SIGMA 27 - berritzegunenagusia.eus OLIM… · (El logotipo que ilustra la portada de la revista es la imagen cedida por la ... leen sormena eta problemak ebazteko estrategia orokorrak

36 SIGMA Nº 27 • SIGMA 27 zk.

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3ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADIPARA ALUMNADO DE 2º DE E.S.O.

Alberto Bagazgoitia (*)

OLIMPIADA EDUARDO CHILLIDA

El Curso pasado 2004-05 se celebró en Euskadi la 3ª Olimpiada Matemática para alumnos de 2º de ESO. Es ésta una actividad que creemos que ya no necesita presentación ante el profesorado, porque a lo largo de estas tres ediciones se ha consolidado y goza de una sólida aceptación por parte de una gran mayoría de Centros educativos, como puede verse en la relación de Centros participantes.

Al igual que en los años anteriores la Olimpiada ha contado con la autorización, el apoyo y colaboración del Departamento de Educación del Gobierno Vasco, en concreto, de su Dirección de Innovación Educativa, y como muestra de la consolidación que apuntábamos más arriba baste resaltar un par de datos:

• Por primera vez esta Olimpiada Matemática pasa a denominarse Eduardo Chillida. Es para nosotros un gran honor que la Olimpiada pueda llevar el nombre del gran escultor donostiarra, a cuya familia y, en particular a D. Luis Chillida, queremos agradecer la buena acogida con que nos recibió y las facilidades que en todo momento nos dio para que así fuese. (El logotipo que ilustra la portada de la revista es la imagen cedida por la familia Chillida para ser usada como logotipo de la Olimpiada).

• Por otra parte, y también este año por primera vez, el propio Departamento de Educación publicó la convocatoria de la Olimpiada en el BOPV, otorgándole de esta manera un carácter más oficial y formalizando su respaldo a esta iniciativa.

La organización corrió a cargo de los tres asesores de Matemáticas de los Berritzegunes de la Comunidad, contando con la colaboración de la asesoría de TIC del Berritzegune de Abando para la elaboración y mantenimiento de la página web de la Olimpiada:

www.saretik.net/mateolinpiada

OBJETIVOS

Estos son los objetivos que se pretender impulsar y que podríamos agrupar en tres grandes bloques:

• Fomentar entre los estudiantes el gusto por las matemáticas, planteando actividades abier-tas que les ofrezcan la posibilidad de poner en juego su creatividad, de usar estrategias generales de resolución de problemas y disfrutar afrontando retos intelectuales.

(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Vitoria.

Noviembre 2005 • 2005eko Azaroa 37

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EUSKADIKO 3. OLINPIADA MATEMATIKOAD.B.H.KO 2.MAILAKO IKASLEENTZAT

Alberto Bagazgoitia (*)

AURKEZPENA

Aurreko ikasturtean, 2004-05 alegia, DBHko 2.mailako ikasleentzat 3. Olinpiada Matematikoa burutu zen Euskadin. Uste dugu iharduera horrek ez duela aurkezpenik behar hiru edizio hauetan sendotu egin baita eta, parte hartu duten ikastetxeen zerrendan ikus daitekenez, ondo onartu duen ikastetxe kopuru handi bat dagoelarik.

Beste urteetan bezalaxe, aurten ere Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza Sailaren baimenari eta laguntzari esker, konkretuki Hezkuntza Berriztatzeko Zuzendaritzari esker, Olinpiada martxan jarri genuen. Eta goian aipatzen genuen Olinpiadaren sendotasunaren adierazletzat, datu pare bat baino ez dugu nabarmendu behar:

• Lehen aldiz Olinpiada Matematiko honek Eduardo Chillidaren izena darama, familia osoari eskertu nahi diogun ohore handia izan zaiguna. Bereziki Luis Chillida jaunak eskeinitako harrera eta helburua lortzeko emandako erraztasun guztiak nabarmendu eta eskertu nahi ditugu. (Aldizkariaren portadan agertzen den irudia Chillida familiak utzitako irudia da Olinpiadarako logotipo moduan erabiltzeko).

• Beste alde batetik eta baita lehen aldiz ere, Hezkuntza Sailak EHAAn argitaratu zuen Olinpiadaren deialdia. Horrela ofiazaltasun eta babes osoa eman zion ekintza honi.

Olinpiadaren anotolaketa EHEko Berritzeguneetako hiru matematika aholkulariok hartu genuen gure gain, Olinpiadaren web orrialdea

www.saretik.net/mateolinpiada

egiteko eta kudeatzeko Abandoko Berritzeguneko IKT aholkularitzaren laguntzaz genuela.

HELBURUAK

Bultzatu nahi ditugun helburuak honako hauek dira, hiru multzo handitan sailkatuta:

• Ikasleen artean matematika gozatzeko ahalmena bultzatu aktibitate irekiak planteatuz, ikas-leen sormena eta problemak ebazteko estrategia orokorrak tartean sartuta.

(*) Gasteiz Berritzeguneko Matematika Aholkularia.

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3ª OLIMPIADA MATEMÁTICA DE EUSKADI para alumnado de 2º de E.S.O.

SIGMA Nº 27 • SIGMA 27 zk.

Una de las mayores potencialidades de las matemáticas radica en la gran cantidad de aplicaciones, contextos y situaciones diferentes en las que pueden aparecer o en las que sus métodos y procedimientos pueden ser útiles: ciencia, arte, economía, juegos ... Se pretende plantear situaciones con contexto en las que sea necesario aplicar distintas estrategias con creatividad.

• Facilitar la relación entre centros, profesores y alumnos, favoreciendo el conocimiento mutuo y el intercambio de experiencias.

En torno a las actividades de la Olimpiada, por parte del profesorado, se pueden poner en común modos, formas de hacer y experiencias positivas y en lo que se refiere a los alumnos, las actividades más abiertas favorecen el trabajo en equipo.

• Contribuir a la mejora del proceso de Enseñanza-Aprendizaje de las matemáticas, y a la formación permanente del profesorado apoyando la innovación e impulsando el trabajo en Resolución de Problemas.

La Resolución de Problemas ha de ser un trabajo cotidiano en nuestras aulas y la Olimpiada puede ser un elemento dinamizador en la renovación didáctica del profesorado.

En cualquier caso, si en algo habría que incidir, es que esta actividad no está dirigida sola-mente a los alumnos más brillantes y que obtienen buenos resultados en matemáticas, sino a todo el alumnado, procurando ofrecer un tipo de actividades que puedan resultar interesantes y atractivas para el mayor número de alumnos. No importaría tanto el resultado obtenido como el proceso seguido y la implicación que se produce en el mismo, se trataría de con-seguir que cada vez más alumnos sean capaces de disfrutar abordando un reto intelectual. La Olimpiada matemática es una propuesta para que participen todos los alumnos y todos tengan la oportunidad de ver ese lado de las matemáticas, muchas veces oculto, que las hace realmente atrayentes.

DESARROLLO

La participación está abierta a todos los Centros de la Comunidad, tanto públicos como pri-vados, que impartan el nivel de 2º de ESO.

La Olimpiada, al igual que en ediciones anteriores, se estructuró en dos fases:

La primera, se realizó en cada uno de los centros participantes el día 11 de marzo. La prueba correspondiente a esta fase fue enviada por la Comisión Organizadora al profesor responsable y consistió en cuatro problemas. Cada centro debía elegir dos alumnos que serían los que pasarían a la segunda fase.

Para esta primera fase se inscribieron 90 centros de la Comunidad, repartidos de la siguiente forma:

CENTROS PÚBLICOS PRIVADOS TOTAL

ÁLAVA 9 9 18

GIPUZKOA 12 14 26

BIZKAIA 17 29 46

TOTAL 38 52 90

La 2ª Fase se realizó el sábado 14 de mayo de 10 a 12 de la mañana, en cada una de las tres capitales de la CAV:


EUSKADIKO 3. OLINPIADA MATEMATIKOA D.B.H.ko 2.mailako ikasleentzat

Matematikak dauzkan metodo eta prozedurak hainbat eta hainbat testu-inguru edo egoera ezberdinetan –zientzia, ekonomia, artea, jokoak– erabilgarriak izan daitezke eta horretan datza, hain zuzen, bere ahalmen handienetako bat.

• Ikastetxe, irakasle eta ikasleen arteko harremanak erraztu, elkar ezagutza eta esperientzien elkar trukea bultzatuz.

Irakasleek, Olinpiadaren jardueren inguruan, metodologia, edo ikasbide positiboak elkartrukatzeko aukera dute eta ikasleentzat berriz, irekiagoak diren jarduerek lan-taldea bultzatzen dute.

• Matematikaren ikas-irakaskuntza prozesuaren hobekuntzarako laguntza eman, berrikun- tzak eta irakasleen etengabeko formakuntza bultzatuz.

Problemen ebazpena ohiko lana izan behar da gure ikasgeletan eta Olinpiada, irakasleen berrikuntza didaktikoan, elementu bultzatzaileetako bat izan daiteke.

Dena den eta zerbait nabarmentzekotan, azpimarratu beharko genuke iharduera hori ez dela ikasle gutxi batzuri zuzendua, ez eta matematika-zaleak direnei. Ez, ez dira matematikarekin gozatzen direnak edota berarekiko erraztasun handia dutenak soilik kontuan hartu: ikasle guztiengana iristen saiatu da, matematika lana beste ikuspuntutik erakutsiz, ohikoa baino pozgarriagoa izan daitekeen ikuspuntu bat, alegia. Lortutako emaitza ez da garrantzitsuena, jarraitutako bidea eta bertan burutzen den inplikazioa baizik, gero eta ikasle gehiago erronka intelektual baten aurrean gozatzeko gai izatea bultzatuz. Olinpiada Matematikoa ikasle guz-tiek parte hartzeko proposamena da guztientzako onuragarria izango delakoan.

GARAPENA

Parte hartzea EHEko DBHko 2.maila duten ikastetxe guztietara irekita dago, publikoak zein pribatuak.

Olinpiada, aurreko edizioetan bezalaxe, bi alditan egin zen:

Lehenengoa martxoaren 11n burutu zen, ikastetxe partehartzaile bakoitzean. Batzorde Antolatzaileak aldi honetako froga bidali zuen ikastetxeetara. Froga honek lau problema zituen eta ikastetxe bakoitzak bigarren aldira pasatuko ziren bi ikasle hautatu behar zituen.

Lehenengo aldi honetarako Erkidegoko 90 ikastetxek eman zuten izena.

Hona hemen lurralde bakoitzeko zenbakiak:

IKASTETX. PUBLIKOAK PRIBATUAK GUZTIRA

ARABA 9 9 18

GIPUZKOA 12 14 26

BIZKAIA 17 29 46

GUZTIRA 38 52 90

2. aldia E.A.E.ko hiru hiriburuetan burutu zen, maiatzaren 14an 10etatik 12etara:

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• En Bilbao: en el IES Miguel de Unamuno.• En Donostia: en el IES Usandizaga-Peñaflorida.• En Vitoria-Gasteiz: en el IES Samaniego.

Tenemos que agradecer especialmente la colaboración de los profesores de estos centros, que ayudaron a organizar esta 2ª fase en la que en total tomaron parte 180 alumnos.

Una vez realizada la prueba, el tribunal calificador hizo pública la lista de premiados y se fijó el día 10 de junio para la entrega de premios.

La entrega de premios tuvo lugar en Lakua, en el edificio del Gobierno Vasco en Vitoria, y a ella estuvieron invitados además de los 12 alumnos clasificados en los primeros lugares, sus padres y profesores. El acto fue presidido por la Sra. Consejera de Educación Anjeles Iztueta, quien, además de felicitar a los ganadores y agradecer el trabajo de padres y profesores, hizo alusión a su formación y a su gusto e interés por las matemáticas. Estuvo acompañada por el Viceconsejero D.Abel Ariznabarreta, el Director de Innovación Educativa D.Konrado Mugerza y D.Luis Chillida quien recordó la relación de su padre con las matemáticas.

Tras la entrega de premios intervino D. Pedro Alegría, profesor titular del Departamento de Matemáticas de la UPV con la charla titulada “Magia y matemáticas” que fue seguida con mucho interés y que, más de una vez, provocó entre el público, que fue invitado a participar, la sorpresa y admiración.

Se despidió a los asistentes con un pequeño lunch, y en las conversaciones informales que se desarrollaron a continuación pudimos valorar la satisfacción general de todos los participantes en esta Olimpiada, animándonos a continuar en este camino.

VALORACIÓN

La valoración del proceso seguido en esta 3ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnos de 2º de E.S.O. es inequívocamente positiva. No sólo por la participación en cuanto a número de Centros, lo que supone una consolidación de lo iniciado en los cursos anteriores, sino también por las opiniones favorables recogidas entre el profesorado.

Creemos que la actividad ha satisfecho las expectativas planteadas y que con la participación conseguida podemos afirmar que cuenta con el respaldo de una gran parte del profesorado, respaldo que esperemos continúe en aumento en las próximas ediciones.

No queremos terminar sin agradecer el esfuerzo del profesorado que ha impulsado y animado la participación de sus alumnos, por su desinteresada colaboración y que es, desde luego, completamente imprescindible para que la Olimpiada pueda celebrarse.

Gracias a todos por vuestra participación y esperamos contar de nuevo con todos vosotros y también con aquellos que todavía no se han animado, en la 4ª Olimpiada Matemática de Euskadi “Olimpiada Eduardo Chillida” de cuya convocatoria tendréis puntual información a lo largo de este curso 2005-06.



• Bilbon: Miguel de Unamuno BHI.• Donostian: Usandizaga-Peñaflorida BHI.• Vitoria-Gasteizen: Samaniego BHI.

2. aldi honetan 180 ikaslek hartu zuten parte eta eskerrak eman nahi dizkiegu antolatzen lagundu zuten ikastetxe hauetako irakasleei.

Froga amaituta, epai-mahaiak sarituen zerrenda kaleratu zuen eta ekainaren 10a aukeratu zen sari-banaketa egiteko.

Sari-banaketa Eusko Jaurlaritzaren Lakuako egoitzan burutu zen, eta 12 ikasle sarituez gain guraso eta irakasleak ere bertan izan ziren. Hezkuntza Sailburua zen Anjeles Iztueta andrea ekitaldiaren buru izan zen, nork ikasleei, irakasleei eta gurasoei eskertu eta zorionak emateaz gain, bere formazioa eta matematikarekiko zaletasuna aipatu zuen. Berarekin batera Abel Ariznabarreta Sailburuordea, Konrado Mugerza Hezkuntza Berriztatzeko Zuzendaria eta Luis Chillida jauna –nork bere aitak matematikarekiko zituen harremanak gogoratu zituen– bertan egon ziren.

Sari-banaketaren ondoren Pedro Alegríak, EHUko Matematika Departamenduko irakasle titu-larrak, “Magia y matemáticas” izeneko hitzaldia eman zuen. Bertaratuok interesez, arretaz eta gustoz jarraitu genituen ponentearen hitzak.

Luncharekin agur eman zitzaien hurbildutakoei, eta bertan sortu ziren komentarioek aukera eman ziguten Olinpiada honetan parte hartu zuten guztien poza ikusteko eta sentitzeko; izan ere, hurrengo urteetan ere bide honetatik jarraitzeko eskatu ziguten.

BALORAZIOA

Olinpiada honetan jarraitutako prozesuaren balorazioa oso baikorra izan behar da, bai aurreko ekitaldietan lorturikoa aurten aurkeztutako ikastetxeen kopuru handiak sendotu egin duelako, bai irakasleriaren iritiziak oso aldekoak izan direlako.

Iharduera honek aurretik geneuzkan itxaropenak bete ditu eta, lehen esan bezala, irakasleen artean sendotuta dagoela baiezta dezakegu, eta gainera ziur gaude hurrengo edizioetan eman-dako babesa gehituko duela.

Bukatu aurretik, ikasleen partaidetza bultzatu duten irakasleei eskertu nahi diegu, bere lana ezinbestekoa baita horrelako Olinpiada aurrera eraman ahal izateko.

Eskerrik asko guztiei zuen parte hartzeagatik eta jakinarazi nahi dizuegu ikasturte honetan zehar, Euskadiko 4. Olinpiada Matematikorako deiaren informazio zehatza jasoko duzuela eta dagoeneko gonbidatuta zaudete parte hartzera.

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ANEXOS1.- PROBLEMAS DE LA 1ª FASE.

2.- PROBLEMAS DE LA FASE FINAL.

3.- RELACIÓN DE GANADORES.

4.- RELACIÓN DE PREMIOS.

5.- CENTROS PARTICIPANTES.

6.- ENTREGA DE PREMIOS. FOTOGRAFÍAS.

7.- PRUEBA INDIVIDUAL DE LA OLIMPIADA NACIONAL.

ANEXO 1 - SOLUCIONES PROBLEMAS 1ª FASE1. ¿Cuántos números de 4 cifras hay tales que la suma de sus cifras sea estrictamente mayor

que 33?

Solución: 15.

• Hay 1 número con 4 nueves: 9.999• Hay 4 números con 3 nueves y 1 ocho: 9.998, ...• Hay 6 números con 2 nueves y 2 ochos: 9.988, ...• Hay 4 números con 3 nueves y 1 siete: 9.997, ...

2. En un cuadrado 5x5 se pintan los cuadraditos de negro como se ve en la figura. Si cada cuadradito mide 1 cm2:

a) ¿Cuánto mide la superficie que queda sin pintar?b) Responde a la misma pregunta si el cuadrado fuese 7x7.c) ¿Y si el cuadrado fuese n x n (siendo n un número impar)? Escribe el

área que queda sin pintar en función de n.

Solución:

a) 16.b) 36.c) n2 –2n+1.

3. Nerea y Ion juegan al siguiente juego:

Al principio hay un cierto número de fichas colocadas en filas. Cada jugador, por turno, coge una o varias fichas pero de una sola fila. Gana el que se lleve la última ficha.

Siempre empieza el juego Ion.

a) Si empieza el juego con 2 filas de 3 fichas cada una explica cómo puede ganar Nerea siempre, haga Ion la jugada inicial que haga.

b) Si empieza el juego con 3 filas y con 1 ficha en la primera, 2 en la segunda y 3 en la tercera, justifica cómo también puede ganar Nerea siempre.

Solución:

a) Nerea sólo tiene que repetir la jugada que haga Ion.

b) b1) Ion coge la única de la 1ª fila, Nerea cogerá una de la 3ª fila. b2) Ion coge una de la 2ª fila, Nerea cogerá las 3 de la 3ª fila.



ERANSKINAK1.- 1.ALDIKO PROBLEMAK.

2.- AZKEN ALDIKO PROBLEMAK.

3.- IRABAZLEEN ZERRENDA.

4.- SARI-ZERRENDA.

5.- PARTE HARTU DUTEN IKASTETXEEN ZERRENDA.

6.- SARI-BANAKETA: ARGAZKIAK.

7.- OLINPIADA NAZIONALEKO BANAKAKOs FROG.

1. ALDIKO PROBLEMEN SOLUZIOAK1. Zenbat 4 zifrako zenbaki daude, beraien zifren batura 33 baino handiagoa dela jakinda?

Soluzioa: 15.

• Zenbaki bat dago 4 bederatziz: 9.999• 4 zenbaki daude 3 bederatziz eta zortzi batekin: 9.998,....• 6 zenbaki daude 2 bederatziz eta 2 zortziz: 9.988,...• 4 zenbaki daude 3 bederatziz eta zazpi batekin: 9.997,...

2. Ondoko irudian ikus dezakezunez 5x5 karratu batean beltzez pintatuta daude laukitxo batzuk. Laukitxo bakoitzak cm2 bat baldin badauka:

a) Margotu gabe geratzen den azalerak zenbat cm2 neurtzen du?b) Karratua 7x7 izango balitz galdera berberari erantzun.c) Eta karratua n x n izango balitz (n zenbaki bakoitia izanik)? Idatzi

n-ren arabera margotu gabe geratzen den azalera.

Soluzioa:

a) 16.

b) 36.

c) n2 –2n+1.

3. Nerea eta Ion ondorengo jokoa jolasten ari dira:

Hasieran fitxa batzuk daude lerro ezberdinetan kokatuta. Jokalari bakoitzak, txandaka, fitxa bat edo batzuk har ditzake, baina lerro bakar batetik. Azken fitxa hartzen duenak irabaziko du jokoa.

Beti hasiko da Ion

a) Hemen duzu hasierako posizioa: Hiruna fitxa bi lerrotan Azaldu nola irabaz dezakeen Nereak beti, Ionek egiten duena egiten duela.

b) Beste hasierako posizio honekin, azaldu nola Nereak ere irabaz dezakeen beti.

Soluzioa:

a) Nereak errepikatu behar du Ionen jokaldia.

b) b1) Ionek hartzen badu 1.lerroko fitxa bakarra, Nereak 3. lerroko fitxa bat hartuko du. b2) Ionek 2.lerroko fitxa bat hartzen badu, Nereak 3.lerroko 3 fitxak hartuko ditu.

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b3) Ion coge las dos de la 2ª fila, Nerea coge dos de la 3ª fila.

b4) Ion coge una de la 3ª fila, Nerea cogerá la única de la 1ª fila.

b5) Ion coge dos de la 3ª fila, Nerea cogerá las dos de la 2ª fila.

b6) Ion coge las tres de la 3ª fila, Nerea cogerá una de la 2ª fila.

4. Las 6 caras de un cubo son:

Aquí tienes 3 vistas del cubo.

a) Deduce la posición de cada cara respecto de las demás y dibújalas en la red siguiente.

b) Y coloca, en la misma red, las letras de los vértices en sus correspondientes lugares.

Solución:

a) Una posible solución:

b)

EH

FAFE

E DBG C

BH C

A B

C

DE

F

G



b3) Ionek 2.lerroko 2 fitxak hartzen baditu, Nereak 3.lerroko 2 fitxa hartuko ditu.

b4) Ionek 3.lerroko fitxa bat hartzen badu, Nereak 1.lerroko fitxa bakarra hartuko du.

b5) Ionek 3.lerroko 2 fitxa hartzen baditu, Nereak 2.lerroko 2 fitxak hartuko ditu.

b6) Ionek 3.lerroko 3 fitxak hartzen baditu, Nereak 2.lerroko fitxa bat hartuko du.

4. Hona hemen kubo baten 6 aurpegiak:

Eta hemen duzu kuboa hiru ikuspuntutik ikusita.

a) Ondorioztatu aurpegi bakoitzaren posizioa besteekiko eta margotu ondorengo sarean.

b) Eta sare berean ipini erpinetako letrak dagozkien lekuetan.

Soluzioa:

a) Balizko soluzio bat:

b)

EH

FAFE

E DBG C

BH C

A B

C

DE

F

G

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PROBLEMAS FASE FINAL

1. EL ROSETÓN

La vidriera de la fachada principal de una iglesia contiene un rosetón como el de la figura.

Sabiendo que el radio de la circunferencia pequeña es de 20 cms ¿qué se ha utilizado más cristal azul o verde?

Solución

1ª solución

V= verde ,, A=azul ,, R= mitad de rojo.

2R+V+A = Cuadrante de la Circunf grande = 402 π/4 = 400 π cm2.

V/2 = Cuadrante radio 20 (OPQ) – Triángulo rectángulo isósceles (OPQ) = 202 π/4 – 202/2.

→ V = 200π – 400 cm2.

R = Semicircunferencia de radio 20 – Área Verde = = 200 π – (200π – 400) = 400 cm2.

A = 400π – 2R – V = 400π – 800 – (200π – 400) = 200π –400 = V.

2ª solución

Con un razonamiento más global puede observarse que al ser el radio de la circunferencia pequeña la mitad del de la grande, dos semicircunferencias pequeñas (2R+2V) equivalen a un cuadrante de la grande (2R+V+A), de donde se deduce la igualdad V=A.

2. LA OBRA DE ARTE

Ion ha decidido crear una obra de arte matemática. Para ello divide un lienzo de 1 m2 en 9 cuadrados iguales y pinta el cuadrado central de rojo.

Lugo divide cada uno de los 8 cuadrados restantes en otros nueve cuadrados iguales y pinta el cuadrado central de azul.

Vuelve a dividir cada uno de los cuadrados restantes en otros 9 cuadraditos y pinta el cua-dradito central de amarillo. Continúa este proceso usando un color diferente para cada nuevo conjunto de cuadrados centrales hasta que más de la mitad de la superficie total del lienzo ha sido pintada con pintura.

¿Cuántos colores diferentes ha usado Ion y cuántos cuadrados centrales ha pintado?



AZKEN FASEKO PROBLEMAK

1. LEHIO BOROBILA

Eliza bateko fatxadako beirateak ondoko irudia bezalako lehio borobila dauka.

Zirkunferentzia txikiaren erradioa 20 cmkoa dela jakinda, urdina eta berdeen artean, zein da kolore gehien erabili dena?

Soluzioa

1. soluzioa

V= Berdea ,, A=Urdina ,, R= Gorriaren erdia

2R+V+A = Zirkunferentzi handiko koadrantea = 402 π/4 = = 400 π cm2

V/2 = (OPQ) 20 cmko erradiodun koadrantea – (OPQ)Triangelu angeluzuzen isoszelea = 202 π/4 – 202/2

→ V = 200π – 400 cm2.

R = 20 erradiodun zirkunferentzierdia – V = = 200 π – (200π – 400) = 400 cm2.

A = 400π – 2R – V = 400π – 800 – (200π – 400) = 200π –400 = V.

2. soluzioa

Arrazoinamendu orokorragoa erabiliz, ikus daiteke bi zirkunferentzierdi txikiak (2R+2V) eta handiaren koadrante bat (2R+V+A) baliokideak direla. Hortik V=A dela ondoriozta dezakegu

2. ARTE LANA

Ionek arte lan matematiko bat egitea erabaki du. Horretarako m2 bateko ohial bat 9 lauki ber-dinetan zatitu du eta erdiko laukia gorriz margotu du.

Gero gainontzeko beste 8 laukiak beste 9 laukotxo berdinetan zatitu ditu eta erdiko laukitxoa urdinez margotu du.

Berriro margotu gabe geratzen diren laukitxo guztiak beste 9 laukitxoetan zatitu ditu eta erdiko laukitxo horiz margotu du. Prozesu hori jarraitzen du kolore ezberdinak erabiliz erdiko laukitxoen multzo berri bakoitzerako, ohialaren azalaren erdia baino gehiago margotuta izan arte.

Zenbat kolore ezberdin erabili du Ionek eta zenbat erdiko laukitxo margotu ditu?

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Solución

De rojo pinta 1/9 de la superficie. Queda 8/9 sin pintar.

De azul pinta 1/9 de lo que queda (1/9)(8/9) = 8/92 . Queda sin pintar 8/9-8/92 = (8/9)2.

De Amarillo pinta 1/9 de lo que queda (1/9)(8/9)2 = 82/93. Queda sin pintar: (8/9)2-82/93 = (8/9)3.

Dejará de pintar cuando (8/9)n < 0.5 Basta comprobar que (8/9)5 = 0,555 y (8/9)6 = 0,493.

Por tanto habrá usado 6 colores y habrá pintado: 1 + 8 + 82 + 83 + 84 + 85 = 37.449 cuadrados centrales.

3. LA ESCALERA NUMÉRICA

Se disponen los números pares de la siguiente manera:

...

20 ...

12 18 ...

6 10 16 ...

2 4 8 14 ...

Como puedes ver forman una escalera numérica. En el primer escalón hay únicamente un número, en el segundo escalón dos números, etc. Si seguimos construyendo escalones.

a) ¿Qué número está en el peldaño superior del vigésimo(20º) escalón?

b) ¿ En qué escalón está el número 2.006? ¿ sabrías exactamente en qué peldaño?

Solución

a) 20*21 = 420

Escalón 1 2 3 4 5 6 20 n

Peldaño Sup 2 6 12 20 30 42 420 n(n+1)

b) 44*45 = 1.980 45*46 = 2.070.

1.980 es el peldaño superior del escalón 44 y 2.070 es el peldaño superior del escalón 45.

El 2.006 está en el escalón 45.

2.006-1.982= 24 , luego el 2.006 está en el peldaño 13º.



Soluzioa

Gorriz azalaren 1/9 margotu du. => 8/9 geratu dira margotu gabe.

Urdinez geratzen den 1/9 margotu du (1/9)(8/9) = 8/92 => 8/9-8/92 =(8/9)2 geratu da margotu gabe.

Horiz geratzen diren 1/9 margotu du (1/9)(8/9)2 = 82/93. => (8/9)2-82/93=(8/9)3 geratu da mar-gotu gabe.

Margotzeari utziko dio (8/9)n <0.5 denean. Nahiko dugu egiaztatzearekin: (8/9)5=0,555 eta (8/9)6 = 0,493.

Beraz, 6 kolore erabili zituen eta 1+8+82+83+84+85= 37.449 erdiko laukitxo margotu zituen.

3. ZENBAKIZKO ESKAILERA

Zenbaki bikoitiak ondoko era horretan kokatzen dira, zenbakizko eskailera osatuz:

...

20 ... 4.Mai

12 18 ... 3.Mai

6 10 16 ... 2.Mai

2 4 8 14 ... 1.Mai

1.Zut 2.Zut 3.Zut 4.Zut

Ikus dezakezunez, lehenengo zutabean zenbaki bakarra dago, 2a, bigarrenean bi zenbaki daude: 4 eta 6a..etab. Honela behin eta berriro egitekotan:

a) Zer zenbaki dago kokatuta 20. zutabeko goiko aldean?

b) Zein zutabetan dago kokatuta 2.006 zenbakia? Eta zein mailatan?

Soluzioa

a) 20*21 = 420

Maila 1 2 3 4 5 6 20 n

Goiko Aldeko zenbakia 2 6 12 20 30 42 420 n(n+1)

b) 44*45 = 1.980 45*46 = 2.070

44. zutabeko goiko aldeko zenbakia 1.980 da eta 45. zutabeko goiko aldeko zenbakia 2.070 da.

Beraz 2.006a 45. zutabean dago.

2.006-1.982= 24 , => 2.006 zenbakia 13.mailan kokatuta dago.

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4. LA COMPETICIÓN DE ATLETISMO

Eduardo, Mikel e Iñigo organizaron varias carreras de atletismo entre ellos, de manera que se dan un número determinado de puntos por llegar el primero (p), segundo (s) o tercero (t), siendo p>s>t>0. Al final de las carreras Eduardo tenía 20 puntos, Mikel 9 e Iñigo 10. La pri-mera prueba la ganó Iñigo.

a) ¿Cuántas carreras se disputaron?b) Determina los puntos que le correspondían al primero, al segundo y al tercer clasificado.

Solución

Como el total de puntos son 39 han sido 3 carreras y en cada una se han repartido 13 puntos.

La victoria tiene que valer menos de 9 y más de 7, luego p = 8.

Por tanto Iñigo tendrá 2 terceros puestos => t = 1.

Y s = 4.

1ª Prueba 2ª Prueba 3ª Prueba Total

Eduardo 4 8 8 20

Mikel 1 4 4 9

Iñigo 8 1 1 10



4. ATLETISMO LEHIAKETA

Eduardok Mikelek eta Iñigok beraien arteko lasterketa batzuk egin zituzten. Lehenari “p” puntu eman zitzaizkion, bigarrenari “s” puntu eta hirugarrenari “t” (p>s>t>0 izanda). Lasterketa guztiak bukatu ondoren Eduardok 20 puntu lortu zituen, Mikelek 9 eta Iñigok 10. Lehenengo lasterketa Iñigok irabazi zuen.

a) Zenbat lasterketa jokatu ziren?b) Zenbat puntu zegokien lehenengo sailkatuari, bigarrenari eta hirugarrenari?

Soluzioa

Puntu guztiak 39 direnez, 3 lasterketa izan dira eta bakoitzean 13 puntu eman dira.

Garaipenak 9 baino gutxiago eta 7 baino gehiago balio behar du, beraz p=8.

Horren ondorioz Iñigok 2 hirugarren postu lortu zituen => t=1.

Eta s = 4

1. Proba 2. Proba 3. Proba Guztira

Eduardo 4 8 8 20

Mikel 1 4 4 9

Iñigo 8 1 1 10

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RELACIÓN DE GANADORESCelebradas el 14 de Mayo de 2005 las pruebas correspondientes a la 2ª Fase (Fase Territorial) de la 3ª Olimpiada Matemática de Euskadi para alumnado de 2º de E.S.O., el tribunal cons-tituido al efecto ha decidido otorgar, por orden de puntuación, los premios a los siguientes alumnos:

1. Peñalba Arribas Ander IES Usandizaga-Peñaflorida S.S. 2. Rodas Bilbao Arkaitz Colegio Vizcaya. Zamudio 3. Errasti Urtaza Ainhoa Colegio de la Pureza de Mª. Bilbao 4. Martín Anduaga Ane IES Usandizaga-Peñaflorida S.S. 5. Apellániz Aparicio Borja IES Mendebaldea Vitoria 6. Girard Augustin Colegio Gaztelueta. Getxo 7. Barquilla Asensio Juan Jesús I.P. Jesús Obrero Vitoria 8. Landa Artola Ion IES M.Unamuno Bilbao 9. García Durán David Co. Niño Jesús de Praga S.S 10. Caloca Azalza Ander IES Loinazpe. Beasain 11. Marzana Pagazaurtundua Mikel Co Corazonistas. Vitoria 12. Borda Zabala Iñigo IES Gernika

RELACIÓN DE PREMIOS

1º Y 2º CLASIFICADOS

• Diploma.• Beca del G.V.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.• Invitación a participar en la Olimpiada Española, que se celebrará del 26 al 30 de

junio en Madrid.


• Diploma• Beca del G.V.para estudiar inglés durante 1 mes en Inglaterra.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.


• Cámara digital.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.

7º AL 12º CLASIFICADOS

• Calculadora gráfica.• Libro: Ernesto el aprendiz de matemago.

PARA EL PROFESORADO

• Libro: Locos por las matemáticas.



IRABAZLEEN ZERRENDAD.B.H.-ko 2.mailan ari diren ikasleentzako Euskadiko 3.Olinpiada Matematikoaren 2.aldiko frogak maiatzaren 14an egin ziren eta horretarako osatutako epai-mahaiak sariak ondoko ikasleei ematea erabaki du :

1. Peñalba Arribas Ander IES Usandizaga-Peñaflorida S.S. 2. Rodas Bilbao Arkaitz Colegio Vizcaya. Zamudio 3. Errasti Urtaza Ainhoa Colegio de la Pureza de Mª. Bilbao 4. Martín Anduaga Ane IES Usandizaga-Peñaflorida S.S. 5. Apellániz Aparicio Borja IES Mendebaldea Vitoria 6. Girard Augustin Colegio Gaztelueta. Getxo 7. Barquilla Asensio Juan Jesús I.P. Jesús Obrero Vitoria 8. Landa Artola Ion IES M.Unamuno Bilbao 9. García Durán David Co. Niño Jesús de Praga S.S 10. Caloca Azalza Ander IES Loinazpe. Beasain 11. Marzana Pagazaurtundua Mikel Co Corazonistas. Vitoria 12. Borda Zabala Iñigo IES Gernika

SARI-ZERRENDA

1. ETA 2. SAILKATUAK

• Diploma.• E.J.ko hilabeteko beka bana Ingalaterran ingelesa ikasteko.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.• Madrilen ekainaren 26 –30 bitartean, egingo den Olinpiada espainarrean parte har-

tzeko gonbidapena.


• Diploma.• E.J.ko hilabeteko beka bana Ingalaterran ingelesa ikasteko.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.


• Kamara digitala.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.

7.ETIK 12.ERA SAILKATUAK

• Kalkulagailu grafiko bana.• Liburua: Ernesto el aprendiz de matemago.

IRAKASLEENTZAT

• Liburua: Locos por las matemáticas.

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RELACIÓN DE CENTROS PARTICIPANTES ERANSKINA PARTE HARTU DUTEN IKASTETXEEN ZERRENDA

ÁLAVA / ARABA AMURRIO CPEIPS VIRGEN NIÑA HLBHIP ARRAZUA-UBARRUNDIA IPI IKAS BIDEA IKASTOLA IPI KANPEZU/CAMPEZO IES CAMPEZO BHI LAGUARDIA IES SAMANIEGO-LAGUARDIA BHI LLODIO CPEIPS LA MILAGROSA HLBHIP OION IES SAMANIEGO-OION BHI VITORIA-GASTEIZ CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP VITORIA-GASTEIZ IES LOS HERRAN BHI VITORIA-GASTEIZ CPEIPS HOGAR SAN JOSE HLBHIP VITORIA-GASTEIZ CPEIPS PRESENTACION DE MARIA HLBHIP VITORIA-GASTEIZ CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP VITORIA-GASTEIZ CPES JESUS OBRERO BHIP VITORIA-GASTEIZ IES SAMANIEGO BHI VITORIA-GASTEIZ IES MENDEBALDEA BHI VITORIA-GASTEIZ IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI VITORIA-GASTEIZ CPEIPS URSULINAS HLBHIP VITORIA-GASTEIZ IES KOLDO MITXELENA BHI

VITORIA-GASTEIZ CPEIPS ARMENTIA IKASTOLA HLBHIP

BIZKAIA ABADIÑO IES ABADIÑO BHI BALMASEDA IES BALMASEDA BHI BALMASEDA CPEIP ZUBI-ZAHARRA IKASTOLA HLHIP BARAKALDO CPEIPS EL REGATO HLBHIP BARAKALDO CPEIPS SAN PAULINO DE NOLA HLBHIP BILBAO CPEIPS ARTXANDAPE IKASTOLA HLBHIP BILBAO IES SAN ADRIAN BHI BILBAO CPEPS NTRA. SRA. DE BEGOÑA LBHIP BILBAO IES GABRIEL ARESTI BHI BILBAO CPEIPS ALEMAN SAN BONIFACIO HLBHIP BILBAO CPEIPS BERRIO-OTXOA HLBHIP BILBAO CPEIPS EL SALVADOR HLBHIP BILBAO IES MIGUEL DE UNAMUNO BHI BILBAO CPEIPS IBAIGANE HLBHIP BILBAO CPEIPS KIRIKIÑO IKASTOLA HLBHIP BILBAO CPEIPS PUREZA DE MARIA HLBHIP BILBAO CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP BILBAO IES IGNACIO ELLACURIA BHI BILBAO IES LUIS BRIÑAS-SANTUTXU BHI BILBAO IES ZURBARAN BHI BILBAO CPEIPS FATIMA HLBHIP DURANGO CPEIPS SAN JOSE-JESUITAK HLBHIP



GALDAKAO IES ELEXALDE BHI GERNIKA-LUMO IES GERNIKA BHI GERNIKA-LUMO CPEIPS SEBER ALTUBE IKASTOLA HLBHIP GETXO IEFPS FADURA GLHBI GÜEÑES IES GUEÑES BHI IGORRE IES ARRATIA BHI LEIOA CPEIPS ASKARTZA CLARET HLBHIP LEIOA CPEPS GAZTELUETA LBHIP LEKEITIO CPEIPS RESURRECCION M. DE AZKUE IKASTOLA HLBHIP LOIU CPEIPS AYALDE HLBHIP LOIU CPEPS MUNABE LBHIP LOIU CPEIPS LAURO IKASTOLA HLBHIP LOIU CPEIPS PADRE ANDRES URDANETA HLBHIP PORTUGALETE CPEIPS ASTI-LEKU IKASTOLA HLBHIP PORTUGALETE CPEIPS STA. MARIA HLBHIP SANTURTZI CPEIPS BIHOTZ GAZTEA IKASTOLA HLBHIP SANTURTZI IES KANTAURI-AXULAR BHI SOPELANA IES SOPELANA BHI ZALLA IES ZALLA BHI ZAMUDIO CPEIPS VIZCAYA HLBHIP

GIPUZKOA

ARETXABALETA IES KURTZEBARRI BHI BEASAIN IES LOINAZPE BHI BEASAIN CPEIPS LA SALLE-SAN JOSE HLBHIP BERGARA IES IPINTZA BHI DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS SAN ALBERTO MAGNO HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS AXULAR LIZEOA HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS EKINTZA HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES USANDIZAGA-PEÑAFLORIDA-AMARA BHI DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS ESKIBEL HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS LA ASUNCION HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NIÑO JESUS DE PRAGA HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN CPEIPS NTRA. SRA. DE ARANZAZU HLBHIP DONOSTIA-SAN SEBASTIAN IES XABIER ZUBIRI-MANTEO BHI EIBAR IES MOGEL ISASI BHI EIBAR IES ITZIO BHI ERRENTERIA CPEIPS SAGRADO CORAZON HLBHIP IRUN IES TOKI ALAI BHI IRUN IES TXINGUDI BHI IRUN IES DUMBOA BHI IRUN CPEPS ERAIN LBHIP LASARTE-ORIA IES LASARTE-USURBIL BHI LASARTE-ORIA IES LANDABERRI BHI PASAIA CPEIPS PASAIA LIZEOA HLBHIP URNIETA CPES SAN JOSE OBRERO SEMINARIO SALESIANO BHIP ZUMAIA CPEIPS MARIA ETA JOSE HLBHIP

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FOTOS DE ALUMNOS PREMIADOS SARI BANAKETAREN ARGAZKIAK

Acto de entrega de premios en el que intervinieron la Sra. Consejera de Educación Dª Anjeles Iztueta, D. Luis Chillida, D. Abel Ariznabarreta, Viceconsejero de Educación y D. Conrado Muguerza, Director de Innovación Educativa.

Sari-banaketaren ekitaldi benetan parte hartu zuten: Anjeles Iztueta Hezkuntza Sailburuak, Luis Chillida jaunak, Abel Arriznabarreta, Hezkuntza Sailburuardeak eta Conrado Muguerza, Hezkuntza Berriztalzeko Zuzendariak.

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