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SISTEMAS DE ECUACIONES
PΓ‘gina 1 de 16 C2ACADEMIA.COM
S ISTEMAS DE ECUACI ONES
Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el mΓ©todo de GAUSS.
1. !2x + y β z = 0x β y + 2z = 5x + y + z = 4
2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = β34x + 9y + 3z = 2
3. !2x β y + z = 3x + 2y β z = 4x β 8y + 5z = β6
4. !βx + 3y β z = 4x + 4y = 5
2x β 6y + 2z = 3
5. !4x + y β 2z = β33x β y + 4z = β2βx + y + z = 5
6. !2π₯ + π¦ β π§ = 1π₯ β 3π¦ + π§ = 03π₯ β 2π¦ = 1
Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER
1. !2π₯ + π¦ β π§ = 0π₯ β π¦ + 2π§ = 5π₯ + π¦ + π§ = 4
2. !4π₯ + π¦ β 2π§ = β33π₯ β π¦ + 4π§ = β2βπ₯ + π¦ + π§ = 5
3. !βπ₯ + 3π¦ β π§ = 4π₯ + 4π¦ = 5
2π₯ β 6π¦ + 2π§ = 3
4. !βπ₯ + 2π¦ β π§ = 0π₯ β 3π¦ + π§ = β32π₯ + π¦ β π§ = 1
5. !2π₯ β π¦ β π§ = 0βπ₯ + 2π¦ + π§ = 1π₯ β 3π¦ β 2π§ = β3
6. !π₯ β π¦ β 2π§ = 22π₯ + π¦ + 3π§ = 13π₯ + π§ = 3
Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parΓ‘metros mediante GAUSS
1. !π₯ + 2π¦ + π§ = 3π₯ + 3π¦ + 2π§ = 5π₯ +ππ¦ + 3π§ = 7
ResuΓ©lvelo cuando tenga infinitas soluciones
2. !2π₯ + 3π¦ β 4π§ = 14π₯ + 6π¦ β ππ§ = 2π₯ + π¦ + ππ§ = 10
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3. !π₯ + 3π¦ + 2π§ = 0π₯ +ππ¦ + 2π§ = 0
2π₯ + (3 +π)π¦ + 4π§ = 0
Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.
1. ;5π₯ + 4π¦ + 2π§ = 02π₯ + 3π¦ + π§ = 0
4π₯ β π¦ +π!π§ = π β 1
2. !π₯ + 2π¦ + π§ = π2π₯ + π¦ + 4π§ = 6π₯ β 4π¦ + 5π§ = 9
3. !π₯ + π¦ + π§ = π β 12π₯ + π¦ + ππ§ = ππ₯ + ππ¦ + π§ = 1
4. !2π₯ + ππ¦ + π§ = 2π₯ + ππ¦ = πβπ¦ + ππ§ = 0
πππ π’πππ£πππ’πππππ πππ’ππ ππ π‘πππππππππ‘πππππππππ‘ππππππππ.
Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuaciΓ³n matricial.
1. !2x + y β z = 0x β y + 2z = 5x + y + z = 4
2. !4x + y β 2z = β33x β y + 4z = β2βx + y + z = 5
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SOLUCIONES
Ejercicio 1.- Resuelve los siguientes sistemas utilizando el mΓ©todo de GAUSS.
1. !2x + y β z = 0x β y + 2z = 5x + y + z = 4
β
L2 1 β1 01 β1 2 51 1 1 4
M2πΏ! β πΏ"
β2πΏ# β πΏ"
L2 1 β1 00 β3 5 100 1 3 8
M3πΏ# + πΏ!β L2 1 β1 00 β3 5 100 0 14 34
M
β !2x β 3y + 5z = 10β3y + 5z = 1014z = 34
Ahora de la ultima ecuaciΓ³n puedes despejar el valor de la incΓ³gnita z:
π§ =3414
=177
Sabiendo el valor de la incΓ³gnita z puedes ir a la segunda ecuaciΓ³n y determinar el valor de y:
β3y + 5z = 10 β β3y = 10 β 5177β β3π¦ =
β157
β π¦ =57
Y finalmente solo tienes que ir a la primera ecuaciΓ³n para saber el valor de x:
2x β 3y + 5z = 10 β 2x = 357β 5
177β π₯ =
67
2. !x + 2y + z = 42x + 5y + z = β34x + 9y + 3z = 2
β
L1 2 1 42 5 1 β34 9 3 2
MπΏ! β 2πΏ"
βπΏ# β 4πΏ"
L1 2 1 40 1 β1 β110 1 β1 β14
MπΏ# β πΏ"β L1 2 1 40 1 β1 β110 0 0 3
M
Finalmente, cuando ya has hecho todos los ceros necesarios debes de analizar la ultima final para distinguir el tipo de sistema.
L1 2 1 40 1 β1 β110 0 0 3
M β !π₯ + 2π¦ + π§ = 4π¦ β π§ = β11
0 β 3
Date cuenta de que llegas a un absurdo 0 β 3 por tanto el sistema no tiene soluciΓ³n, se tarta de un sistema incompatible.
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3. !2x β y + z = 3x + 2y β z = 4x β 8y + 5z = β6
β
L2 β1 1 31 2 β1 41 β8 5 β6
M2πΏ! β πΏ"
β2πΏ# β πΏ"
L2 β1 1 30 5 β3 50 β15 9 β15
Mβ
πΏ# + 3πΏ! L2 β1 1 30 5 β3 50 0 0 0
M
Cuando ya has terminado de hacer los ceros correspondientes, fΓjate que tienes en la ultima fila todos ceros, eso quiere decir que estas ante un sistema compatible indeterminado y que, por tanto, tienes infinitas soluciones. Para resolver este tipo de sistemas seguirΓ‘s el siguiente procedimiento:
L2 β1 1 30 5 β3 50 0 0 0
M β !2π₯ β π¦ β π§ = 35π¦ β 3π§ = 5
π§ = π‘β P
2π₯ β π¦ = 3 β π‘5π¦ = 5 β 3π‘
FΓjate que del ultimo sistema puedes saber cuanto es el valor de la incΓ³gnita y, en funciΓ³n de t.
5π¦ = 5 β 3π‘ β π¦ =5 β 3π‘5
Finalmente, con la primera ecuaciΓ³n y sabiendo el valor de las incΓ³gnitas π§ππ¦ βΆ
2π₯ β π¦ = 3 β π‘ β π₯ =3 β π‘ + π¦
2β π₯ =
3 β π‘ + 5 β 3π‘52
β π₯ =15 β 5π‘ + 5 β 3π‘
10β
π₯ =20 β 8π‘10
β π₯ =10 β 4π‘
5
4. !βx + 3y β z = 4x + 4y = 5
2x β 6y + 2z = 3β
Lβ1 3 β1 41 4 0 52 β6 2 3
MπΏ! + πΏ"β
πΏ# + 2πΏ"Lβ1 3 β1 40 7 β1 90 0 0 11
M
AquΓ tienes otro tipo de soluciΓ³n en funciΓ³n de los ceros que has hecho mediante GAUSS, fΓjate que la ultima fila tiene la siguiente estructura: 000ππ’ππππ β πππ π‘ππππΌπππππππ‘ππππ, El sistema no tiene soluciΓ³n.
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5. !4x + y β 2z = β33x β y + 4z = β2βx + y + z = 5
β
L4 1 β2 β33 β1 4 β2β1 1 1 5
MπΏ# β πΏ"β L
β1 1 1 53 β1 4 β24 1 β2 β3
MπΏ! + 3πΏ"
βπΏ# + 4πΏ"
Lβ1 1 1 50 2 7 130 5 2 17
M2πΏ# β 5πΏ!β
Lβ1 1 1 50 2 7 130 0 β31 β31
M β !βπ₯ + π¦ + π§ = 53π¦ + 7π§ = 13β31π§ = β31
β π§ = 1
Lo que tienes que hacer, una vez tengas los ceros correspondientes, es transformar la matriz en sistema para obtener la soluciΓ³n de forma escalonada.
2π¦ + 7π§ = 13 β π¦ = 3
βπ₯ + π¦ + π§ = 5 β π₯ = β1
6. !2π₯ + π¦ β π§ = 1π₯ β 3π¦ + π§ = 03π₯ β 2π¦ = 1
β
L2 1 β1 11 β3 1 03 β2 0 1
M2πΏ! β πΏ"
β2πΏ# β 3πΏ"
L2 1 β1 10 β7 3 β10 β7 3 β1
MπΏ# β πΏ"β L2 1 β1 10 β7 3 β10 0 0 0
M
Como te ha ocurrido en otro ejercicio anterior, la ultima fila de la matriz son todo ceros, por tanto, estas ante un sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
L2 1 β1 10 β7 3 β10 0 0 0
M β !2π₯ + π¦ β π§ = 1β7π¦ + 3π§ = β1
π§ = π‘β P2π₯ + π¦ = 1 + π‘
β7π¦ = β1 β 3π‘ β π¦ =β1 β 3π‘β7
2π₯ +β1 β 3π‘β7
= 1 + π‘ β β14π₯ β 1 β 3π‘ = β7 β 7π‘ β π₯ =3 + 2π‘7
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Ejercicio 2.- Resuelve utilizando la regla de CRAMER
1. !2π₯ + π¦ β π§ = 0π₯ β π¦ + 2π§ = 5π₯ + π¦ + π§ = 4
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serΓ‘ la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
!2π₯ + π¦ β π§ = 0π₯ β π¦ + 2π§ = 5π₯ + π¦ + π§ = 3
β L2 1 β1 01 β1 2 51 1 1 4
M
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(π΄) = Y2 1 β11 β1 21 1 1
Y = β2 β 1 + 2 β 1 β 4 β 1 = β7
Y ahora para dar soluciΓ³n a las incΓ³gnitas:
π =
Y0 1 β15 β1 24 1 1
Y
Y2 1 β11 β1 21 1 1
Y=β6β7
=67 ; π =
Y2 0 β11 5 21 4 1
Y
Y2 1 β11 β1 21 1 1
Y=β5β7
=57 ; π =
Y2 1 01 β1 51 1 4
Y
Y2 1 β11 β1 21 1 1
Y=177
2. !4π₯ + π¦ β 2π§ = β33π₯ β π¦ + 4π§ = β2βπ₯ + π¦ + π§ = 5
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serΓ‘ la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
!4π₯ + π¦ β 2π§ = β33π₯ β π¦ + 4π§ = β2βπ₯ + π¦ + π§ = 5
β L4 1 β2 β33 β1 4 β2β1 1 1 5
M
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(π΄) = Y4 1 β23 β1 4β1 1 1
Y = β4 β 4 β 6 + 2 β 3 β 16 = β31
Y ahora para dar soluciΓ³n a las incΓ³gnitas:
π =
Yβ3 1 β2β2 β1 4β5 1 1
Y
Y4 1 β23 β1 4β1 1 1
Y=
31β31
= β1; π =
Y4 β3 β23 β2 4β1 5 1
Y
Y4 1 β23 β1 4β1 1 1
Y=β93β31
= 3; π
=
Y4 1 β33 β1 β2β1 1 5
Y
Y4 1 β23 β1 4β1 1 1
Y=β31β31
= 1
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3. !βπ₯ + 3π¦ β π§ = 4π₯ + 4π¦ = 5
2π₯ β 6π¦ + 2π§ = 3
Lo primero que tienes hacer es convertir el sistema en una matriz para identificar la matriz A que serΓ‘ la matriz de coeficientes y la matriz ampliada de A.
"βπ₯ + 3π¦ β π§ = 4π₯ + 4π¦ = 5
2π₯ β 6π¦ + 2π§ = 3β .
β1 3 β1 41 4 0 52 β6 2 3
/
Ahora tienes que calcula el determinante de la matriz A,
det(π΄) = Yβ1 3 β11 4 02 β6 2
Y = β12
Y ahora para dar soluciΓ³n a las incΓ³gnitas:
π =
Y4 3 β15 4 03 β6 2
Y
Yβ1 3 β11 4 02 β6 2
Y
=β16β12
=43 ; π =
Yβ1 4 β11 5 02 3 2
Y
Yβ1 3 β11 4 02 β6 2
Y
=β11β12
;
π =
Yβ1 3 41 4 52 β6 3
Y
Yβ1 3 β11 4 02 β6 2
Y
=41β12
4. !βπ₯ + 2π¦ β π§ = 0π₯ β 3π¦ + π§ = β32π₯ + π¦ β π§ = 1
β Lβ1 2 β11 β3 12 1 β1
0β31M ; det(π΄) = Y
β1 2 β11 β3 12 1 β1
Y = β3 β 0
β πΈπ π‘πππ’πππππππππππ’πππ₯ππ π‘ππ’πππ πππ’ππΓ³ππ. πΆ. π·.β πΆπ π΄ππΈπ
π =
Y0 2 β1β3 β3 11 1 β1
Y
Yβ1 2 β11 β3 12 1 β1
Y=43; π =
Yβ1 0 β11 β3 12 1 β1
Y
Yβ1 2 β11 β3 12 1 β1
Y=β9β3
= 3;
π =
Yβ1 2 01 β3 β32 1 1
Y
Yβ1 2 β11 β3 12 1 β1
Y=143
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5. !2π₯ β π¦ β π§ = 0βπ₯ + 2π¦ + π§ = 1π₯ β 3π¦ β 2π§ = β3
β L2 β1 β1 0β1 2 1 11 β3 β2 β3
M ; det(π΄) = Y2 β1 β1β1 2 11 β3 β2
Y = 2 β 0
πππ π‘πππππππππ‘πππππππ‘ππππππππ, π’πππ πππ’ππΓ³π.
π =
Y0 β1 β11 2 1β3 β3 β2
Y
Y2 β1 β1β1 2 11 β3 β2
Y
=β2β2
= 1; π =
Y2 0 β1β1 1 11 β3 β2
Y
Y2 β1 β1β1 2 11 β3 β2
Y
=0β2
= 0;
π =
Y2 β1 0β1 2 11 β3 β3
Y
Y2 β1 β1β1 2 11 β3 β2
Y
=β4β2
= 2
6. !π₯ β π¦ β 2π§ = 22π₯ + π¦ + 3π§ = 13π₯ + π§ = 3
Primero puedes comprobar el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada:
det(π΄) = Y1 β1 β22 1 33 0 1
Y = 1 β 9 + 6 + 2 = 0 β π ππππππ(π΄) < 3
Cogemos ahora un determinante 2x2 que este dentro de A para demostrar que el rango es dos:
|π΄| = i1 β12 1 i = 1 + 2 = 3 β 0 β πππππ(π΄) = 2
Ahora tienes que comprobar cual es el rango de la matriz ampliada, para ello debes de coger las dos columnas que has utilizado para demostrar que el rango de A era dos y la columna de la ampliada.
det(π΄) = Y1 β1 22 1 13 0 3
Y = 3 β 3 β 6 + 6 = 0 β ππππ‘πππ‘ππππππππ πππππππ β
β π ππππ(π΄$) = 2
Estas trabajando con un sistema con infinitas soluciones, te voy a enseΓ±ar como se da soluciΓ³n utilizando la regla de CRAMER. Tienes que entender lo siguiente, al ser el rango de las matrices dos, una de las filas es combinaciΓ³n lineal de las otras dos y, por tanto, podemos eliminarla. En este caso, para demostrar el rango de A y de Aβ he cogido las dos primeras filas, por tanto, serΓ‘ con esas dos ecuaciones con las que trabaje y quite la ultima fila:
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!π₯ β π¦ β 2π§ = 22π₯ + π¦ + 3π§ = 13π₯ + π§ = 3
β P π₯ β π¦ β 2π§ = 22π₯ + π¦ + 3π§ = 1
Ahora una de las letras, tienes que hacer que sea igual a una variable, en este caso, π§ = π, entonces;
P π₯ β π¦ β 2π§ = 22π₯ + π¦ + 3π§ = 1 β P π₯ β π¦ = 2 + 2π
2π₯ + π¦ = 1 β 3π
Y ahora tienes que hacer CRAMER con estas ecuaciones:
π =i2 + 2π β11 β 3π 1 i
i1 β12 1 i
=2 + 2π + 1 β 3π
3=3 β π3
π =i1 2 + π2 1 β 3πi
i1 β12 1 i
=1 β 3π β 4 β 2π
3=β3 β 5π
3
Ejercicio 3.- Resuelve los siguientes sistemas con parΓ‘metros mediante GAUSS
1. !π₯ + 2π¦ + π§ = 3π₯ + 3π¦ + 2π§ = 5π₯ +ππ¦ + 3π§ = 7
ResuΓ©lvelo cuando tenga infinitas soluciones
Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:
!π₯ + 2π¦ + π§ = 3π₯ + 3π¦ + 2π§ = 5π₯ +ππ¦ + 3π§ = 7
β L1 2 1 31 3 2 51 π 3 7
M
Y ahora tienes que hacer los ceros correspondientes:
L1 2 1 31 3 2 51 π 3 7
MπΏ! β πΏ"β
πΏ# β πΏ"L1 2 1 30 1 1 20 π β 2 2 4
MπΏ# β 2πΏ!β L1 2 1 30 1 1 20 π β 4 0 0
M
Ahora como ya has terminado de hacer los ceros que corresponden, tienes que recordar que clase de sistema tienes, en funciΓ³n de lo que aparece en la ultima fila, por tanto,
πβ 4 = 0 β π = 4 Ahora vas a hacer una discusiΓ³n en funciΓ³n de la ultima fila y el valor de m:
β’ Si π = 4 β πππ’ππ‘ππππππππ πππ‘ππππππππ π¦ππππ‘πππ‘πππ π‘ππ πππ‘ππ’ππ ππ π‘πππππππππ‘πππππππππ‘ππππππππ.
β’ Si π β 4 β πππ’ππ‘ππππππππ‘πππππ’ππππ π‘ππ’ππ‘π’ππ00ππ’ππππ/ππ’ππππ β π. πΆ. π·.
Ahora el ejercicio quiere que lo resuelvas cuando estas trabajando con un sistema compatible indeterminado, para eso tienes que cambiar el valor de π = 4en el sistema y resolverlo:
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L1 2 1 30 1 1 20 π β 4 0 0
M β π = 4 β !π₯ + 2π¦ + π§ = 3π¦ + π§ = 2π§ = π‘
β Pπ₯ + 2π¦ = 3 β π‘π¦ = 2 β π‘ β π₯ = β1 + π‘
2. !2π₯ + 3π¦ β 4π§ = 14π₯ + 6π¦ β ππ§ = 2π₯ + π¦ + ππ§ = 10
Lo primero tal y como haces siempre en estos casos, es transformar el sistema en una matriz:
!2π₯ + 3π¦ β 4π§ = 14π₯ + 6π¦ β ππ§ = 2π₯ + π¦ + ππ§ = 10
β L2 3 β4 14 6 βπ 21 1 π 10
M
L2 3 β4 14 6 βπ 21 1 π 10
MπΏ" β πΏ#β L
1 1 π 104 6 βπ 22 3 β4 1
MπΏ! β 4πΏ"
βπΏ# β 2πΏ"
L1 1 π 100 2 β5π β380 1 β4 β 2π β19
M
2πΏ# β πΏ!β L
1 1 π 100 2 β5π β380 0 β8 β 5π 0
M
Ahora, en funciΓ³n de lo que puedas tener en la ultima fila, tendrΓ‘s un resultado u otro, por tanto, tienes que igual a cero β8 β 5π
β8 β 5π = 0 β π = β85
Ahora veamos que soluciones tienes en funciΓ³n de este resultado:
β’ Si π = β %&β π‘πππππ πππ’ππ‘ππππππππ‘ππππππππ ππππ‘πππ‘π β
π. πΆ. πΌ.(ππππππ‘ππ π πππ’πππππ ) β’ Si π β β %
&β πππ’ππ‘ππππππππ‘πππππ’ππππ π‘ππ’ππ‘π’ππ00ππ’ππππ/ππ’ππππ β
π. πΆ. π·.
3. !π₯ + 3π¦ + 2π§ = 0π₯ +ππ¦ + 2π§ = 0
2π₯ + (3 +π)π¦ + 4π§ = 0β L
1 3 21 π 22 3 +π 4
000MπΏ! β πΏ"β
πΏ# β πΏ"L1 3 20 π β 3 00 π β 3 0
000M
Por tanto, ahora πβ 3 = 0 β π = 3
β’ ππ, π = 3 βπ πππππ’ππππ’ππππππππππ’ππππππ‘πππ‘π, π ππ π‘πππππππππ‘πππππππππ‘ππππππππ
π₯ + 3π¦ + 2π§ = 0 β π₯ = β3π¦ β 2π§
β’ πππ β 3 βπππ ππ π‘πππππ ππππππ‘πππππππππ‘ππππππππ, ππ ππππππ‘πππππππππ πππππ ππππ’πππ .
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L1 3 20 π β 3 00 π β 3 0
000M β !
π₯ + 3π¦ + 2π§ = 0(π β 3)π¦ = 0
π§ = π‘
Si determinas que m es distinto de tres β π¦ = 0, ππππ‘πππ‘π; π¦ = 0; π§ = π‘; π₯ = 2π‘
Ejercicio 4.- Discute y resuelve los sistemas en los casos que sea posible por determinantes y rangos.
1. ;5π₯ + 4π¦ + 2π§ = 02π₯ + 3π¦ + π§ = 0
4π₯ β π¦ +π!π§ = π β 1β L
5 4 2 02 3 1 04 β1 π! πβ 1
M
Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:
det(π΄) = Y5 4 22 3 14 β1 π!
Y = 15π! + 16 β 4 β 24 β 8π! + 5 β 7π! β 7 = 0
7π! β 7 = 0 β π = Β±1 Ahora, como has tenido dos resultados tendrΓ‘s tres casos diferentes para ver las distintas soluciones:
β’ πΆπ’πππππ β Β±1 En este caso en concreto det(π΄) β 0 β π ππππ(π΄) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada podemos afirmar que π ππππ(π΄$) = 3 Y finalmente, y aplicando el Teorema de Rouche, π ππππ(π΄) = π ππππ(π΄$) = πΒΊππππππππ‘ππ βπ. πΆ. π·.
β’ πΆπ’πππππ = 1 Puedes hay que afirmar que det(π΄) = 0 β π ππππ(π΄) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.
i5 42 3i = 15 β 8 = 7 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de π΄β²
det(π΄$) = Y5 4 02 3 04 β1 0
Y = 0 β π ππππ(π΄$) < 3
β ππππππππ‘ππππππ π‘ππππ‘πππ§π‘πππππ π’ππππ2π₯2ππ’πππ β 0β π ππππ(π΄$) = 2
Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche β π ππππ(π΄) = π ππππ(π΄$) β πΒΊππππππππ‘ππ β π. πΆ. πΌ.
β’ πΆπ’πππππ = β1 Puedes hay que afirmar que det(π΄) = 0 β π ππππ(π΄) < 3 tienes que buscar un determinante de 2x2 dentro de la matriz de coeficientes para afirmar que el rango es 2.
i5 42 3i = 15 β 8 = 7 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Para verificar el rango de la matriz ampliada, como he cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, voy a coger esas dos columnas y la columna de la matriz ampliada para verificar el rango de π΄β²
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det(π΄$) = Y5 4 02 3 04 β1 β2
Y = β30 + 16 = +14 β 0 β π ππππ(π΄$) = 3
Para terminar, aplicando el Teorema de Rouche β π ππππ(π΄) β π ππππ(π΄$) β π. πΌπππππππ‘ππππ.
2. !π₯ + 2π¦ + π§ = π2π₯ + π¦ + 4π§ = 6π₯ β 4π¦ + 5π§ = 9
β L1 2 1 π2 1 4 61 β4 5 9
M
Ahora calcula el determinante de la matriz de coeficientes:
det(π΄) = Y1 2 12 1 41 β4 5
Y = 5 + 8 β 8 β 1 β 20 + 16 = 0
Como el determinante de la matriz de coeficientes es cero independientemente del valor de k el rango de la matriz es πππππ(π΄) < 3
Comprueba que el rango es dos β i1 22 1i = 1 β 4 = β3 β 0 β πππππ(π΄) = 2
Ahora como has cogido las dos primeras columnas para demostrar que el rango de A es dos, tienes que coger las dos primeras columnas y la ultima para determinar el rango de la matriz ampliada:
det(π΄$) = Y1 2 π2 1 61 β4 9
Y = 9 + 12 β 8π β π β 36 + 24 β β9π + 9 = 0 β π = 1
Ahora, como has obtenido una soluciΓ³n tienes que estudiar dos casos diferentes:
β’ π β 1 β det(π΄$) β 0 β π ππππ(π΄$) = 3 β π ππππ(π΄) = 2 β π. πΌ.
β’ π = 1 β det(π΄$) = 0 β π ππππ(π΄$) = 2 β π ππππ(π΄) = 2 β πΒΊππππππππ‘ππ βπ. πΆ. πΌ. (βπ πππ’ππππππ ).
ObservaciΓ³n, para demostrar que el rango de la matriz ampliada es dos , ΓΊnicamente tienes que coger un determinante de dos por dos dentro de la matriz ampliada que de distinto de cero.
i1 22 1i = 1 β 4 = β3 β 0 β πππππ(π΄β²) = 2
3. !π₯ + π¦ + π§ = π β 12π₯ + π¦ + ππ§ = ππ₯ + ππ¦ + π§ = 1
Lo primero transformar el sistema en matriz:
!π₯ + π¦ + π§ = π β 12π₯ + π¦ + ππ§ = ππ₯ + ππ¦ + π§ = 1
β L1 1 1 π β 12 1 π π1 π 1 1
M
Ahora tienes que calcular el determinante de la matriz de coeficientes:
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det(π΄) = Y1 1 12 1 π1 π 1
Y = 1 + π + 2π β 1 β 2 β π! β βπ! + 3π β 2 = 0
π =β3 Β±r9 β 4(β1)(β2)
β2= sπ = 1
π = 2
Ahora como has obtenido dos resultados, vas a tener tres casos:
β’ ππ’πππππ β 1π¦π β 2 det(π΄) β 0 β ππππ‘πππ‘π β π ππππ(π΄) = 3
Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada tambiΓ©n serΓ‘ 3. Entonces, π ππππ(π΄) = π ππππ(π΄$) = πΒΊππππππππ‘ππ = 3 β π. πΆ. π·(1π πππ’ππππ)
β’ πΆπ’πππππ = 1 ππππ π‘ππππ π det(π΄) = 0 β ππππ‘πππ‘π β πππππ(π΄) < 3
Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i1 12 1i = 1 β 2 = β1 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(π΄$) = Y1 1 02 1 11 1 1
Y = 1 + 1 β 2 β 1 = β1 β 0 β π ππππ(π΄$) = 3
En este caso como los rangos son diferentes, π ππππ(π΄) = 2 β π ππππ(π΄$) = 3 β π. πΌ. No tiene soluciΓ³n
β’ πΆπ’πππππ = 2
ππππ π‘ππππ π det(π΄) = 0 β ππππ‘πππ‘π β πππππ(π΄) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i1 12 1i = 1 β 2 = β1 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(π΄$) = Y1 1 12 1 21 2 1
Y = 1 + 2 + 4 β 1 β 2 β 4 = 0 β π ππππ(π΄$) < 3
En este caso tienes que determinar si el rango de la matriz ampliada, es decir Aβ, es dos. Para eso tienes que coger un determinante de dos por dos que este dentro de la matriz ampliada:
i1 12 1i = 1 β 2 = β1 β 0 β π ππππ(π΄β²) = 2
En definitiva, π ππππ(π΄) = 2 = π ππππ(π΄$) β πΒΊππππππππ‘ππ β π. πΆ. πΌ.β (βπ πππ’ππππππ )
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4. !2π₯ + ππ¦ + π§ = 2π₯ + ππ¦ = πβπ¦ + ππ§ = 0
πππ π’πππ£πππ’πππππ πππ’ππ ππ π‘πππππππππ‘πππππππππ‘ππππππππ.
!2π₯ + ππ¦ + π§ = 2π₯ + ππ¦ = πβπ¦ + ππ§ = 0
β L2 π 1 21 π 0 π0 β1 π 0
M
det(π΄) = Y2 π 11 π 00 β1 π
Y = 2π! β 1 β π! β π! β 1 = 0 β π = s 1β1
Ahora tienes que hacer la discusiΓ³n, como has obtenido dos resultados tienes 3 casos:
β’ πΆπ’πππππ β 1π¦π β β1
det(π΄) β 0 β ππππ‘πππ‘π β π ππππ(π΄) = 3 Como la matriz de coeficientes esta dentro de la matriz ampliada, hay que afirmar directamente que el rango de la matriz ampliada tambiΓ©n serΓ‘ 3. Entonces, π ππππ(π΄) = π ππππ(π΄$) = πΒΊππππππππ‘ππ = 3 β π. πΆ. π·(1π πππ’ππππ)
β’ πΆπ’πππππ = 1 ππππ π‘ππππ π det(π΄) = 0 β ππππ‘πππ‘π β πππππ(π΄) < 3
Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i2 11 1i = 2 β 1 = 1 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(π΄$) = Y2 1 21 1 10 β1 0
Y = β2 + 2 = 0 β π ππππ(π΄$) < 3
Para demostrar que el rango es 2, tienes que coger un determinante de 2x2 que de distinto de cero:
i2 11 1i = 2 β 1 = 1 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
En definitiva, π ππππ(π΄) = 2 = π ππππ(π΄$) β πΒΊππππππππ‘ππ β π. πΆ. πΌ.β (βπ πππ’ππππππ ) El ejercicio nos pide que resolvamos el sistema en este caso en concreto, por tanto:
!2π₯ + π¦ + π§ = 2π₯ + π¦ = 1βπ¦ + π§ = 0
β ππ’ππ‘ππππ πππ’ππ‘πππππππ β !2π₯ + π¦ + π§ = 2π₯ + π¦ = 1π§ = π‘
β P2π₯ + π¦ = 2 β π‘π₯ + π¦ = 1
Recordatorio: he quitado la ultima fila ya que, para hacer el rango de A que era 2 habΓa utilizado las dos primeras filas. Ahora para continuar, haces el mΓ©todo de reducciΓ³n:
P2π₯ + π¦ = 2 β π‘π₯ + π¦ = 1 β πππ π‘πππππππ πππ’πππππππ β π₯ = 1 β π‘
Sabiendo que π₯ = 1 β π‘; π§ = π‘ β πΈπππππππππππππ’πππππ2π₯ + π¦ + π§ = 2 β β 2(1 β π‘) + π¦ + π‘ = 2 β 2 β 2π‘ + π¦ + π‘ = 2 β π¦ = π‘
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β’ πΆπ’πππππ = β1
ππππ π‘ππππ π det(π΄) = 0 β ππππ‘πππ‘π β πππππ(π΄) < 3 Tienes que buscar un determinante de dos por dos dentro de la matriz A que sea distinto de cero para poder afirmar que el rango de A es dos.
i2 β11 β1i = β2 + 1 = β1 β 0 β π ππππ(π΄) = 2
Ahora para mirar el rango de la matriz ampliada, tienes que coger las dos columnas que has cogido para demostrar que el rango de A es dos, es decir, las dos primeras y la columna de soluciones:
det(π΄$) = Y2 β1 21 β1 β10 β1 0
Y = β2 β 2 = β4 β 0 β π ππππ(π΄$) = 3
En este caso como los rangos son diferentes, π ππππ(π΄) = 2 β π ππππ(π΄$) = 3 β π. πΌ. No tiene soluciΓ³n Ejercicio 5.- Resuelve el siguiente sistema utilizando el concepto de ecuaciΓ³n matricial.
1. !2x + y β z = 0x β y + 2z = 5x + y + z = 4
!2x + y β z = 0x β y + 2z = 5x + y + z = 4
β L2 1 β11 β1 21 1 1
M β vπ₯π¦π§w = L
054M
Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:
π΄ = L2 1 β11 β1 21 1 1
M; π = vπ₯π¦π§w ; π΅ = L
054M β π΄ β π = π΅ β π = π΄'"π΅
Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para despuΓ©s poder realizar las operaciones y dar soluciΓ³n a la matriz X.
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2. !4x + y β 2z = β33x β y + 4z = β2βx + y + z = 5
!4x + y β 2z = β33x β y + 4z = β2βx + y + z = 5
β L4 1 β23 β1 4β1 1 1
M β vπ₯π¦π§w = L
β3β25M
Ahora voy a llamar a cada una de las matrices con un nombre para resolver el sistema matricialmente:
π΄ = L4 1 β23 β1 4β1 1 1
M; π = vπ₯π¦π§w ; π΅ = L
β3β25M β π΄ β π = π΅ β π = π΄'"π΅
Se trata ahora de calcular la inversa de la matriz A para despuΓ©s poder realizar las operaciones y dar soluciΓ³n a la matriz X.