INTRODUCCIÓNEn el siguiente informe se presenta una planificación de clase. El tema abordado es “Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas”. La siguiente fue pensada para un 4to año, en una escuela privada de la ciudad de Villa María, en particular el Instituto Secundario Bernardino Rivadavia. El curso cuenta con 37 alumnos (23 varones y 14 mujeres).

TEMA: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

CANT. DE ALUMNOS: 37

TIEMPO ESTIMADO: 6 módulo. Horas cátedra (240 minutos reloj)

OBJETIVOS: Conocer y analizar los sistemas de ecuaciones. Conocer y aplicar la gráfica de sistemas de ecuaciones como forma de obtener soluciones. Conocer y aplicar el método de igualación para resolver un sistema de ecuaciones. Aplicar los sistemas de ecuaciones en la resolución de problemas cotidianos. No tan cotidianos

CONTENIDOS CONCEPTUALES PREVIOS: Concepto de ecuación. Resolución de ecuaciones. Concepto y resolución ¿?? de función lineal.

.

RECURSOS DIDÁCTICOS: Pizarrón, tiza, regla.

El método gráfico de resolución de sistemas de ecuaciones puede ser impreciso en el caso de tener

soluciones que no son números enteros.

Por ello, se utilizan los llamados Métodos Algebraicos para la resolución de los sistemas de ecuaciones,

Entre ellos veremos el Método de Igualación y el Método de Sustitución.

Método de Igualación

Este método se basa en igualar expresiones en las que se despeja la misma incógnita.

1. Se despeja la misma incógnita en cada ecuación.

y=−5+2 x3

y=−4+x2

2. Se igualan las expresiones obtenidas, y se resuelve la ecuación con una incógnita.

−5+2 x3

=−4+x2

(−5+2 x ) .2=(−4+x ) .3

−10+4 x=−12+3 x

4 x−3 x=−12+10

x=−2

3. Se sustituye el valor de la incógnita hallada en cualquiera de las expresiones originales del sistema, y

así se obtiene el valor de la otra variable.

2 (−2 )−3 y=5

−4−3 y=5

−3 y=5+4

y=9: (−3 )

y=−3

La solución del sistema es: (-2;-3)

El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.

Por último es importante realizar la verificación de la solución hallada en las ecuaciones del sistema.

2 (−2 )−3 (−3 )=5−(−2 )+2. (−3 )=−4

−4+9=5+2−6=−4

5=5−4=−4

{2 x−3 y=5 ¿ ¿¿¿

Otro ejemplo:

{6 x−4 y=−22 ¿ ¿¿¿

Despejo la misma incógnita en ambas ecuaciones:

−4 y=−22−6 x−5 y=−11−2 x

y=−22−6 x−4

y=−11−2 x−5

Igualo:

−22−6 x−4

=−11−2 x−5

(−22−6 x ) . (−5 )= (−11−2 x ) . (−4 )

110+30x=44+8 x

30 x−8 x=44−110

22 x=−66

x=−6622

x=−3

Sustituyo en cualquiera de las dos ecuaciones originales:

6. (−3 )−4 y=−22

−18−4 y=−22

−4 y=−22+18

−4 y=−4

y=1

La solución del sistema es: (-3;1)

El sistema es COMPATIBLE DETERMINADO.

Verifico: 6. (−3 )−4.1=−222.(−3)−5.1=−11

−18−4=−22−6−5=−11

−22=−22−11=−11

Observación

Si al resolver algebraicamente un sistema, llegamos a una expresión del tipo: 0 . x = 0, válida para cualquier x, entonces estamos en presencia de un Sistema Compatible Indeterminado (tiene infinitas soluciones), ya que cualquiera sea el valor de x ya sabemos que cuando se multiplica por cero el resultado siempre es cero.

Si al resolver algebraicamente un sistema, obtenemos una expresión absurda de la forma: 0 . x = 2, que no se verifica para ningún valor de x (ningún valor de x convierte a la igualdad en verdadera), tenemos un Sistema Incompatible. (no tiene solución porque ningún valor de x satisface la igualdad).

Otro ejemplo:

{x−3 y=1 ¿ ¿¿¿

Despejo la misma incógnita en ambas ecuaciones:

−3 y=1−x6 y=4+2x

y=1−x−3

y=4+2 x6

Igualo:

1−x−3

=4+2 x6

(1−x ) .6= (4+2x ) .(−3)

6−6 x=−12−6x

−6 x+6 x=−12−6

0. x=−18

¿Qué número multiplicado por cero me da como resultado -18? No hay número que multiplicado por cero me

de -18, ya que todo número multiplicado por cero da como resultado cero. Entonces EL SISTEMA ES

INCOMPATIBLE, NO TIENE SOLUCIÓN.

Otro ejemplo: 4 x−2 y=6

8 x−4 y=12

Despejo la misma incógnita en ambas ecuaciones:

−2 y=6−4 x−4 y=12−8 x

y=6−4 x−2

y=12−8 x−4

Igualo:

6−4 x−2

=12−8 x−4

(6−4 x ) .(−4)=(12−8 x ) .(−2)

−24+16 x=−24+16 x

16 x−16 x=−24+24

0. x=0

¿Qué número multiplicado por cero me da como resultado 0? Todo número multiplicado por cero da como

resultado cero, por lo tanto x puede ser cualquier valor. Entonces EL SISTEMA ES COMPATIIBLE

DETERMINADO, TIENE INFINITAS SOLUCIONES.

Actividades:

1) Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación y clasifícalos. De ser posible determina

la solución en forma de par ordenado

1) 2 x−5 y=−9 b) 3 y=5−x c) 25x−1=5

2y

x+4 y=24 x−2 y−6=0 4 x−25 y=10

d) 5 x−2 y=11

−2 x−5 y=13

2) Identifica las variables, resuelve los siguientes problemas utilizando el método de igualación y escriba

la respuesta al problema.

a) En una fiesta, María adquiere 2 panchos y 3 gaseosas y paga por todo $ 5,90. Miriam se lleva 4

panchos y 2 gaseosas, por un total de $ 8,20. ¿Cuánto cuesta cada artículo?

b) Una empresa comercializa dos tipos de comidas enlatadas: las normales, que contienen 200 g de

carne y 150 g de papas, y las extras, que llevan 250 g de carne y 100 g de papas. Con 44 Kg de carne

y 26 Kg de papas, ¿cuántas comidas de cada tipo se pueden fabricar?

c) En una escuela hay 840 alumnos. La cantidad de alumnos en la sección primaria es 40% mayor que la

cantidad de alumnos de la sección secundaria ¿Cuántos alumnos hay en cada sección?

d) Una fábrica de chocolates blancos y amargos produce por día un total de 150 kg de chocolate. El

chocolate blanco tiene un costo de $ 0,30 el kilo y el amargo, de $ 0,75 el kilo. Si la empresa invirtió $

76,50 por día de producción ¿Cuántos kilos de cada tipo se producen por día?

e) Agregaría alguno del estilo: Si al doble de un número se le suma……

3) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación y por el método gráfico.

Clasifica el sistema.

a¿ 4 x− y=−6b¿5x− y=−12

6 x+3 y=0 −11 x−2 y=−3

Soluciones:

1) A) Solución: (-2;1) – Sistema Compatible Determinado

B) X=Solución: (2;1) – Sistema Compatible Determinado

C) Solución: Infinitas Soluciones – Sistema Compatible Indeterminado

D) Solución: (1;-3) – Sistema Compatible Determinado

2) A) X=Precio por pancho, Y= Precio por gaseosa.

2 x+3 y=5,90

4 x+2 y=8,20

X=$1,6 Y=$0,90 => Rta: El pancho cuesta $1,60 y la gaseosa cuesta $8,20.

B) X= Cantidad de comidas normales, Y=Cantidad de comidas extras

0,2 x+0,25 y=44

0,15 x+0,1 y=26

X=120 Y=80 => Rta: Se pueden fabricar 120 comidas normales y 80 extras.

C) X= Cantidad de alumnos de la sección primaria, Y=Cantidad de alumnos de la sección secundaria.

x+ y=840

x= 40100

y+ y

X=490 Y=350 => Rta: Hay 490 alumnos en la primaria y 350 en la secundaria.

D) X= Cantidad, en kilos, de chocolate blanco, Y=Cantidad, en kilos, de chocolate amargo.

x+ y=150

0,30 x+0,75 y=76,50

X=80 Y=70 => Rta: Se producen 80 kilos de chocolate blanco y 70 kilos de chocolate amargo.

3) A) Sistema Compatible Determinado

y=6+4 x y=−2x

Solución: (-1;2)

B) Sistema Compatible Determinado

y=12+5 x y=32−112x

Solución: (-1;7)