7/26/2019 Sln Ecn Onda Unidimensional

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Resolucin de la ecuacin de onda unidimensional

Equation Chapter 1 Section 1

Una perturbacin propagndose en un medio unidimensional, (por ejemplo una cuerda),

debe estar descrita por una funcin u(x,t) que sea solucin de la ecuacin diferencial:

2 2

2

2 2, ,u x t v u x t

t x

(1.1)

Donde ves la rapidez de propagacin de la onda.

Formalmente esta ecuacin diferencial tiene un nmero infinito de soluciones, por lo que

nos concentraremos en un tipo especial que cumpla con alguna caracterstica interesante.

La solucin que propondremos ser una funcin que trate la variable espacial x por

separado de la variable temporal t. De modo que:

,u x t f x g t (1.2)

Dondef (x) es la parte espacial yg(t) es la parte temporal.

Insertemos la propuesta (1.2) en la ecuacin (1.1):

2 2

2

2 2f x g t v f x g t

t x

(1.3)

Dado que f (x) no depende del tiempo puede salir como constante en la derivada de laizquierda, yg(t) no depende de la posicin por lo que sale como constante de la derivada de

la derecha, entonces se puede escribir:

2f x g t v f x g t (1.4)

donde se ha usado la notacin de Newton para las segundas derivadas, es decir:

2

2

2

2

d ff x

dx

d g g tdt

De la expresin (1.4) pueden despejarse las funciones derivadas resultando en:

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2

g tf x f x

v g t (1.5)

Y

2

v f xg t g t

f x

(1.6)

Puesto que la funcing(t) no depende de la posicin, sus derivadas tampoco, y el cociente

en (1.5) puede escribirse como la constante:

2gg t

cv g t

Y por un argumento similar, el cociente en (1.6) se agrupa en la constante:

2

f

v f x

c f x

De modo que las ecuaciones anteriores se escriben:

gf x c f x (1.7)

Y

fg t c g t (1.8)

Ambas ecuaciones nos dicen que se busca una funcin cuya segunda derivada sea

proporcional a la funcin original. Esta es la misma estructura que la ecuacin diferencial

resultante de sustituir la Ley de Hooke en la 2 Ley de Newton, para la cual se conocen sussoluciones del curso de Fsica I:

cos sinx t A t B t

Por lo que es razonable proponer que las soluciones a las ecuaciones (1.7) y (1.8) sean de la

forma:

cos sinx xf x A kx B kx (1.9)

Y

cos sint tg t A t B t (1.10)

Las cuales, puede verificarse, satisfacen las ecuaciones correspondientes.

Volviendo a la forma general:

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,u x t f x g t

Se sustituyen las soluciones encontradas y se tiene:

, cos sin cos sinx x t tu x t A kx B kx A t B t (1.11)

Desarrollando algebricamente:

, cos cos cos sin

sin cos sin sin

x t x t

x t t x

u x t A A kx t A B kx t

B A kx t B B kx t

(1.12)

Recordando las identidades trigonomtricas:

cos coscos cos

2

cos cossin sin

2

sin sinsin cos

2

sin sincos sin

2

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

a b a ba b

Y sustituyendo en (1.12), se tiene:

cos cos sin sin

, 2 2

sin sin cos cos

2 2

x t x t

x t t x

kx t kx t kx t kx t

u x t A A A B

kx t kx t kx t kx t B A B B

(1.13)

Rearreglando:

1, cos cos

2

sin sin

x t x t x t x t

x t x t x t x t

u x t A A B B kx t A A B B kx t

A B B A kx t B A A B kx t

(1.14)

Las constantesAx,Ay,BxyBypueden elegirse de tal forma que la solucin quede:

, cos sinu x t A kx t B kx t (1.15)

En clase se lleg a la solucin anterior. Ahora veamos qu relacin tienen los parmetros ky , y si se puede llegar a alguna conclusin a partir de esta.

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La ecuacin (1.8) dice:

fg t c g t

Y su solucin es (1.10)

cos sint tg t A t B t

Sustituyendo:

2

2 cos sin cos sint t f t t

dA t B t c A t B t

dt (1.16)

Efectuando las derivadas:

2 2

sin cos cos sin

cos sin cos sin

t t f t t

t t f t t

dA t B t c A t B t

dt

A t B t c A t B t

(1.17)

Factorizando:

2 cos sin cos sint t f t t A t B t c A t B t (1.18)

De donde puede verse que:

2

fc (1.19)

Es decir:

2g t g t (1.20)

O bien:

2

g t

g t (1.21)

Haciendo el mismo tratamiento para la ecuacin espacial se llega a que:

2f x k f x (1.22)

Comparando con (1.7) se concluye entonces:

2

2g

g tk c

v g t (1.23)

Sustituyendo (1.21) en (1.23) se tiene:

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2

2

2k

v

(1.24)

Con un poco de lgebra:

vk

(1.25)

Por otro lado, en clase se vio que

2

k

Por lo tanto:

2

2 1v

v

(1.26)

Que es una de las relaciones ms importantes que se vieron en clase.