Resumen— En el siguiente informe se describe la obtención de las ecuaciones dinámicas, de un sistema dinámico masa-resorte-amortiguador. Para poder visualizar el comportamiento de estos sistemas y posteriormente analizarlos se utilizara la herramienta Matlab y Labview para simularlo. Abstract- The following report Abstract- obtaining the dynamic equations, of a mass-spring-damper dynamic system is described. In order to visualize the behavior of these systems and then analyze the Matlab and Labview was used to simulate tool.

Índice de Términos— Modelo dinámico, simulación, Labview.

I.OBJETIVOSEste trabajo, demuestra lo aprendido en la clase teórica, sobre modelados de sistemas mecánicos, desde su modelado matemático hasta el dinámico, y por supuesto dando lugar al entendimiento de los sistemas dinámicos.

II. INTRODUCCIÓN

El proceso de modelado analítico se divide en tres grandes etapas. La primera de ellas consiste en la delimitación del modelo en función de los fenómenos que resultan relevantes de acuerdo al problema que se quiere resolver. Esta es una etapa que no puede sistematizarse fácilmente y que requiere por ende de una cierta dosis de intuición y por sobre todo de una vasta experiencia en relación con el sistema a modelar.

Una vez delimitados los fenómenos que se consideraron relevantes para la construcción del modelo, se pasa a la siguiente etapa en la que se deben formalizar las relaciones constitutivas y estructurales asociadas respectivamente a los fenómenos considerados y a la forma en que estos se disponen dentro del sistema. En los sistemas físicos, estas relaciones constitutivas y estructurales encuentran su expresión formal (matemática) en las leyes fundamentales de los dominios de la física asociados a los fenómenos mencionados. (Romano)

Por este motivo, el modelado analítico de un sistema físico no es posible sin un conocimiento de las leyes físicas elementales asociadas a los fenómenos en cuestión.

III. MARCO TEORICODentro de la metodología del modelado de los sistemas dinámicos se pueden comprender los siguientes aspectos:

- Análisis experimental.: La Ciencia y sus métodos proveen respuestas a los interrogantes humanos sobre sistemas y sus propiedades. Los métodos científicos se basan en la experimentación, que consiste en la realización de ensayos sobre el sistema, en la observación de las reacciones del mismo, y en la obtención de leyes de su comportamiento, expresadas por lo general mediante el lenguaje matemático.

El método experimental no siempre es viable ya que en algunos casos existen factores que limitan o impiden su aplicación. Por ejemplo: Costos, Riesgos, experimento irrealizable (por inexistencia del sistema o incapacidad humana de experimentar). (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

Cuando no se puede experimentar sobre los sistemas se recurre a su modelado. Modelos: Un modelo de un sistema es básicamente una herramienta que permite responder interrogantes sobre este último sin tener que recurrir a la experimentación sobre el mismo. Es una representación siempre simplificada de la realidad (si el sistema físico existe) o es un prototipo conceptual (proyecto del sist. Físico).

- Modelos matemáticos: Son expresiones matemáticas que describen las relaciones existentes entre las magnitudes caracterizantes del sistema. Pueden ser sistemas de ecuaciones, inecuaciones, expresiones lógico-matemático.

Todas estas formas vinculan variables matemáticas representativas de las señales (señal: representación de una información a través de valores de una magnitud física) en el sistema, obtenidas a partir de las relaciones entre las correspondientes magnitudes físicas. Pueden ser: Tiempo continuo o Tiempo discreto. (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

MODELADO Y SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DINAMICO MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR

Trujillo M. Wilmer Sediel, Hoyos V, Javier AlbertoUniversidad Del Quindío

- Estáticos o Dinámicos (el vínculo entre variables depende también de los valores pasados de las mismas, no solo de los actuales). Determinísticos o Estocásticos (expresa las relaciones con incertidumbre entre las variables mediante conceptos probabilísticas usando variables aleatorias).

- Parámetros distribuidos o Parámetros concentrados (reemplaza la dependencia espacial de las variables por su promedio en la región del espacio donde están definidas). Paramétricos o No paramétricos (no pueden caracterizarse por un número finito de parámetros).

- Lineales o No lineales (no vale el principio de superposición).

- Estacionarios (toda acción sobre el sistema produce el mismo efecto independiente del momento en que comienza a ejercerse, si en ese momento el sistema se encuentra en las mismas condiciones) o Inestacionarios. (http://www.fceia.unr.edu.ar, 2014)

- Método de Runge-Kutta: son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. [1]

Sea

Una ecuación diferencial ordinaria, con

Donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea [1]

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general: [1]

,

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo

mismo, el incremento entre los sucesivos

puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local [1]

Con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la

diagonal principal iguales a cero; es decir,

para , los esquemas son explícitos. (Wikipedia, 2014)

IV. SOLUCIÓN MATEMÁTICA SISTEMA MASA–RESORTE–AMORTIGUADOR

A continuación estudiaremos la dinámica de un sistema compuesto por una Masa, que se desplaza sobre una mesa lisa (i.e., sin roce) y la cual esta´ unida a una pared, por medio de un resorte y un amortiguador como se ilustra en la figura. El resorte tiene constante elástica k y largo natural ℓ0, en tanto que el amortiguador tiene coeficiente de roce viscoso c. Llamemos x a la posición de la masa M medida desde la pared. Sobre la masa actúan solo dos fuerzas en la dirección horizontal: la fuerza que ejerce el resorte y la fuerza del amortiguador. Para pequeños desplazamientos con respecto a su largo natural, la fuerza que ejerce el resorte sobre la masa esta´ dada por (FIS, 2014)

Fres = −k(x − ℓ0),(1)

en tanto que la fuerza que ejerce el amortiguador está

dada por

Fam = −cx.˙ (2)

Así, la ecuación de Newton para la masa M está dada por

Mx¨ = −k(x − ℓ0) − cx.˙ (3)En lo que sigue estudiaremos las oscilaciones de este sistema con respecto al equilibrio estático. Para ello, primero determinamos la posición de equilibrio estático, caracterizada por las condiciones ˙x = 0 (i.e., el sistema esta´ en reposo) y Ftot = 0, i.e., −k(x − ℓ0) − cx˙ = 0. Imponiendo estas dos condiciones, encontramos de inmediato que la posición de equilibrio esta´ dada por

xeq = ℓ0. (4)

Nuestro interés es determinar las pequeñas oscilaciones de la masa M con respecto a la posición de equilibrio, para lo cual

2

es conveniente hacer un cambio de variables. Así, introducimos s ≡ x − xeq = x − ℓ0. De aquí obtenemos de inmediato que ˙x = s˙ y ¨x = s¨. Reemplazando estas ecuaciones en (3) obtenemos la siguiente ecuación para la variable s (t),

Ms¨+ cs˙ + k s = 0. (5)

Esta ecuación para s es una ecuación diferencial lineal de segundo orden para s (t).

Con el objeto de determinar la evolución del sistema, no solo necesitamos la ecuación (5), sino que además debemos conocer el estado inicial del sistema, i.e., la posición y la velocidad inicial de la masa M, tal como hemos enfatizado en capítulos anteriores. En resumen, queremos determinar el comportamiento de la solución s (t) de (5) dados los valores iniciales para s (0) y ˙s(0). Para ello, usaremos la siguiente estrategia, que fue establecida por Leonardo Euler (1706–1783) (ver, e.g., [1]). Recordemos que la función exponencial et juega un papel fundamental en calculo, debido a que al derivarla queda igual, i.e., det/dt = et. Usando la regla de la cadena, vemos así mismo que dept/dt = pet y d2ept/dt2 = p2et (si p es una constante). Siguiendo a Euler entonces, intentamos una solución de la formaS (t) = ept (6)Para la ecuación (5). Usando las propiedades de la función exponencial que acabamos de describir, vemos que (6) es solución de (5) siempre que tengamos

(Mp2 + cp + k)ept = 0 (7)

Para todo t. Como ept > 0, la condición anterior implica que p debe ser una solución de la ecuación de segundo gradoMp2 + cp + k = 0,

cuyas soluciones están dadas por (FIS, 2014)

(8)

. (9)

El tipo de soluciones de la ecuación (8) depende de los valores relativos de los parámetros del sistema, M, k y c. Vamos a distinguir cuatro casos, los cuales analizaremos separadamente más adelante:

i) c2/(4Mk) > 1: en este caso (8) tiene dos soluciones reales negativas distintas, p1 < p2 < 0.

ii) c2/(4Mk) = 1: en este caso (8) tiene una solución real negativa (repetida), i.e., p1 = p2 < 0.

iii) c2/(4Mk) < 1: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas. Ambas tienen parte real negativa −c/(2M).

iv) c = 0: en este caso (8) tiene dos solucione imaginarias conjugadas, i.e.,

p1, 2 = ±ipk/M.

Salvo en el caso iii), existen pues dos soluciones distintas p1 y p2 de (8). De este modo, usando la estrategia de Euler, hemos obtenido dos soluciones

s1 (t) = ep1t,

De la ecuación diferencial (5). Como la ecuación (5) es lineal, uno puede comprobar de inmediato que cualquier combinación lineal de s1 (t) y s2 (t) también es solución. De hecho, si las raíces p1 y p2 son distintas, se puede demostrar que cualquier solución (i.e., la solución general) de (5) se puede escribir como

S (t) = αs1 (t) + βs2 (t) = αep1t + βep2t, (10)

En que α y β son constantes (en general complejos). Usando (10) podemos determinar entonces la solución de nuestro problema original, encontrando valores apropiados de α y β de modo que (10) satisfaga las condiciones iniciales. Evaluando (10) en t = 0, obtenemos, (FIS, 2014)

α + β = s (0). (11)

Por otra parte, derivando (10) con respecto a t y luego evaluando en t = 0, obtenemos,

pα 1 + pβ 2 = s˙ (0). (12)Finalmente, podemos resolver el sistema de dos ecuaciones, (11) y (12) para α y β. Entonces, si p1 =6 p2 encontramos,

, (13)Y

, (14)Respectivamente. Reemplazando estos valores obtenidos para α y β en términos del estado inicial del sistema en (10), podemos finalmente escribir la solución de nuestro problema (siempre que p1 =6 p2), como

. (15)Usando la regla de L’Hopital, podemos incluso obtener la solución de nuestro problema en el caso p1 = p2. Este caso lo podemos obtener tomando el limp2→p1 s (t) en la ecuación anterior. Con un poco de cuidado, obtenemos de inmediato,S (t) = s (0) (1 − pt)ept + s˙ (0)tept, (16)

Para el caso en que p1 = p2 ≡ p = −c/ (2M).

3

Una vez que hemos encontrado la solución s (t) al problema de valores iniciales para el sistema masa–resorte–amortiguador, es conveniente ahora discutir el comportamiento de dicha solución para distintos valores de los parámetros (i.e., para los cuatro casos introducidos anteriormente). Lo que determina el distinto comportamiento de la solución en estos cuatro casos es el valor de la expresión (FIS, 2014)

.

El parámetro r mide la magnitud relativa del amortiguador comparada con la magnitud del resorte. Nótese que r es un parámetro adimensional. Si r > 1, el efecto del amortiguador es más importante que el del resorte. En este caso s (t) muere exponencialmente sin oscilar. Por razones obvias este caso se conoce como Sobre amortiguado. Por otra parte, si r < 1 el resorte es más importante que el amortiguador, la solución s (t) muere exponencialmente, pero oscila. Este caso, se conoce como subamortiguado. El caso límite entre ambas situaciones, r = 1 se conoce como amortiguamiento crítico. Finalmente, el caso r = c = 0 corresponde al caso en que no hay amortiguación y se denomina como el caso oscilatorio.

i) c2/ (4Mk) > 1 sobre amortiguamiento: como hemos dicho anteriormente, p1 < p2 < 0 son reales, negativas. Si llamamos

,

Tenemos que p1, 2 = −c/(2M)±Λ, de modo que p1−p2 = 2Λ. Reemplazando los valores de p1 y p2 en (16), y usando las expresiones habituales para las funciones hiperbólicas, i.e., cosh(x) = (ex + e−x)/2 y senh(x) = (ex − e−x)/2, podemos escribir la solución s (t) en este caso como

Senh (Λ

senh (Λ

Esta solución tiene a lo más un cero, dependiendo de las condiciones iniciales, y decae exponencialmente, cuando t →∞. De hecho, como p2 es la raíz de menor modulo, s (t) va a cero como Aep

2t en que A es una constante que depende de

Las condiciones iniciales (FIS, 2014)

ii) c2/(4Mk) = 1 amortiguamiento crítico: en este caso (8) tiene una solución real negativa (repetida), i.e., p1 = p2 = −c/(2M) < 0, y de (16) tenemos,

.

iii) c2/ (4Mk) < 1 subamortiguamiento: en este caso (8) tiene un par de soluciones complejas conjugadas. Ambas tienen parte real negativa −c/ (2M). Si llamamos ahora

,

Entonces podemos escribir el par de raíces complejas conjugadas como p1, 2 =

−c/ (2M) ± iΩ (en que como es habitual, i ≡√−1). Usando la

fórmula de− Euler, i.e., eix = cosx + isenx, de modo que cosx =

(eix + e ix)/2 y senx = (eix −e−ix)/(2i), respectivamente, usando

(16) podemos escribir en este caso la solución como,

Senh (Ω

senh (Ω

iv) c = 0 caso oscilatorio: en este caso (8) tiene dos soluciones imaginarias

Conjugadas, i.e., p1, 2 = ±ipk/M. Llamando Ω = pk/M, la

solución, en este caso está dada por,

Sen (Ωt).

En las figuras que siguen, ilustramos la solución s (t), dado el estado inicial, s (0) = 0, ˙s (0) = 0.1, para parámetros

k = 9/4, M = 1 fijos y distintos valores de c.

Finalmente obtenemos las soluciones para cada caso, consecutivamente:

1. (1.1) Respuesta Críticamente Amortiguada

2.

(1.2) Respuesta Sobre amortiguada

3. (1,3)

Respuesta Sub amortiguada.

4

El primer gráfico (fig.1). Corresponde a

c = 4 (i.e., r = 1.777...) (i.e., caso sobre amortiguado):

Fig. 1 tomado de (FIS, 2014)

T

Fig. 2. tomado de (FIS, 2014)

El segundo gráfico (Fig.2). Corresponde a c = 3 (i.e., r = 1) (i.e., amortiguamiento crítico):

El tercer gráfico (Fig. 3). Corresponde a c = 0.3 (i.e., r = 0.01) (i.e., caso subamortiguado):

Fig. 3. tomado de (FIS, 2014)

Finalmente el cuarto gráfico (Fig.4). Corresponde a c = 0 (i.e., r = 0) (i.e., caso oscilatorio):

Fig. 4 tomado de (FIS, 2014)

V. SIMULACIÓN

En este documento están anexos los códigos en Matlab y simulación en Labview.

VI. DISCUSIÓN DE RESULTADOS.

En la solución matemática se obtienen todas las variables y resultados deseados, de acuerdo al caso del sistema que se desea modelar, es decir, se obtienen los valores teóricos, e ideales del modelado del sistema. (Ver fig. 1 a 4).

0.0

15

0.005

10

0.015

5 20

0.02

0.01

0

0.015

5 100

0.005

0.0

t

2015

0.01

5

Fig. 6. Se pueden observar los 3 tipos de respuestas de una EDO de 2 órden.

Mediante la función Dsolve se pueden observar, de acuerdo a las condiciones iniciales establecidas para cada problema, de acuerdo al cálculo aproximado, que su solución es precisa, mostrada en la simulación del problema dado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6Funcion ode45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6Funcion dsolve

Fig. 7. Comparación de la función ODE45 y Dsolve.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Fig. 7.1 a. Respuesta críticamente amortiguada, simulada en Matlab.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

Fig. 7.1 b. Respuesta Sobre Amortiguada graficada con Matlab.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5dsolve

Fig. 7.1 c. Respuesta Sub Amortiguada graficada con Matlab

6

Se puede observar que con la función ODE45, la tolerancia de error es mínima con respecto a la dsolve, aunque como se mencionó en la gráfica de la fig. 6, para este tipo de ecuaciones diferenciales, aunque sea más alta la tolerancia de error es aceptable, pues sus resultados aunque difieren se ajustan a la solución que se requiere.

La siguiente simulación se realiza con Labview, aplicando un método numérico llamado Ronge-Kutta, ya mencionado en el marco teórico.

Fig. 8 . Método ronge-kutta

Fig. 9. Simulacion con Labview.

Fig. 10. Respuesta Sobre amortiguada.

Fig. 11. Respuesta criticamente amortiguada.

Fig. 12. Respuesta sub amortiguada.

7

VII. CONCLUSIONES

Este tipo de experiencias nos permiten una mayor comprensión del fenómeno que estuvimos estudiando, al igual que, en nuestra opinión, proporcionan una poderosa herramienta al docente que permite integrar y evaluar gran cantidad de conceptos, y definiciones en un solo experimento con un conjunto de componentes y conocimientos adquiridos durante nuestro estudio básico de electrónica.

El modelado que se obtuvo del sistema mecánico de traslación, masa-resorte-amortiguador, es un modelo que se simplifica para el caso lineal, invariante y con parámetros concentrados y limitado al movimiento en un solo plano, pero es un modelo que muestra el comportamiento de un sistema real, que se acerca en la manera más precisa, al mismo .

Con la simulación que es un factor de gran importancia, ya que, permite verificar la validez del modelo y evaluar el comportamiento del sistema, pudimos comprender este tipo de sistema, a partir de la forma gráfica de las respuestas.

Los simuladores como Matlab y Labview, de los cuales se hicieron uso durante la clase teórica, nos permite implementar la solución numérica de cálculos que pueden llegar a ser de alta dificultad para resolverse en forma analítica.

VIII. BIBLIOGRAFÍA

(Wikipedia, 2014)

FIS. (21 de 08 de 2014). FIS. Obtenido de http://www.fis.puc.cl/~rbenguri/SystemMassSpringShock.pdf

http://www.fceia.unr.edu.ar. (21 de 08 de 2014). Fceia. Obtenido de http://www.fceia.unr.edu.ar/fceia1/mecanica/Automotores/MODELADO%20DE%20SISTEMAS%20DINAMICOS.pdf

Mora, I. D. (21 de 08 de 2014). Compelect. Obtenido de http://www.compelect.com.co/wp-content/uploads/downloads/2012/06/060612_presentacionDiaMatlab_SistemaMecanicoTraslacion_IvanMora_UPB-Modo-de-compatibilidad.pdf

Romano, C. S. (s.f.). MODELADO Y SIMULACION DE UN SISTEMA DINAMICO MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR.

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