Sntesis del anlisis del flujo de fluidos en tuberas ramificadas. Ing. Yann Camaraza Medina1, 2, Dr. Ing. Osvaldo Fidel Garca Morales2. 1. Empresa Elctrica Matanzas Calle Contreras # 70 e/n Santa Teresa y Ayuntamiento, Matanzas, Cuba. (Telfono 41-39-94) Email: operunion@elecmtz.une.cu 2. Universidad de Matanzas Camilo Cienfuegos Carretera a Varadero, km 31/2, Matanzas, Cuba. (Telfono 261432) Email: osvaldo.garcia@umcc.cu

PROLOGO En este trabajo se exponen en forma resumida los fundamentos del anlisis del flujo de fluidos en tuberas ramificadas, hacindose especial nfasis en la aplicacin en especfico del conocido mtodo de Hardy Cross a la solucin de este tipo de problemas. Los autores no han tenido la intencin de dar una opinin autorizada sobre el tema, acerca del cual existen innumerables trabajos de alto rigor y valor cientfico, sino que han pretendido de una forma amena y sencilla introducir los conceptos bsicos de esta complejo, pero fascinante temtica para que los interesados en el tema posean una informacin bsica a partir de la cual logren comprender mejor la informacin brindada en los manuales especializados. Si se cumple este objetivo, los autores se sentirn satisfechos en ver su meta cumplida.

1. Problemas sobre lneas de tuberas. Tubos mltiples. Algunos de los problemas ms complejos del diseo de tuberas, implican el flujo de fluidos por tubos que se intersecan. Los principios aplicables a problemas de este tipo se pueden dividir en dos grupos fundamentales: 1- Tuberas cuyas lneas de corriente se separan y posteriormente se vuelven a unir 2- Tuberas cuyas lneas de flujo conducen desde regiones de presin y elevacin conocidas y se encuentran en un punto comn. Por lo general en estos tipos de problemas se desprecian las cargas de velocidad, las prdidas menores y las variaciones del factor de friccin con los valores de Re, mientras que los clculos se efectan sobre la coincidencia que existe entre las lneas de energa y el gradiente hidrulico como bien se reporta en [15], [20], [23], [24]. En la ingeniera prctica un mtodo normalizado es derivar una tubera B paralelamente a una tubera existente A, y posteriormente volver a conectarla con esta, tal como se muestra en la figura # 1.1.

De esta forma se logra aumentar la capacidad de la lnea. Se nota aqu una analoga entre el flujo de fluidos y el flujo de corriente elctrica en un circuito en paralelo, si se comparan la prdida de carga con la cada del potencial elctrico, y el movimiento del fluido con la corriente elctrica. Es evidente, a partir de lo explicado en el prrafo anterior, que la distribucin de flujos en los ramales debe ser tal, que ocurra la misma prdida de carga en cada uno de los ramales, pues si esto no fuera as habran entonces ms de una lnea de energa para el tubo corriente arriba y corriente abajo, siendo esto una imposibilidad obvia. Con la aplicacin del principio de continuidad se muestra que el caudal de flujo en la lnea principal va a ser igual a la sumatoria de los caudales de flujo en los ramales, por tanto coincidiendo la opinin de este autor a lo planteado en las referencias [1], [4], [5], [11], [12], [15], [16], se puede expresar lo antes planteado en el anlisis efectuado a la Figura # 1.1, mediante las siguientes ecuaciones simultaneas:

p1 = p 2 = p3

(1.1)

Q = Q1 + Q2 + Q3

(1.1-a)

Las prdidas de presin en el conducto se expresan en trminos del flujo a partir de la ecuacin de Darcy y la expresin volumtrica de la ecuacin de continuidad, la cual se escribe como:Q =V * A

Donde A es el rea de la seccin transversal de la tubera, en m2 determinada en conductos de seccin circular como:A=

*d24

Sustituyendo en la ecuacin de Darcy y arreglando convenientemente se obtiene: f *8*l 8 2 p = 5 d * 2 * g + * d 4 * 2 * g * Q Esta relacin se puede generalizar escribindola de la siguiente forma

(1.2)

p = K * Q 2

(1.2-a)

Donde f *8*l 8 (1.2-b) K = 5 d * 2 * g + * d 4 * 2 * g En la expresin (1.2-b) las prdidas menores ocasionadas por accesorios generalmente

son tratadas como longitudes equivalentes de tuberas, por tanto la expresin (1.2-b) se transformar entonces, siguiendo este criterio, en: 8 * f * (LTub + LEQUIV ) K = d 5 * 2 * g

(1.2-c)

En esta expresinLTub es la longitud de las tuberas integrantes del tramo dado, en m.

LEQUIV es la longitud equivalente de los accesorios, en m.La longitud equivalente de los accesorios se define como la longitud de una tubera recta y de seccin transversal constante en la cual ocurre la misma cada de presin que en el accesorio, siendo expresada en m. De acuerdo a la ecuacin (1.2-a) la relacin (1.1) se puede expresar como:2 K 1 * Q12 = K 1 * Q2 = K 1 * Q32 Q = Q1 + Q2 + Q3

(1.3) (1.3-a)

La solucin de las ecuaciones simultneas (1.3) y (1.3-a), permite la prediccin de la divisin de un rgimen de flujo Q, en los regmenes de flujo Q N de cada una de las tuberas, cuando se conocen sus caractersticas. La aplicacin de estos principios

tambin permite la prediccin del rgimen de flujo obtenible por la derivacin de una lnea de tubera Q y su incremento. Los sistemas de tuberas mltiples alcanzan su mayor nivel de complejidad en los problemas de distribucin de flujo en las redes de tuberas, tales como las del sistema de distribucin de agua en una ciudad. El espacio disponible en este informe no permite aqu una discusin exhaustiva de este tema, pero si la exposicin de un mtodo que a la opinin del autor es uno de los ms difundidos y empleados a nivel mundial, atribuido a Hardy Cross1, siendo recomendado por los autores [1], [3], [5], [7], [8], [9], [11], [12], [21], [22], [23], [24], [25], siendo este a su vez el de mayor uso en Cuba en el diseo y evaluacin de redes de distribucin hidrulicas.1.2 Prdidas menores producidas por accesorios.

Las prdidas locales tienen lugar en los cambios de seccin y direccin de la corriente, en las contracciones, ensanchamientos bruscos, curvas, codos, bifurcaciones, o por accesorios instalados en ellas, como diafragmas, llaves, vlvulas, etc. Todos ellos originan una perturbacin de la corriente que provoca la aparicin de remolinos, intensificndose de esta forma las prdidas de carga, que en algunos casos pueden ser ms importantes que las prdidas continuas, sobre todo en conducciones relativamente cortas. Se admite en la ingeniera prctica, sin que se cometa un error considerable, que si la conduccin tiene una longitud superior a mil veces el dimetro, el error que se comete despreciando las prdidas accidentales es menor que el que se cometera en el clculo del factor de prdidas por rozamiento para las prdidas continuas. Los valores de prdidas menores se determinan, como se demostr anteriormente, y coincidiendo con el criterio de los autores [1], [7], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [22], a partir del ltimo trmino de la derecha en la ecuacin de balance de energa mecnica, la cual se muestra a continuacin:i =n V P2 V22 P1 V12 V2 l * + Z 2 + i * + 1 * + Z1 = + 2 * +f* (1.4) 2g 2g 2g d 2g 1 * g 2 * g i =11

2

H Cross, Analysis of flow in networks of conduits and Conductors, Univ. Illinois Eng. Expt. Sta., Bull. 286, 1936

En el caso de que el conducto tenga varios dimetros se calcularn las prdidas locales para cada una de los tramos de tuberas teniendo en consideracin sus velocidades caractersticas, calculadas usando la ecuacin de balance de energa mecnica (1.4) y se sumarn para establecer el valor de las prdidas totales en el conducto: Vi 2* g i =1 En la ecuacin (1.4-a) pm = i * pm es la cada de presin debido los accesorios integrantes de la red, en m Los valores de los coeficientes de prdidas por accesorios dados en la literatura fueron determinados en la zona de turbulencia total, o sea, para nmeros de Re mayores que el segundo nmero de Re crit. [9], [14], [16], [20], [22]. Actualmente existen un amplio grupo de expresiones para la determinacin del valor del segundo nmero adimensional de Reynolds critico, el cual posee un importancia vital en el anlisis del flujo de fluidos por el interior de conductos cerrados, ya que para valores de Re superiores a l, en las mismas condiciones de trabajo, el valor numrico del factor de friccin dejar de depender del valor de este nmero adimensional. Aqu el autor har uso de una expresin, la cual es la de mayor difusin y uso a nivel internacional atribuida a [23], la cual se representa de la siguiente forma:Re CRIT 2 = 550 * ei =n

2

(1.4-a)

( d)

1,125

(1.5)

En el caso dado, en que el nmero adimensional de Reynolds del sistema sea inferior al Re CRIT 2 , entonces se deben corregir los valores de Segn lo recomendado por los autores

, a partir de la siguiente relacin(1.6)

f TUR En la expresin (1.6), los trminos no conocidos son:

DEF

= *

f

DEF

es el valor de la sumatoria de los coeficientes de prdidas por accesorios

equivalente en la zona de transicin, adim. f TUR es el valor del factor de friccin determinado segn el valor del segundo nmero critico de Re, adim.

f es el valor del factor de friccin determinado segn el valor del Re determinado a lavelocidad caracterstica, la de la tubera de menor dimetro, adim. Existe un criterio muy generalizado para la determinacin de las prdidas ocasionadas por accesorios, conocido en la prctica como longitud equivalente. Este coincide en

determinar que longitud de tuberas, con iguales caractersticas constructivas que el accesorio, aportara el mismo valor de cadas de presin que este ltimo. Existe una expresin matemtica que permite relacionar segn las referencias [1], [4], [5], [11], [12], [19], [20], [23], [24], [25], los coeficientes de prdidas menores con la longitud equivalente, la cual se expresa de la siguiente forma para un accesorio i dado como:(1.6-a) f Para un tramo de dimetro constante del conducto las prdidas locales se determinaran

LE i =

i * d

como:

(1.6-b) f En la ecuacin (1.6-b) LE es la longitud equivalente de tuberas, que ocasionara la

LE =

* di =1

i =n

misma perdida de presin que el conjunto de accesorios integrados al tramo analizado del conducto, en m La ventaja de este mtodo consiste en que una vez obtenidas las longitudes equivalentes, estas se suman al trmino longitud, presente en la ecuacin de Darcy determinndose de esta manera, de una forma muy sencilla, las prdidas de carga en las lneas de tuberas. Sin embargo a pesar de las facilidades proporcionadas, se sacrifica la precisin de los resultados con la aplicacin de este mtodo, por lo que en ocasiones se suele acudir a monogramas2, los cuales relacionan la longitud equivalente con distintos tipos de accesorios, sin tener en cuenta factores como el material del cual estn elaborados o el tiempo de explotacin, cosa que no ocurre con los coeficientes , los cuales son determinados por el fabricante mediante cuidadosa experimentacin.1.3 Solucin de problemas sobre tubos mltiples mediante el Mtodo de Cross.

Una red de tuberas en un sistema de distribucin de agua consiste en la agregacin de tubos conectados, los cuales se emplean con el fin de entregar agua a los usuarios en un rea especificada, como pudiera ser una ciudad, o una parte de esta. La red consiste en un conjunto de tubos de varios tamaos, orientaciones geomtricas y caractersticas hidrulicas, interconectados entre si con el fin de distribuir uniformemente el volumen de caudales, y las cadas de presiones. Estos estn constituidos adems por bombas, vlvulas, accesorios y similares.2

Vase por ejemplo la referencia [24] Pg. 182

La solucin de cualquier problema de redes, debe satisfacer los principios de continuidad y el principio de Bernoulli a travs de toda la red. El principio de continuidad establece que el rgimen neto de flujo en cualquier unin de tubos, debe ser igual a cero. En la literatura tcnica [1], [2], [3], [4], [8], [9], [10], [14], [17], [20] se acostumbra a llamar a las uniones de tubos como nodos. El principio de Bernoulli requiere que en cualquier rama solo exista una posicin de la lnea de energa, esto es, que la prdida neta de carga alrededor de cada malla de la red debe tener valor cero, aplicando estos principios a cada nodo, rama y malla de la red, se obtiene un juego de ecuaciones simultneas3. En una red de distribucin hidrulica se conoce como nodo al punto de convergencia o unin del caudal de dos o ms ramas Para una mejor comprensin de los nuevos trminos, se muestra en la Figura # 1.2 una descripcin ms detallada de una red sencilla de distribucin.

En la figura # 1.2, los nodos se indican con letras maysculas, desde la A hasta la F, los tubos individuales o ramas se representan por nmeros desde el 1 hasta el 7, y las gasas o mallas son mostradas enumeradas con nmeros romanos I y II. El mtodo de Cross se caracteriza por las siguientes notaciones a la hora de efectuar el balanceo de la red: 1- Los flujos en las ramas son positivos cuando su rotacin se efecta en sentido dextrgiro alrededor de cada circuito, o sea que estos coinciden con la saeta indicadora, segn como se indica en las mallas I y II de la Figura # 1.2, en el caso contrario sern negativos. 2- Los flujos se consideran positivos si estos entran a los nodos, y negativos en el caso de que salgan. Como se muestra en la Figura # 1.2, la malla I est integrada por los tubos 1, 2, 3 y 4, mientras que la malla II est constituida por los tubos 4, 5, 6 y 7.

3

La demostracin matemtica de este enunciado se puede encontrar en la referencia [31], Pg. 55- 56.

Aplicando lo expuesto en los prrafos anteriores en las ecuaciones (1.3) y (1.3-a), se obtienen el siguiente sistema de ecuaciones para la malla I.

Q = Qa Q + Q = 0 Q = Q + Q Q = 0 Q = Q Q + Q = 0 Q = Q + Q Q = 0 p = K * Q +K * Q + K1 2A

(1.7) (1.7-a) (1.7-b) (1.7-c)3 2 * Q32 + K 4 * Q4 = 0

1

3

F

3

4

6

E

5

4

2

B

1

2 1

2

2 2

(1.7-d)

I

Para el caso de la malla II, se obtiene un sistema de ecuaciones similar al anterior. Para determinar las ecuaciones desde la (1.7) hasta la (1.7-d), se han asumido las direcciones de las lneas de corriente del flujo en las ramas, aunque puede darse el caso que estas no sean las correctas y a la vez se suponen conocidas las caractersticas fundamentales de los sistemas integrantes de la red, dentro de las cuales se pueden mencionar: 1- Longitudes 2- Dimetros 3- Caractersticas hidrulicas de cada tubo 4- El caudal suministrado a la red 5- Caractersticas de las bombas instaladas 6- Distribucin de la red y sus elevaciones (necesarias si se van a determinar las presiones) Para aplicar el mtodo de Cross, segn los autores [1], [3], [5], [7], [12], [13], [18], [23], [24], [25], se comienza por suponer un juego de valores de gasto para cada rama Q1, Q2, etc., que satisfagan a su vez a la ecuacin de continuidad, ajustado posteriormente en forma sistemtica (mediante aproximaciones sucesivas), de forma que se mantenga satisfecha la continuidad, hasta que se obtengan resultados de prdida de carga con la precisin deseada. La ventaja principal de este mtodo consiste que en el se satisfacen automtica y continuamente todas las ecuaciones de continuidad del sistema. Vale destacar que en este mtodo solo se deben resolver las ecuaciones de prdidas de carga, y que el nmero de estas expresiones simultaneas a resolver va a ser igual al nmero de mallas existentes en la red.

Si en el proceso de iteraciones, el primer valor tomado es razonable, los Q N regmenes de flujos verdaderos en cada rama, debern diferir en solo en una pequea cantidad L , diferente de las suposiciones iniciales. Lo explicado en el prrafo anterior se puede representar matemticamente de acuerdo a lo reflejado por los autores [1], [3], [4], [10], [11], [14], [21], [22], [25], mediante la siguiente expresin: Q N +1 = Q N L En la expresin (1.8):3 QN +1 es el caudal despus de la correccin, en m

(1.8)

s

Q N es el caudal inicial asumido, en m L es el valor de la correccin, en m3

3

s

s El signo en la ecuacin (1.8) va a depender de las direcciones asumidas inicialmente

para Q N y de L . Para mantener la continuidad se aplica a cada tubo de la malla la correccin L , la cual ser positiva o negativa en funcin del sentido de desplazamiento del fluido por el interior de las ramas. Para plasmar una idea ms clara acerca del signo del coeficiente L , segn lo planteado en las referencias [3], [18], [21], [22], [24], [25], se deben tener en cuenta dos aspectos fundamentales: 1- Cuando el momento producido por el sentido asumido para el desplazamiento del fluido no es en sentido dextrgiro (hacia la derecha) entonces L es (-). 2- Cuando el momento producido por el sentido asumido para el desplazamiento del fluido es en sentido dextrgiro (hacia la derecha) entonces L es (+). Teniendo en cuenta estos dos sealamientos, y aplicando la ecuacin (1.7-d), se llega a la conclusin que, en general, una ecuacin de prdidas de carga para una malla N, toma la siguiente forma:

p = ( ) KN N

N

2 * QN = 0

(1.9)

Si se introduce la expresin (1.8) en la (1.9), entonces quedar:

p = ( ) K * (QN N N

N

L ) = 02

(1.10)

Expandiendo la expresin (1.10) por el teorema del binomio y despreciando los trminos que contienen productos de la correccin L , ya que inicialmente se supuso que este coeficiente es pequeo en comparacin con el resto de los trminos, se llega a

la expresin obtenida originalmente por Cross4, la cual segn los autores [1], [3], [5], [7], [12], [13], [18], [23], [24], [25], se formula de la siguiente manera:2 ( ) K N * Q N (1.11) L = N 2* K *Q N N N La ecuacin anterior es la empleada en este mtodo para obtener una correccin para los

valores de flujo supuestos inicialmente para cada rama en la red analizada. Debido a que en cualquier red siempre existirn tubos que son compartidos en ms de una malla, y a que se despreciaron los trminos ms pequeos en (1.10) para obtener la ecuacin(1.11). Cuando se aplica esta no se obtiene inicialmente valores de correccin que sean

capaces de corregir todos los valores de flujo a su magnitud real, sino que lo que proporciona es una mejor aproximacin a los valores reales. Por tanto como se acaba de demostrar, el proceso iterativo debe continuarse, utilizando para esto los nuevos valores de flujo obtenidos a base de la ltima correccin aplicada, hasta que todas las magnitudes L en cada malla sean lo suficientemente pequeas, como para ser despreciadas. En recientes investigaciones [17], [18], [19], [23], [24], se ha demostrado la posibilidad de una convergencia acelerada de los valores de caudales asumidos inicialmente, incluyndose adems en el proceso iterativo la influencia de las cadas de presiones y tratar a su vez al factor de friccin como otra incgnita. En la prctica en ocasiones se encuentran casos en que dentro de la red se encuentran instaladas bombas, en ese caso el proceso sufre una modificacin, ya que se requiere de una expresin que represente la curva de la carga aportada por la bomba versus la curva de capacidad. Por tanto resulta conveniente en esta situacin ajustar una curva polinmica a la curva experimental reportada por el fabricante, para obtener una expresin que sea capaz de dar una aproximacin lo suficientemente buena para insertarla en el proceso iterativo a desarrollar, tanto en forma manual como utilizando mtodos computacionales, sin que este pierda su nivel de precisin. En la literatura consultada [1], [3], [4], [5], [8], [12], [16], [21], [23], [24], se recomienda se ajuste la expresin mostrada a continuacin para obtener la curva caracterstica de carga de la bomba vs flujo:

p p 0 * 1 + a1 * Q + a 2 * Q 2 + L a N *Q N

(

)

(1.12)

4

H Cross, Analysis of flow in networks of conduits and Conductors, Univ. Illinois Eng. Expt. Sta., Bull. 286, 1936

En la expresin anterior: p es la carga aproximada de la bomba bajo las condiciones de operabilidad de la red, en m. p0 es la carga nominal de la bomba en el punto de mxima eficiencia, (dado por el fabricante), en m Para garantizar el nivel de precisin en el anlisis se tomaran cuantos coeficientesa sean necesarios, con lo cual se coincide ya que esto es una exigencia para ajustar por

regresin modelos matemticos con alta confiabilidad estadstica.

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