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Sistemas DinámicosUna introducción a través de ejercicios
5ª Edición
Sistemas DinámicosUna introducción a través de ejercicios
Eva Sánchez · José González · Joaquín Gutiérrez
D XTRAEDITORIAL
5ª Edición
Consulte la página www.dextraeditorial.com
Diseño de cubierta: ©TheIdeas · www.ideasjc.net© Eva Sánchez, José González, Joaquín Gutiérrez© Sección de Publicaciones de la Escuela TécnicaSuperior de Ingenieros Industriales. Universidad Politécnica de Madrid© Dextra Editorial S.L.C/Arroyo de Fontarrón, 271, 28010 MadridTeléfono: 91 773 37 10Reservados todos los derechos. Está prohibido, bajo las sanciones penales y el resarcimiento civil previstos en las leyes,reproducir, registrar o trasmitir esta publicación, íntegra o parcialmente por cualquier sistema de recuperación y porcualquier medio, sea mecánico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia o por cualquier otro, sin laautorización expresa por escrito de Dextra Editorial. S.L.ISBN: 978‐84‐16277‐18‐6Depósito legal: M‐29436‐2014Impreso en España. Printed in Spain
Fundamentos de los sistemas de control11
n
Rn
R
C
A R
A C
n
R
C
(F (t) = 0) (a = 0)(F (t) = 0) (a ̸= 0)
[Teoría de sistemas.]Sistemas Dinámicos2 [Teoría de sistemas.] 2
n
Rn
R
C
A R
A C
n
R
C
(F (t) = 0) (a = 0)(F (t) = 0) (a ̸= 0)
Fundamentos de los sistemas de control33
δR
R[a, b]
[Teoría de sistemas.]Sistemas Dinámicos4 [Teoría de sistemas.] 4
δR
R[a, b]
Fundamentos de los sistemas de control55
(x− λ)2 + y2 = 1
OP = PM
aa
x′ = x2 x(0) = x0
x′ = x2/3 x(0) = 0x = 1/(2− sen t)x = 1/(1− sen t)
x′ = ax
MJ = JA∗
[Teoría de sistemas.]
(x− λ)2 + y2 = 1
OP = PM
aa
x′ = x2 x(0) = x0
x′ = x2/3 x(0) = 0x = 1/(2− sen t)x = 1/(1− sen t)
x′ = ax
MJ = JA∗
Fundamentos de los sistemas de control77
y2 = (x2 − a)2
x′ = y y′ = 2x3 − 2axx′ = −xy2 y′ = −x2y
a
x′ = 2xy y′ = y2 − x2
y(1 + x2) = Cx′ = −x(1 + x2) y′ = 2x2y
x′ = y + xy y′ = −x+ y2
x′ = x(b− ax) + y y′ = (c− ax+ b)yx′ = x2 − y y′ = 1− y
x′ = −x2 + 2x+ y y′ = y − xyx′ = −x2 + 2x+ y y′ = y − xy
x2 + y2 + 9 = −10x/λOY
x′ = 2xy y′ = 9− x2 + y2
x′ = y − y3 y′ = x− x3
x′ = x− y2 y′ = x2 − yx′ = x(x2 − 1) y′ = y(1− y2)r′ = r(r2 − 1) θ′ = r2
ρ′ = −ρ(ρ2 + b2) θ′ = 1ρ′ = −ρ(ρ2 − b2) θ′ = 1
S ′ = −aSE E ′ = aSE − bE
x′ = x+ y−xy− y2 y′ = xy+x2−x− y
T (x) = 1− 2|x− 1/2|T 2 T 3
µ = 1/2µ = 2
λ µλ µ
t1, t2 < 0t1 < 0 t2 > 0t1, t2 > 0
xP ω0
xP a → 0
(t0, t1)
Vω O+(x0)
x′/xx2 + y2 − x2y2 = 1
x′ = x2y − y y′ = x− xy2
x′ = x2 + y − 1 y′ = −2xyx′ = xy2 − x y′ = x2y − y
[Teoría de sistemas.]Sistemas Dinámicos8 [Teoría de sistemas.] 8
y2 = (x2 − a)2
x′ = y y′ = 2x3 − 2axx′ = −xy2 y′ = −x2y
a
x′ = 2xy y′ = y2 − x2
y(1 + x2) = Cx′ = −x(1 + x2) y′ = 2x2y
x′ = y + xy y′ = −x+ y2
x′ = x(b− ax) + y y′ = (c− ax+ b)yx′ = x2 − y y′ = 1− y
x′ = −x2 + 2x+ y y′ = y − xyx′ = −x2 + 2x+ y y′ = y − xy
x2 + y2 + 9 = −10x/λOY
x′ = 2xy y′ = 9− x2 + y2
x′ = y − y3 y′ = x− x3
x′ = x− y2 y′ = x2 − yx′ = x(x2 − 1) y′ = y(1− y2)r′ = r(r2 − 1) θ′ = r2
ρ′ = −ρ(ρ2 + b2) θ′ = 1ρ′ = −ρ(ρ2 − b2) θ′ = 1
S ′ = −aSE E ′ = aSE − bE
x′ = x+ y−xy− y2 y′ = xy+x2−x− y
T (x) = 1− 2|x− 1/2|T 2 T 3
µ = 1/2µ = 2
λ µλ µ
t1, t2 < 0t1 < 0 t2 > 0t1, t2 > 0
xP ω0
xP a → 0
(t0, t1)
Vω O+(x0)
x′/xx2 + y2 − x2y2 = 1
x′ = x2y − y y′ = x− xy2
x′ = x2 + y − 1 y′ = −2xyx′ = xy2 − x y′ = x2y − y
Fundamentos de los sistemas de control99
µ = 42 µ > 3
µ = 4
t ≥ 0 t ≥ uδδ
m f(x) = x [−π, π][−4, 4]
cosπx [1, 2] R
m f(x) = cos πx [1, 2]
[Teoría de sistemas.]Sistemas Dinámicos10 10
PrólogoEste libro ha sido escrito con la clara intención de ayudar en el estudio a aquelloslectores que han de abordar las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Hemos puesto el énfasis en el estudio cualitativo de las ecuaciones diferencialesy los sistemas dinámicos como herramienta importante para la comprensión delcomportamiento de procesos de evolución. Es este un enfoque moderno y en conti‐nuo desarrollo por su gran interés desde el punto de vista de las aplicaciones, comopuede comprobarse con una revisión de la bibliogra"ía extensísima y en continuaexpansión que actualmente se dedica a los sistemas dinámicos y sus aplicaciones endiversos campos de la ciencia, como son la Física, la Biología o la Economía. Somos conscientes de la carencia que supone el no incluir aspectos de cálculonumérico, que no solo son indispensables en un estudio más profundo, sino queaclaran e impulsan el desarrollo de multitud de aspectos. Sin embargo, cualquierdocente debe abordar una programación de contenidos coherente y realista con lasposibilidades de asimilación en el tiempo que se dispone para la impartición de lamateria, lo que nos han obligado a efectuar una elección, que siempre conlleva unarenuncia. No hemos de ocultar que han in"luido en ella, además del convencimientode la importancia y actualidad del estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales,nuestras preferencias personales. Por otra parte, descarga algo nuestra inquietud laseguridad de que los lectores interesados tienen múltiples ocasiones de encontrarsecon el Cálculo Numérico en sus diferentes aspectos. Dedicamos un primer capítulo a los métodos de resolución elemental de ecua‐ciones diferenciales ordinarias. Comenzar el estudio aprendiendo gran variedad detécnicas de integración puede conducir a la impresión errónea de que la resoluciónexplícita de las ecuaciones diferenciales de primer orden es tan solo un problemade habilidad y experiencia en el manejo de cálculos complicados. Nada más lejos dela realidad, ya que el colectivo de ecuaciones diferenciales ordinarias que admitenresolución explícita es muy reducido. Por ello, en la aplicación a problemas prácticos,los métodos aproximados para un análisis cuantitativo de las soluciones y los méto‐dos cualitativos son esenciales. Sin embargo, es necesario adquirir alguna experien‐
cia en la obtención de soluciones, por lo que animamos al lector a resolver los ejer‐cicios que se proponen en este primer capítulo. Nuestra intención no ha sido escribir un mero libro teórico sobre ecuaciones di‐ferenciales, porque ya existe muy variada bibliogra"ía escrita por autores de grancompetencia en el tema, que cubre cualquier aspecto que se desee, numérico o cua‐litativo. Sin embargo, no hemos dudado en introducir la teoría necesaria, sin efectuarcasi nunca demostraciones, que pueda ayudar a conseguir una mejor comprensiónde los métodos expuestos. Al mismo tiempo, hemos procurado que el texto sea au‐tosuficiente, de manera que el lector que solo desee aprender a manejar ciertas téc‐nicas, pueda lograrlo. Hemos procurado que los enunciados de los teoremas seanclaros y precisos, aunque no aparezca su demostración en la mayoría de los casos.Estas notas están dedicadas a estudiantes que no tienen una base matemáticamuy avanzada, con la intención de que puedan adentrarse en el campo de las apli‐caciones sin perderse en desarrollos matemáticos de un nivel superior al suyo.Hemos hecho hincapié en conseguir una presentación: clara de ciertos conceptostécnicos, relacionados principalmente con la teoría de la estabilidad de los sistemasdinámicos y sus aplicaciones, aun a costa de prescindir del formalismo y del rigorextremo.Creemos que el interés y la originalidad que puedan aportar estas notas se debenesencialmente al criterio de selección de los ejercicios y a su presentación, orientadaa la modelación de procesos "ísicos y naturales y, en esta línea, esperamos que sirvande ayuda para la utilización posterior de textos especializados. La mayor parte delos ejercicios y de las ideas que subyacen en las aplicaciones se han tomado de otrostextos, artículos y exámenes propuestos en centros universitarios.Se incluye al final una breve lista de referencias bibliográficas, con los principalestextos que hemos utilizado en la redacción de este trabajo.Agradecemos al Profesor Bernardo de la Calle la lectura cuidadosa que ha efec‐tuado de este texto así como las modificaciones que ha sugerido.
