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SISTEMAS ELECTRÓNICOS Grados en Ingeniería de Sistemas de
Comunicaciones, Sistemas Audiovisuales, Telemática y Tecnologías de Telecomunicación
SOLUCIONES de Ejercicios Propuestos Tema 7: “PLLs ”
EJERCICIO 1 En el esquema de la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL,
Datos:
- Función de transferencia del filtro, F(s) =1
- Frecuencia de oscilación libre del VCO, ffr = 1kHz
- Ganancia del VCO, Ko = 4π·103 (rad/s)/V
- Ganancia del detector de fase (célula de Gilbert), Kd = 1/(4π) V/rad
- Ganancia del amplificador, AV = 1
Se pide:
1. Calcule el margen de frecuencias, fi, de la señal de entrada, vi, para el que el PLL
permanece enganchado.
2. Obtenga la tensión de salida del amplificador, ve, para los siguientes valores de
frecuencia de vi, fi1 =900Hz y fi2 = 1.2kHz. Obtenga los desfases (φε1 y φε2) entre vi y
vo en los dos casos anteriores.
3. Represente la evolución temporal de ve, si la señal de entrada, vi, es una señal
sinusoidal cuya frecuencia evoluciona como se representa en la siguiente gráfica:
4. Obtenga la función de transferencia, ve/∆ωi (jω), cuando el PLL está enganchado y
represéntela gráficamente, en módulo y fase.
5. Represente la evolución temporal de la tensión ve, si la entrada está modulada en
frecuencia de la siguiente forma: vi(t)= sen {2π·[103 +·200·sen(2π·160·t)]·t}
Detector
de faseFiltro Amplificador
Oscilador
controlado
por tensión
(VCO)
vdvf
ve
Señal de
entrada: Vi(t)
Señal de salida
VCO: Vo(t)
fi (kHz)
t (ms)0.9
1.2
0 20ms 40ms 60ms
SOLUCIÓN:
1. Calcule el margen de frecuencias, f i, de la señal de entrada, v i, para el que el
PLL permanece enganchado. Como el detector de fase es una célula de Gilbert:
Hzfs
radKAKKv LovdLmáxdd 25010·
2···
2223 =∆±⇒
±=±=∆±⇒±=±⇒
−= ππωπφπφ ε
Como la frecuencia central del VCO (oscilación libre) es 1KHz, el rango de frecuencias de vi para el que el PLL permanece enganchado es:
HzHzkHzfff
kHzHzkHzfff
LfriLmín
LfriLmáx
7502501
25.12501
=−=∆−=
=+=∆+=
2. Obtenga la tensión de salida del amplificador, v e, para los siguientes valores
de frecuencia de v i, f i1 =900Hz y f i2 = 1.2kHz. Obtenga los desfases ( φφφφεεεε1 y φφφφεεεε2) entre v i y
vo en los dos casos anteriores. Las dos frecuencias están dentro del margen de enganche del PLL (apartado 1), por lo tanto:
=−=⇒=
−=−=⇒=⇒
−=⇒
+==
mVkk
vkHzf
mVvHzf
Kv
vKei
ei
o
frie
eofro
oi
10010·4
1·22.1·22.1
5010·4
1000·2900·2900
·322
311
πππ
πππ
ωωωωωω
El desfase para entre vi y vb para cada uno de los casos anteriores será:
+=⇒+=+=+=
+=⇒+=+=+=
⇒+=⇒
==
−=
º16283.29.02
41
º5494.03.02
41
2)·(·
2
22
2
11
1
εε
εε
εε
φππ
πφ
φππ
πφ
πφπφ
radv
radv
K
v
vAsFvv
Kv
e
e
d
e
dVde
dd
3. Represente la evolución temporal de v e, si la señal de entrada, v i, es una señal
sinusoidal cuya frecuencia evoluciona como se repre senta en la siguiente gráfica:
fi (kHz)
t (ms)0.9
1.2
0 20ms 40ms 60ms
ve (mV)
t (ms)
100
-50
msKv
PLL 11 ==τ
20τPLL
4. Obtenga la función de transferencia, v e/∆∆∆∆ωωωωi (jωωωω), cuando el PLL está
enganchado y represéntela gráficamente, en módulo y fase. Para obtener la función de transferencia, el equivalente del PLL en estado de enganche, es:
Al ser un sistema con realimentación negativa se tiene:
ovd
vd
i
e
ovd
vd
i
e
kAsFks
AsFks
v
skAsFk
AsFk
A
As
v
·)·(·
)·(·)(
1··)·(·1
)·(·
·1)(
+=
∆⇒
+=
+=
ωβφ
Para F(s) = 1 y con kv=(kd·ko·Av), nos queda:
103
10·
10·4
1·
1)(
3
3 +=
+=
∆ sks
k
ks
v
v
v
oi
e
πω
Por lo tanto, la representación de la respuesta en frecuencia (asintótica) del PLL queda como sigue:
kd F(s) Av
ko
vdvf ve
φφφφi
φφφφo
1/sωωωωo
+-
A
ββββ
φφφφεεεε
|ve/∆ω∆ω∆ω∆ωi(j ωωωω)|
1/Ko = 1/(4ππππ·103)
Kv = 103 ωωωω(rad/s)
0º
ωωωω(rad/s)
∠∠∠∠ve/∆∆∆∆ ωωωωi(j ωωωω)
-90º
-45º
KvKv /10 10Kv
5. Represente la evolución temporal de la tensión v e, si la entrada está modulada
en frecuencia de la siguiente forma:
6. v i(t)= sen {2 ππππ·[103 +·200·sen(2ππππ·160·t)]·t}
( ) ( )
>=<=
→+=⇒)750(800
)25.1(2.1·160·2·200·210·2 3
HzfHzf
kHzfkHzftsent
iLmínimín
iLmáximáxi πππω
PLL en estado de enganche:
−=
−
=⇒
∆∠+∆
∆=
=≅=
4·160·2·7.70
4·160·2·2002·
2
1·
10·4
1)(
·160·2··)(
3
1010160·2 33
ππππππ
ωπω
ω ωπω
tsenmVtsentv
vtsen
vtv
e
i
ei
i
ee
ωi (rad/s)
2π·103 2π·200
6.3t(ms)
t(ms)
0
ve (mV)
0
70.7
-70.7
T/8 =0.7875ms
EJERCICIO 2 En la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL de orden 2, con la representación gráfica de la función de transferencia de cada uno de los bloques.
Se pide:
1. Obtenga la función de transferencia del PLL (vo/∆ωi (s)) y determine el valor del coeficiente de amortiguamiento (ξ) y de la frecuencia natural (ωn).
2. Represente gráficamente la respuesta en frecuencia del PLL (vo∆/ωi (jω)), en módulo y fase.
3. Represente gráficamente, en función del tiempo, la variación de la frecuencia angular, ωi, de la señal de entrada del PLL y la variación de vo, si la señal de entrada del PLL es vi(t)= 5.sen {2π·[100k +·10k·sen(2π·100·t)]·t} No olvide acotar los valores significativos en todos los ejes e incluir todos los cálculos para la determinación de dichos valores.
De
Detector de fase Filtro Amplificador
VCO
Devd vf vo
Vi(t)=Ai·sen(ωωωωit+φφφφi)
Vosc(t)=Ao·sen(ωωωωot+φφφφo)
SOLUCIÓN: 1. Obtenga la función de transferencia del PLL (v o/ωωωωi (s)) y determine el valor
del coeficiente de amortiguamiento ( ξξξξ) y de la frecuencia natural ( ωωωωn). Para obtener la función de transferencia, el equivalente del PLL en estado de enganche, es:
Al ser un sistema con realimentación negativa se tiene:
ovd
vd
i
o
ovd
vd
i
o
kAsFks
AsFks
v
skAsFk
AsFk
A
As
v
·)·(·
)·(·)(
1··)·(·1
)·(·
·1)(
+=⇒
+=
+=
ωβφ
Donde, de las funciones de transferencia del diagrama de bloques del PLL dado en el enunciado, se obtiene:
- Ganancia del detector de fase:
==rad
V
rad
Vkd 2
30.6
π
- Función de transferencia del filtro:
1
1
1
1
1)(
ωω
ωss
sF+
=+
=
- Ganancia del amplificador: 121.0
2.1 ==V
VAv
- Frecuencia de oscilación libre del VCO:
=s
radkfr 100·2πω
- Ganancia del VCO:
=−−=
V
sradkkko
/10·8
1100·296·2 3πππ
Sustituyendo en la función de transferencia, con kv=kd·ko·Av, se tiene:
v
v
oi
o
kss
k
ks
v
·
··
1)(
112
1
ωωω
ω ++=
Identificando con el denominador genérico de un sistema de 2º orden: 22 ··2 nnss ωωζ ++ , nos queda:
2
1046.0
10·6
10·5·
2
1·
2
1
5510·6·10·5·
5
31
531
<≅==
≅==
v
vn
k
s
kradk
ωζ
ωω
2. Represente gráficamente la respuesta en frecuenc ia del PLL (v o/ωωωωi (jωωωω)), en
módulo y fase.
kd F(s) Av
ko
vdvf vo
φφφφi
φφφφo
1/sωωωωo
+
-
A
ββββ
A partir de la función de transferencia obtenida en apartado anterior, la representación de la respuesta en frecuencia del PLL queda como sigue:
3. Represente gráficamente, en función del tiempo, la variación de la frecuencia angular, ωωωωi, de la señal de entrada del PLL y la variación de vo, si la señal de entrada del PLL es v i(t)= 5.sen {2 ππππ·[100k +·10k·sen(2 ππππ·100·t)]·t} No olvide acotar los valores significativos en todo s los ejes e incluir todos los cálculos para la determinación de dichos valore s.
vo será una señal sinusoidal de 100Hz y:
º0
5.210·4
1·10·2·
100·2
3
100·2
=∠+∠=∠
===
Hzi
oio
Hzi
oio
vv
Vkv
v
π
π
ωω
ππ
ωω
Y de valor medio:
( ) 01 =−= frimedo
omed kv ωω
|vo/ωωωω i(j ωωωω)|
1/ko = 1/ 4ππππ�103
ωωωωn = 55k ωωωω (rad/s)
0º
ωωωω (rad/s)
∠∠∠∠vo/ ωωωω i(j ωωωω)
-180º
-90º
ωωωωn = 55k
ωωωωn /10 10ωωωωn
Real
ωi (rad/s)
2π·100k2π·10k
10t(ms)
t(ms)
0
vo (V)
100
2.5
-2.5
EJERCICIO 3
SOLUCION
EJERCICIO 4 En el esquema de la figura se representa el diagrama de bloques de un PLL,
Datos: Función de transferencia del filtro F(s) =1. Frecuencia de oscilación libre del VCO ffr = 200kHz. Ganancia del VCO Ko = 2π·105 (rad/s)/V. Ganancia del detector de fase (célula de Gilbert) Kd = 2/π V/rad. Ganancia del amplificador AV = 1.
Se pide:
6. Calcule el margen de frecuencias, fi, de la señal de entrada, Vi, para el que el PLL permanece enganchado.
7. Obtenga la tensión de salida del amplificador, Ve, para los siguientes valores de frecuencia de Vi, fi1 = 150kHz y fi2 = 250kHz.
8. Represente la evolución temporal de la tensión Ve si la frecuencia de la señal de entrada, fi, evoluciona como se representa en la siguiente gráfica. Justifique su respuesta usando la constante de tiempo del PLL.
Detector
de faseFiltro Amplificador
Oscilador
controlado
por tensión
(VCO)
vdvf
ve
Señal de
entrada: Vi(t)
Señal de salida
VCO: Vo(t)
SOLUCION
EJERCICIO 6
SOLUCION
EJERCICIO 7
SOLUCION
EJERCICIO 8
SOLUCION