MTODOS DE SUMA Y RESTAMtodo de eliminacin por suma o restaLos siguientes pasos nos facilitan la aplicacin del mtodo: a)Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las incgnitas. b)Por suma o resta se elimina una de las incgnitas. e)Se resuelve la ecuacin lineal resultante. f)Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales para, encontrar el valor de la otra incgnita.Si las ecuaciones del sistema tienen alguna de las incgnitas de igual coeficientes el pasoprimero se omite.EJEMPLO:

1. Resolver el sistema (1)4x + 6y = -3(2) 5x + 7y = -2

Multiplicar los miembros de la ecuacin(1)por 5 y los de la ecuacin(2)por -4; resultando que los coeficientes de "x" se igualan y son de signo contrario.

5(4x + 6y = -3) 20x + 30y = - 15-4(5x + 7y = -2) -20x - 28y = 8

Sumando algebraicamente ambas ecuaciones, resulta:

20x + 30y = - 15- 20x - 28y = 8 0 2y = - 7

Resolviendo la ecuacin, tenemos:y = - 7/2Sustituyendo el valor determinado en cualquiera de las ecuaciones originales, se obtiene:

(1) 4x + 6(-7/2) = - 3 4x - 21 = - 3 4x = - 3 + 21 x = 18 / 4x = 9/2

(2) 5(9/2)+ 7(-7/2) = - 2 45/2-49/2= --4/2 = -2-2 = -2 Su comprobacin es:

4(9/2) + 6(-7/2) = - 3 18-21 = -3-3 = -3

Por lo tanto los valores que satisfacen al sistema son:x = 9/2 yy = -7/2

1.Se preparan las dos ecuaciones, multiplicndolas por los nmeros que convenga.2.La restamos, y desaparece una de las incgnitas.3.Se resuelve la ecuacin resultante.4.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5.Los dos valores obtenidos constituyen la solucin del sistema.Ejemplo:

Lo ms fcil es suprimir la y, de este modo no tendramos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuacin:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuacin inicial.

Solucin:

El mtodo de eliminacinObjetivos de aprendizajeResolver un sistema de ecuaciones cuando no es necesaria la multiplicacin para eliminar una variable.Resolver un sistema de ecuaciones cuando es necesaria la multiplicacin para eliminar una variable.Reconocer sistemas que no tienen solucin o que tienen un nmero infinito de soluciones.Resolver problemas de aplicacin usando el mtodo de eliminacin.IntroduccinElmtodo de eliminacinpara resolver sistemas de ecuaciones lineales usa la propiedad de la igualdad de la suma. Puedes sumar el mismo valor a cada lado de la ecuacin.Entonces si tienes un sistema:x 6 = 6 yx+ y= 8, puedes sumarx+yal lado izquierdo de la primera ecuacin y suma 8 a la derecha de la ecuacin. Y comox+y= 8, estas sumando el mismo valor a cada lado de la primera ecuacin.Usando la suma para eliminar una variableSi sumas las dos ecuaciones,xy= 6 yx+y= 8 como explicamos arriba, observa lo que pasa.

Has eliminado el trmino y y esta ecuacin puede resolverse usando los mtodos para resolver ecuaciones con una variable.Veamos cmo se resuelve este sistema usando el mtodo de eliminacin.Ejemplo

ProblemaUsa eliminacin para resolver el sistema. xy=6x+y= 8

Suma las ecuaciones.

2x= 2x= 1Resuelvex.

x+y= 81 +y= 8y= 8 1y= 7Sustituyex= 1 en una de las ecuaciones originales y resuelvey.

xy= 61 7 = 66 = 6VLIDOx+y= 81 + 7 = 88 = 8VLIDOAsegrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones!Los resultados son correctos.

RespuestaLa solucin es (1, 7).

Desafortunadamente no todos los sistemas resultan tan fciles. Por ejemplo, un sistema como 2x+y= 12 y3x+y= 2. Si usamos estas ecuaciones, no se elimina ninguna variable.

Pero quieres eliminar una variable. Por lo que sumas el opuesto de una de las ecuaciones con la otra ecuacin.2x+y=12 2x+y= 12 2x+y= 123x+y= 2 (3x+y) =(2) 3xy=2 5x+ 0y= 10Has eliminado la variabley, y ahora el problema puede resolverse. Veamos el ejemplo siguiente.Ejemplo

ProblemaUsa eliminacin para resolver el sistema.2x+y= 123x+y= 2

2x+y= 123x+y= 2Puedes eliminar la variable y si sumas el opuesto de una de las ecuaciones a la otra ecuacin.

2x+y= 12 3xy=25x= 10Reescribe la segunda ecuacin como su opuesto.Suma.

x= 2Resuelvex.

2(2) +y= 124 +y= 12y= 8Sustituyey= 2 en una de las ecuaciones originales y resuelvey.

2x+y= 122(2) + 8 = 124 + 8 = 1212 = 12 VLIDO3x+y= 23(2) + 8 = 26 + 8 = 22 = 2VLIDOAsegrate de comprobar tu respuesta en ambas ecuaciones!Los resultados son correctos.

RespuestaLa solucin es (2, 8).

Los siguientes son dos ejemplos mostrando cmo resolver un sistema lineal de ecuaciones usando eliminacin.Ejemplo

ProblemaUsa eliminacin para resolver el sistema.2x+ 3y=1 2x+ 5y= 25

2x+3y=1

2x+5y=25

Observa los coeficientes de cada variable en la ecuacin. Si sumas estas dos ecuaciones, el trminoxser eliminado porque 2x+ 2x= 0.

2x+3y=1

2x+5y=25

8y=24

y=3

Suma y resuelvey.

2x+ 5y= 252x+ 5(3)= 252x+ 15 = 252x= 10x= 5Sustituyey= 3 en una de las ecuaciones originales.

2x + 3y = 12(5) + 3(3) = 110 + 9 = 11 = 1VLIDO2x+ 5y= 252(5) + 5(3) = 2510 + 15 = 2525 = 25VLIDOComprueba las soluciones.Los resultados son correctos.

RespuestaLa solucin es (5, 3).

Ejemplo

ProblemaUsa eliminacin para resolverxyy.4x+ 2y= 145x+ 2y= 16

4x+2y=14

5x+2y=16

Observa los coeficientes de cada variable en cada ecuacin. Necesitars sumar el opuesto de una de las ecuaciones para eliminar la variabley, porque 2y+ 2y = 4y, pero2y+ (2y) = 0.

4x+2y=14

5x2y=16

x=2

x=2

Cambia una de las ecuaciones por su opuesto, suma y resuelvex.

4x+ 2y= 144(2) + 2y= 148 + 2y= 142y= 6y= 3Sustituyex= 2 en una de las ecuaciones originales y resuelvey.

RespuestaLa solucin es (2, 3).

Comprueba el ltimo ejemplo sustituye (2, 3) en ambas ecuaciones. Obtienes dos enunciados vlidos: 14 = 14 y 16 = 16!Observa que pudiste haber usado el opuesto de la primera ecuacin en lugar del de la segunda ecuacin y obtenido el mismo resultado.Usando la multiplicacin y la suma para eliminar variablesMuchas veces, sumar las ecuaciones o sumar el opuesto de una de las ecuaciones no resultar en la eliminacin de una variable. Observa el sistema siguiente.3x+ 4y =525x + y= 30Si sumas las ecuaciones anteriores o si sumas el opuesto de una de las ecuaciones, obtendrs una ecuacin que sigue teniendo dos variables. Entonces, primero usemos la propiedad multiplicativa de la igualdad. Puedes multiplicar ambos lados de las ecuaciones por un nmero que har que el coeficiente de una de las variables quede opuesto a la misma variable en la otra ecuacin.Es aqu donde la multiplicacin es til. Observa que la primera ecuacin contiene el trmino 4y, y la segunda ecuacin contiene el trminoy. Si multiplicas la segunda ecuacin por 4, cuando sumes las dos ecuaciones las variablesyse sumarn para ser 0.3x+ 4y =52 3x+ 4y =52 3x+ 4y = 525x + y= 30 4(5x+y) =4(30) 20x 4y=12017x+ 0y=68Veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo

ProblemaResuelvexyy.Ecuacin A: 3x+ 4y =52Ecuacin B: 5x +y= 30

3x+4y=52

5x+y=30

Busca los trminos que pueden ser eliminados. Las ecuaciones no tienen ningn trminoxoycon los mismos coeficientes.

3x+4y=52

4(5x+y)=4(30)

Multiplica la segunda ecuacin por4 para que tengan el mismo coeficiente.

3x+4y=52

20x4y=120

Reescribe el sistema y suma las ecuaciones.

17x=-68

x=4

Resuelvex.

3x+ 4y= 523(4) + 4y= 5212 + 4y= 524y= 40y= 10Sustituyex= 4 en una de las ecuaciones originales para encontrary.

3x+ 4y= 523(4) + 4(10) = 5212 + 40 = 5252 = 52VLIDO5x+y= 305(4) + 10 = 3020 + 10 = 3030 = 30VLIDOComprueba tu respuesta.Los resultados son correctos.

RespuestaLa solucin es (4, 10).

Existen otras maneras de resolver este problema. En lugar de multiplicar una ecuacin para eliminar una variable cuando las ecuaciones se suman, pudiste haber multiplicadoambasecuaciones por nmeros distintos.Ahora eliminemos la variablex. Multiplica la Ecuacin A por 5 y la Ecuacin B por3.Ejemplo

ProblemaResuelve x y y.3x+ 4y =525x + y= 30

3x+4y=52

5x+y=30

Busca los trminos que pueden ser eliminados. Las ecuaciones no tienen ningn trminoxoycon los mismos coeficientes

5(3x+4y)=5(52)

5x+y=0

15x+20y=260

5x+y=30

Para usar el mtodo de eliminacin, debes crear variables con el mismo coeficiente, luego puedes multiplicarlas. Multiplica la primera ecuacin por 5.

15x+20y=260

-3 (5x+y)=3(30)

15x+20y=260

15x3y=90

Ahora multiplica la segunda ecuacin 3.

15x+20y=+260

15x3y=90

17y=170

y=10

Luego suma las ecuaciones, y resuelvey.

3x+ 4y= 523x+ 4(10) = 523x+ 40 = 523x= 12x= 4Sustituyey= 10 en una de las ecuaciones originales para encontrarx.

RespuestaLa solucin es (4, 10).Llegas a la misma solucin que antes.

Estas ecuaciones fueron multiplicadas por 5 y3 respectivamente, porque eso te daba los trminos que suman 0. Asegrate de multiplicar todos los trminos de la ecuacin.Flix necesita encontrarxyydel siguiente sistema.Ecuacin A: 7y 4x= 5Ecuacin B: 3y+ 4x= 25Si quiere usar el mtodo de eliminacin para eliminar una de las variables, cul es la manera ms eficiente de hacerlo?A) Sumar la Ecuacin A y la Ecuacin BB) Sumar 4xa ambos lados de la Ecuacin AC) Multiplicar la Ecuacin A por 5D) Multiplicar la Ecuacin B por 1Mostrar/Ocultar Respuesta