7/26/2019 Simetria y Esperanza

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Esperanza de variables con funcin de densidad o funcin de probabilidad puntual

simtricas respecto a x=a

Para demostrar que la esperanza de una variable aleatoria continua o discreta, con funcin dedensidad o funcin de probabilidad puntual simtrica respecto de x = 0, debe ser E(X) = 0,

podemos utilizar que:

P(X= k) = P(X=k)k RXP(X= k) = P(X= k)

en el caso discreto, y para el caso continuo que:

f(x) = f(x) xR

y por lo tanto las variables Xy Xtienen la misma funcin de probabilidad puntual , o en el casocontinuo, la misma funcin de densidad (ver Nota 1), de lo que se deduce que:

E(X) = E(X)

Usando ahora las propiedades de la esperanza se obtiene que:

E(X) =E(X)2E(X) = 0E(X) = 0

Obtuvimos as la propiedad en el caso particular que a= 0. El caso general lo po demos deducirde este, observando que: si U= X a el RUy su funcin de probabilidad (o funcin de densidadde probabilidad, segn corresponda) pasan a ser simtricos respecto de 0 (ver Nota 2), y entoncesvale para Ulo anterior y entonces

E(X) = E(U+ a) = E(U) + E(a) = 0 + a = a

Nota 1: Para justificar que la variable Y =Xtiene funcin de densidad fY=f(x) razonamosde la siguiente manera: a, b R, a < b vale P(a < Y < b) = P(a < x < b) = P(b < X < a) =Rb

af(x)dx =

Rb

af(u)du =

Ra

bf(x)dx. En la cuarta igualdad hicimos una sustitucin,

u= x. En la ltima integral reconocemos entonces que la funcin de densidad de probabilidadde Yes f(x).

Nota 2: La simetra de la funcin de densidad de Xrespecto dex = a, significa que f(ah) = f(a +h), h > 0. La funcin de densidad de U= X a es fU(x) =f(x + a), como se puede comprobar:

P(c < U < d) = P(c < X a < d) = P(c + a < X < d + a) =Ra+c

a+df(x)dx=

Rc

df(u + a)du, en la

ltima igualdad hicimos la sustitucin x = u + a. Ahora fY(x) =f(x + a) =f(x + a) =fY(x).Dejamos para el lector comprobar la propiedad para la correspondiente funcin de probabilidadcuando la variable aleatoria es discreta.

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