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Taller Geogebra Sesión 4: Construcciones 3D

El propósito de esta actividad, es crear construcciones que permitan simular puntos en el espacio, en Geogebra; y a partir de ellos construir poliedros.

Esta guía se basa en los applets de Genevieve Tulloue (http://gtulloue.free.fr/Cabri3D/). La idea general, responde a los Ángulos de Euler, que nos van a permitir simular el entorno 3D en Geogebra.

1. Construye los controles Necesitamos tres deslizadores r: Número de 0 a 5 (es una escala) α: Un ángulo de giro β: Otro ángulo de giro

2. Construye los vectores unitarios

Construye los puntos Ux, Uy, Uz, definidos por:

U_x= (r sin(β), -r cos(β) sin(α)) U_y= (r cos(β), r sin(β) sin(α))

U_z= (0, r cos(α))

Y desde el origen traza los vectores hacia estos puntos

Ahora al modificar los deslizadores, los vectores

se comportarán como si fueran los que guían los ejes X-Y-Z

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3. Construye puntos por traslación Para construir el punto (2,3,1), traslada O:

• 2 veces respecto a x • 3 veces respecto a y • una vez respecto a z.

Ponderando los vectores puedes simplificarlo con la fórmula: Q=traslada [O, 2u+3v+w] ¿Qué relación tienen los siguientes dos grupos de puntos con Q?

traslada [O, 2u] traslada [O, 3v] traslada [O, w]

traslada [O, 2u+3v] traslada [O, 2u+w] traslada [O, 3v+w]

4. Construye circunferencias

Define el lugar geométrico de Q, respecto a α ó β

Este lugar geométrico es una elipse, pero “simula” una circunferencia en el espacio.

5. Representa un punto al espacio Dado P, podemos acceder a sus coordenadas con las fórmulas: x(P) e y(P) Representar P en el espacio, corresponde a trasladarlo x(P) sobre el eje X, e y(P) sobre el eje Y. Construye P’=traslada[O, x(P) u + y(P) v ]

Al mover P en el plano, P’ se moverá de la misma forma en el espacio. Como P es 2D, P’ se mueve sobre el plano XY.

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6. Secuencias en el espacio

Extendiendo la idea anterior a secuencias, podemos representar grupos de puntos del plano en el espacio, en el plano XY. En general cualquier secuencia que genere varios puntos puede implementarse en el espacio (simulado de Geogebra). Ejemplo 1: Dodecaedro en el plano XY

Los vértices de un dodecaedro regular pueden generarse por la secuencia: Secuencia[rota[P,i*π/6],i,0,11]

Representar un punto en el espacio consiste en trasladar el origen del espacio simulado, según sus coordenadas, es decir: traslada[O, x(P) u + y(P) v ]

Combinando ambas ideas, si buscamos representar los puntos de la secuencia 1 en el espacio (sobre el plano XY) tenemos:

Secuencia[traslada[O, x(rota[P,i*π/6]) u + y(rota[P,i*π/6]) v ],i,0,11]

Incluso, encerrando las secuencia anterior en el comando “polígono” obtenemos el dodecaedro: Polígono[Secuencia[traslada[O, x(rota[P,i*π/6]) u + y(rota[P,i*π/6]) v ],i,0,11]]

Ejercicios de construcción propuestos

1. Cubo de arista 3 2. Caja de 3x4x6 3. Tetraedro regular 4. Prisma de base hexagonal 5. Dodecaedro 6. Un plano que corte al tetraedro

(cuya altura se controle con un deslizador)

7. Un cilindro circular recto 8. Un cono circular recto (considera

varias circunferencias en el espacio)

9. Un plano de altura variable, que corte al cono

Para profundizar: Modelado dinámico en 3D (Raúl Manuel Falcón Ganfornina)