Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales

16. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales( Chema Madoz, VEGAP, Madrid 2009)

2Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden Forma normal:

Supondremos que los coeficientes aij(t) y las funciones fi(t) son continuas en un intervalo I. Si todas las f's son cero diremos que el sistema lineal es homogneo.3Forma matricial

El sistema homogneoasociado ser:4

5Un vector solucin en un intervalo I es cualquier vector columna

cuyos elementos son funciones diferenciables que satisfacen el sistema de EDOs en el intervalo I.DEFINICINVector solucin

6Comprueba que en (, )

son soluciones de:

SolucinDe

tenemos

7Problemas de valor inicial (PVI)Sea

Resolver:sujeto a : X(t0) = X0

es un PVI.

8Sean las componentes de A(t) y F(t) funciones continuas en un intervalo comn I que contiene a t0. Entonces podemos asegura que existe una solucin nica de nuestro sistema en I.TEOREMAExistencia de una solucin nicaSean X1, X2,, Xk un conjunto de soluciones de un sistema homogneo en I, entonces:X = c1X1 + c2X2 + + ckXkes tambin una solucin en I.TEOREMA Principio de superposicin9Verifica que:

son soluciones de

y que entonces:

tambin es una solucin.

10Sea X1, X2, , Xk un conjunto de vectores solucin de un sistema homogneo en un intervalo I. Se dice que el conjunto es linealmente dependiente en el intervalo si existen constantes c1, c2, , ck, no todas nulas, tales quec1X1 + c2X2 + + ckXk = 0para todo t en el intervalo. Si el conjunto de vectores no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.DEFINICINDependencia e independencia lineal11Sean

n vectores solucin de un sistema homogneo en el intervalo I. Entonces el conjunto de vectores solucin es linealmente independiente en I si y slo si, para todo t en el intervalo, el wronskiano:TEOREMA Criterio para soluciones linealmente independientes

12Hemos visto que

son soluciones de

Como X1 y X2 son soluciones linealmente independientes para todo t real.

Nota : De hecho, se puede demostrar que si W es diferente de 0 en t0 para un conjunto de soluciones en I, entonces lo es para todo t en I.13Cualquier conjunto X1, X2, , Xn de n vectores solucin linealmente independientes de un sistema homogneo en un intervalo I, se dice que son un conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.DEFINICIN Conjunto fundamental de solucionesSiempre existe un conjunto fundamental de soluciones para un sistema homogneo en un intervalo I.TEOREMAExistencia de un conjunto fundamentalSea X1, X2, , Xn un conjunto fundamental de soluciones de un sistema homogneo en un intervalo I. Entonces la solucin general del sistema en el intervalo es X = c1X1 + c2X2 + + cnXn

donde las ci, i = 1, 2,, n son constantes arbitrarias. TEOREMA Solucin general de sistemas homogneos14Hemos visto que

son soluciones linealmente independientes de

en (, ). De ah que forman un conjunto fundamental de soluciones. Y entonces la solucin general es:

15

Considera los vectores solucin de :

Demuestra que son linealmente independientes y escribe una solucin general:

16Sea Xp una solucin dada de un sistema no homogneo en el intervalo I, y sea Xc = c1X1 + c2X2 + + cnXnsolucin general en el mismo intervalo del sistema homogneo asociado. Entonces la solucin general delsistema no homogneo en el intervalo es: X = Xc + Xp. La solucin general Xc del sistema homogneo se llamafuncin complementaria del sistema no homogneo.TEOREMA Solucin general de sistemas no homogneos17El vector es una solucin particular de

en (, ). Vimos que la solucin dees:

As la solucin general del sistema no homogneo en (, ) es:

18Sistemas lineales homogneosPodemos hallar siempre, para un sistema lineal homogneo de primer orden,una solucin de la forma:

?

19Valores propios (autovalores) y vectores propios (autovectores)Si es as, entonces, como X = Ket, sustituyendo en el sistema de EDOs: X = AX Ket = AKet . De donde: AK = K. Es decir: (A I)K = 0O equivalentemente:

Y recordemos que si existe una solucin no trivial X, debe cumplirse entonces que:det(A I) = 0

20Sean 1, 2,, n n valores propios reales y distintos de la matriz de coeficientes A de un sistema homogneo, y sean K1, K2,, Kn los autovectores correspondientes. La solucin general del sistema es entonces:

TEOREMASolucin general para sistemas homogneos

Autovalores reales y distintos21

Resolver

1 = 1, 2 = 4. Para 1 = 1, tenemos 3k1 + 3k2 = 02k1 + 2k2 = 0As k1 = k2. Cuando k2 = 1, entonces

Para 1 = 4, tenemos 2k1 + 3k2 = 0 2k1 2k2 = 0As k1 = 3k2/2. Cuando k2 = 2, entonces

22Resolver

k1 = k3, k2 = 0. Con k3 = 1:

232 = 4

k1 = 10k3, k2 = k3. Con k3 = 1:

3 = 5

24Resolver:

( + 1)2( 5) = 0, entonces 1 = 2 = 1, 3 = 5.

Para 1 = 1,

k1 k2 + k3 = 0 o k1 = k2 k3.

Escogiendo k2 = 1, k3 = 0 y k2 = 1, k3 = 1, tenemos: k1 = 1 y k1 = 0, respectivamente.

Autovalores repetidos(multiplicidad m = 2)25Para 3 = 5,

k1 = k3 y k2 = k3. Eligiendo k3 = 1, se tiene k1 = 1, k2 = 1, as:

Observa que en este ejemplo la matriz A es simtrica y real, entonces se puede demostrar que siempre es posible encontrar n autovectores linealmente independientes. 26Segunda solucin Supongamos que 1 es de multiplicidad 2 y que solo hay un autovector relacionado con este autovalor. Una segunda solucin se puede construir de la formaSustituyendo la solucin en X = AX:

27

Resolverdet (A I) = 0 ( + 3)2=0, = 3, 3.Solo obtenemos un autovector:Para obtener la segunda solucin, definamos:(A + 3 I) P = K

Tenemos que p2 = 1/3 p1. Si elegimos p1 = 1, entonces p2 = 1/3.

28Si elegimos p1 = , entonces p2 = 0y la solucin es ms "simple":

Podemos escribir la solucin general como:29Autovalores de multiplicidad 3

Donde K, P y Q estn definidaspor: Ejercicio: Demostrarlo.Si de nuevo disponemos solamente de un autovector, hallamos la segunda solucin como antes, y la tercera de la siguiente manera:30SolucinResolviendo (A 2I)K = 0, tenemos un nico vector propio

Resolver(1 2)3 = 01 = 2 (multiplicidad 3).A continuacin resolvemos:

(A 2I) P = K (A 2I) Q = P

31Autovalor de multiplicidad mSi slo disponemos de un autovector para un autovalor de multiplicidad m, siempre podemos encontrar m soluciones linealmente independientes de la forma:

Donde los K's son vectores columnas que podemos determinar generalizando el mtodo expuesto.32Sea A la matriz de coeficientes con elementos reales de un sistema homogneo, y sea K1 un autovector correspondiente al autovalor complejo1 = + i . Entonces y son soluciones. TEOREMASoluciones correspondientes a un autovalor complejo

Autovalores complejos33Sea 1 = + i un valor propio complejo de la matriz de coeficientes A de un sistema homogneo,y sean B1= Re(K1) y B2 = Im(K1). Entonces podemos escribir la solucin como:

soluciones linealmente independientes en (-,).(Demustralo).TEOREMA Soluciones reales asociadas a un autovalor complejo

Nota: Si queremos escribir las soluciones en trminos de funciones reales, basta con emplear:34Para 1 = 2i, (2 2i)k1 + 8k2 = 0 k1 + (2 2i)k2 = 0 obtenemos k1 = (2 + 2i)k2.Elegimos k2 = 1

Resolver

35Resolucin por diagonalizacinSi A es diagonalizable, entonces existe P, tal que D = P-1AP es diagonal. Si realizamos el cambio matricial X = PY, el sistema de ecuaciones X = AX se transforma en PY = APY. Y multiplicando por la izquierda por P-1, tenemos: Y = P-1APY, es decir: Y = DY, cuya solucin es directa e igual a:

Deshaciendo el cambio, X = PY , encontramos la solucin buscada.36SolucinDe det (A I) = ( + 2)( 1)( 5), obtenemos 1 = 2, 2 = 1 y 3 = 5. Puesto que son autovalores reales y distintos, los vectores propios son linealmente independientes. Para i = 1, 2, 3, resolvemos (A iI)K = 0, y tenemos

Resolver:37Como Y = DY, entonces:

38Sistemas lineales no homogneos(Resolucin por coeficientes indeterminados)Resolver

Solucin Primero resolvemos el sistema homogneo asociado: X = AX,

= i, i,

3839Puesto que F(t) es un vector columna constante, podemos suponer una solucin particular de la forma:

Y la solucin final ser: X = Xc + Xp 40Solucin Resolvemos primero: X = AX. 1 = 2, 2 = 7:

Resolver

Intentamos como solucin particular:

41La solucin general del sistema en (, ) es X = Xc + Xp

42Determina la forma de Xp para:dx/dt =5x + 3y 2e-t + 1 dy/dt =x + y + e-t 5t + 7

Solucin Como

Entonces un posible candidato es:Resuelve el sistema.43Matriz fundamentalSi X1, X2,, Xn es un conjunto fundamental de soluciones de X = AX en I, su solucin general es la combinacin lineal: X = c1X1 + c2X2 ++ cnXn,que tambin podemos escribir como:

44Que matricialmente podemos escribir como X = (t)C donde C es el n 1 vector de constantes arbitrarias c1, c2,, cn, y

se llama matriz fundamental del sistema.

Dos propiedades de (t), fciles de demostrar y que usaremos a continuacin:(i) Es regular (matriz no singular).(ii) (t) = A(t)45Variacin de parmetrosHallaremos una solucin particular suponiendo:

tal que Xp = (t)U(t)

(t) = A(t)

46Como Xp = (t)U(t), entonces

Y finalmente, X = Xc + Xp

47SolucinPrimero resolvemos el sistema homogneo

La ecuacin caracterstica de la matriz de coeficientes es

Determinar la solucin general de

en (, ).48 = 2, 5, y los vectores propios son

As, las soluciones son:

49

50

51Matriz exponencialPara cualquier matriz A de n n, podemos definir

DEFINICINMatriz Exponencial

Podemos usar las matrices para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales de una manera totalmente distinta.Observemos que x' = ax tiene como solucin general x = ceat. Podemos definir una funcin exponencial matricial, de modoque eAtC sea solucin de X' = AX.52Derivada de eAt

Y efectivamente, eAt es una solucin de X = AX:

53Clculo de eAt : Potencias Am donde los coeficientes cj son los mismos para cada sumatorio y la ltima expresin es vlida para los valores propios 1, 2, , n de A. Poniendo = 1, 2, n en la segunda expresin, obtenemos los cj ; que sustituidos en la primera expresin nos proporcionan las potencias de A para computar:

Recuerda que vimos que podamos calcular las potencias de una matriz A, gracias a:54

55Solucin

Calcular eAt, donde

eAt = b0I + b1A1= 1 y 2 = 2 b0 = (1/3)[e2t + 2e t], b1 = (1/3)[e2t et].