia de las pendientes asociadas a Zt e Yt? ¿Qué implican los resultados obtenidos en la simulación propuesta?



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5.2. ¿A qué nos referimos con “no estacionariedad en

media”? La no estacionariedad en media puede ocurrir, básicamente, en dos circunstancias.

(i) Cuando la media se comporta como un polinomio de orden d en el tiempo, de forma tal que:

εβ∑ tj

j

d

0=jt +t=y

es decir, se observa una tendencia determinística en la serie. Esta tendencia puede ser removida diferenciando la serie tantas veces como sea el orden del polinomio de t. Por ejemplo, en el caso en que d = 1, es decir:

t 0 1 ty t + = β + β ε

se ve que E(yt) = βo + β1t, por lo que la media crece con el tiempo, es decir, no es estacionaria en media. Como se dijo, la solución pasa por diferenciar una vez la serie:

t-1 0 1 t-1

t t 1 1 t t 1

y (t-1)

y y − −

= β + β + ε

− = β + ε − ε

siendo la primera diferencia un modelo MA estacionario (ya que E(yt – yt-1) = β1) pero no invertible. En este caso, también es posible obtener una serie estacionaria si removemos la tendencia (trabajamos con los errores de una regresión de yt contra una tendencia lineal).



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(ii) Cuando se tenga un proceso autorregresivo que no cumpla con las condiciones de estacionariedad: raíces características del polinomio de rezagos no son todas menores a uno en valor absoluto. El número de raíces unitarias indica las veces que debe ser diferenciada la serie para tener un proceso estacionario. De esta forma, se conocerá como una serie ARIMA(p,d,q) a aquella que tiene que ser diferenciada d veces antes de poder ser modelada como una serie ARMA(p,q). 5.3. Un camino aleatorio El ejemplo más simple de una serie con raíz unitaria es el camino aleatorio o random walk, en donde se tiene un proceso AR(1) de la forma:

εα − t1tt +y=y ,

y el coeficiente α igual a 1. Resulta claro cómo este proceso viola las condiciones de estacionariedad. Ecuación característica: 1 si 1z0z =α=⇒=α− . ¿Qué efectos tiene la presencia de 1α = sobre el comportamiento de este proceso? A través de sucesivos reemplazos, podemos reexpresar yt de la forma:

t 1it

t-it 0i=0

= +y y−

∑α α ε

Con 1α = , y si bien la esperanza incondicional de yt es constante e igual a y0, su esperanza condicional se verá fuertemente afectada por el valor de los shocks pasados (cuyo efecto no decae a través del tiempo). Así, por ejemplo, la esperanza condicional tomada en t-1 vendría dada por:



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t 1

itt-it 1 t t 1 0

i=0

t 1

t-i0i=1

E (y ) E +y

y si 1

−

− −

−

= ∑α α ε

= + α =∑ε

* Generemos un random walk para verificar lo anterior. ¿Qué esperamos pase con la FAS y FAP? 5.4. Un camino aleatorio con drift Este tipo de proceso ya fue introducido en el acápite 5.1. En general, y para t 0 t 1 ty y −= α + + ε , tenemos que:

t 1

t 0 0 t ii 0

y t y−

−=

= α + + ε∑

Como vimos, aquí no sólo se tiene el efecto permanente de los shocks pasados, sino que el proceso incluye además una tendencia determinística. 5.5. Finalmente, un ARIMA(1,1,1) con drift

1tt1t0t yy −− γε+ε++α=

¿Qué ha pasado hasta el período t? Suponemos que 0 0y 0= ε = :

tt

1ii0

1t

1jj

t

1ii0t )1(tty γε−εγ++α=εγ+ε+α= ∑∑∑

=

−

==



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t 0

t

t ii 1

t t

DT t Tendencia determinística

ST (1 ) Tendencia estocástica

C - Componente cíclico=

= α

= + γ ε∑

= γε

5.6. Verificando la existencia de raíz unitaria 5.6.1 En un proceso AR(1) El ejemplo más sencillo (y del que partiremos) pasa por considerar qué ocurre con un proceso AR(1). Es fácil verificar que, en este caso:

t tt t-1 t-1 = ( -1) + +y y y∆ α = δε ε

por lo que contrastar la hipótesis nula 0:Ho =δ sería equivalente a verificar la presencia de raíz unitaria en el proceso. Dos complicaciones surgen al momento de evaluar dicha hipótesis: (i) Bajo la hipótesis nula de que existe raíz unitaria, el t estadístico

no tiene una distribución t de Student.

De acuerdo con las simulaciones efectuadas por Dickey y Fuller, en un modelo empírico con intercepto y 100 observaciones, el 90% de los estimados de α1 reportan una distancia respecto a la unidad menor a 2.58 desviaciones estándar.

58.2ˆ1

1ˆ

1 <σ

α−

α el 90% de las veces.



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¿Cómo queda entonces la distribución de este estadístico respecto a la distribución t de Student? **Tarea: prepara un programa que sea capaz de calcular el tamaño empírico de la prueba t de Student si que decidieses trabajar con un tamaño nominal de 10% y la especificación sugerida por Dickey y Fuller.

(ii) Por otro lado, los valores críticos dependerán del tipo de proceso I(1) del que se trate, ya sea que incluya o no un drift, una tendencia o ambas cosas. Estos valores fueron calculados por Dickey y Fuller para las diferentes especificaciones mencionadas y se conocen como la distribución DF (el estadístico τ) recibiendo el test de verificación de raíz unitaria el mismo nombre. Dicha distribución fue estimada sobre la base de dos supuestos:

- Que el proceso bajo el que se contrasta la existencia de una

raíz unitaria es AR(1). - Que no existe autocorrelación en los errores del modelo.



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Cuatro casos al momento de considerar el test de DF: Caso 1:

Regresión estimada: t1t1t yy ε+α= −

Verdadero proceso: ),0(Nd.i.iyy 2tt1tt σ∼εε+= −

Estadístico 1

1

ˆ

ˆ 1

α

α −τ =

σ ∼ según lo descrito en la Tabla.

Caso 2:

Regresión estimada: t1t10t yy ε+α+α= −

Verdadero proceso: ),0(Nd.i.iyy 2tt1tt σ∼εε+= −

Estadístico 1

1

ˆ

ˆ 1µ

α

α −τ =


Caso 3:

Regresión estimada: t1t10t yy ε+α+α= −

Verdadero proceso: ),0(Nd.i.i,0yy 2tt1tt σ∼ε≠αε++α= −

Estadístico 1

d1

ˆ

ˆ 1N(0,1)µ

α

α −τ = →

σ

En este caso particular, yt es dominada (asintóticamente) por la tendencia determinística presente debido al drift. Caso 4:

Regresión estimada: t1t10t tyy ε+δ+α+α= −

Verdadero proceso: ),0(Nd.i.i,yy 2tt1tt σ∼εα∀ε++α= −

Estadístico 1

1t

ˆ

ˆ 1

α

α −τ =




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Cabe mencionar que MacKinnon (1990) presentó un conjunto mayor de réplicas de los diversos modelos que aquéllas que sustentaron las tablas DF, a partir de las cuales ha sido posible calcular el valor crítico DF para cualquier tamaño muestral y/o especificación que se quiera contrastar (con constante y/o tendencia o ninguna). Estos son los valores críticos que reporta el Econometric Views.



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5.6.2 En un proceso AR(p) Partamos de un AR(2) de la forma:

t1t21t210t

t1t21t21t1t10t

t2t21t1t10t

t2t21t10t

yy)1(y

yyyyy

yyyy

yyy

ε+∆α−−α+α+α=∆

ε+α+∆α−−α+α=∆

ε+α+−α+α=∆

ε+α+α+α=

−−

−−−−

−−−

−−

De lo anterior se desprende que, en general, dado el proceso AR(p)

tptp1t10t y...yy ε+α++α+α= −−

es posible rescribirlo de la forma:

∑∑

∑

+==

−

=−−

α−=α−α=α

ε+∆α+α+α=∆

p

1jkk

*j

p

1jj

*1

t

1p

1jjt

*j1t

*10t

;1

yyy

De lo anterior se desprende directamente la especificación e intuición detrás de la hipótesis nula del test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF). Nótese en la expresión anterior que el contraste de hipótesis

0:Ho *1 =α es equivalente a 1:Ho

p

1jj =α∑

=

, y que basta que una de

las raíces características del polinomio de rezagos sea igual a la unidad (raíz unitaria) para que la suma de los coeficientes del AR(p) sea igual a uno.



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pp1 L...L1 α−−α− → 0...zz p

1p1

p =α−−α− −

Por lo mismo, el test de Dickey-Fuller Aumentado plantea trabajar con la regresión auxiliar:

∑−

=− ε+∆γδδ∆

1p

1jtjtj1-t10t y+y+=y

y verificar la H0: δ1 = 0 utilizando los valores críticos asociados al Caso 2. 5.6.3 Estacionario en tendencia vs. estacionario en

diferencias Perron (1988) demostró que el estadístico asociado a esta última regresión

1ˆ1 ˆ/ˆδµ σδ=τ , no es apropiado para discriminar entre un

proceso estacionario alrededor de una tendencia lineal vs. un proceso con una raíz unitaria y constante. El rechazo de la existencia de una raíz unitaria es improbable si la serie es estacionaria alrededor de una tendencia lineal y sería imposible a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Por ello la inclusión de una constante y/o tendencia en la estimación del test puede alterar sustancialmente la conclusión obtenida, más aún si se tiene en cuenta que el DF tiene, en general, bajo poder para rechazar la hipótesis nula. Por tanto, la elección de la especificación del modelo sobre la cual se determinará el test debe realizarse en forma cuidadosa. Una prueba para diferenciar una serie TS de un proceso integrado de orden 1 con drift se puede llevar a cabo si utilizamos una extensión



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de la metodología de contraste discutida. Así, el estadístico τ que corresponde a la regresión:

∑−

=−− ε+∆γδ+δδ=∆

1p

1jtjtj21t10t y+ty+ y

conocido como tτ (ya que la especificación del modelo incluye una

tendencia) es la prueba apropiada para verificar si δ1 = 0 y puede ser comparada con las tablas del estadístico DF (Caso 4). La presencia de una tendencia determinística como regresor adicional altera la distribución del estadístico y, por ende, los valores críticos. 5.6.4 Algunas consideraciones antes de aplicar

el test ADF (i) Primero, una duda De la discusión anterior se desprende que la inclusión de una tendencia lineal en la ecuación del test es necesaria cuando se pretende contrastar la hipótesis nula de raíz unitaria con drift vs. la alterna de estacionaria en tendencia (TS). ¿Por qué incluir una tendencia en la ecuación si estamos trabajando con la primera diferencia de una serie que exhibe una tendencia lineal? Nótese que, dado el proceso t 0 1 t 1 ty t y , 1−= γ + γ + ρ + ω ρ < , es

distinto plantear la regresión t 0 1 t-1 ty t y v∆ = α + α + ρ∆ + , que la regresión t 0 1 t 1 2 ty y t −∆ = δ + δ + δ + ε . ¿Qué ecuación utiliza el test propuesto? ¿Qué nos dice el resultado de regresión particionada sobre el rol de la tendencia determinística en la segunda ecuación?



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Asimismo, y si partimos de:

t 0 1 t

t t 1 t

y t u

u u −

= β + β +

= ρ + ε

es posible anidar las especificaciones para procesos TS y DS de la siguiente manera:

)1(

)1(

tyy

))1t(y(ty

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1

100

t21t10t

t101t10t

ρ−β≡γ

ρ≡γ

ρβ+ρ−β≡γ

ε+γ+γ+γ=

ε+−β−β−ρ+β+β=

−

−

¿Qué ecuación utiliza y qué hipótesis evalúa el test ADF?

t 0 t 1 2 ty ( 1)y t−∆ = γ + ρ − + γ + ε Ho : 1 0 1

Ha : 1

ρ − = ⇒ ρ =

ρ <

Donde, y de acuerdo con las expresiones anteriores �

t t 1 1 t

t 1 t 1 t

Bajo la Ho:

y y

y y−

−

− = β + ε

= β + + ε



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t t 1 0 1 1 t 1 t

t 0 2 t 1 t

t 2 t 1 t 2 t t 1

Bajo la Ha:

y y (1 ) (1 )t ( 1)y

y t y

y (y y )

− −

−

− − −

− = β − ρ + β ρ + β − ρ + ρ − + ε

= γ + γ + ρ + ε

∆ = γ + ρ − + ε − ε

(ii) Segundo, el poder El test ADF se caracteriza por tener un bajo poder. Por lo mismo, hay que ser cuidadoso al momento de utilizarlo para concluir que un proceso presenta raíz unitaria. Asimismo, el poder de las pruebas de raíz unitaria depende muy poco del número de observaciones per se y, fundamentalmente, de la cobertura de los datos. Para un número dado de observaciones, el poder es mayor a medida que esta última también lo es. Para un período de cobertura determinado, observaciones obtenidas utilizando los datos muestrales de mayor frecuencia (por ejemplo mensuales en vez de trimestrales) conduce sólo a un incremento marginal en el poder de la prueba (Shiller y Perron, 1985; Perron, 1991). Un conjunto de datos con observaciones anuales en un período de tiempo largo conducirá a pruebas de raíz unitaria de mayor poder que aquéllas calculadas a partir de datos que contienen más observaciones referidas a períodos trimestrales o mensuales pero de menor cobertura. 5.7. Raíz unitaria vs. cambio estructural El análisis econométrico de series de tiempo se vio revolucionado a principios de la década de los ochenta por el “boom de la raíz unitaria”: en un trabajo presentado por Nelson y Plosser en 1982, los autores encontraron que la mayoría de las series macroeconómicas



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norteamericanas podían ser caracterizadas como no estacionarias en media debido a la presencia de una raíz unitaria. El significado económico de este hallazgo era, sin lugar a dudas, de gran importancia ya que ponía en tela de juicio la teoría de los ciclos económicos, según la cual las fluctuaciones económicas ocurrían alrededor de una tendencia más o menos estable. La presencia de una raíz unitaria en una variable macroeconómica significaba, entonces, que los shocks tenían un efecto permanente. Esto llevó a una serie de autores a analizar la validez de los test de raíz unitaria frente a diversas particularidades de la serie que se analiza. La más importante es la presencia de uno o más cambios estructurales a lo largo del tiempo. Perron (1993) analizó los resultados de un test ADF aplicado a dos series de tiempo con los siguientes procesos estocásticos discretos:

εα tt1t +DL=y

en el caso de un cambio en la media, y:

εβββ tt121t +DT)-(+t=y

si se produce un cambio en la pendiente. En ambas ecuaciones, DLt=1 y DTt= (t - Tb) si t > Tb, mientras que DLt = DTt = 0 si t ≤ Tb, siendo Tb el momento en el que se produce el cambio estructural.



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Los resultados obtenidos indican que, para ambos PED, el test ADF pierde validez en presencia de cambio estructural, en media o pendiente: la función de densidad acumulada del estadístico τ de la prueba ADF se desplaza a la derecha en la medida que los cambios

);( 121 β−βα aumentan.

¿Cómo representarías gráficamente el resultado anterior? **Tarea: diseña un programa capaz de mostrar el resultado anterior trabajando con el cambio en media propuesto, 100 observaciones y Tb = 50. A partir de lo anterior, Perron concluyó que el no rechazo de la hipótesis nula de la presencia de una raíz unitaria es consistente con la posibilidad de que el proceso esté caracterizado por fluctuaciones estacionarias alrededor de una tendencia, pero con un cambio estructural en media y/o pendiente. Para corregir estas debilidades del test ADF, Perron propone aplicar el test sobre la serie corregida, en la que se “limpien” los cambios estructurales en media y/o pendiente. Para ello se requerirá identificar previamente el tipo de cambio estructural que se produce y el momento del mismo. Específicamente, en lo que se refiere al momento del cambio, se presentan dos metodologías de trabajo diferentes de acuerdo a si éste es determinado exógenamente (a través de la observación de la data o por un conocimiento a priori del investigador) o endógenamente, es decir, de acuerdo con comportamiento mismo de la serie. Al respecto, Christiano (1992) y Zivot y Andrews (1992) demostraron que si Tb es elegido endógenamente, los valores críticos estimados por Perron (1989) llevan a rechazar la existencia de una raíz unitaria cuando ésta efectivamente está presente. Por ello plantean,



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alternativamente, llevar a cabo test t secuenciales, utilizando el siguiente procedimiento:

(i) Calcular el estadístico τ en presencia de quiebre para todos los Tb que permita la muestra, y todos los posibles tipos de quiebre. Por ejemplo, para el caso de un quiebre en media y pendiente estimar:

∑ ε+∆γ+β+αδ+δδ=∆−

=−−

1p

1jtjtjtt21t10t yDTDL+ty+ y

y calcular el estadístico τ que permite contrastar la Ho: 1δ = 0.

(ii) Escoger el estadístico τ más alto en valor absoluto, es decir, el menos favorable a la aceptación de la Ho, y compararlo con los críticos reportados en Zivot y Andrews (1992). Si éste es mayor que el crítico en valor absoluto, entonces se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el proceso es estacionario con quiebre.

Si no hay raíz unitaria, es posible identificar el mejor modelo de cambio estructural usando un test F secuencial (test de Chow secuencial). Éste consiste en correr todos los posibles modelos de cambio estructural, en cuanto a tipo y posibles Tb, y quedarse con aquel que reporta mayor F, o menor probabilidad asociada. * Evaluemos la estacionariedad en media de cuatro procesos alternativos utilizando las técnicas discutidas en este capítulo.

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