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son sistemas de control digital
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Sistemas de Control II
IntroduccinEn esta sesin conoceremos las herramientas matemticas utilizadas en el control digital.Analizaremos las seales discretas en el tiempo.Relacionaremos las trasformadas de Laplace con la transformada ZEstudiaremos los modelos de Variables de Estado.Modelado Discreto1IntroduccinModelado Discreto2Dominio del tiempo ContinuoDominio del tiempo DiscretoTransformada de LaplaceDominio de la Frecuencia (Plano S)Dominio de la frecuencia (Plano Z)Transformada ZIntroduccinRepresentacin InternaVariables de Estado
Representacin ExternaFuncin de TransferenciaModelado Discreto3Seales Discretas en el TiempoLas seales discretas pueden ser discretizadas en amplitud y/o en tiempo Modelado Discreto4tt
t
Una seal muestreada a travs de la apertura y cierre de un switch, cada tiempo con una duracin de h genera un tren de pulsos Si el tren de pulso puede ser representada por la seal discreta en el tiempo
Una seal discreta en el tiempo de amplitud modulada obtenida del muestreo de una seal continua con periodo de muestreo se define como:Modelado Discreto5
Funciones Discretas en el TiempoEjemplosModelado Discreto6
La cual es una ecuacin de diferencias de primer ordenOtra forma de obtener una seal discreta es aproximando los trenes de impulso mediante un tren de impulsosDonde un impulso se define como
Si la duracin de los pulsos es mucho menor que el tiempo de muestreo Modelado Discreto7
Modelado Discreto8Si se tiene un retenedor de orden cero despus del muestreador se obtendra una seal tipo escalera. Cuya funcin de transferencia es
Una ecuacin de diferencias de orden m se define como:
La cual puede ser calculada recursivamente
Si se conocen la entrada actual y m entradas anteriores y m salidas anteriores.Modelado Discreto9
Ecuaciones de DiferenciasModelado Discreto10
Se puede obtener una ecuacin de diferencia a partir de una ecuacin diferencialModelado Discreto11
Transformada ZSea el tren de impulsos la aproximacin de la entrada a un sistema
Y la respuesta al impulso unitario g(t), La sumatoria de convolucin
Si la entrada y la salida son muestreadas sincronamente se tiene que
Modelado Discreto12
La transformada de Laplace de un tren de impulso viene dado porSustituyendo q=n-k
Modelado Discreto13
La funcin de transferencia pulso se define comoY la funcin de transferencia Z como
En caso que se use un retenedor de orden cero
Modelado Discreto14
Del mismo modo que se obtiene una funcin de transferencia de una ecuacin diferencial en el tiempo continuo, se puede obtener una funcin de transferencia Z de una ecuacin de diferenciaAplicando la transformada de Laplace
Modelado Discreto15
Para una ecuacin de diferenciaAplicando el teorema de corrimiento a la derecha
Variables de EstadoModelado Discreto16Estado: El estado de un sistema dinmico es el conjunto ms pequeo de variables (denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento de estas variables en t = to, junto con el conocimiento de la entrada para t 2 ta, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t 2 to.
Variables de estado. Las variables de estado de un sistema dinmico son las que forman el conjunto ms pequeo de variables que determinan el estado del sistema dinmico.
Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas II variables de estado se consideran los ~t componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera nica el estado del sistema x(t) para cualquier tiempot 2 fo, una vez que se obtiene el estado en t = to y se especifica la entrada u(t) para t 2 to.Variables de EstadoModelado Discreto17Espacio de estados. El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas estn formados por el eje XI, el eje ~2,. . . , el eje x,, se denomina espacio de estados. Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el espacio de estados
Ecuaciones en el espacio de estados. En el anlisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables involucrados en el modelado de sistemas dinmicos: variables de entrada, variables de salida y variables de estado.Modelado con variables de EstadoModelado Discreto18Sistemas Continuos
Se definen las siguientes variablesLa ecuacin diferencial queda
Modelado Discreto19
Forma diagonalModelado Discreto20 1
Forma diagonalModelado Discreto21
Y(s) = X1(s) + X2(s) + ... + Xn(s)
Xi(s) (S+Pi) = A1U(s)SXi(s) = - PiXi(s) + AiU(s)
Aplicando Transformada inversaForma diagonalModelado Discreto22
Sistema con excitacin No simpleModelado Discreto23
ObservabilidadModelado Discreto24
Para el sistema LTI suministrado por un modelo de salidaObservabilidadModelado Discreto25
La matriz de observabilidadtiene rango completo por columna, o en otras palabras tiene n columna linealmente independientes.ControlabilidadModelado Discreto26
ControlabilidadModelado Discreto27
La matriz de controlabilidad es de rango completoModelado Discreto28
Sistemas Discretos
Se definen las siguientes variablesModelado Discreto29
Modelado Discreto30Relacin entre el modelo continuo y el discreto
Sea el modelo continuoLa solucin a esta ecuacin viene dado por
Para un sistema muestreado con un retenedor de orden cero la entrada queda como
La ecuacin de estado para el estado inicial queda
Modelado Discreto31
Se establece la siguiente relacin
Modelado Discreto32