Sistemas Dinmicos de Primer Orden

Sistemas dinmicos de orden superiorSistemas dinmicos de orden superior:Tanques en serie Sistema No interactivo:Los sistemas de orden superior pueden ser Interactivos y no interactivos:

Un ejemplo tpico de este tipo de sistemas es el sistema de tanques; se deben determinar las funciones de transferencia que relacionan el nivel del segundo tanque con el flujo de entrada al primer tanque, qi(t) y el flujo de la bomba, qo(t).

El flujo de lquido a travs de las vlvulas se expresa mediante:

Donde:

Aplicando el balance de masa en estado dinmico para el primer tanque (1) 1 Ec. 2 incgnitas (q1(t) y h1(t))Donde:: Densidad del lquido, lbm/pies3A1: rea transversal del tanque 1, pies2

Aplicando la expresin de la vlvula ...(2) 2 Ec. 2 IncgnitasCon las ecuaciones (1) y (2) se describe el primer tanque. Para el segundo tanque tenemos ahora:

Aplicando el balance en estado dinmico para el segundo tanque .(3) 3 Ec. 4 incgnitas (q2(t), h2(t))

Aplicando la expresin para la vlvula 2. ..(4) 4 Ec. 4 Incgnitas

Puesto que se desea determinar las funciones de transferencia y las ecuaciones (2) y (4) son no lineales, se debe proceder a la linealizacin. Sustituyendo (2) en (1) y (2), (4) en (3) y dividiendo entre la densidad tenemos: (5) .(6)

De (5), despus de linealizar y definir las variables de desviacin:

(7)Donde:

Variables de desviacin:

Para (6): ..(8)Donde:

Reordenando (7) y (8): (9)

(10)

Donde

Aplicando la transformada de Laplace a (9) y (10) luego reordenando: ..(11) ..(12)

Con la ecuacin (11) se relaciona el nivel del primer tanque con los flujos de entrada y salida; mediante (12) se relaciona el nivel del segundo tanque con el primero.

Para encontrar las relaciones deseadas y se reemplaza (11) en (12): ..(13)

Las funciones de transferencia individuales son:

..(14)

.....(15)

Estas funciones de transferencia se conocen como funciones de transferencia de segundo orden o retardos de segundo orden y se pueden ver que se forman con dos funciones de transferencia de primer orden en serie.

Diagrama de bloques de dos tanques no interactivos en serie.

Para tres TanquesEn la siguiente figura se muestra una forma de extender el proceso mostrado anteriormente, mediante la adicin de otro tanque; para este nuevo proceso se determinarn las funciones de transferencia que relacionan el nivel del tercer tanque con el flujo de entrada en el primer tanque y el flujo de la bomba.

Tomando en consideracin los modelos obtenidos para los dos primeros tanques, con las ecuaciones (1) y (4).

El balance de masa en estado dinmico para el tercer tanque:

..(16) 5 Ec. 6 Incgnitas (q3(t), h3(t))

De la ecuacin de la vlvula se obtiene la otra ecuacin que se requiere y es la siguiente:

..(17) 6 Ec., 6 Incgnitas

Las ecuaciones (1), (2), (3), (4), (16) y (17) se obtiene el modelo para el nuevo proceso.

Al substituir las ecuaciones (4) y (17) en la ecuacin (16) y dividir la ecuacin resultante entre la densidad, se obtiene:

..(18)De la cual se tiene:

..(19)Donde Linealizando:

Al reordenar la ecuacin (19) y obtener la transformada de Laplace tenemos:

..(20)Donde:

Finalmente, la substitucin de la ecuacin (13) en la (20) da

...(21)

De la cual se determinan las siguientes funciones de transferencia:

..(22)

...(23)

Estas funciones de transferencia se denominan funciones de transferencia de tercer orden o retardos de tercer orden

Diagrama de bloques de tres tanques no interactivos en serie

Ntese que las funciones de transferencia se obtienen mediante la multiplicacin de funciones de transferencia de primer orden; es decir.

Tanques en Serie Sistema InteractivoSi se redistribuyen los tanques de la figura, el resultado es un sistema interactivo como el mostrado

La interaccin entre tanques se demuestra claramente a partir de la ecuacin de flujo de la vlvula, q1(t):

Como se puede observar el flujo entre los dos tanques depende del nivel en ambos; el uno afecta al otro.

Se determinaran las mismas dos funciones de transferencia que en el caso del sistema no interactivo.

Aplicando el balance de masa dinmico para el primer tanque:

........................................(1)1 Ec. 2 Incgnitas (q1(t), h1(t))Para la vlvula se tiene:

........................................(2)2 Ec. 3 Incgnitas ( h2(t) )

Aplicando el balance de masa para el segundo tanque:

........................................(3)3 Ec. 4 Incgnitas ( q2(t) )El flujo para la ltima vlvula........................................(4)4 Ec. 4 Incgnitas

Substituyendo (2) en (1) y dividiendo entre la densidad:

De la cual se obtiene: ........................................(5)Donde:

Reordenando la ecuacin (5) y obteniendo la transformada de Laplace: ...............................(6)

(6)

Donde:

Siguiendo el mismo procedimiento para el segundo tanque: ........................................(7)Donde:

Sustituyendo (6) en (7):

..............

.........(8)

Para las funciones de transferencia que se requieren: .......................(9)

.......................(10)

Para el caso de sistemas interactivos la constante de tiempo mayor es mas grande que en caso no interactivo, lo cual da como resultado que el sistema responda mas lentamente.

Diagrama de bloques de un sistema interactivo de dos tanques.