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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
NOVIEMBRE 2018
SISTEMAS DE MÚLTIPLES
GRADOS DE LIBERTAD. ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL
ELABORADO POR
ING. DAVID GUTIÉRREZ CALZADA
NOVIEMBRE DE 2018
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 2
ÍNDICE
Introducción 3
Objetivos del tema 4
Aprendizajes previos 4
Desarrollo del tema 5
- Sistemas de varios grados de libertad 5 - Ejemplo 8
BIBLIOGRAFÍA
13
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 3
INTRODUCCIÓN
El presente documento contiene el desarrollo escrito del tema Sistemas de múltiples
grados de libertad y análisis modal espectral; tema que forma parte del tema 2,
Dinámica Estructural, dentro del programa de estudio de la unidad de aprendizaje
de Análisis Estructural 2. El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un
edificio de varios grados de libertad, la obtención de la ecuación dinámica, las
frecuencias, modos de vibrar y un análisis modal espectral utilizando las Normas
Técnicas Complementarias de Diseño por Sismo de la Ciudad de México,
publicadas en 2017.
El tiempo dedicado al desarrollo en el aula es de tres a cuatro sesiones de dos horas
cada una. Destinando dos clases para la teoría fundamental y dos clases para
ejercicios. Cabe aclarar que en el desarrollo delos ejercicios se hace nuevamente
referencia a la parte teórica fundamental.
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 4
Objetivos del tema Los objetivos corresponden de manera general a los de la unidad 2, por lo que este
tema cumple parcialmente a los mismos, ya que no está destinado el objetivo como
uno específico, siendo:
- Obtener la respuesta de sistemas dinámicos de varios grados de libertad,
sometidos a diferentes tipos de excitaciones.
Aprendizajes previos requeridos Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adquirido los conceptos
fundamentales de la respuesta de sistemas dinámicos de un grado de libertad, así
como la obtención de espectros de respuesta.
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 5
DESARROLLO DEL TEMA
Sistemas con varios grados de libertad
Para realizar un análisis dinámico de un edificio, se puede idealizar por medio de un
modelo de masas y resortes (Figura 1.1) concentrando la masa en las losas de cada
entrepiso, (al tener la mayor cantidad de peso concentrado en la losa en cada piso),
además se considera a la losa como un diafragma infinitamente rígido, donde las
masas sólo admiten traslaciones horizontales. En este modelo, únicamente las
columnas aportan rigidez (siempre que la losa se pueda comportar como un
diafragma rígido, en caso contrario se debe considerar la rigidez de la losa y de las
trabes que aportan a la rigidez de entrepiso). Este modelo se conoce como “edificio
de cortante”, donde no existen rotaciones de una sección horizontal, es decir, los
giros en la parte superior de las columnas son nulos y que su deformación axial es
despreciable.
Figura 1.1. Modelo de masas y resortes sin amortiguamiento
x (t)n
x (t)i
x (t)2
x (t)1m 1
m 2
m i
m n
m 1
m 2
m i
m n
kx (t)i
x (t)2
x (t)1
i+1
k i
k 2
k1
x (t)n
a (t) a (t)
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Donde el número de niveles representa los grados de libertad en esa dirección, y
los valores de representan los desplazamientos horizontales de cada masa.
Obsérvese que en el modelo no existe amortiguamiento.
Considerando un amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la
velocidad), se tienen un modelo que considera la fuerza inercial (de las masas), la
fuerza restitutiva (del resorte) y la de amortiguamiento (Figura 1.2).
Figura 1.2. Modelo de masas y resortes con amortiguamiento viscoso
Planteando el equilibrio dinámico, se obtienen ecuaciones del tipo
de forma matricial, para todo el sistema
1
donde es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad.
1Las matrices se denotan entre corchetes [ ], mientras que los vectores con llaves {} o bien con una línea en la parte superior.
ix
k i+1
k i
m i
k i+1 (x -x )i+1 i
k i (x -x )i i-1
c xi imi (x + a(t))i i
Hi
m 1
m 2
m i
m n
kx (t)i
x (t)2
x (t)1
i+1
k i
k 2
k1
x (t)n
a (t)
cn
ci
c2
c1
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1i i i i i i i i i i im x c x k k x k x k x ma t+ + + -+ + + - - = -!! !
M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + C⎡⎣ ⎤⎦ !x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = − M⎡⎣ ⎤⎦ a(t) 1{ }{ }1
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 7
Siendo [M] y [K] las matrices de masa y rigidez. Obsérvese que la matriz de
rigideces está acoplada (tienen en algunos de sus elementos rigideces de diferentes
entrepisos).
Modelo de 2 grados de libertad Considerando un modelo de dos grados de libertad y planteando su equilibro
dinámico para cada una de las masas, sin considerar amortiguamiento, se tiene:
sin considerar amortiguamiento, se tiene:
En forma matricial
Se obtiene un arreglo de matrices cuadradas de [2x2], donde la matriz de masas
tiene elementos en la diagonal, mientras que la de rigideces tiene elementos fuera
de la diagonal. Se dice que las ecuaciones están “acopladas”.
M⎡⎣ ⎤⎦ =
m1 0 0 0
0 m2 0
0 0 mi
mn
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
K⎡⎣ ⎤⎦ =
k1 + k2 −k2 0 0
−k2 k2 + k3 −k3
0 −k3 ki + ki+1
kn
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 2 1 0sm x x c x k x k x x+ + + - - =!! !! !
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 1 0sm x x c x k x x+ + + - =!! !! !
( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 1 0sm x x k x k x x+ + - - =!! !!
( ) ( )2 2 2 2 1 0sm x x k x x+ + - =!! !!
M⎡⎣ ⎤⎦ !!x + K⎡⎣ ⎤⎦ x = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales es necesario realizar una
transformación de coordenadas, mediante valores característicos, para poder
“diagonalizar” y desacoplar a [K], utilizando las siguientes ecuaciones de
transformación
Donde es la matriz modal, es la coordenada de las masas y son las
coordenadas productos de las transformadas. Sustituyendo se obtiene
Premultiplicando por
Definiendo a
y
se tiene que
Obteniéndose ecuaciones del tipo
donde las ecuaciones ya se encuentran desacopladas. Y la respuesta total del
sistema se obtiene por medio de una superposición modal
donde
x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y
!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !y
!!x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y
F x y
M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }
ΦT
Φ⎡⎣ ⎤⎦T
M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ !!y + Φ⎡⎣ ⎤⎦T
K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦ y = −!!xs Φ⎡⎣ ⎤⎦T
M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ }
M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T
M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦
K⎡⎣ ⎤⎦ *= Φ⎡⎣ ⎤⎦T
K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦
M⎡⎣ ⎤⎦ * !!y + K⎡⎣ ⎤⎦* y = − Φ⎡⎣ ⎤⎦T
M⎡⎣ ⎤⎦ 1{ } !!xs
m*
i yi + k*i yi = f *i
x = Φ⎡⎣ ⎤⎦ y
x = Φ1y1 +Φ2 y2 Φ⎡⎣ ⎤⎦ = Φ1 Φ2
⎡⎣
⎤⎦
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Las funciones obtenidas no dependen del tiempo y corresponden con la suma de
las máximas respuestas modales. Estas respuestas resultan conservadoras, puesto
que considera que las máximas respuestas de todos los modos ocurren en el mismo
instante de tiempo.
Una vez obteniendo la matriz modal, se puede normalizar esa matriz, de tal forma
que al hacer se obtendrán valores unitarios.
Normalizando los modos. Se considera
Multiplicando por cada vector modal
Armando la matriz modal normalizada
Verificando que son matrices diagonales
se obtiene una matriz diagonal Identidad
se obtiene una matriz diagonal con elementos
Factores de participación
Cuando se utilizan los vectores normalizados,
Seudoaceleración 𝑆𝑎# = 𝑎#𝑔
Desplazamientos totales de cada masa para cada modo i
Desplazamientos relativos se calcula la diferencia entre niveles consecutivos.
El desplazamiento real se obtiene multiplicando por Q y R calculado.
Regla de Rosenblueth. Valor esperado 𝐸(𝑠) = *𝑠+, + 𝑠,, + ⋯+ 𝑠/,
[ ]
1
2
* 0 0 00 * 0 0
* 0 0 * 0...
0 0 0 *
i
n
mm
m
m
M
é ùê úê ú
= ê úê úê úê úë û
1*im
iF
1*in iim
F = F
[ ] 1 2 ...n in n n= F F FF é ùë û
[ ] [ ][ ]n nT MF F
[ ] [ ][ ]n nT KF F 2
iw
[ ] { }[ ]
1. .
TinTin in
F iM
PM
F=F F
[ ] 1Tin inMF F =
( )2
. .
ii in
i
F P i SaX
w= F
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Ejemplo Considere el siguiente modelo estructural. Calcule las frecuencias, periodos y
formas de vibrar.
gravedad=981cm/s2 Datos:
W1=134.5736ton k1= 111.7368 ton/cm
W2=134.5736ton k2= 70.0468 ton/cm
W3=130.2572ton k3= 65.6452 ton/cm
W4= 89.4770 ton k4= 62.0069 ton/cm
La matriz de masas y rigideces son:
[ ]
1
2 2
3
4
0 0 0 0.1372 0 0 00 0 0 0 0.1372 0 0
. /0 0 0 0 0 0.1328 00 0 0 0 0 0 0.0912
M
mm
ton s segm
m
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
[ ]
1 2 2
2 2 3 3
3 3 4 4
4 4
0 0 181.7836 70.0468 0 00 70.0468 135.6920 65.6452 0
/0 0 65.6452 127.6521 62.00690 0 0 0 62.0069 62.0069
k k kk k k k
ton cmk k k k
k k
K
+ - -é ù é ùê ú ê ú- + - - -ê ú ê ú=
- + -ê ú - -ê úê ú ê ú- -ë ûë û
=
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Realizando , y utilizando queda como:
Por lo que el determinante:
Cuyas soluciones son (ordenando de menor a mayor):
Ahora obtenemos las siguientes frecuencias circulares:
K⎡⎣ ⎤⎦ −ω
2 M⎡⎣ ⎤⎦ = 0 ω2 = φ
[ ] [ ] [ ] [ ]2 0K M K Mw f- = - =
181.7836 0.1372 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 65.6452 0
00 65.6452 127.6521 0.1328 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912
ff
ff
- -é ùê ú- - -ê ú= =
- - -ê úê ú- -ë û
8 2 3 40.3185866143 10 461926.8511 1127.635743 0.9014854520 0.0002279065028 0E f f f f- + - + =
221 285.6942 rad
segw =
222 2639.8009 rad
segw =
223 21372.877 rad
segw =
224 21857.1336 rad
segw =
1 9.2571 radseg
w =
2 25.2943 radseg
w =
3 37.0524 radseg
w =
4 43.0945 radseg
w =
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Obteniéndose así los siguientes periodos con :
Para calcular los modos de vibración, se sustituye cada uno de los valores de
en la ecuación matricial .
Para el primer modo:
Utilizando , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:
Proponiendo un valor para (Recuerde que este sistema no tiene solución
única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de
soluciones) se obtiene , y
T = 2π
ω
1 0.67874T seg=
2 0.2484T seg=
3 0.16958T seg=
4 0.1458T seg=
ω2
K⎡⎣ ⎤⎦ −ω
2 M⎡⎣ ⎤⎦ ( )Φ = 0
ω21
[ ] [ ]( )21 1 K Mw- F =
( )( )
( )( )
1,1
2,1
3,1
4,1
181.7836 0.1372 85.6942 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 85.6942 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 85.6942 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 85.6942
F- -é ùæ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú F- - è øë û
1,1
2,1
3,1
4,1
170.0281 70.0468 0 0 070.0468 123.9365 65.6452 0 00 65.6452 116.2736 62.0069 00 0 62.0069 54.1907 0
F- æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - ç ÷ ç ÷ê ú= =ç ÷ ç ÷Fê ú- -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F-ë û è øè ø
1,1 2,1
1,1 2,1 3,1
2,1 3,1 4,1
3,1 4,1
170.0281 70.0468 070.0468 123.9365 65.6452 065.6452 116.2736 62.0069 0
62.0069 54.1907 0
F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷= =ç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F + F è øè ø
1,1 1f =
2,1 2.42f = 3,1 3.51f = 4,1 4.02f =
1
12.423.514.02
é ùê úê úF =ê úê úë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 13
Para el segundo modo:
Utilizando , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:
Proponiendo un valor para (Recuerde que este sistema no tiene solución
única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de
soluciones) se obtiene , y
22w
[ ] [ ]( )22 2 K Mw- F =
( )( )
( )( )
1,2
2,2
3,2
4,2
181.7836 0.1372 639.8 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 639.8 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 639.8 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 639.8
F- -é ù æ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú ç ÷F- -ê ú è øë û
[ ] [ ]( )1,2
2,222 2
3,2
4,2
94.0157 70.0468 0 0 070.0468 47.9241 65.6452 0 0
0 65.6452 42.6993 62.0069 00 0 62.0069 3.6507 0
K Mw
F- æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F-ë û è øè ø
1,2 2,2
1,2 2,2 3,2
2,2 3,2 4,2
3,2 4,2
94.0157 70.0468 070.0468 47.9241 65.6452 065.6452 42.6993 62.0069 0
62.0069 3.6507 0
F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F + F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F + F è øè ø
1,2 1f =
2,2 1.3422f = 3,2 0.0872f = - 4,2 1.481f = -
2
11.34220.08721.4810
é ùê úê úF =ê ú-ê ú-ë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 14
Para el tercer modo:
Utilizando , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:
Proponiendo un valor para (Recuerde que este sistema no tiene solución
única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de
soluciones) se obtiene , y
23w
[ ] [ ]( )23 3 K Mw- F =
( )( )
( )( )
1,3
2,3
3,3
4,3
181.7836 0.1372 1372.877 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 1372.877 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 1372.877 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 1372.877
F- -é ù æ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú ç ÷F- -ê ú è øë û
[ ] [ ]( )1,3
2,323 3
3,3
4,3
6.5477 70.0468 0 0 070.0468 52.6393 65.6452 0 0
0 65.6452 54.6385 62.0069 00 0 62.0069 63.213 0
2
K Mw
F- - æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- - -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F- -ë û è øè ø
1,3 2,3
1,3 2,3 3,3
2,3 3,3 4,3
3,3 4,3
6.5477 70.0468 070.0468 52.6393 65.6452 065.6452 54.6385 62.0069 0
62.0069 63.2132 0
- F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F - F è øè ø
1,3 1f =
2,3 0.0935f = - 3,3 0.9921f = - 4,3 0.9732f =
3
10.09350.99210.9732
é ùê ú-ê úF =ê ú-ê úë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 15
Para el cuarto modo:
Utilizando , se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones:
Proponiendo un valor para (Recuerde que este sistema no tiene solución
única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de
soluciones) se obtiene , y
24w
[ ] [ ]( )24 4 K Mw- F =
( )( )
( )( )
1,4
2,4
3,4
4,4
181.7836 0.1372 1857.1336 70.0468 0 070.0468 135.6920 0.1372 1857.1336 65.6452 00 65.6452 127.6521 0.1328 1857.1336 62.00690 0 62.0069 62.0069 0.0912 1857.1336
F- -é ù æ öç ÷ê ú F- - - ç ÷ê ú=ç ÷ê ú F- - -ç ÷ê ú ç ÷F- -ê ú è øë û
[ ] [ ]( )1,4
2,424 4
3,4
4,4
72.978 70.0468 0 0 070.0468 119.0696 65.6452 0 0
0 65.6452 118.9381 62.0069 00 0 62.0069 107.3823 0
K Mw
F- - æ öé ù æ öç ÷ ç ÷ê ú F- - - ç ÷ ç ÷ê ú- F = =ç ÷ ç ÷Fê ú- - -ç ÷ ç ÷ê ú ç ÷F- -ë û è øè ø
1,4 2,4
1,4 2,4 3,4
2,4 3,4 4,4
3,4 4,4
72.978 70.0468 070.0468 119.0696 65.6452 065.6452 118.9381 62.0069 0
62.0069 107.3823 0
- F - Fæ ö æ öç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷=ç ÷ ç ÷- F - F - Fç ÷ ç ÷ç ÷- F - F è øè ø
1,4 1f =
2,4 1.0418f = - 3,4 0.8227f = 4,4 0.4751f = -
4
11.04180.82270.4751
é ùê ú-ê úF =ê úê ú-ë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
Página 16
Armando la matriz modal
Dibujando las formas modales
Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4
Obteniendo la matriz y
Obteniendo la matriz
[ ] 1 2 3 4
1 1 1 12.4273 1.3422 0.0935 1.04183.5157 0.0872 0.9921 0.82274.0228 1.4810 0.9732 0.4751
é ùê ú- -ê ú= éF F F F ù =ë û ê ú- -ê
F
ú- -ë û
M⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T
M⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦
[ ]
4.0627 0 0 00 0.5854 0 0
*0 0 0.3554 00 0 0 0.3965
M
é ùê úê ú=ê úê úë û
K⎡⎣ ⎤⎦*= Φ⎡⎣ ⎤⎦T
K⎡⎣ ⎤⎦ Φ⎡⎣ ⎤⎦
[ ]
348.1499 0 0 00 374.517 0 0
*0 0 487.9864 00 0 0 736.4132
K
é ùê úê ú=ê úê úë û
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Página 17
Normalizando los modos. Considerando
Multiplicando por cada vector modal
Armando la matriz modal normalizada
1
2
3
4
* 4.06270* 0.58536* 0.35545* 0.39653
mmmm
====
1*im
iF
1 11
0.49611.204311.7442*1.9958
n m
æ öç ÷ç ÷F = F =ç ÷ç ÷è ø
2 22
1.30701.754310.1140*1.9357
n m
æ öç ÷ç ÷F = F =ç ÷-ç ÷-è ø
3 33
1.67730.156811.6640*1.6323
n m
æ öç ÷-ç ÷F = F =ç ÷-ç ÷è ø
4 44
1.58801.654511.3065*0.7544
n m
æ öç ÷-ç ÷F = F =ç ÷ç ÷-è ø
[ ] 1 2 3 4
0.4961 1.3070 1.6773 1.58801.2043 1.7543 0.1568 1.65451.7442 0.1140 1.6640 1.30651.9958 1.9357 1.6323 0.7544
n n n n n
é ùê ú- -ê ú= éF F F F ù =ë û ê ú- -ê
F
ú- -ë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Verificando que son matrices diagonales
se obtiene una matriz diagonal unitaria
matriz diagonal con en la diagonal
Factores de participación
Considerando los datos sísmicos del archivo anexo.
Seudoaceleración(modo i)
Desplazamiento (modo i)
Desplazamientos de entrepiso (modo i) =
Rigideces de entrepiso =
Cortantes de entrepiso (modo i) =
[ ] [ ][ ]
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Tn nM
é ùê úê ú=ê úê
û
F
ë
F
ú
[ ] [ ][ ]
85.7 0 0 00 639.8 0 00 0 1372.9 00 0 0 1857.1
Tn nK
é ùê úê ú=ê úê úë û
F F 2iw
[ ] { }[ ]
1. .
TinTin in
F iM
PM
F=F F
. .1 0.646900
. .2 0.228260
. .3 0.136510
. .4 0.095546
F PF PF PF P
====
i iSa a g=
( )2
. .
ii in
i
F P i SaX
w= F
1 1
2 1 2
3 2 3
4 3 4
i i
i i ii
i i i
i i i
X XX X X
XX X XX X X
Dé ù é ùê ú ê ú- Dê ú ê úD = =ê ú ê ú- Dê ú ê ú- Dë û ë û
1
2
3
4
KK
KKK
é ùê úê ú=ê úê úë û
( )( )( )( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
i i i
i i ii
i i i
i i i
X X VX X V
VX X VX X V
Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê ú= =ê ú ê úDê ú ê úDê ú ë ûë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Modo 1 (modo fundamental): Factor de participación modal =
Periodo =
Aceleración espectral en función de g =
Factor de comportamiento sísmico =
Seudoaceleracion=
Desplazamientos totales =
Desplazamientos de entrepiso=
Rigideces de entrepiso =
Cortantes de entrepiso =
Modo 2:
Factor de participación modal =
Periodo =
Aceleración espectral en función de g =
Factor de comportamiento sísmico =
. .1 0.6469F P =
1 0.67874T seg=
1 0.13332a =
2Q =
21 130.7848 cmSa s=
11
211
31
41
0.48981.1890
cm1.72211.9705
T
XX
XXX
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
11
211
31
41
0.48980.6991
cm0.53310.2484
XX
XXX
Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê úD = =ê ú ê úDê ú ê úD ë ûë û
1
2
3
4
111.736870.0468
ton65.645262.0069
KK
KKK
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
11
211
31
41
54.730948.9728
ton34.995915.4014
VV
VVV
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
. .2 0.22826F P =
2 0.2484T seg=
2 0.1204a =
2Q =
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Seudoaceleracion=
Desplazamientos totales =
Desplazamientos de entrepiso=
Rigideces de entrepiso =
Cortantes de entrepiso =
Modo 3:
Factor de participación modal =
Periodo =
Aceleración espectral en función de g =
Factor de comportamiento sísmico =
Seudoaceleracion=
Desplazamientos totales =
22 118.1082 cmSa s=
12
222
32
42
0.05510.0739
cm0.00480.0816
T
XX
XXX
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú-ë ûë û
12
222
32
42
0.05510.0188
cm0.07870.0768
XX
XXX
Dé ù é ùê ú ê úDê ú ê úD = =Dê ú -ê úê ú ê úD -ë ûë û
1
2
3
4
111.736870.0468
ton65.645262.0069
KK
KKK
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
12
222
32
42
6.15401.3201
ton5.16784.7599
VV
VVV
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú-ë ûë û
. .3 0.13651F P =
3 0.16958T seg=
3 0.10871a =
2Q =
23 106.6467 cmSa s=
13
233
33
43
0.01780.0017
cm0.01760.0173
T
XX
XXX
é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú
ë ûë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Desplazamientos de entrepiso=
Rigideces de entrepiso =
Cortantes de entrepiso =
Modo 4:
Factor de participación modal =
Periodo =
Aceleración espectral en función de g =
Factor de comportamiento sísmico =
Seudoaceleracion=
Desplazamientos totales =
Desplazamientos de entrepiso=
Rigideces de entrepiso =
13
233
33
43
0.01780.0194
cm0.01600.0350
XX
XXX
Dé ù é ùê ú ê úD -ê ú ê úD = =Dê ú -ê úê ú ê úD ë ûë û
1
2
3
4
111.736870.0468
ton65.645262.0069
KK
KKK
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
13
233
33
43
1.98751.3624
ton1.04932.1675
VV
VVV
é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú -ê úê ú ê ú
ë ûë û
. .4 0.095546F P =
4 0.1458T seg=
4 0.1047a =
2Q =
24 102.7151 cmSa s=
14
244
34
44
0.00840.0087
cm0.00690.0040
T
XX
XXX
é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú-ë ûë û
14
244
34
44
0.00840.0171
cm0.01560.0109
XX
XXX
Dé ù é ùê ú ê úD -ê ú ê úD = =Dê ú ê úê ú ê úD -ë ûë û
1
2
3
4
111.736870.0468
ton65.645262.0069
KK
KKK
é ù é ùê ú ê úê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú
ë ûë û
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Cortantes de entrepiso =
Para que se pueda utilizar SRSS, es necesario que la diferencia entre los periodos
sea mayor al 10%
Diferencia en porcentaje entre el periodo 2 y el periodo 1 = 63.4023%
Diferencia en porcentaje entre el periodo 3 y el periodo 2 = 31.7337%
Diferencia en porcentaje entre el periodo 4 y el periodo 3 = 14.0206%
Los porcentajes de diferencia son mayores del 10%, entonces es adecuado utilizar
la regla SRSS (regla de Rosenblueth)
Valor esperado de la acción (regla de Rosenblueth):
Cortantes estimados
14
244
34
44
0.93771.2003
ton1.02720.6753
VV
VVV
é ù é ùê ú ê ú-ê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê ú-ë ûë û
( )modos
2
1i i j
jE S S
=
æ ö= ç ÷
è øå
2 2 2 21 11 12 13 14estimadoV V V V V= + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 54.7309 6.1540 1.9875 0.9377estimadoV = + + +
1 55.1196 tonestimadoV =
2 2 2 22 21 22 23 24estimadoV V V V V= + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 48.9728 1.3201 1.3624 1.2003estimadoV = + + - + -
2 49.0242 tonestimadoV =
2 2 2 23 31 32 33 34estimadoV V V V V= + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 34.9959 5.1678 1.0493 1.0272estimadoV = + - + - +
3 35.4059 tonestimadoV =
2 2 2 24 41 42 43 44estimadoV V V V V= + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 15.4014 4.7599 1.0493 0.6753estimadoV = + - + - + -
4 16.2792 tonestimadoV =
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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Desplazamientos totales estimados
Desplazamientos de entrepiso estimados
Nota: Falta obtener los valores esperados reales para comparar con los
desplazamientos permisibles por sismo de acuerdo a las NTCDS2017 de la
CDMX.
2 2 2 2. 1 11 12 13 14total estimadoX X X X X= + + +
. 1 0.4933 cmtotal estimadoX =
2 2 2 2. 2 21 22 23 24total estimadoX X X X X= + + +
. 2 1.1913 cmtotal estimadoX =
2 2 2 2. 3 31 32 33 34total estimadoX X X X X= + + +
. 3 1.7222 cmtotal estimadoX =
2 2 2 2. 4 41 42 43 44total estimadoX X X X X= + + +
. 4 1.9772 cmtotal estimadoX =
2 2 2 2. 1 11 12 13 14entrepiso estimadoX X X X X= D +D +D +D
. 1 0.4933 cmentepiso estimadoX =
2 2 2 2. 2 21 22 23 24entrepiso estimadoX X X X X= D + D + D + D
. 2 0.69988 cmentepiso estimadoX =
2 2 2 2. 3 31 32 33 34entrepiso estimadoX X X X X= D + D + D + D
. 3 0.53935 cmentepiso estimadoX =
2 2 2 2. 4 41 42 43 44entrepiso estimadoX X X X X= D + D + D + D
. 4 0.26254 cmentepiso estimadoX =
Sistemas de múltiples grados de libertad [26.nov.2018] Ing. David G.C.
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BIBLIOGRAFÍA Bazán/Meli, R. (1999). Diseño Sísmico de Edificios, Limusa Noriega Editores, México. D.F.
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Sáez, (2000). Estructuras III. Arquitectura de Sevilla., España
Valdés, J. (2004). Apuntes de la clase de Ingeniería sísmica, Maestría, UAEMex,
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