Set 1 Ejercicios - Mat024

Universidad TecnicaFederico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaso

Matematica IVSet de Ejercicios #1Integrales MultiplesSegundo Semestre 2014

Integrales Dobles e Impropias

1. Demuestre que Z x0

Z t0

f(u)dudt =

Z x0

(x u)f(u)du:

Ayuda: Gracar la region e invertir el orden de integracion.

2. Considere f(x; y) =x y

(x+ y)3. Muestre que

Z 10

Z 10

f(x; y)dxdy 6=Z 10

Z 10

f(x; y)dydx

3. Pruebe o refute la siguiente armacionZ 21

Z xpx

sin

x

2y

dydx+

Z 42

Z 2px

sin

x

2y

dydx =

4(2 + )

3

Ayuda: Gracar la region.

4. Sea f continua en R = [a; b] [c; d]; para a < x < b, c < y < d, denir

F (x; y) =

Z xa

Z yc

f(u; v)dvdu:

Muestre que@2F

@y@x=

@2F

@x@y= f(x; y)

5. Calcule las siguientes integrales

(a)

Z 10

Z 1y

ex2

dxdy (b)

Z 10

Z 1x

sin y

ydydx (c)

Z 10

Z =2arcsin y

p1 + cos2 x cosxdxdy

(d)

Z 21

Z 52

(x2 y2 + xy)dydx (e)Z 20

Z 21

xp1 + x2 + y2

dxdy (f)

Z 0

Z 0

j cos(x+ y)jdA

(g)

Z p20

Z 10

8x

(x2 + y2 + 1)2dy dx (h)

Z a0

Z pa2x20

xdydx (i)

Z 0

Z a sin 0

dd

(j)

Z 10

Z 1x

tan y2dydx (k)

Z 10

Z 1px

p9 + y6dydx (l)

Z 10

Z 1x

p1 + y4dydx

6. Considere el rectangulo R = [2; 2] [1; 1], ademas de la funcion f denida mediante

f(x; y) =

8 x:Encuentre ZZ

R

f(x; y)dxdy y

ZZR

f(x; y)dydx;

comente sus resultados.

7. Sea D la region denida como D = f(x; y) 2 R2= y sinx; 0 2x yg. DetermineZZD

ydA

Pagina 1 de 15 GCP/ETA

8. Considere z = f(x; y) una funcion continua en R2 tal queZ 10

Z x20

f(x; y)dydx+

Z 10

Z 0py

f(x; y)dxdy =

Z 10

Z 1py

f(x; y)dxdy;

calcule Z 10

Z py0

f(x; y)dxdy

9. Sea el cuadrado R =h0;

2

ih0;

2

ijustique la siguiente desigualdad:

0 ZZ

R

sin(x+ y) dA 2

4

Ayuda: Encuentre los maximos y mnimos de la funcion f(x; y) en la region R.

10. Considere que f es una funcion integrable en R, vericar que

2

Z ba

Z bx

f(x)f(y)dydx =

Z ba

f(x)dx

!2;

Ayuda:

Z ba

f(x)dx

!2=

Z ba

Z ba

f(x)f(y)dxdy

11. Obtenga el valor de Z 10

Z xx=2

y sin y3dydx+

Z 21

Z 1x=2

y sin y3dydx

12. Mostrar qued

dx

Z xa

Z dc

f(x; y; z)dzdy =

Z dc

f(x; x; z)dz +

Z xa

Z dc

fx(x; y; z)dzdy:

13. Considere el dominio D = D1 [D2, donde

D1 = f(x; y) 2 R2= 0 x a cos b; 0 y cot b xg;D2 = f(x; y) 2 R2= 0 y a sin b; a cos b x

pa2 y2g:

Encuentre ZZD

ln(x2 + y2)dA; 0 b 2

14. Muestre que existe

ZZD

sin2(x y)p1 x2 y2 dA;

donde D es el disco unitario x2 + y2 1.15. Calcule cada una de las siguientes integrales

(a)

Z 30

Z 9x2

x3ey3

dy dx

(b)

Z 20

Z 12 (185x)

x2x3ey

3

dy dx+

Z 94

Z py25 (9y)

x3ey3

dx dy


16. Muestre que no existe ZZD

ex2+y2

x y dA;

donde D es el conjunto de puntos tal que 0 x 1 y 0 y x.17. Reemplace la integral dada por otra con el orden de integracion permutado. Bosqueje la region R de integracion.

(a)

Z 20

Z x20

x3y dy dx.

(b)

Z 10

Z xx=2

xy dydx+

Z 21

Z 1x=2

xy dydx.

(c)

Z 01=p2

Z p1x2x

x3y dy dx+

Z 10

Z p1x20

x3y dy dx.

18. Sean f(x; y) = y2ey2

y R el triangulo acotado por y = a, y = x=2 e y = x. Suponga que a es positivo.

(a) Establezca dos integrales repetidas para

ZZR

f(P )dA.

(b) Calcule el caso mas facil.

19. Halle

ZZR

(2x3y2 + 7)dA, donde R es el cuadrado con vertices (1; 1), (1; 1), (1;1) y (1;1).

20. Bosqueje la region de integracion R y calcule

ZZR

r2dA para las regiones siguientes

(a) =2 =2, 0 r cos .(b) 0 =2, 0 r sen2 .(c) 0 2, 0 r 1 + cos .(d) =2 =2, 0 r sen 2.

21. La transformada de Fourier de una funcion f(x) se dene como

F[f(x)](w) =1p2

Z +11

f(x)eiwxdx = bf(w);ademas el producto convolucion entre dos funciones es f y g es

(f g)(x) =Z +11

f(u)g(x u)du;

muestre queF[(f g)(x)](w) =

p2 bf(w)bg(w)


Integrales Triples e Impropias

1. Considere el cubo R = [10; 10] [10; 10] [10; 10], ademas de la funcion denida mediante

(x; y; z) =

8 9:Encuentre ZZZ

R

(x; y; z)dV

2. Si h(x; y; z) es una funcion continua en todo R3. Verique o refute la siguiente armacionZ 10

Z x0

Z xz

h(x; y; z)dydzdx =

Z 10

Z y0

Z 1y

h(x; y; z)dxdzdy

Ayuda: Gracar la region.

3. Suponga que f : R ! R es una funcion continua y b > 0 una constante conocida. Para la siguiente integraliterada, dibuje la region de integracion y despues reduzcala a una integral unidimensional:Z b

0

Z x0

Z y0

f(z)dzdydx

4. Calcule las integrales triples.

(a)

Z 10

Z x2x3

Z x+y0

z dz dy dx:

(b)

Z 10

Z x0

Z 30

(x2 + y2) dz dy dx:

(c)

Z 2a0

Z x0

Z xy

xyzdzdydx

(d)

Z 10

Z x0

Z x+yy

ex+y+zdzdydx

5. Suponga que f : R3 ! R es una funcion continua. Bosqueje la region de integracion para la siguiente integraly luego cambie el orden de integracion a dxdydzZ 3

0

Z 62x3

0

Z 62x3y2

0

f(x; y; z)dzdydx

6. Considere D la region encerrada por los planos y = x, z = y, x = 1 y z = 0. EncuentreZZZD

f(x; y; z)dV;

en el orden dydzdx y dzdydx

7. Calcule la siguiente integral Z 10

Z 1z

Z 1x

ey3

dydxdz

8. Sea la region descrita por =(x; y; z) 2 R3 = 4x2 + y2 + z2 1, determine para que valores del parametro

m 2 R la integral ZZZ

1

(4x2 + y2 + 9z2)mdV;

es convergente


9. Considere u = (x; y; z) y se dene =u 2 R3 : jjujj < 1, dada la funcion

f(u) =

8>>>>>>>:1

(1 + jjujj3=2)3 si u 2 R3n

1p1 jjujj2jjujj si u 2

Encuentre el valor de: ZZZR3f(u)dzdydx

10. Verique que

z(x) =

Z x0

Z t0

Z tu

t

s

af(u)dsdudt

satisface el siguiente problema

xay00(x) + axa1y0(x) = f(x)z0(x) = xay(x)

y(0) = y0(0) = z(0) = 0

Ayuda: Derivar la funcion z(x) y usar la regla de la cadena.


Teorema del Cambio de Variables

1. Usando coordenadas polares, hallar el area acotada por la lemniscata (x2 + y2)2 = 2a2(x2 y2).2. Sea R la region limitada por las rectas x 2y = 0, x 2y = 4, x + y = 4 y x + y = 1. Calcule usando un

cambio de variable adecuado la integral: ZZR

3xydA

3. Evalue usando coordenadas esfericas:

(a)

ZZZS

x2dV , donde S es la esfera x2 + y2 + z2 1.

(b)

ZZZS

zpx2 + y2 + z2dV , donde S es la region dentro del cono = y dentro de la esfera = b.

4. Considere la region D = f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj 2g, ademas de la funcion f denida mediante

f(x; y) =

8 x+ 1:Encuentre mediante un cambio de variables adecuadoZZ

D

f(x; y)dA

ademas plantee las integrales correspondientes sin utilizar cambio de variable

Ayuda: Realizar una rotacion de la region.

5. Una region D esta comprendida en el primer cuadrante por las curvas y = x2, y = x2 + 1, x + y = 3 y el ejey. Determine un valor de a 2 (0; 3) tal queZZ

D

(1 + 2x)jx+ y ajdA = 52

6. Evaluar ZZZD

1

(x2 + y2 + z2)3=2dV;

donde D es el solido acotado por las dos esferas x2 + y2 + z2 = a2 y x2 + y2 + z2 = b2, donde 0 < b < a.

7. Encuentre el volumen usando coordenadas polares, graque previamente las regiones:

(a) 1 x2 + y2 9 ; 1px2 + y2

z 1.

(b) 2 x 2 ; 0 y p4 x2 ; 0 z xpy.8. Sea la region A en el plano xy acotada por las rectas

y = x; y = 3x; x+ y = 2; x+ y = 4

(a) Haga un bosquejo de la imagen T (A), donde T es una transformacion denida por el sistema de ecuaciones

T :

u = x+ y 2v = y x

(b) Si A es una placa de densidad (x; y) = y x, encontrar la masa de la placa.(c) Justique claramente el valor de verdad de la siguiente desigualdad:

Area(A) Area(T (A)) > 0


9. Considere la transformacion del plano xy en el plano uv denida porx = v + uy = u2 v;

y sea uv la region acotada por las rectas: u = 0, v = 0 y v + u = 2. Si xy corresponde a la imagen de uvbajo la transformacion, calcule ZZ

xy

dxdyp1 + 4x+ 4y

;

10. Considere la region D denida como

=n(x; y; z) 2 R3 = z

px2 + y2; x2 + y2 + z2 9; x2 + y2 + 1 z2; z 1; x 0; y 0

o;

y la integral triple

I =

ZZZ

(x2 + y2 + z2)3=2dV

(a) Exprese las integrales iteradas que permiten calcular I en coordenadas esfericas en el orden ddd yddd.

(b) Exprese las integrales iteradas que permiten calcular I en coordenadas cilndricas en el orden drdzd ydzdrd.

11. Sea uv la region denida como uv = f(u; v) 2 R2=0 u 1; 0 v 1g y sea T la transformacion descritapor

x = v + uy = v u2;

Encuentre ZZT (uv)

1

y x+ 1dA

12. Sea el dominio = f(x; y; z) 2 R3= x2=5 + y2=5 a2=5; a z ag, con a > 0. Considere el cambio decoordenadas

T :

8>>>>>>>:x = u cos5 v

y = u sin5 v

z = w

(a) Verique que T es una transformacion de coordenadas valida.

(b) Obtenga la imagen de bajo tal transformacion.

(c) Calcule

ZZZ

f(x; y; z)dV , si f(x; y; z) = z2(a2=5 x2=5 y2=5)2.

(d) Si es un objeto de densidad de masa (x; y; z) =px2=5 + y2=5, encuentre el centro de masa de .

13. Para 0 < t < 1 se dene la funcion

I(t) =

ZZZ

t

xyz sin2(x4 + y4 + z4)dV;

en la cual el dominio t esta denido como

t = f(x; y; z) 2 R3= x4 + y4 + z4 t4; 0 x y; z 0g;determine una cota superior para I 0(t).

14. Sea D la region encerrada por las curvas y = x2, y = x2 + 3, y = x2 + 9, y = x2 + 6 y el primer cuadrante,calcule ZZ

D

xeyx2

dA


Aplicaciones Integrales Multiples

1. En los siguientes ejercicios encontrar la masa y el centro de masa de la lamina dada si la densidad de area escomo se indica.

(a) Una lamina tiene la forma de la region rectangular acotada por las rectas x = 3, y = 2 y los ejescoordenados. La densidad de area en cualquier punto es xy2.

(b) Una lamina esta acotada en el primer cuadrante por el crculo x2 + y2 = a2 y los ejes coordenados. Ladensidad de area es constante.

2. Considere a 2 R y ` > 0, justique si es posible o no acotar el volumen del solido W mediante

Volumen(W ) =a2;

donde W es el solido que esta encerrado por el plano z = 0 y la funcion f(x; y) =1

(x2 + y2 + a2)2en la region

D denida comoD = f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj `g

3. Determine el volumen mnimo y el volumen maximo encerrado por la region en el primer octante, limitadapor los planos x+ y = 2, 2y + x = 6 y el plano tangente a la supercie x2 + y2 = z 3

4. Considere el solido D denido como

D = f(x; y; z) 2 R3= x2 + y2 1; x2 + y2 + z2 4; x2 + y2 1g

(a) Obtenga en coordenadas cartesianas las integrales que permiten calcular el volumen de D.

(b) Obtenga en coordenadas cilndricas las integrales que permiten calcular el volumen de D.

(c) Obtenga en coordenadas esfericas las integrales que permiten calcular el volumen de D.

(d) Calcule el volumen de D.

5. Determine el volumen del solido D comprendido entre z = cos(x y), el plano z = 0, con 0 x y0 y .

6. Sea el dominio D = f(x; y) 2 R2= x2=3 + y2=3 a2=3g, con a > 0. Considere el cambio de coordenadas:

x = u cos3 v

y = u sin3 v

(a) Determine la imagen de D bajo la transformacion.

(b) Encuentre el jacobiano de la transformacion.

(c) Calcule ZZD

(a2=3 x2=3 y2=3)2dA

7. Calcule ZZD

sin

y xx+ y

dA

si D es un paralelogramo de vertices (0; 1), (0; 2), (1; 0) y (2; 0)

Ayuda: Realizar un cambio de variables adecuado.

8. Encuentre el volumen del elipsoidex2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

9. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las supercies indicadas:

(a) x2 + y2 = 9 ; x2 + z2 = 9.

(b) z = x2 + y2 + 1 ; z = 2x+ 2y.

(c) z = x2 + y2 ; z = 2 x2 y2.


10. Sea D un cuerpo solido que ocupa la region del espacio comprendida sobre el plano z = 2 y dentro de la esferacentrada en el origen de radio 4. Suponga que la densidad puntual de D esta dada por la funcion

(x; y; z) =1

d(x; y; z)

donde d(x; y; z) representa la distancia entre el punto (x; y; z) y el origen. Encuentre la masa total del solidoD.

11. Considere el cuerpo en R3 que ocupa la region limitada por la supercie de revolucion (x2+y2+z2)2 = x2+y2con z 0. Sea : ! R+0 la funcion denida por (x; y; z) = (x2 + y2 + z2)

32 , la densidad del cuerpo en el

punto (x; y; z). Hallar las coordenadas del centro de masa.

12. Sea un solido de densidad uniforme, en el primer octante del sistema de coordenadas cartesianas acotadopor los planos y = 0; x = 0; z + y = 2, y el cilindro x2 + y2 = 1.

(a) Haga un bosquejo del solido.

(b) Usar coordenadas cilndricas para calcular la masa del solido.

13. Sea un solido en el primer octante del sistema de coordenadas cartesianas, acotado por la supercie z =1 x2 y2. Si la densidad del solido esta dada por la funcion (x; y; z) = 1 + xy2. Calcular en coordenadascilndricas la masa de solido.

14. Considere como la region denida como = f(x; y) 2 R2= 4 x2+y2 9g y ademas z = f(x; y) representauna funcion continua en todo R2, la cual posee las siguientes caractersticas(a) f(x; y) > 0 en todo R2.(b) jf(x; y)j ex2+y2 8(x; y) 2 R2.Encuentre una cota superior para el valor del volumen del solido encerrado z = f(x; y) y el plano z = 0.

15. Seaf(x; y) = x;

una funcion de densidad de masa denida sobre un recinto cerrado D R2, cuyas fronteras son:x2 + y = 1 ; y = 1 ; x = 1;

(a) Calcule el valor de la constante A 2 R tal que la masa total de la region D sea 1.(b) Calcule el centro de masa de la region D.(c) Considere todos los puntos (x; y) 2 D que cumplen con la condicion

x2 + y > a;

con 1 < a < 2. Calcule la masa del nuevo recinto e indique a que porcentaje de la masa total de la regionD corresponde. >Que acontece con dicho porcentaje cuando a! 1 y a! 2, respectivamente?

16. Sobre la region D R3 se distribuye masa siendo (x; y; z) = e(x2+y2+z2)3=2 la densidad volumetrica (de masa).Para denida como

D = (x; y; z) 2 R3= 16 x2 + y2 + z2 25; x2 + y2 z2 1; x2 + y2 z2 0 ;dejar expresadas la(s) integral(s) iterada(s) para el calculo de las siguientes cantidades

(a) Dibuje claramente la region de integracion.

(b) Momento de inercia con respecto al eje z usando coordenadas esfericas.

(c) Volumen de utilizando coordenadas cilndricas segun el orden de integracion drdzd

17. Obtener la masa del cuerpo denido como

=n(x; y; z) 2 R3 = x2+ y2 z 1+x2+ y2; x2+ y2x 2

px2 + y2; x2+ y2

px2 + y2x; y 0

o:

Si la densidad en cada punto del dominio viene dada por

(x; y; z) =y

x2 + y2:


18. Sea R la region solida dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y del cono z =px2 + y2. Sea f(x; y; z) = z la

densidad en el punto (x; y; z). Mediante coordenadas cilndricas calcule la masa de R.

19. Sea D un solido delimitado por: x2 y2 = 1, x2 y2 = 5, xy = 1, xy = 4, x+ y + 3z = 2 y x+ y + 3z = m,x > 0 con densidad (x; y; z) = g(x2 y2); g(u) > 0; 8u. Ademas, considere un segundo solido E delimitadopor: 0 z g(x), x y 5 x, 1 x 5, cuya densidad en cada punto es inversamente proporcional alcuadrado de la distancia al eje z. Determine bajo que condiciones del parametro m, el momento de inercia delsolido D es mayor que el momento de inercia del solido E, donde ambos momentos se calculan con respecto aleje z.

20. Un solido esta acotado por la supercie denida en coordenadas esfericas mediante la ecuacion: r = cos2 ':Graque y determine el volumen del solido, si existe.

21. Obtener la masa del cuerpo denido como

=n(x; y; z) 2 R3 = 0 z 1 + x2 + y2; x2 + y2 2

px2 + y2 + x; x2 + y2

px2 + y2 x; y 0

o:

Si la densidad en cada punto del dominio viene dada por

(x; y; z) =y

x2 + y2:

22. El centro de un crculo de radio a se ubica a una distancia b > a del eje z, el crculo y el eje estan en el mismoplano. Cuando el crculo gira alrededor del eje z se genera una supercie S cuya ecuacion es:

x2 + y2 = (b+pa2 z2)2;

usando integrales multiples determine la masa del solido el cual esta encerrado por la supercie S, considereque la densidad en cada punto de es

(x; y; z) = 4zpx2 + y2:

23. Mediante el uso de integrales dobles encuentre el volumen de la region acotada por las supercies

z = x2 + y2

z = 10 x2 2y2

luego repita el proceso utilizando integrales triples y comente los resultados.

24. Considere una lamina D determinada por

D = f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj 1g;

si 0 a 1 y ademas la densidad en cada punto de la lamina D viene dada por

f(x; y) =

12(x+ y)2 si y x+ a;4(1 a) si y < x+ a:

Determine el valor de a de modo que la masa de la lamina D sea 5.

25. Determine la componente y del centroide del solido denido por

=

(x; y; z) 2 R3= x

2

9+ (y 1)2 + z2 16; z2 + x

2

9 4jzj

26. El centro de un crculo de radio a se ubica a una distancia b > a del eje OX, el crculo y el eje estan en el

mismo plano. Cuando el crculo gira alrededor del eje OX se genera un Toro. Determine el volumen del toroy el momento de inercia alrededor del eje OX, suponiendo que la densidad es constante. Para su desarrolloutilice solo integrales multiples.

Ayuda: Se recomienda usar coordenadas cilndricas.


27. Sea > > 0. Encuentre el valor del volumen de la region comprendida entre

x = + z2 + y2

x = + 5z2 + 5y2

ademas obtener las componentes de los centros de masa, considere que la densidad es constante.

28. Considere la region R descrita por los lmites de integracion de la integral I.

I =

Z 10

Z x=2x

jx2 y2jdydx

(a) Exprese I en las variables uv, donde

u = x+ y

v = xy

(b) Calcule el valor del momento de inercia respecto al origen de R. Suponga que la densidad en cada puntoes constante dada por > 0.

29. Calcule la masa del cuerpo homogeneo, encerrado en los dominios.

(a) El cuerpo D viene dado por

D = f(x; y; z) 2 R3= 0 z 1 + x2 + y2; x2 + y2 2px2 + y2 + 2; x2 + y2

px2 + y2 x; y 0g

(b) El cuerpo D viene dado por

D = f(x; y; z) 2 R3= x2 + y2 + z2 a2; x2 + y2 jaxjg

30. Plantee las integrales en coordenadas cartesianas, para calcular el volumen V , de la region encerrada por lassupercies z = 4 y2, z = 2x2 + y2.

31. Se proyecta luz hacia una pantalla con forma de un disco de radio 1. Las mediciones indican que la densidadde fotones por area detectados en la pantalla corresponde a la funcion f(x; y) = e(x

2+y2). Determine:

(a) El valor promedio de fotones detectados en la pantalla.

(b) En que puntos de la pantalla existe una densidad mayor de fotones que el promedio y en que puntos dichadensidad es menor que el promedio.

32. Sea un solido conico S = f(x; y; z) 2 R3=px2 + y2 z < 2g con la tapa x2 + y2 4, z = 2. Encontrar el

centro de masa del cono incluida la tapa, si la densidad en cada punto del cono esta dada por su distancia aleje del cono y la densidad de la tapa es homogenea e igual a 1.

33. Considere un solido que esta formado por un cubo de arista 1, densidad 1, y un cilindro de densidad 2, altura2 y radio basal r < 1=2, el cual atraviesa perpendicularmente el cubo y cuyo eje pasa perpendicularmentepor el centro del cubo. Este sistema gira alrededor del eje del cilindro con una velocidad angular constante w.Encontrar la energa cinetica que produce este sistema. La energa cinetica esta dada por la relacion

E =Iw2

2;

donde I es el momento de inercia.

34. Halle el centro de masa de las regiones dadas con su respectivas densidades.

(a) La region nita acotada por y = x2 e y = x+ 6 que esta situada a la derecha del eje y. Si la densidad en(x; y) es 2x.

(b) El trapezoide con vertices (0; 0); (3; 0); (2; 1); (0; 1). Si la densidad en (x; y) es senx.

35. Mediante dos formas distintas determinar el volumen del solido que esta dentro de la esfera x2 + y2 + z2 = zy bajo el cono z =

px2 + y2

Ayuda: Se recomienda usar coordenadas esfericas y coordenadas cilndricas.


36. Determine el volumen del solido D comprendido entre z = cos(x y), el plano z = 0, con 0 x y0 y .

37. Considere el solido D denido como

D = f(x; y; z) 2 R3= 1 z2 x2 + y2 4z z2; y2 + 4 z2 x2 y2; x 0; y 0g;si la densidad en cada punto del solido D es

(x; y; z) = 2x2 + y2 + z2;

(a) Exprese las integrales que permiten calcular la masa del solido D en coordenadas esfericas en el ordenddd.

(b) Exprese las integrales que permiten calcular el momento el momento de inercia respecto al eje z encoordenadas cilndricas en el orden drdzd.

Importante: En ambos casos deje claramente expresados los lmites de integracion.

38. Considere el solido denido como

= f(x; y; z) 2 R3= 2z2 x2 + y2; x2 + y2 + z2 9; x2 + y2 + 1 2z2; 2z 1g;si la densidad en cada punto del solido es (x; y; z) = (x2 + y2 + z2)3=2.

(a) Exprese las integrales iteradas que permiten calcular en coordenadas esfericas la masa del solido .

(b) Exprese las integrales iteradas que permiten calcular en coordenadas cilndricas el momento de inerciarespecto al origen.

Importante: En ambos casos deje claramente expresados los lmites de integracion.

39. Considere una lamina D la cual esta descrita mediante D = f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj 2g; si la densidad en cadapunto de la lamina viene denida como

f(x; y) =

3a(x+ y)2 si y x+ a;

4a si y < x+ a:

Determine el valor de a 2 [0; 2] de modo que la masa de la lamina D sea 16.40. Considere la funcion f(x; y; z) continua en la region

D = f(x; y; z) 2 R3 = 0 x 1; 0 y x; 0 z yg:Esbozar la region de integracion y escriba las seis formas posibles de hallarZZZ

Df(x; y; z)dV:

41. Un solido esta formado por la parte de una bola de radio a que se encuentra dentro de un cono cuyo semiangulodel vertice es = =6, donde el vertice es el centro de la bola. Establezca integrales multiples en los tres sistemas

de coordenadas para

ZZZR

z dV y calcule la mas simple.

42. Sea R la region del espacio denida por

R = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 ay; x2 + y2 + z2 = a2g:(a) Esbozar a R.

(b) Calcular el volumen de R.

43. Encuentre el centroide de las regiones siguientes.

(a) La cardioide r = 1 + cos .

(b) La hoja de r = cos 3 que esta a lo largo del eje polar.


44. Considere la region D denida como

D = f(x; y; z) 2 R3 : z px2 + y2 ^ x2+y2+z2 9 ^ x2+y2 z21 ^ z 1 ^ x 0 ^ y 0g;

mediante el uso de coordenadas esfericas plantee las integrales que permiten calcularZZZD

e(x2+y2+z2)3=2dV

en los ordenes de integracion dados por dd'd y d'dd.

45. Considere el solido D denido por

D = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4 ^ x2 + y2 + z2 1 ^ z x2 + y2 1 ^ x 0 ^ y 0g;

y sea f : D ! R la funcion densidad de masa del solido, denida por f(x; y; z) = z(x2 + y2).Encuentre la masa del solido D.

46. Determine el volumen del cuerpo limitado por las supercies

x2 + y2 = z2; z > 0; x2 + y2 = 2y

47. Sea R el tetraedro cuyos vertices son (0; 0; 0); (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c), donde a; b; c son positivos.

(a) Esboce el tetraedro.

(b) Halle la ecuacion de su cara superior.

(c) Calcule

ZZR

z dV .

(d) Halle z, la coordenada z del centroide de R.

48. Sea f : D1 [D2 R2 ! R, donde

f(x; y) =

y si (x; y) 2 D1;2 si (x; y) 2 D2;

para los dominios D1 y D2 denidos segun

D1 =(x; y) 2 R2 0 x 1 ^ 0 y x

D2 =(x; y) 2 R2 1 x 2 ^ x y + 1 2

Planteando y desarrollando las integrales dobles correspondientes, calcule el volumen del solido que se encuentraencerrado por la funcion f(x; y) y el plano XY .


Ejercicios Varios

1. Considere una funcion g continua en I = [a; b] a valores reales, luego para x 2 I se dene

v(x) =

Z xa

g(t)dt;

encuentre k 2 R tal que ZI

v(x)u0(x)dx = kZI

g(x)u(x)dx:

donde u es alguna funcion derivable que cumple con u(b) = 0.

2. Para 0 < a < 1 considere la funcion

f(x; y) =1

(x 1)2 + (y 2)2 + a2 ;

mediante D se dene al hexagono regular con centro en (1; 2) y lado ` > 1. Verique o refute que existe unaconstante C > 0 tal que ZZ

Df(x; y)dA Cj ln(a)j:

3. Se dene la region

a =(x; y) 2 R2= x > 0; y > 0; (x2 + y2)2 4a2(x2 y2); (x2 + y2)2 9a2(x2 y2)

luego usando f(x; y) =2kxy

x2 + y2, con 0 k . Encuentre el maximo valor de

h(k; a) =

ZZ

a

Z f(x;y)0

dzdA

para esto utilizar que k + a =

4. Considere 0 a 1. Luego denamos la region como

= f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj 1g;

ademas considerar f(x; y) y g(x; y) dadas por

f(x; y) = maxfy; a+ xg ^ g(x; y) = mnfa x;yg:

Encuentre el valor del parametro a de modo queZZ

Z g(x;y)f(x;y)

dzdA =9

4

5. Considere la siguiente region

n =(x; y) 2 R2= a2(x h)2 + b2y2 n2 ^ a; b; h > 0 ;

adicionalmente se dene

f(; n) =

Z

n

2 + a2(x h)2 + b2y21 dA:

Determine el valor de de manera quelm

n!1 f(; n) < +1;luego para los valores obtenidos del parametro calcule f(; n)

Ayuda: Usar coordenadas polares.


6. Sea D = f(x; y) 2 R2= jxj+ jyj 1g y una funcion g continua en R. Compruebe queZZD

g(x+ y)dA =

Z 11

g(u)du

Ayuda: Realizar un cambio de variable adecuado.

7. Una funcion de densidad de probabilidad conjunta asociada a un vector aleatorio (X;Y ) corresponde a unafuncion f : D R2 ! R, tal que1. f 0; 8(x; y) 2 R2, en particular f > 0 si (x; y) 2 D.2.

ZZDf dA = 1.

Adicionalmente, se dene la probabilidad de un \evento" (conjunto) A D como

P[A] =ZZAf dA

Suponga que en un sistema de la de espera interesa conocer el comportamiento conjunto de las variablesaleatorias: Y : Tiempo total entre la llegada y la salida del servicio y X: Tiempo de espera desde la llegadahasta antes de ser atendido. Con el tiempo medido en minutos, la funcion de densidad de probabilidad conjuntaesta dada por

f(x; y) = 3x exp fygdenida en la region D = f(x; y) 2 R2=0 < x < yg y con > 0 un parametro de escala.(a) Bosqueje en R2 la region que representa al evento \A: El tiempo de espera desde la llegada al servicio

hasta antes de ser atendido es mas de la mitad del tiempo total desde la llegada hasta la salida del servicio"y calcule su probabilidad.

(b) El tiempo que dura la atencion en el servicio esta dado por T = Y X, >cual es la probabilidad de queun cliente sea atendido en menos de k minutos?, >que acontece con su resultado si k ! 0?

(c) Las componentes del centroide del dominio de f se denominan como los valores promedio (valores esper-ados) asociados a cada componente del vector aleatorio (X;Y ). Calcule el centroide del dominio de f .>Como interpretara cada una de sus componentes?

Considere que para r 2 N: Z 10

ur eu du =r!

r+1

8. Sea f(u) 0 para todo u 2 R, y se dene F (t) para a; b; c > 0 como

F (t) =

ZZZD

f(ax2 + by2 + cz2)dV;

donde D = f(x; y; z) 2 R3= ax2 + by2 + cz2 t2g, determine los valores de t 2 R, si existen, tal que F (t)alcance sus maximos y mnimos.

9. Determine para que valores de m es o no posible calcular la integral

Im =

ZZZ

1

(x2 + y2 + z2)mdV

donde = 1 [ 2 con:

1 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4 ^ x 0 ^ 0 y + jzjg;

2 = f(x; y; z) 2 R3 : x2 + y2 + z2 4 ^ x 0 ^ 0 y jzjg:

Luego en los casos factibles obtenga el valor de Im.

10. Sea a > 0 y se dene como la region encerrada por las supercies

(4x 1)2 + y2 + z2 = a2z2 + y2 = az

(a) Mediante coordenadas esfericas determine la imagen de

(b) Obtenga el volumen de la region


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Set 1 Ejercicios - Mat024