SISTEMAS INECUACIONES

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Un sistema de inecuaciones lineales con una incógnita es el que está compuesto por dos o más inecuaciones lineales con una incógnita.

La solución de un sistema serán todos los valores de la incógnita (x) que satisfagan todas las inecuaciones, es decir la intersección de las soluciones de todas las inecuaciones.

La solución, una vez aplicadas las relaciones de equivalencia, pueden ser:

Todo R El conjunto vacíox = aUna semirrectaUno subconjunto abierto, cerrado o semiabierto.

Resolución de sistemas

1.- 2.x 3 ‑ ≤ x x ≤ 3 x ≤ 3 x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1

Solución: (- 1, 3 ] - 1 < x ≤ 3

- 1 3

2.- 2.x 4 ‑ ≤ 2 2x ≤ 6 x ≤ 3 x - 5 > - x + 1 2x > 6 x > 3

Solución: Ø 3 R

3.- x 3 ‑ ≤ x 0 ≤ 3 x = R x + 3 > - x + 1 2x > - 2 x > - 1

Solución: (- 1, + oo ) x > - 1

- 1

4.- x + 4 ≤ 8 x ≤ 4 x - 5 ≥ 1 x ≥ 6

Solución: Ø 4 6 R

- 1 0 1 R

PROBLEMAS de INECUACIONES

• Se siguen los mismos pasos que para resolver problemas de ecuaciones. Hay que tener especial cuidado al leer el enunciado; siempre hay algún indicio que nos señala que debemos obtener del mismo inecuaciones, no ecuaciones. Y la solución no es única, sino un conjunto o intervalo de valores.

• PROBLEMA_1

• Hallar el número de personas que trabajan en una oficina, si al tomar vacaciones la cuarta parte de los oficinistas quedan menos de 18 personas trabajando, y si hacen vacaciones la tercera parte, los que quedan trabajando son más de 14.

• RESOLUCIÓN• Sea x el número de personas que trabajan en la oficina• x – x/4 < 18 3x/4 < 18 3x < 72 x < 24 • x – x/3 > 14 2x/3 > 14 2x > 42 x > 21

• Solución: Trabajan 22 ó 23 personas

• Para resolver un sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas se debe proceder de forma gráfica. Pero si el sistema es de una ecuación lineal y una inecuación, se podrá resolver de forma analítica: Se despeja una cualquiera de las incógnitas de la ecuación, la expresión que resulte se sustituye en la inecuación, y finalmente se resuelve la nueva inecuación resultante.

• PROBLEMA_2

• Deseamos mezclar café de 1,8 E/kg con café de 2,4 E/kg para obtener 50 kg de mezcla a un precio inferior a 2,16 E/kg. Hallar en que intervalo está el número de kg que podemos mezclar de cada uno.

• Sea x el nº de kg de café de 1,8 €/kg• Sea y el nº de kg de café de 2,4 €/kg• x + y = 50 Ecuación y = 50 – x• 1,8.x + 2,4.y ≤ 2,16.50 Inecuación

• 1,8.x + 2,4.( 50 – x ) ≤ 108 1,8 x + 120 – 2,4 x ≤ 108 • - 0,6 x ≤ - 12 0,6 x ≥ 12 x ≥ 20

• Solución = { V x ε R / x ε [ 20, 50] } , { V y ε R / y ε [ 0, 30] }

• PROBLEMA_3

• Un comerciante vende 70 ordenadores de los que tiene en almacén y le quedan por vender más de la mitad. Recibe 6 unidades más y vende 36, con lo que le quedan menos de 42 por vender. ó Cuántos ordenadores tenía en el almacén inicialmente?

• RESOLUCIÓN

• Sea x el número de ordenadores que tenía inicialmente• x – 70 > x / 2 2.x – 140 > x x > 140 • x – 70 + 6 – 36 < 42 x – 100 < 42 x < 142

• Solución: Tenía 141 ordenadores.

• PROBLEMA PROPUESTO

• P-4 Una cooperativa decide comprar el doble de camiones que de tractores, pero no desea gastar más de 144.000 euros. Si cada tractor vale 15.000 euros y cada camión 9.000 euros ó Cuál es el número máximo de tractores que puede comprar?

• PROBLEMA_5

• Pedro tiene el triple de edad que Juan y Luis la mitad que Juan. Entre todos tienen menos de 12 años. Sumando la edad del que tiene más con la edad del que tiene menos, salen más de 6 años. ¿Qué edad tiene cada uno ?

• RESOLUCIÓN

• Sea x la edad de Juan, 3.x la edad de Pedro y x/2 la edad de Luis.

• x + 3.x + x/2 < 12 9.x < 24 x < 24/9 x < 2,66 • 3.x + x/2 > 6 7.x > 12 x > 12/7 x > 1,71

• Solución: Juan tiene 2 años, Pedro tiene 6 años y Luis tiene 1 año.

• PROBLEMA PROPUESTO

• P-6 Ayer fui a comprar 14 disquetes de ordenador y pagué algo más de 4,5 euros. Hoy he vuelto a comprar otros 20 , cada uno costaba 1 céntimo de euro menos que ayer, di 6,5 euros y dejé la vuelta de propina. ¿Cuánto costaba ayer cada uno ?.

Más problemas propuestos• P-7 La suma de dos números es menor que 5 . Hallar dichos

números.

• P-8 Si dos lados de un triángulo miden 3 m y 8 m, ¿entre qué valores estará comprendido el otro lado?

• P-9 Un jefe de taller dispone de 1.380 € para dar una gratificación a sus empleados. Si la gratificación es de 300 € le falta dinero, pero si la gratificación es de 120 € le sobran más de 720 €. ¿Cuántos empleados tiene?

• P-10 Multiplicando por 2 el dinero que tengo en el bolso derecho me da 2 € menos que lo que tengo en el bolso izquierdo. Si en total tengo menos de 5 €, ¿ qué cantidad de dinero tengo en cada bolso?.