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Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado

Ecuacin diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento AhoraTomaremos en cuenta una fuerza externa, f(t), que acta sobre una masa oscilatoria en un resorte; por

ejemplo, f(t) podra representar una fuerza de impulsin que causara un movimiento oscilatorio vertical

del soporte del resorte (Fi!)! "a inclusin de f(t) en la formulacin de la seunda le# de $e%ton da la

ecuacin diferencial del movimiento forzado:

&l dividir esta ecuacin por m se obtiene

FIGURA

'onde F(t) f(t)m #, al iual que en la seccin anterior, * /m, %* +m! ara resolver esta ecuacin

no -omo.nea tenemos el m.todo de los coeficientes indeterminados o el de la variacin de par/metros!

EJEMPLO 01 Interpretacin de un problema de valor inicial

0nterprete # resuelva el problema de valor inicial

SOLUCIN odemos ver el problema como la representacin de un sistema vibratorio formado por una

masa (m 12 slu o +) unida a un resorte (+ * lbft o $m)! "a masa parte del reposo a 1* unidad (ft

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o m) abajo de su posicin de equilibrio! 3l movimiento es amortiuado (4 1!*) # est/ impulsado por

una fuerza externa peridica (T 5* s) que se inicia cuando t 6! 7abra esperar, intuitivamente, que

aun con amortiuamiento el sistema permanecer/ en movimiento -asta el momento en que la funcin

forzada se 8desconectara9 # en adelante las amplitudes disminu#eran; sin embaro, tal como est/

enunciado el problema, f(t) 2 cos 4tpermanecer/ 8conectada9 por siempre!

rimero multiplicamos por 2 la ecuacin diferencial (*:)

# la resolvemos con los m.todos acostumbrados! 'ado que rn1 < = i, rn2 < i, entonces

x,(t) e3t

(c1 cos t = c* sen t).

&plicamos el metodo de los coeficientes indeterminados, suponiendo que una solucin particular tiene la

forma xp(t) & cos 4t =B sen 4t. 3ntonces

Xp= -4A sen>t = 4B cos 4t, ?@@p -16A cos4t 1:Asen>t

de modo que

3l sistema resultante de ecuaciones

7uando -acemos t 6 en la ecuacion de arriba obtenemos ct

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