Sistemas de medidas angulares

AÑO 2015

UNIDAD:1

DEFINICIÓN:

Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final.

O<

)

A

B

OA : Lado InicialOB : Lado final O : Vértice

SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

O<

) Un ángulo es positivo si susentido de giro es contrario alas manecillas del reloj.

POSITIVO

SENTIDO DE GIRO HORARIO

O <

) NEGATIVO

Un ángulo es negativo si susentido de giro es a favor delas manecillas del reloj.

La medida de un ángulo se puede expresar en cualquiera de estos 3 sistemas:

SISTEMA SEXAGESIMAL

( S )

SISTEMA CENTESIMAL( C )

SISTEMA RADIAL( R )

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

Llamado también ingles, es aquel sistema cuya unidad de medida angular es el grado sexagesimal (º) que es igual a la 360ava parte de una vuelta ( circunferencia)

nciaCircunfere 360

1

O

A

B

1º

NOTACIÓN:1º: un grado sexagesimal1’: un minuto sexagesimal1’’: un segundo sexagesimal

SISTEMA SEXAGESIMAL (S)

o1 GRADO : MINUTO : '1 SEGUNDO : "1

EQUIVALENCIAS

'o 601 "' 601

"o 36001

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 60 x 60

: 60 : 60

: 3600

< <

<<

<

<<<

< <

x 3600

Ejercicios de aplicación

1) Expresar 3945’ en grados sexagesimales

Resolución

''60

'1''30

Usando las equivalencias respectivas tenemos

º75,65

2) Expresar 45º25’30’’ a grados sexagesimales

Primero pasamos los 30’’ a minutos

'60

º1'3945

'5,0

Ahora tenemos 45º25,5’

'60

º1'5,25 º425,0

Sumamos: 45º + 0,425º

45,425º

45º25’30’’ 45,425º


3) Expresar 87,32º en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

º1

'60º32,0

87º + 0,32º

'2,19

87º + 19’ + 0,2’

'1

''60'2,0 ''12

87º +19’ + 12’’ 87,32º 87º19’12’’


4) Expresar 4058’’ en grados, minutos y segundos sexagesimales

Resolución

4058’’ 4058’’ 1º7’38’’60’’6458 7’

38’’

67’ 60’1º7’

5.- Expresa la medida de cada ángulo en grado, minutos y segundo

13,45º=

4600’’ =

7884’’ =

15,23º =

189º =

13º26’60’’

1º16’40’’

188º59’60’’

15º13’48’’

2º11’24’’

SISTEMA CENTESIMAL (C)

Llamado también sistema francés, es aquel sistema que tiene como unidad de medida angular el grado centesimal (g), que es igual a la 400ava parte del ángulo de una vuelta

nciaCircunfere 400

1

NOTACIÓN:1g: un grado centesimal1m :un minuto centesimal1s :un segundo centesimal

O

A

B

1g

SISTEMA CENTESIMAL (C)

GRADO : g1 MINUTO : m1 SEGUNDO : s1

EQUIVALENCIAS

g m1 100m s1 100

g s1 10000

GRADOS MINUTOS SEGUNDOS

x 100 x 100

x 10 000

: 100 : 100

: 10 000

< <

<<

<

<<<

< <


1) Expresar 50g 25m 45s a grados centesimales

Resolución

m

gm

100

125

g0045,0

Primero pasamos los 45s a grados centesimales

s

gs

10000

145

g25,0

La expresión 50g 25m 45s podemos escribirla

50g +25m +45s 50g +0,0045g +0,25g

50g +25m +45s 50,2545g


2) Expresar 20,3465g a grados , minutos y segundo centesimales

Resolución

g

mg

1

1003465,0

La expresión 20,3465g se puede escribir así

m65,34

La expresión 20,3465g podemos escribirla

20g +34m +65s 20g 34m 65s

20g + 0,3465g

m

sm

1

10065,0

s65

mm 65,034

SISTEMA RADIAL (R)

.. 1rad

R

R

R)

1 VUELTA = 2Π RAD

1 RAD = 57°17’ 45’’

LLAMADO TAMBIEN SISTEMA CIRCULAR. EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN.

UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO.

0 g180 200 rad

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

S180

C200

R

S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES

C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES

R : NÚMERO DE RADIANES


1) Convertir 72º a grados centesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g10

C

º9

º72 9

)10(72C g80C

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º72

º180

)rad (º72R

rad5

2R


2) Convertir 120g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

120

º9

S g

g

10

)º9(120S º108S

rad

R

200

Cg

rad

R

200

120g

g

g

g

200

)rad (120R

rad5

3R


Resolución

rad

R

º180

S

rad

rad4

5

º180

S

rad

rad4

5º180

S

º225S

escentesimaly lessexagesima grados a rad4

5 Expresar )3

rad

R

º200

C

rad

rad4

5

º200

C

rad

rad4

5º200

S

g250S


4) Convertir 24,5g a grados sexagesimales y radianes

Resolución

g10

C

º9

S g

g

10

5,24

º9

S 10

)9(5,24S º5,22S

rad

R

º200

C

rad

R

200

5,24g

g

200

)rad (5,24R

rad400

49R


5) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes, si se cumple que: C – S = 4

Resolución

4SC 4rad

R180

rad

R200

rad5

R

rad

R

º200

C

rad

R200C

rad

R180S

rad

R

º180

S

4rad

R20

6) Calcular la medida de un ángulo expresado en radianes si:

Resolución

rad10

R

10

5x3

9

7x5

S = 5x - 7 C = 3x + 5y

Calculando el valor de “x”

g10

C

º9

S 45x2770x50

7045x27x50 115x23 5x S = 5x - 7

S = 18Calculando “R”

rad

R

º180

S

rad

R

º180

º18

S = 5(5) - 7

Ejercicios propuestos

1) Expresar el complemento de 30º en el Sistema Circular.

a) rad3

rad

6

rad4

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

2) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que 2

8

CR

20

SR

a) rad6

rad

8

rad4

rad

5

rad

10

c)b) d) e)

3) Los ángulos congruentes de un triangulo isósceles son ( 8x – 3 ) º y ( 9x – 4 )g hallar la medida del ángulo desigual expresado en radianes

a) rad3

rad

5

2 rad10

rad

5

4rad

2

c)b) d) e)

Ejercicios propuestos

4) Hallar la medida de un ángulo expresado en radianes si se cumple que 3S – 2C = 14

a) rad9

rad

10

rad2

rad

5

rad

8

c)b) d) e)

5) Determinar la medida de un ángulo en radianes sabiendo que

m

mg

1

11

'1

'1º1E

a) rad rad 2 rad4

rad 5 rad

10

c)b) d) e)

6) Calcular el valor de

a) 160 171 162 163 174c)b) d) e)

202

CRSR5

*SECTOR CIRCULAR

*SECTOR CIRCULAR

*Es aquella porción de círculo limitado por dos radios y un arco de circunferencia

De la figura se obtiene:

A0B Sector Circular

*LONGITUD DE ARCO (l)*Es aquella porción de un arco de circunferencia,

se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia.

l = . r

Donde:

l : longitud de arco

: número de radianes del ángulo central

r : radio de la circunferencia

*ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR (S)*El área de un Sector Circular se calcula mediante

el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos.

También se tiene:

2

2rS

2

rlS

2

2lS

*ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR

*EJERCICIOS1. A partir de la figura, hallar: B = θ2 + θ + 2

Resolución:

Del sector AOB:

Del sector COD:

Entonces:

2. Del gráfico, hallar el área de la región sombreada

Resolución:

Entonces:

Del triángulo BOC:

3. A partir del gráfico, halle la longitud recorrida por la esfera, hasta impactar en CD. Si AB = BC = 4m

Resolución:

Longitud total:

4. Si una circunferencia se encuentra inscrita en un triángulo equilátero de lado 6 cm., entonces su longitud, es:

Resolución:

5. Del gráfico, calcular x/y siendo S1 = S2

Resolución:

6. Del gráfico, hallar L1 /L2 , siendo S1 = S2

Resolución:

7. En la figura: S1 = 2S2. Hallar: “θ”

Resolución:

8. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?

Resolución:

Como el área no varía, entonces:

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