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Apunte sobre Sistema de Ecuaciones.
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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario
SISTEMAS DE ECUACIONES
Autor: Eduardo Gago
Año 2014
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
1
1. Ecuación lineal con n incógnitas
Una ecuación lineal con n incógnitas es una ecuación de la forma:
(*) bxaxaxa nn =+++ ...................2211 ,
donde 1x , 2x ,…………, nx son símbolos a los que se los denomina “incógnitas” o “variables”
y; 1a , 2a ,………. , na , y b son números reales dados, tales que a los n primeros se los llama
“coeficientes” y al último “término independiente”.
Ejemplos:
1) 42 )( 1 −=− yxE y 043 )( 212 =+ xxE son ecuaciones lineales con dos incógnitas, y además
son las ecuaciones de dos rectas en el plano.
2) 01053 )( 3 =−+ zyxE ; 63 )( 4 =++ zπeyxE ; y 05
403,0 )( 3215 =
++ yπ
senyyE , son
ecuaciones lineales con tres incógnitas, y además son las ecuaciones de tres planos en el espacio.
3) Naturalmente las ecuaciones tales como:
43216 297 )( xxxxE +=+ ,
son ecuaciones lineales con cuatro incógnitas, pues se pueden llevar a la forma (*) mediante apropiados pasajes de términos.
Una solución (o solución particular) de la ecuación (*) es cualquier vector ).,,.........,( 21 nααα
de números reales tales que:
bαaαaαa nn =+++ ...................2211
Se dice entonces que el vector ).,,.........,( 21 nααα “satisface” o “verifica” la ecuación.
Por ejemplo si )( 1E , )( 2E , )( 3E y )( 4E son las anteriores, entonces: )2,1(− y )4,0( son
soluciones de ( )( 1E y )0,0( ;
−4
1,
3
1 son soluciones de )( 2E ; )6,9,5( y )
10
7,2,1(− son
soluciones de )( 3E ; y )0,6
,0(e
y
π
6,0,0 son soluciones de )( 4E . Sin embargo, no son las
únicas.
En realidad, se sabe que toda ecuación lineal con dos incógnitas del tipo cbyax =+ , con
coeficientes no simultáneamente nulos, es la ecuación de una recta en el plano. O bien en otros términos: todo punto del plano ),(βαP , cuyas coordenadas, ),(βα , satisfagan una ecuación tal,
es un punto de una recta , y recíprocamente. Consecuentemente, toda ecuación lineal con dos incógnitas (con coeficientes no simultáneamente nulos), tiene infinitas soluciones, pues tales soluciones son las coordenadas de los infinitos puntos de paso de una recta.
También, se sabe que toda ecuación lineal con tres incógnitas del tipo dczbyax =++ , con
coeficientes no simultáneamente nulos, es la ecuación de un plano. O bien dicho de otra manera: todo punto del espacio ),,( γβαQ , cuyas coordenadas, ),,( γβα , satisfagan una
ecuación tal, es un punto del plano, y recíprocamente.
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
2
Consecuentemente, toda ecuación lineal con tres incógnitas (con coeficientes no simultáneamente nulos), tiene infinitas soluciones, pues tales soluciones son las coordenadas de los infinitos puntos de paso de un plano.
Ejercicio: Si )( 1E y )( 2E son las anteriores, obtener todas sus soluciones y graficarlas.
Solución:
a) Sea: )( 1E 4242 +=⇒−=− xyyx
Si 42) ( +=⇒∈∀= tyRttx , entonces, el conjunto solución de )( 1E es: )}42,{(1 += ttE .
En consecuencia, las infinitas soluciones de )( 1E dependen del parámetro t.
En la Fig. 1 se observa la gráfica de la recta en el plano r de ecuación )( 1E . Se marcan sobre la
recta r algunos puntos del plano cuyas coordenadas son soluciones particulares de )( 1E .
b) Sea )( 2E 1221 4
3043 xxxx −=⇒=+
Si sxRssx4
3) ( 21 −=⇒∈∀= , entonces, el conjunto solución de )( 2E es:
−= ssE4
3,2 .
En consecuencia, las infinitas soluciones de )( 2E depende del parámetro s.
En la Fig. 2 se observa la gráfica de la recta en el plano δ de ecuación )( 2E . Se marcan sobre
la recta δ algunos puntos del plano cuyas coordenadas son soluciones particulares de )( 2E .
Las coordenadas de los infinitos puntos de paso de cada una de las rectas r y δ representan
todas las soluciones de las ecuaciones )( 1E y )( 2E .
Observación: Una ecuación lineal con dos incógnitas cuyos coeficientes son simultáneamente nulos, o carece de soluciones, o tienen infinitas.
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
•
•
•
•
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x1
x2
•
•
•
Fig. 1: gráfica de la recta r Fig. 2: gráfica de la recta s
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
3
2. Sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de m ecuaciones lineales con n incógnitas (con m y n números naturales), a los que de ahora en adelante se los llamará: sistemas m×n.
Si nm = (es decir, si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas), el sistema se denomina cuadrado.
Una solución (o solución particular) de un sistema de m×n es cualquier vector que satisface todas las ecuaciones del sistema.
Si en un sistema de ecuaciones todos los términos independientes son nulos, el sistema se llama homogéneo. En caso contrario, es decir, algún término independiente es no nulo, el sistema se dice no homogéneo.
Por ejemplo sean los sistemas:
=−=−
064
032)( 1 yx
yxS
=+−=+
0
03)( 2 ba
baS
=+−−=−3
42)(
21
213 xx
xxS
=−=−
464
032)( 4 yx
yxS
=+−=−032
232)( 5 ut
utS
=+−+−=++
−=−+−
432
234
45432
)(
4321
432
4321
6
xxxx
xxx
xxxx
S
Los vectores )0,0( y )2,1(− son soluciones de los sistemas )( 1S y )( 3S , respectivamente,
mientras que, )3,1(− no es solución de )( 2S , pues satisface sólo una de las ecuaciones de dicho
sistema. El vector de cuatro componentes )3,1,1,2(− , es una solución del sistema )( 6S .
)( 1S y )( 2S son ejemplos de sistemas homogéneos, mientras que )( 3S , )( 4S , )( 5S y )( 6S son
ejemplos de sistemas no homogéneos.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
=−=+
2
4)( 1 yx
yxS b)
=−=−
633
2)( 2 yx
yxS c)
=+=+
4
2)( 3 yx
yxS
Solución: a) Si se suman ambas ecuaciones
62
2
4
=
=−=+
+
x
yx
yx
362 =⇒= xx , entonces si 13444 =⇒−=⇒−=⇒=+ yyxyyx
La única solución de )( 1S es: )}1,3{(1 =S , y además como se observa en la Fig. 3, )1,3( son las
coordenadas del punto de intersección de las rectas de ecuaciones: 4)1 =+ yxr y 2)2 =− yxr .
b) Si se saca factor común 3 en el primer miembro de la segunda ecuación de )( 2S , se obtiene:
26)(3633 =−⇒=−⇒=− yxyxyx
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
4
Se descubre que las dos ecuaciones de )( 2S son iguales. Entonces, como se observa en la Fig. 4,
la rectas de ecuaciones: 2)1 =− yxr y 633)2 =− yxr , son coicidentes.
De esto se desprende que las rectas se 1r y 2r se intersectan en los infinitos puntos que pasan
por ellas. c) Si se restan ambas ecuaciones
60
4
2
=
=+=+
−
yx
yx
El resultado anterior indica que el sistema no tiene solución, ya que 60 = constituye una inconsistencia. En consecuencia, como se observa en la Fig. 5, que surge de graficar las rectas
21 =+ yx)r y 42 =+ yx)r ; las mismas son paralelas y no se intersectan en ningún punto, se
dice entonces que =3S {Ø}.
Fig. 3: Rectas que se intersectan en un punto
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
x
y
-2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
x
y
Fig. 4: Rectas coincidentes
-3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
Fig. 5: Rectas paralelas
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
5
Por consiguiente, si con 1r y 2r indicamos las rectas de los casos a), b) y c), caben sólo tres
posibilidades:
En cualquiera de los casos a) y b), el sistema se dice compatible y, en particular, determinado en el caso a), e indeterminado en el b). En el caso c), decimos que el sistema es incompatible.
Se llama solución general de un sistema al conjunto de todas las soluciones particulares del mismo.
En términos de esta definición se tiene entonces que un sistema es, compatible si su solución general es no vacía, e incompatible en caso contrario.
Cuando se dice que un sistema ha sido resuelto, se entiende que se ha obtenido su solución general. Sistemas equivalentes Dos sistemas se dicen equivalentes si tienen la misma solución general Resolución de sistemas de ecuaciones lineales:
Se conocen diversos métodos de resolución de sistemas. Aquí se va a recordar el conocido “método de reducción” ó de “eliminación de incógnitas”.
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de reducción
=+++=−−+
=+−+=+−
1374163
623102
65
1032
)(
tzyx
tzyx
tzyx
tzy
S
Se pretende encontrar la solución del sistema )(S , aplicando el método de reducción, pues su
generalización constituye el método de resolución que se enunciará más adelante (Método de Gauss). Con este propósito se efectúan una serie de operaciones a fin de obtener un sistema equivalente a )(S cuya resolución sea casi inmediata.
Para resolver el sistema, se comienza por verificar que la variable x esté en la primera ecuación de )(S . Cómo no se cumple esa condición, un adecuado reordenamiento de ecuaciones logra
ese objetivo, generando el sistema )( 1S que es equivalente a )(S .
a) el sistema tiene solución única: es el caso en que 1r y 2r se intersectan en un punto
b) el sistema tiene infinitas soluciones: es el caso en que 1r y 2r son coincidentes
c) el sistema carece de soluciones: es el caso en que 1r y 2r son paralelas
Las situaciones de los tres ejemplos anteriores constituyen las únicas posibilidades en lo que se refiere a la cantidad de soluciones de un sistema de m×n
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
6
=+−=+++=−−+
=+−+
)( 1032
)( 1374163
)( 623102
)( 65
)(
4
3
2
1
1
Etzy
Etzyx
Etzyx
Etzyx
S
La primera, segunda, tercera y cuarta ecuación de )( 1S , se van a reconocer con los símbolos:
)( 1E , )( 2E , )( 3E , y )( 4E , respectivamente.
Ahora se elimina la incógnita x de todas las ecuaciones de )( 1S , a partir de )( 2E . Con este
propósito se trabaja en primer lugar con )( 1E y )( 2E . Si se multiplica por 2− a )( 1E y se le
suma a )( 2E , se obtiene una ecuación en la que el coeficiente de x es nulo. El procedimiento
consiste entonces en realizar la operación )()(2 21 EE +−
=−−+−=−+−−
⇒
=−−+−=+−+−
⇒
=−−+=+−+
623102
1222102
623102
6).2()5).(2(
623102
65
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
)(64
623102
1222102
5Etz
tzyx
tzyx
−=−−
=−−+−=−+−−
La operación anterior se puede expresar de la siguiente manera: )()()(2 521 EEE =+− .
Similar procedimiento se realizará con )( 1E y )( 3E . Si se multiplica por 3− a )( 1E y se le
suma a )( 3E , se obtiene una ecuación en la que el coeficiente de x también es nulo. El
procedimiento consiste entonces en realizar la operación )()(3 31 EE +−
=+++−=−+−−
⇒
=+++−=+−+−
⇒
=+++=+−+
1374163
1833153
1374163
6).3()5).(3(
1374163
65
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
)(547
1374163
1833153
6Etzy
tzyx
tzyx
−=++
=+++−=−+−−
La operación anterior se puede expresar de la siguiente manera: )()()(4 631 EEE =+− .
Sobre )( 4E no se realiza ninguna operación, ya que no tiene la variable x.
El sistema )( 1S , se puede escribir ahora así:
=+−−=++
−=−−=+−+
)( 1032
)( 547
)( 64
)( 65
)(
4
6
5
1
2
Etzy
Etzy
Etz
Etzyx
S
que resulta equivalente con )( 2S .
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
7
Ahora, se verifica que la variable y esté en la segunda ecuación de )( 2S , cómo no se cumple
esa condición, un adecuado reordenamiento de ecuaciones logra ese objetivo, generando el
sistema )( 3S que es equivalente a )( 2S .
−=−−=+−
−=++=+−+
)( 64
)( 1032
)( 547
)( 65
)(
5
4
6
1
3
Etz
Etzy
Etzy
Etzyx
S
Ahora se elimina la incógnita y de todas las ecuaciones de )( 2S , a partir de )( 4E . Con este
propósito se trabaja con )( 6E y )( 4E . Si se multiplica por 2− a )( 6E y se le suma a )( 4E , se
obtiene una ecuación en la que el coeficiente de y es nulo. El procedimiento consiste entonces
en realizar la operación )()(2 46 EE +−
=+−=−−−
⇒
=+−−−=++−
⇒
=+−−=++
1032
108142
1032
)5).(2()47).(2(
1032
547
tzy
tzy
tzy
tzy
tzy
tzy
)(20717
1032
108142
7Etz
tzy
tzy
=−−
=+−=−−−
La operación anterior se expresar de la siguiente manera: )()()(2 746 EEE =+− .
Sobre )( 5E no se realiza ninguna operación, ya que no tiene la variable y.
El sistema )( 3S , se puede escribir ahora así:
−=−−=−−
−=++=+−+
)( 64
)( 20717
)( 547
)( 65
)(
5
7
6
1
4
Etz
Etz
Etzy
Etzyx
S
que resulta equivalente con )( 4S .
Finalmente se elimina la incógnita z de la ecuación )( 5E . Con este propósito se trabaja con
)( 7E y )( 5E . Si se multiplica por 17− a )( 5E y se le suma a )( 7E , se obtiene una ecuación en
la que el coeficiente de z es nulo. El procedimiento consiste entonces en realizar la operación
)(17)( 57 EE − .
−=−−=−−64
20717
tz
tz ⇒
−−=−−−=−−
)6).(17()4).(17(
20717
tz
tz ⇒
=+=−−1026817
20717
tz
tz
)(12261
1026817
20717
8Et
tz
tz
=
=+=−−
La operación anterior se expresar de la siguiente manera: )()(17)( 857 EEE =− .
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
8
El sistema )( 4S , se puede escribir ahora así:
==−−
−=++=+−+
)E( t
)E( t z
)E( t z y
)E( t z yx
)S(
8
7
6
1
5
12261
20717
547
65
(**)
que resulta equivalente a )( 5S , y su solución es inmediata, ya que de )( 8E , se puede calcular la
variable t, resultando: 212261 =⇒= tt
Luego de calculada la variable t se pueden encontrar el resto de las incógnitas. Con ese
objetivo, se van a despejar las variables restantes de )( 5S , recorriendo las ecuaciones de abajo
hacia arriba.
Con el resultado de la variable t, se toma la )( 7E , y se calcula el valor de la variable z.
2341720141720717 −=⇒=−⇒=−−⇒=−− zzztz
Ahora se toma la )( 6E , y se calcula la variable y.
15814547 =⇒−=+−⇒−=++ yytzy
Ahora se toma la )( 1E , y se calcula la variable x.
3622565 −=⇒=+++⇒=+−+ xxtzyx
Finalmente el resultado del sistema )(S , es:
)}2,2,1,3{( −−=S
En este ejemplo es posible verificar que la solución general de los sistemas
)(S , )( 1S , )( 2S , )( 3S , )( 4S , y )( 5S es la misma, lo que permite afirmar que dichos sistemas son
equivalentes. Este ejemplo permitió verificar algunas de las definiciones que se van a establecer a partir de ahora. 1º) Se dice que sobre un sistema se efectúa una transformación (u operación) elemental, cuando: a) se intercambian ecuaciones b) se multiplica a una ecuación por un número no nulo c) se suma a una ecuación el producto de otra por un número. 2º) Si sobre un sistema m×n se efectúa cualquier transformación elemental, se obtiene un sistema equivalente. Método de Gauss
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales suele facilitarse mediante la utilización de un sencillo algoritmo. Tomando como ejemplo el sistema )(S resuelto anteriormente, a
continuación se expondrá este método.
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9
1º paso: Se comienza escribiendo en una tabla, ordenando en filas y columnas, los coeficientes y los términos independientes de )(S , ubicando la columna correspondiente a estos últimos
entre dos líneas verticales (a fin de individualizarla rápidamente). Así tendremos:
2º paso: Es útil construir el cuadro anterior incorporándole una columna adicional a la derecha, que se denomina columna de control (c.c.), y que sirve para corroborar si se están realizando bien los cálculos. Cabe aclarar, que esta columna no es necesaria a los efectos de resolver el problema, es simplemente para control del que está realizando el ejercicio. Esta columna surge de la suma de todos los elementos de cada fila, y sobre los elementos de la columna control se aplicarán las mismas transformaciones que se efectuarán sobre los restantes elementos de la correspondiente fila; si los cálculos son correctos, la suma de los elementos transformados de cada fila, deberá coincidir con el elemento de la columna control que se encuentra sobre ella. De tal modo, se obtiene el siguiente cuadro: 3º paso: Se debe tener en cuenta una condición que es muy importante, el elemento que se ubica en la intersección entre la primera fila y la primera columna no puede ser nulo. Entonces un adecuado reordenamiento de las filas soluciona esta situación.
A partir de ahora, para llevar adelante el método, se realizarán productos cruzados entre los elementos de la primera fila y las restantes del cuadro, que se trabajarán de a una por vez.
4º paso: Primero se realizan los productos cruzados entre los elementos de la primera y la segunda fila, como se muestra a continuación:
10 surge de: 101)3(20 ++−++
12 surge de: 61)1(51 ++−++
13 surge de: 6)2()3(102 +−+−++
43 Surge de: 1374163 ++++
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
43
13
12
10
..
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ti
tzyx
−−−−
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
10
Como se ve en el cuadro ( I ), el primer elemento que se obtuvo se coloca en la segunda columna. A partir de él, se van ubicando el resto de los resultados como se observa en los cuadros ( II ), ( III ), ( IV ) y ( V).
521010 ×−×=
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1−
)1(2)3(11 −×−−×=−
12)2(14 ×−−×=−
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4−
62616 ×−×=−
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6−
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11−
12213111 ×−×=−
( I ) ( II )
( III ) ( IV )
( V )
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
11
En el cuadro ( V ) se observa que el valor 11− , se obtiene cómo se muestra en el recuadro, pero a la vez, este valor surge de la suma de todos los elementos de la fila. O sea,
)6()4()1(011 −+−+−+=−
5º paso: Luego se realizan los productos cruzados entre los elementos de la primera y la tercera fila, como se muestra a continuación:
En el cuadro anterior que se encuentra a la derecha se observa que el valor 7 , se obtiene cómo se muestra en el recuadro, pero a la vez, este valor que surge de la suma de todos los elementos de la fila. O sea, )5(4717 −+++=
6º paso: Se deja para el lector que verifique el cálculo de los elementos que se colocan en la tercera fila de la última etapa del cuadro siguiente, y que surgen de operar los elementos de la primera y la cuarta fila, A continuación se expone la solución:
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1
531611 ×−×=
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7
)1(3417 −×−×= 13714 ×−×=
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5−
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7 4
631315 ×−×=− 1234317 ×−×=
Sistemas de Ecuaciones Eduardo Gago
12
Cómo ejemplo se muestra, cómo se obtiene el valor 3− en la tercera fila del último paso. 7º paso: Luego de operar la primera fila con todas las siguientes de una en una, se realiza el mismo proceso con las filas obtenidas en el último paso.
Se vuelve a recordar que el elemento que está en la intersección entre la primera fila y la primera columna no puede ser nulo. Entonces un adecuado reordenamiento de las filas soluciona esta situación. Con las explicaciones anteriores se está en condiciones de volver a realizar el mismo procedimiento anterior tantas veces hasta llegar a tener una sola fila, quedando:
)1(0)3(13 −×−−×=−
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 11− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 0 1− 4− 6− 11−
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13
8º paso: Una vez que se llega a tener una sola fila, se escribe el sistema equivalente, tomando la primera fila de cada uno de los pasos, con excepción de aqueellas primeras filas donde el elemento de la primera columna es nulo, resultando:
==−−−=++
=+−+
12261
20717
547
65
)( 6
t
tz
tzy
tzyx
S
Observar que )( 6S es igual al sistema que aparece en la página 8 (sistema )( 5S ), que es el
sistema equivalente a )(S y cuya solución era:
)}2,2,1,3{( −−=S
Entonces se observa, que el algoritmo utilizado permite obtener un sistema equivalente igual al encontrado con el método de reducción. Entonces el Método de Gauss es el método que a partir de ahora se va adoptar para resolver todos los sistemas de ecuaciones lineales.
Al sistema equivalente final )( 6S , obtenido por el algoritmo de Gauss, se lo denomina sistema
equivalente reducido.
Observaciones para aplicar en el método de Gauss: a) El elemento que está ubicado en la primera columna, de las primeras filas de los diferentes pasos del algoritmo, debe ser distinto de cero. Caso contrario un adecuado reordenamiento de filas soluciona el inconveniente. b) El sistema se reduce hasta llegar a tener una sola fila.
43
13
12
10
.
13
6
6
10
74163
23102
1151
1320
ccti
tzyx
−−−−
10
43
13
12
10
13
6
6
1320
74163
23102
1151
−
−−−
0 1− 4− 6− 9− 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 1 7 4 5− 7 2 3− 1 10 10 0 1− 4− 6− 11− 17− 7− 20 4− 1− 4− 6− 11− 61122 183
Fila para armar e1 sistema equivalente
No tener en cuenta, tiene el elemento de la primera fila primera columna nulo
No tener en cuenta, tiene el elemento de la primera fila primera columna nulo
Fila para armar e1 sistema equivalente
Fila para armar e1 sistema equivalente
Fila para armar e1 sistema equivalente
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c) Luego de efectuar todas las operaciones elementales sobre un sistema, se va a obtener un sistema equivalente al dado, que se denomina “Sistema equivalente reducido”, y que se forma copiando la primera fila de cada paso (excepción hecha para aquellas primeras filas cuyo elemento en la primera columna sea nulo). d) Si en un sistema aparece una ecuación (una fila) cuyos coeficientes son nulos, y d1) si el término independiente de esta ecuación es también nulo, la ecuación se satisface con cualquiera de los valores de las incógnitas, por lo cual, suprimiéndola se obtiene un sistema equivalente. d2) si en cambio, el término independiente de tal ecuación es no nulo, la ecuación no puede ser satisfecha por ningún conjunto de valores de las incógnitas; en tal caso el sistema obtenido es incompatible y allí se concluye el proceso. En consecuencia no se construirá el “Sistema equivalente reducido”. e) Si la primera columna tiene todos sus elementos nulos, puede ser eliminada del proceso, y desaparecería en ese paso, esa incógnita en el sistema equivalente. f) Si se tiene una fila cuyos elementos tienen un factor común, se puede sacar factor y desecharlo. Rango de un sistema Se define “rango un sistema” ( sr ) al número de ecuaciones que forman el “Sistema
equivalente reducido”. Propiedades: a) Cómo se explicó en la propiedad d2) del punto anterior, sólo los sistemas compatibles tienen rango, ya que los sistemas incompatibles no generan un sistema equivalente reducido. b) Si el rango del sistema es igual al número de incógnitas el sistema es compatible a solución única. c) Si el rango del sistema es menor al número de incógnitas (n) el sistema es compatible a infinitas soluciones. Observación: En el ejemplo donde se encuentra la solución de )(S , el sistema equivalente
reducido tiene cuatro ecuaciones (4=n ), y su rango es 4 ( 4=sr ), en consecuencia )(S es
compatible solución única.
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a)
=++++=++++=++++=++++
7852
54442
108722
7542
)
54321
54321
54321
54321
1
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxxxx
S
b)
=+−+−=+++
=+++=+++
20103
22112
4623242
147
)
4321
4321
4321
4321
2
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
S
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a)
En ( I ) , ( II ) y ( IV) no se realiza intercambio de filas, ya que el elemento ubicado en la intersección entre la primera fila y la primera columna es no nulo. En ( III ) cómo la primera columna tiene todos sus elementos nulos se descartan, y se pasa a ( IV ). En ( V ) se observa
que el sistema es incompatible ya que 60 5 =x (cumple con lo dicho en d2), entonces no existe
ningún valor de 5x que cumpla con esa condición.
Respuesta: =1S {Ø}
b) En ( I ), ( II ) y ( IV ) no se realiza intercambio de filas, ya que el elemento ubicado en la intersección entre primera fila y la primera columna es no nulo. En ( III ) cómo la primera columna tiene todos sus elementos nulos se descartan, y se pasa a ( IV ). En ( V ) la fila está constituida por todos elementos nulos (cumple con lo dicho en d1), en consecuencia puede desestimarse.
El sistema equivalente reducido resulta:
−=−=+=+++
2
1892
147
4
42
4321
x
x x
xxxx
)S*
24
20
30
20
..
7
5
10
7
8
4
8
5
5211
4421
7212
421154321 cctix
xxxx
3100
1021
2121
−−−−−
0
2
4−
4
0
10−
0 1 3 6 10 0 1 3 0 4 1 3 6 10 1 3 0 4 0 6− 6−
( I )
( II )
( III ) ( IV ) ( V )
1x 2x 3x 4x ti cc. 1 1 1 7 14 24 2 4 2 23 46 77 1 2 1 11 22 37 1− 3 1− 10 20 31 2 0 9 18 29 1 0 4 8 13 4 0 17 34 55 0 1− 2− 3− 0 2− 4− 6− 1− 2− 3− 2− 4− 6− 0 0 0
( I )
( II )
( III ) ( IV ) ( V )
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El rango de )(S es 3 ( 3=sr ), y el número de incógnitas es 5 ( 5=n ), en consecuencia )(S es
compatible a infinitas soluciones. Ahora se encuentra la solución del sistema
22 44 =⇒−=− xx
00218182182.921892 222242 =⇒=⇒−=⇒=+⇒=+ xxxxxx
3131314321 0142.70147 xxxxxxxxxx −=⇒=+⇒=+++⇒=+++
Si tx =3 , entonces tx −=1
En consecuencia:
}),2,,0,{(2 RtttS ∈−=
Sistemas homogéneos Todo lo expuesto para sistemas de mµ n puede, aplicarse al caso particular de los sistemas homogéneos, es decir, a los sistemas cuyos términos independientes son iguales a cero. En un sistema homogéneo, al ser todos los términos independientes iguales a cero, es fácil notar que en el sistema equivalente reducido nunca se va a encontrar la situación que en una fila los coeficientes sean todos nulos y el término independiente sea distinto de cero. A partir de la conclusión anterior, se desprende que un sistema homogéneo nunca es incompatible Entonces, un sistema homogéneo es siempre compatible, pues siempre admite como solución el vector )0,.......,0,0( , llamada solución trivial. Sin embargo, puede, o no, admitir otras
soluciones que se las denomina soluciones no triviales o autosoluciones. Dicho de otra manera, un sistema homogéneo, si es compatible a solución única admite la solución trivial, y si es compatible a infinitas soluciones admite además de la solución trivial, otras soluciones que se llaman soluciones no triviales o autosoluciones.