SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS II: BIPUERTAS · 2008-06-13 · salida del filtro normalmente es la salida de un amplificador operaciona l que puede considerarse una fuente ideal de

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TEMA 8

SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS II: BIPUERTAS

8.1 Introducción8.2 Caracterización de bipuertas mediante los parámetros de inmitancia8.3 Condiciones de realizabilidad de los parámetros de inmitancia de bipuertas pasivas8.4 Parámetros de transducción8.5 Relación entre los parámetros de transducción e inmitancia8.6 Realización de escaleras LC doblemente terminadas8.7 Realización de filtros pasa todo LC

8.1 Introducción

En este tema nos centraremos en la síntesis de bipuertas LC. Ya se ha comentado que estasbipuertas ofrecen importantes ventajas: (a) transmiten las señales sin disipar energía (por tanto,favorecen buenas relaciones señal/ruido; (b) las rápidas transiciones de magnitud y fase que seconsiguen con la resonancia son muy adecuadas para la implementación de filtros; (c) puedentransmitir señales modificando únicamente sus características de fase o retraso; (d) las bipuertasLC doblemente terminadas pueden hacerse insensibles a variaciones en los parámetros.

En el Tema anterior se ha visto que hay muchas realizaciones equivalentes para unainmitancia dada. Hemos visto que las distintas implementaciones aparecen en forma decircuitos escalera con ramas en serie o paralelo, en resonancia (cortocircuito o circuito abierto)para s=0, s=∞ o s=jωi. Hemos visto que cuando en la realización en escalera se desea unaresonancia en una rama en serie hay que eliminar un polo de impedancia y cuando se desearesonancia en una rama en paralelo hay que eliminar un polo de la admitancia.

Es de esperar que una resonancia paralela en una rama en serie cause un cero detransmisión porque la impedancia en serie de esa rama será un circuito abierto a la frecuenciade resonancia y por tanto separa la entrada de la salida. Asimismo, una resonancia serie en unarama en paralelo corresponderá a un polo de la admitancia que se convertirá en un cortocircuito


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a la frecuencia de resonancia, cortando la transmisión de señal entre entrada y salida, yconstituyendo por tanto un cero de transmisión también.

Ya que en una estructura en escalera hay un único camino de la señal entre entrada ysalida, se deduce que únicamente se puede generar un cero de transmisión mediante un polo deimpedancia o un polo de admitancia. Ya que las inmitancias LC sólo tienen polos y ceros en eleje jω se deduce que una estructura LC sólo puede tener ceros de transmisión en el eje jω.

Pero en una bipuerta LC no es la inmitancia lo que se da como especificación sino lafunción de transferencia de una bipuerta LC operando entre dos terminaciones resistivas, comose muestra en la Fig. 8.1, por lo que primero ha de derivarse una inmitancia de síntesis apropiadaa partir de la característica de transferencia.

8.2 Caracterización de bipuertas mediante los parámetros de inmitancia

Una bipuerta se compone de una puerta de entrada y una puerta de salida, como se muestraen la Fig. 8.1. La puerta de entrada se excita normalmente con un generador con impedancia deentrada Rs y se termina a su salida por una impedancia de carga RL. Para que el circuito de cuatroterminales de la figura se considere una bipuerta se deben cumplir las condiciones:

(8.1)

Si se cumplen estas condiciones por el teorema de sustitución se puede sustituir la circuiteríaexterna por dos fuentes de intensidad equivalentes, como se muestra en la Fig. 8.2. Si la bipuertacontiene únicamente elementos lineales y no contiene fuentes independientes se puede utilizarel teorema de superposición para hallar la tensión en cada puerta. Considerando primero laexcitación I1, por linealidad la tensión en cada puerta será proporcional a la intensidad I1:

(8.2)

Debido a la fuente de intensidad en la otra puerta:

Fig.5.1 Temes

Figura 8.1: Bipuerta LC doblemente terminada.

Fig.2.1 Schauman

I'1 I1= I'2 I2=

V11 z11I1= V2

1 z21I1=

8.2 Caracterización de bipuertas mediante los parámetros de inmitancia

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(8.3)

La tensión en cada puerta será la suma de la debida a cada excitación:

(8.4)

Es evidente que si la bipuerta es recíproca debe ser:

(8.5)

Los parámetros se denominan parámetros de impedancia en circuito abierto y la matriz

(8.6)

se denomina matriz de impedancia en circuito abierto. La ecuación (8.4) se puede escribir enforma matricial como:

(8.7)

V12 z12I2= V2

2 z22I2=

Fig.5.4 Temes

Figura 8.2: Bipuerta (a) con dos fuentes equivalentes de intensidad, (b) con excitaciónúnicamente en la puerta de entrada, (c) con excitación únicamente en la puertade salida.

V1 V11 V1

2+ z11I1 z12I2+= = V2 V21 V2

2+ z21I1 z22I2+= =

z12 z21=

Z s( )z11 z12

z21 z22

=

V Z I⋅=



La sustitución de la circuitería exterior a la bipuerta por dos fuentes de tensión en lugar deintensidad conduce a la ecuación:

(8.8)

donde

(8.9)

es la matriz de admitancia en cortocircuito y yij son los parámetros de admitancia encortocircuito.

Por comparación de (8.7) y (8.8) se deduce que

(8.10)

por lo que pueden obtenerse fácilmente una de la otra si el determinante de la matriz es no nulo.

8.3 Condiciones de realizabilidad de los parámetros de inmitancia debipuertas pasivas

A partir del teorema de Tellegen se obtiene que las condiciones de realizabilidad de unabipuerta pasiva son:

a) Todos los elementos zij de Z deben ser funciones racionales reales de s con z12=z21.b) La expresión

(8.11)

debe ser una función real positiva para todo a1 y a2.Análogamente para Y(s) (ver apéndice A).Haciendo a1=0 o a2=0 se deduce que z11, z22, y11, y22 deben ser reales positivas, lo cual

es lógico ya que son funciones de inmitancia de una puerta con la otra puerta cortocircuitada oen circuito abierto.

z12 no puede tener polos en el semiplano derecho ya que aparecerían en Z, z11, o z22 y esasson funciones reales positivas. Cualquier polo en el eje jω será simple por lo que se puedenexpandir en fracciones:

(8.12)

De las condiciones de realizabilidad se obtienen un conjunto de condiciones muy útiles: lascondiciones de los residuos:

I Y V⋅=

Yy11 y12

y21 y22

=

Z Y 1–=

Z s( ) z11a12 2z12a1a2 z22a2

2+ +=

zij s( )kij

s jω1–---------------- otros terminos+=

8.4 Parámetros de transducción


(8.13)

que debe cumplirse para todos los polos del eje jω de zij. En particular, deberá cumplirse paratodos los polos de las bipuertas LC


Cuando hasta ahora nos hemos referido a la función de transferencia H(s) no se han tenidoen cuenta las resistencias Rs y RL entre las que el filtro ha de operar, como se ha mostrado en laFig. 8.1. Esta aproximación es aceptable en filtros activos, en los que la resistencia de la fuentepuede considerarse parte del filtro y la resistencia de carga suele no tener influencia porque lasalida del filtro normalmente es la salida de un amplificador operacional que puede considerarseuna fuente ideal de tensión. Estas resistencias han de tenerse en cuenta en filtros LC ya quetransforman el circuito en RLC y por tanto afecta la transferencia de potencia de la fuente a lacarga.

Consideremos pues las propiedades de transmisión de potencia de filtros LC doblementeterminados1. En bipuertas doblemente terminadas el generador puede suministrar únicamenteuna potencia finita a la bipuerta:

(8.14)

La potencia máxima disponible a la entrada de la bipuerta se consigue para Zin(jω)=Rs:2

(8.15)

Mantener una tensión V2 en la resistencia de carga RL requiere una potencia:

(8.16)

Obviamente P1=P2 ya que el filtro LC no tiene pérdidas.Definimos entonces la función de transferencia mediante el cociente de la transferencia

de potencia P2/Pmax:

1. La transmisión de potencia no tiene sentido para bipuertas sin terminaciones resistivas o terminación sim-ple, ya que o bien el generador es una fuente de tensión o intensidad ideal sin limitación de potencia, o la carga es un abierto o un corto por lo que no se necesita potencia para mantener una tensión o intensidad distinta de cero.

k11 0≥ k22 0≥ k11k22 k122– 0≥

P1 I1 jω( ) 2Re Zin jω( ){ }Vs

2

Rs Zin jω( )+ 2------------------------------------Re Zin jω( ){ }= =

PmaxVs

2

4Rs---------=

P2V2

2

RL-----------=



(8.17)

o

(8.18)

Puede observarse que esta función de transferencia difiere de la considerada como relaciónentrada-salida de la bipuerta únicamente por una constante que depende de Rs, RL y como sedefine la tensión de entrada. Este cociente proporciona una buena medida de la eficiencia detransmisión de potencia de la bipuerta. Para P2/Pmax=1 toda la potencia que el generador puedesuministrar se transmite a la carga.

Ya que en nuestro circuito sin pérdidas P1=P2 igualando (8.14) y (8.16) se obtiene:

(8.19)

que no es más que una forma alternativa de la ecuación de Feldtkeller. ρ es el coeficiente dereflexión en la entrada del filtro LC con carga RL:

2. Nota personal: Veamos cómo se obtiene la potencia máxima:

Está claro que la potencia máxima se producirá para Im{Zin(jω)}=0. Veamos para qué valor de la parte realhaciendo la derivada de P1 respecto a la parte real e igualando a 0:

luego Rs=Zin(jω).

P1Vs

2

Rs Re Zin jω( ){ } Im Zin jω( ){ }++ 2----------------------------------------------------------------------------------------Re Zin jω( ){ }= =

Vs2Re Zin jω( ){ }

Rs2 2RsRe Zin jω( ){ } Re Zin jω( ){ }( )2 Im Zin jω( ){ }( )2+ + +

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Re Zin{ }ddP1 Rs

2 Re Zin{ }( )2–( ) Vs2

Rs Re Zin jω( ){ }+( )2-------------------------------------------------------- 0= =

H jω( ) 2 4RsRL--------- V2

Vs------

2=

H s( )4RsRL---------

V2Vs------ N s( )

D s( )-----------= =

H jω( ) 2 4RsRe Zin jω( ){ }

Rs Zin jω( )+ 2----------------------------------------- 1 Rs Zin– jω( )Rs Zin jω( )+------------------------------

2– 1 ρ jω( ) 2–= = =



(8.20)

|ρ(jω)| es una medida de Pr (|ρ(jω)|2=Pr/Pmax), la potencia reflejada en la entrada debido aldesapareamiento entre Rs y Zin. El signo ± se debe a la extracción de la raíz cuadrada y seresolverá más adelante. Luego:

(8.21)

que concuerda bastante bien con la idea intuitiva de la Fig. 8.3.

La función característica se define como:

(8.22)

que utilizando la definición de potencias resulta:

(8.23)

Luego la función característica da el cociente de las potencias reflejadas y transmitidas.Estas ecuaciones pueden utilizarse para obtener la impedancia de entrada de un filtro LC

para una función de transferencia dada H(s)=N(s)/D(s). El coeficiente de reflexión:

(8.24)

donde se ha utilizado el polinomio de reflexión cero F(s):

(8.25)

y despejando Zin de la ecuación (8.20) se obtiene:

ρ s( )Rs Zin s( )–Rs Zin s( )+--------------------------±=

P1 Pr+ Pmax=

Fig.6.3 Temes

Figura 8.3: Flujo de potencia en una bipuerta doblemente terminada.

K jω( ) 2 ρ jω( ) 2

H jω( ) 2---------------------=

K jω( ) 2 PrPmax-----------

PmaxP2

-----------PrP2------= =

ρ jω( ) 2 1 H jω( ) 2– D jω( ) 2 N jω( ) 2–D jω( ) 2----------------------------------------------- ε2 F jω( ) 2

D jω( ) 2---------------------= = =

ρ s( ) εF s( )D s( )-----------± F̂ s( )

D s( )-----------±= =



(8.26)

Puede observarse que la ambigüedad del signo únicamente representa reemplazar Zin por 1/Zinque conduce a un circuito dual.

8.5 Relación entre los parámetros de transducción e inmitancia

Las propiedades de transmisión de una bipuerta doblemente terminada suele especificarseen términos de los parámetros de transducción H(s) o K(s). Sin embargo, veremos que larealización toma los parámetros de inmitancia de la bipuerta como punto de partida. Por tanto,es imprescindible establecer la relación entre ellos y ser capaz de obtener los parámetros deinmitancia a partir de H(s) o K(s).

Si consideramos de nuevo el circuito de la Fig. 8.1 podemos escribir:

(8.27)

Sustituyendo en (8.4) se obtiene:

(8.28)

Resolviendo estas dos ecuaciones para I1 e I2 se obtiene:

(8.29)

Por tanto,

1 (8.30)

La impedancia de entrada es:

1. Para parámetros de admitancia se obtiene:

Zin s( ) RsD s( ) F̂ s( )+−

D s( ) F̂ s( )±-----------------------------=

V1 Vs I1Rs–=

V2 I2RL–=

z11I1 z12I2+ Vs I1Rs–= z12I1 z22I2+ I2RL–=

I1 Vsz22 RL+

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------=

I2 V– sz12

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------=

H s( ) 2RsRL------

V2Vs------ 2

RsRL------

I2RL–Vs

--------------2 RsRLz12

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= = =

H s( )

2RsRL

----------------y12

y122 y11

1Rs-----+⎝ ⎠

⎛ ⎞– y221

RL------+⎝ ⎠

⎛ ⎞--------------------------------------------------------------=

8.5 Relación entre los parámetros de transducción e inmitancia


(8.31)

Sustituyendo (8.29) se obtiene:

(8.32)

El coeficiente de reflexión es:

(8.33)

Con el coeficiente de reflexión y la función de transferencia puede obtenerse la funcióncaracterística:

(8.34)

Las ecuaciones anteriores expresan los parámetros de transducción en función de losparámetros de impedancia. Obtener los parámetros de impedancia en función de los parámetrosde transducción H(s) y K(s) requiere resolver dos ecuaciones con tres incógnitas. Pero sabemosque las zij son funciones impares de s, por lo que podemos separar 1/H(s) y K(s) en sus partesimpar y par:

(8.35)

Tenemos ahora 4 ecuaciones y 3 incógnitas. Vamos a sumar y restar las ecuaciones:

ZinV1I1------

Vs I1Rs–I1

----------------------VsI1----- Rs–= = =

Zinz11 Rs+( ) z22 RL+( ) z12

2–z22 RL+-------------------------------------------------------------- Rs– z11

z122

z22 RL+-------------------–= =

ρ s( )Rs Zin–Rs Zin+-------------------

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

Rs z11+( ) RL z22+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= =

K ρH----

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

2 RsRLz12--------------------------------------------------------------= =

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

p

Rsz22 RLz11+

2 RsRLz12---------------------------------= 1

H----⎝ ⎠⎛ ⎞

i

z11z22 z122–( ) RsRL+

2 RsRLz12---------------------------------------------------=

KpRsz22 RL– z11

2 RsRLz12------------------------------= Ki

z11z22 z122–( ) RsRL+–

2 RsRLz12------------------------------------------------------=



(8.36)

De la primera ecuación se obtiene:

(8.37)

Sustituyendo en la tercera y cuarta ecuación en (8.36) se obtiene:

(8.38)

Si se sustituyen estos valores en la segunda ecuación de (8.36) concuerda perfectamente.Los parámetros de admitancia pueden obtenerse de forma dual o bien a partir de los

parámetros de impedancia.Pueden escribirse de forma más usable estas expresiones teniendo en cuenta que el

numerador de H(s) y denominador de K(s) debe ser una función racional impar o par de s, yaque z11, z12 y z22 son funciones impares. Por tanto, si N(s) es par:

(8.39)

Análogamante si N(s) es impar (ver apéndice). Sustituyendo (8.39) en (8.37) y (8.38) resulta siN(s) es par:

(8.40)

Análogamente si N(s) es impar (ver apéndice).

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

RsRLz12

----------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi–

z11z22 z122–

RsRLz12---------------------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

RsRL------

z22z12-------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

RLRs------

z11z12-------=

z12RsRL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-----------------------=

z11 Rs

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------= z22 RL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------=

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

p

Dp s( )N s( )--------------= 1

H----⎝ ⎠⎛ ⎞

i

Di s( )N s( )-------------=

Kp s( )F̂p s( )N s( )-------------= Ki s( )

F̂i s( )N s( )------------=

z11 RsDp F̂p–

Di F̂i+------------------= z22 RL

Dp F̂p+

Di F̂i+-------------------= z12

RsRLN

Di F̂i+--------------------=

8.6 Realización de escaleras LC doblemente terminadas



A la hora de realizar una escalera LC doblemente terminada a partir de los parámetros deimpedancia o admitancia se plantean distintas preguntas como: ¿qué parámetro escoger comoimpedancia de síntesis? ¿como realizarla de forma que el filtro tenga los ceros de transmisión,determinados en parte por el numerador de z12, correctos?, ¿cómo asegurar que la impedanciaen la segunda puerta z22 se realiza simultáneamente con z11 y z12?

Ya que la inmitancia de síntesis debe representar a la escalera completa seleccionaremosuna de las dos funciones (entre z11, z22, y11, y22) que sean de mayor orden.

Para contestar a la segunda pregunta recordamos que los ceros de transmisión se realizanmediante polos de impedancia (circuito abierto) en una rama en serie de la escalera, o polos deadmitancia (cortocircuito) en una rama en paralelo. Esto quiere decir que en algún momento delproceso de realización de la inmitancia de síntesis, ésta debe tener un polo o cero que coincidacon un cero de transmisión, cosa que no ocurrirá de forma automática en la mayoría de los casos.Este problema se resuelve mediante la técnica de desplazamiento de cero o eliminación parcialde polos.

Supongamos una impedancia de síntesis, por ejemplo, z11(s) con un cero en s=0 y un poloen s=∞. Por tanto,

(8.41)

y K∞ es el residuo. En la Fig. 8.4 se representa la reactancia (z11(ω)=jx11(ω)). Si tal como se harealizado en el tema 7 se elimina este polo de z11 la función restante:

(8.42)

ya no tiene polo en s=∞ ya que este polo se ha eliminado completamente. Si nos fijamos en eldiagrama de la Fig. 8.4(a) podemos observar que el cero en ω=ω2 se ha movido a la posiciónmarcada con un triángulo y el cero en ω=ω4 se ha desplazado a infinito.

Si en lugar de eliminar totalmente el polo en infinito se elimina solo parcialmente restandoun término Ks donde K<K∞, la función restante,

(8.43)

tiene todavía un polo en infinito con residuo K1=K∞−K>0. En este caso los ceros ω2 y ω4 sedesplazarán a las posiciones marcadas con un cuadrado en la Fig. 8.4(a). Obsérvese que no sedesplaza el cero en el origen y los polos en ω1 y ω3.

Consideremos ahora la inversa de la impedancia de síntesis 1/z11(s). Se intercambiaránpolos y ceros. La Fig. 8.4(b) muestra la correspondiente reactancia que ahora tiene un polo ens=0:

z11s ∞→lim s( ) sK∞=

z1 z11 K∞s–=

z1 z11 Ks–=



Fig.2.9 Schauman

Figura 8.4: Funciones de reactancia para ilustrar la eliminación parcial y total de polosen: (a) infinito, (b) cero, (c) interno.



(8.44)

siendo K0 el residuo.Si se elimina este polo completamente la admitancia restante tiene ahora un cero en s=0

ya que el cero en ω1 se mueve al origen como se muestra en la Fig. 8.4(b). El cero en ω3 sedesplaza a la posición marcada con un triángulo. Si se elimina el polo solo parcialmenterestando a la admitancia un término K/s con K<K0, la admitancia restante aún tiene un polo enel origen con residuo K1=K0−K>0 y los ceros en ω1 y ω3 se mueven a las posiciones señaladascon un cuadrado. Puede observarse que el cero en infinito y los polos en ω2 y ω4 no se hanmovido.

En la Fig. 8.4(c) puede observarse que algo similar ocurre si se elimina completa oparcialmente un polo interno, por ejemplo s=jω3.

De la discusión anterior pueden obtenerse las siguientes conclusiones:1) Los ceros de inmitancia se mueven hacia la localización de los polos eliminados total

o parcialmente y en su desplazamiento nunca cruzan un polo adyacente.2) La magnitud del desplazamiento del cero depende del valor de K, de en qué proporción

se ha eliminado el polo.3) Cuanto más cercano está un cero al polo eliminado parcialmente mayor es en general

la distancia que se desplaza.4) Ya que la eliminación parcial de un polo no reduce el orden de la función de inmitancia

cuesta un elemento adicional si se elimina en s=0 o s=∞ y dos elementos si se eliminaparcialmente un polo interno.

Veamos entonces cómo podemos realizar un cero de transmisión en ωz. Se eliminaparcialmente un polo, normalmente en el origen o en infinito y ocasionalmente un polo interno,de la inmitancia de síntesis o de su inversa de manera que un cero de dicha inmitancia sedesplace hasta coincidir con la posición del cero de transmisión en ωz. La función restante seinvierte y el nuevo polo en ωz se elimina completamente realizándose de esta forma el cero detransmisión en ωz. Ya que lo ceros se desplazan hacia el polo eliminado, el cero de transmisióndebe estar entre el cero a desplazar y el polo que se elimina parcialmente.

Supongamos que z11(s) con polos en s=0 y s=∞ se escoge como inmitancia de síntesis. Sise ha de desplazar un cero de z11 a mayores frecuencias de manera que la función restante sea0 en jωz, se elimina parcialmente el polo en ∞ y el residuo parcial K se obtiene de:

(8.45)

Si el cero de z11 se ha desplazar a frecuencias más bajas se elimina parcialmente el polo en 0 yel residuo parcial viene dado por:

1z11 s( )--------------

s 0→lim

K0s------=

z11 s( ) Ks–[ ]jωz0= K⇒

z11 jωz( )jωz

--------------------=



(8.46)

Para llevar a cabo este proceso sistemáticamente es conveniente hacer un diagrama polo/ceroque muestre las posiciones relativas de polos y ceros en el eje jω.

Los polos de z12 están contenidos en los polos de z11 por lo que el procedimiento haimplementado los polos y ceros de z12. Por tanto, la z12 implementada no puede diferir de laprescrita más que por una constante multiplicativa K, que puede obtenerse analizando el circuitoobtenido. Este problema puede subsanarse colocando en cascada un transformador de valor K:1,tal como se ilustra en la Fig. 8.5.

Hemos visto, pues, que con la eliminación parcial de polos y desplazamiento de ceros sepuede sintetizar z11 y z12 excepto una constante. Pero, cómo podemos asegurar que laimpedancia z22 se ha realizado correctamente?

Conviene introducir algunas definiciones. Un polo se denomina compartido si estápresente en las tres zij con residuo distinto de cero. Un polo se denomina privado si aparece sóloen z11 o z22. Un polo se denomina compacto si la condición de residuo se verifica con el signo= y no compacto si se verifica con el signo >.

La solución a nuestro problema viene dada por el teorema de Bader:"Si en el desarrollo de la escalera cada eliminación parcial de un polo a una frecuencia

dada ωk es seguido por una eliminación total de un polo a la misma frecuencia, entonces losparámetros de impedancia o admitancia del circuito implementado tendrán únicamente poloscompartidos compactos."

z11 s( ) Ks----–

jωz

0 K jωzz11 jωz( )=⇒=

Fig.6.10 Temes

Figura 8.5: Implementando la z12 prescrita.

Kz12realz12presc------------------=

K:1

K2Z

K2RL



Puede demostrarse que si no se lleva a cabo la eliminación total del polo en ωk, lainmitancia z22 realizada tendrá un polo privado en ω=ωk si ωk no es polo de los parámetros deimpedancia o admitancia; o los parámetros realizados tendrán un polo no compacto en ω=ωk siωk es polo de los parámetros de impedancia o admitancia. Según (8.30), ambos casos conducena un cero de transmisión en ωk.

Existe un segundo teorema de Bader que también tiene gran importancia:"Si ninguna de las impedancias en serie o admitancias en paralelo tiene un polo en un polo

ωp de los parámetros de impedancia z (o y), entonces los parámetros de impedancia z (o y)implementados tienen un polo compacto en ω=ωp."

Por tanto, si se ha seguido el teorema de Bader, la z22 realizada no tiene polos privados ysatisface la condición de residuo en todos sus polos con el signo =. Por otra parte, la z22 prescritaes realizable por lo que todos sus polos satisfarán la condición de residuo con el signo ≥. Portanto, el residuo en cada polo de z22 prescrita es como mínimo igual de grande que la sintetizada.Por tanto, podemos escribir la siguiente relación entre la z22 prescrita y la realizada:

(8.47)

Por tanto, sintetizando Z en serie con la segunda puerta realizará la bipuerta sin afectar a z12 yz11, como puede observarse en la Fig. 8.5.

El transformador ideal puede eliminarse sin más que trasladar la impedancia Z y RL al ladoprimario. Para que la impedancia vista por el resto del circuito sea la misma las impedancias Zy RL deben multiplicarse por K2.1 El resultado se muestra en la Fig. 8.5. El transformador encircuito abierto se ha eliminado. El resultado es únicamente un cambio en la constantemultiplicativa de V2 y del nivel de impedancia en la segunda puerta pero esto carece deimportancia en la mayoría de las aplicaciones.

En resumen, el conjunto de pasos para obtener un filtro escalera LC doblementeterminado a partir de las especificaciones en el dominio de la frecuencia son:

1) Obtener la función de transferencia a partir de las especificaciones mediante algunatécnica de aproximación de filtros.

2) Obtener los parámetros de inmitancia de la bipuerta a partir de los parámetros de trans-ducción. Elegir como inmitancia de síntesis una entre z11, z22, y11, y22, y que tenga el

1. Para ver esta relación basta considerar que:

La impedancia que se ve desde la entrada es:

z22presz22real

Z+= donde ZΔk22

i( )

s jωi–---------------i( )∑=

v2 Ri2–=

v1i1-----

Kv2i2– K⁄--------------- K2R= =



mismo orden que H(s).3) Para las inmitancias de síntesis y transferencia elegidas dibujar diagramas polo/cero

con la posición relativa de polos, ceros y ceros de transmisión.4) Mover un cero de la inmitancia de síntesis hasta hacerlo coincidir con un cero de trans-

misión mediante la eliminación parcial de un polo en el origen o en infinito. Normal-mente no es necesario eliminar un polo interno. No olvidar que los polos eliminadosparcialmente deben ser normalmente eliminados completamente más adelante.

5) Invertir el resto de la inmitancia de síntesis y eliminar completamente el polo obtenidoen la localización del cero de transmisión.

6) Repetir los pasos 4) y 5) hasta que la inmitancia de síntesis se reduce a 0.7) Analizar la escalera resultante a una frecuencia conveniente (normalmente ω=0 o ω=∞)

para encontrar la constante K:

(8.48)

Si K≠1 utilizar un transformador o cambiar la resistencia de carga para hacer la correc-ción necesaria.

8) Implementar la z22 restante en serie con la segunda puerta.9) Supongamos que denotamos la frecuencia y los elementos de un filtro prototipo paso

de baja mediante s, LLP y CLP.Si el filtro objetivo es paso de alta, la transformación LP→HP es:

(8.49)

y tendremos la transformación de elementos:

(8.50)

El filtro paso de alta se obtiene reemplazando cada inductor LLP por un condensadorCHP=1/LLP y cada condensador CLP por un inductor LHP=1/CLP.Si el filtro objetivo es paso de banda la transformación LP→BP es:

(8.51)

y la transformación de elementos será:

Kz12realz12presc------------------= o K

y12realy12presc------------------=

s 1p---=

sLLP1p---LLP→ 1

pCHP-------------=

sCLP1p---CLP→ 1

pLHP-------------=

sp2 ωo

2+pB------------------=



(8.52)

El filtro paso de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la combinaciónen serie de LBPs=LLP/B y CBPs=B/LLPωo

2; y cada condensador CLP por la combinaciónen paralelo de CBPp=CLP/B y LBPp=B/CLPωo

2.Si el filtro objetivo es rechazo de banda la transformación LP→BR es:

(8.53)

y la transformación de elementos será:

(8.54)

El filtro rechazo de banda se obtiene sustituyendo cada inductor LLP por la com-binación en paralelo de CBRp=1/BLLP y LBRp=BLLP/ωo

2 y cada condensador CLP porla combinación en serie de LBRs=1/BCLP y CBRs=BCLP/ωo

2.10)Finalmente habrá que desnormalizar los elementos si es necesario.Puede ocurrir que los valores finales obtenidos de L y C tengan un rango de variación

entre el menor y el mayor muy grande, lo cual no es muy conveniente para implementación. Enese caso se pueden utilizar una serie de transformaciones que reducen esas relaciones de valoresa unas más prácticas.

Finalmente, hacer notar que hemos realizado eliminación parcial de polos y ceros,normalmente en s=0 o s=∞, para desplazar un cero a la posición del cero de transmisión yentonces una eliminación total del polo para realizar ese cero. Dicha eliminación parcial delpolo crea un cero de transmisión en esa posición si no hay una eliminación total posterior. Si lahay, esta eliminación total creará un cero de transmisión. Por tanto, para poder realizar elproceso de implementación la función de transferencia debe tener un cero de transmisión ens=∞ (en el caso de paso de baja y paso de banda) y/o s=0 (en el caso de paso de alta y paso debanda).

sLLP LLPp2 ωo

2+pB------------------→ p

LLPB---------

LLPωo2

pB----------------+ pLBPs

1pCBPs

--------------+= =

sCLP CLPp2 ωo

2+pB------------------→ p

CLPB---------

CLPωo2

pB----------------+ pCBPp

1pLBPp

--------------+= =

s pBp2 ωo

2+------------------=

sLLP LLPpB

p2 ωo2+

------------------→ 1

p 1LLPB-------------

ωo2

pBLLP----------------+

--------------------------------------- 1

pCBRp

1pLBRp

--------------+------------------------------------= =

sCLP CLPpB

p2 ωo2+

------------------→ 1

p 1BCLP-------------

ωo2

pBCLP-----------------+

----------------------------------------- 1

pLBRs

1pCBRs

--------------+-----------------------------------= =



8.7 Realización de filtros pasa todo LC

Se ha visto con anterioridad que los ceros de una función pasa todo están localizados enel semiplano derecho del plano s y que son imágenes especulares de los polos:

(8.55)

También sabemos que el polinomio de transmisión cero N(s) debe tener todos los cerosen el eje jω para ser realizable como escalera LC. Podemos concluir que las funciones pasa todono son realizables con escaleras LC. Una estructura adecuada para implementarlos es laestructura simétrica "lattice" de la Fig. 8.6 donde las impedancias LC Z1 y Z2 satisfacen larelación1:

(8.56)

El análisis de dicha estructura muestra los siguientes parámetros de impedancia:

(8.57)

Utilizando (8.30) se obtiene que la función de transferencia H(s)=V2/V1 es:

1. La estructura es simétrica, tanto la resistencia del generador como la de carga son Ro.

H s( ) D s–( )D s( )

---------------=

Z1 s( )Z2 s( ) Ro2=

Fig.2.15 Schauman

Figura 8.6: Estructura lattice sin pérdidas de resistencia constante.

Ia

Ib

z11V1I1------

I2 0=

V1Ia Ib+---------------

I2 0=

12--- Z1 Z2+( ) z22= = = =

z12V2I1------

I2 0=

IaZ2 IbZ1–Ia Ib+---------------------------

I2 0=

12--- Z2 Z1–( )= = =



(8.58)

De la misma forma la impedancia de entrada resulta:

(8.59)

La impedancia de entrada es independiente de la frecuencia. Por ello, este circuito se denomina"lattice" de resistencia constante.

Z1 y Z2 son impedancias LC por lo que Z1(jω)/Ro es imaginario puro y (8.58) será elcociente de dos números complejos conjugados. Por tanto, la magnitud |H(jω)|=1. Enconsecuencia, el circuito "lattice" LC de resistencia constante es un filtro pasa todo cuyaimpedancia de entrada es igual a la resistencia de carga para todas las frecuencias.

Se deduce una interesante propiedad: una conexión en cascada de varias "lattices" deresistencia constante tiene una función de transferencia en tensión que es simplemente elproducto de las funciones de transferencia de los bloques individuales:

(8.60)

ya que cada celda ve únicamente una resistencia de carga Ro.Por tanto, si se ha realizado una escalera LC con una resistencia de carga RL y tenemos

que corregir su fase o retraso, se puede reemplazar RL por una "lattice" o una cascada de"lattices" terminadas en RL. La operación de la escalera LC no se ve afectada ya que su cargano varía.

Veamos ahora la realización de una función pasa todo de orden n:

H s( )V2V1------

2Roz12

z11 Ro+( ) z22 Ro+( ) z122–

--------------------------------------------------------------Ro Z2 Z1–( )

Z12-----

Z22----- Ro+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞2 1

4--- Z2 Z1–( )2–-------------------------------------------------------------------------= = = =

Ro Z2 Z1–( )

Ro2 Z1Z2 Z2Ro Z1Ro+ + +

-------------------------------------------------------------Ro Z2 Z1–( )

2Ro2 Z2Ro Z1Ro+ +

----------------------------------------------Z2 Z1–

2Ro Z2 Z1+ +---------------------------------= = = =

Ro2

Z1------ Z1–

2Ro Z1Ro

2

Z1------+ +

----------------------------------Ro

2 Z12–

Z12 Ro

2 2RoZ1+ +----------------------------------------

Ro Z1–Ro Z1+------------------

1Z1Ro------–

1Z1Ro------+

---------------= = = =

Zin z11z12

2

z22 Ro+-------------------–Z12-----

Z22-----

14--- Z2 Z1–( )2

Z12-----

Z22----- Ro+ +

-------------------------------–+= = =

Z1Z2Z2Ro

2------------Z1Ro

2------------+ +

Z12-----

Z22----- Ro+ +

------------------------------------------------- Ro= =

VoV1------

V2V1------

V3V2------= …

VnVn 1–------------

VoVn------



(8.61)

Si n es par el polinomio Dn(s) se puede factorizar en términos de la forma:

(8.62)

y si n es impar en factores de este tipo y un factor de primer orden:

(8.63)

Por tanto, la función de transferencia global puede escribirse como:

(8.64)

Por tanto, H1 y H2i pueden realizarse separadamente y obtener Hn mediante la cascada de todasellas. Se reduce el problema a implementar funciones pasa todo de primer y segundo orden.Supondremos que está normalizado: Ro=1.

Para la función de primer orden:

(8.65)

Comparando con (8.58):

(8.66)

La realización de esta función se muestra en la Fig. 8.7(a). La Fig. 8.7(b) es un equivalente contierra común que puede analizarse y comprobar que es un circuito equivalente.

Hn s( )Dn s–( )Dn s( )

-----------------=

s2 sωiQi----- ωi

2+ +

s σ+

Hn s( ) σ s–σ s+------------

s2 sωi Qi⁄– ωi2+

s2 sωi Qi⁄ ωi2+ +

------------------------------------------i∏ H1 s( ) H2i s( )

i∏= =

H1 s( ) σ s–σ s+------------ 1 s σ⁄–

1 s σ⁄+-------------------= =

Z1 s( ) 1Z2 s( )------------- s

σ---= =

Figura 8.7: Estructura pasa-todo de primer orden de resistencia constante: (a) latticede 4 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.

(a) (b)



Para el caso de la función de segundo orden:

(8.67)

Por tanto, Z1 y Z2 son:

(8.68)

cuya realización se muestra en la Fig. 8.8(a). El circuito de la Fig. 8.8(b) es un circuitoequivalente de tierra común.

H2i s( )s2 sωi Qi⁄– ωi

2+

s2 sωi Qi⁄ ωi2+ +

------------------------------------------

1sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------–

1sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------+---------------------------= =

Z1 s( ) 1Z2 s( )-------------

sωi Qi⁄

s2 ωi2+

------------------= =

Figura 8.8: Estructura pasa-todo de segundo orden de resistencia constante: (a) latticede 8 elementos; (b) circuito equivalente con tierra común.

(a)

(b)



A.8.1 Condiciones de realizabilidad de bipuertas pasivas y condiciones sobrelos residuos

Consideremos el circuito de la Fig. 8.2. Definiendo J1 y J2 como intensidades en sentidocontrario a I1 y I2 respectivamente podemos escribir según el teorema de Tellegen:

(8.69)

Los dos primeros términos:

(8.70)

Si la bipuerta contiene únicamente elementos pasivos:

Vk s( )Jk∗ s( )

k 1=

N

∑ V1J1∗ V2J2∗ Vk s( )Jk∗ s( )

k 3=

N

∑+ + 0= =

Fig.5.4 Temes

Figura 8.9: Bipuerta (a) con dos fuentes equivalentes de intensidad, (b) con excitaciónúnicamente en la puerta de entrada, (c) con excitación únicamente en la puertade salida.

V1I1∗ V2I2∗+ VTI∗

ITZTI∗

= =

A.8.1 Condiciones de realizabilidad de bipuertas pasivas y condiciones sobre los residuos


(8.71)

Fo, Vo y Mo son reales y no negativas y (8.71) es una función real positiva. Por tanto, (8.70) debeser también una función real positiva. Escribiendo las intensidades en función de su parte real eimaginaria:

(8.72)

Esta expresión debe ser una función real positiva para todo valor de a1, a2, b1, b2. En particularpara b1=b2=0:

(8.73)

debe ser real positiva para todo a1 y a2.Las condiciones de realizabilidad de la matriz de impedancia Z de una bipuerta son:a) Todos los elementos zij de Z deben ser funciones racionales reales de s con z12=z21.b) La expresión

(8.74)

debe ser una función real positiva para todo a1 y a2.Una condición análoga se obtiene para Y(s).Haciendo a1=0 o a2=0 se deduce que z11, z22, y11, y22 deben ser reales positivas, lo cual

es lógico ya que son funciones de inmitancia de una puerta con la otra puerta cortocircuitada oen circuito abierto.

Un conjunto alternativo de condiciones de realizabilidad son:a) Igual que la condición a) anterior.b) Si denominamos rij=Re zij:

(8.75)

c) Todos los polos de Z(s) están en el semiplano izquierdo cerrado del plano s. Los queestán en el eje jω deben ser simples y con residuos reales positivos.

Si en (8.75) hacemos a1=0 o a2=0 está claro que debe ser r11≥0 y r22≥0. Por tanto sólo sepodría violar esa condición si 2r12a1a2 es negativo y su valor absoluto:

(8.76)

Pero

Vk s( )Jk∗ s( )ramas internas

∑ Fo s( )Vo s( )

s------------- sMo s( )+ +=

ITZTI∗

a1 jb1+ a2 jb2+[ ]z11 z12

z12 z22

a1 j– b1

a2 j– b2= =

z11 a12 b1

2+( ) 2z12 a1a2 b1b2+( ) z22 a22 b2

2+( )+ +=

z11a12 2z12a1a2 z22a2

2+ +

Z s( ) z11a12 2z12a1a2 z22a2

2+ +=

Re Z jω( ) r11a12 2r12a1a2 r22a2

2+ + 0≥=

2r12a1a2 r11a12 r22a2

2 0>+>–



(8.77)

Luego

(8.78)

Por tanto, si se cumple que

(8.79)

(8.76) será falso como queremos. Por tanto,

(8.80)

y las condiciones de las partes reales equivalentes a (8.75) son:

(8.81)

z12 no puede tener polos en el semiplano derecho ya que aparecerían en Z, z11, o z22 y esasson funciones reales positivas. Cualquier polo en el eje jω será simple por lo que se puedenexpandir en fracciones:

(8.82)

Sustituyendo en (8.74) y multiplicando por s−jω1 resulta:

(8.83)

Para s=jω1 se obtiene:

(8.84)

que por analogía a (8.75) conduce a las condiciones de los residuos:

(8.85)

que debe cumplirse para todos los polos del eje jω de zij.

A.8.2 Impedancia de entrada de una bipuerta para la que se obtiene potenciamáxima a la entrada

La potencia a la entrada es:

a1 r11 a2 r22–( )2

r11a12 2 r11r22a1a2– r22a2

2+ 0≥=

r11a12 r22a2

2+ 2 r11r22a1a2≥

2 r11r22a1a2 2r12a1a2–≥

r11r22 r122≥

r11 jω( ) 0≥ r22 jω( ) 0≥ r11 jω( )r22 jω( ) r122 jω( )– 0≥

Z s( ) ks jω1–---------------- otros terminos+= zij s( )

kijs jω1–---------------- otros terminos+=

k s jω1–( ) otros terminos( )+ k11a12 2k12a1a2 k22a2

2 s jω1–( ) otros terminos(+ + +=

k k11a12 2k12a1a2 k22a2

2+ + 0≥=

k11 0≥ k22 0≥ k11k22 k122– 0≥

A.8.1 Condiciones de realizabilidad de bipuertas pasivas y condiciones sobre los residuos


(8.86)

Está claro que la potencia máxima se producirá para Im{Zin(jω)}=0. Veamos para qué valor dela parte real haciendo la derivada de P1 respecto a la parte real e igualando a 0:

(8.87)

luego Rs=Zin(jω).

A.8.3 Relación entre parámetros de transducción y parámetros de inmitancia

Los función de transferencia:

(8.88)

La impedancia de entrada es:

(8.89)

El coeficiente de reflexión es:

(8.90)

La función característica:

(8.91)

Los parámetros de impedancia:

P1Vs

2

Rs Re Zin jω( ){ } Im Zin jω( ){ }++ 2----------------------------------------------------------------------------------------Re Zin jω( ){ }= =

Vs2Re Zin jω( ){ }

Rs2 2RsRe Zin jω( ){ } Re Zin jω( ){ }( )2 Im Zin jω( ){ }( )2+ + +

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

Re Zin{ }ddP1 Rs

2 Re Zin{ }( )2–( ) Vs2

Rs Re Zin jω( ){ }+( )2-------------------------------------------------------- 0= =

H s( ) 2RsRL------

V2Vs------ 2

RsRL------

I2RL–Vs

--------------2 RsRLz12

z11 Rs+( ) z22 RL+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= = =

Zinz11 Rs+( ) z22 RL+( ) z12

2–z22 RL+-------------------------------------------------------------- Rs– z11

z122

z22 RL+-------------------–= =

ρ s( )Rs Zin–Rs Zin+-------------------

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

Rs z11+( ) RL z22+( ) z122–

--------------------------------------------------------------= =

K ρH----

Rs z11–( ) RL z22+( ) z122+

2 RsRLz12--------------------------------------------------------------= =



(8.92)

Los parámetros de admitancia:

(8.93)

Alternativamente, si N(s) es par:

(8.94)

y si N(s) es impar:

(8.95)

z11 Rs

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------= z22 RL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-------------------------= z12RsRL

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi+

-----------------------=

y111Rs-----

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp+

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi–

-------------------------= y221

RL------

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

pKp–

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi–

-------------------------= y121

RsRL---------------- 1

1H----⎝ ⎠⎛ ⎞

iKi–

-----------------------=

z11 RsDp F̂p–

Di F̂i+------------------= z22 RL

Dp F̂p+

Di F̂i+-------------------= z12

RsRLN

Di F̂i+--------------------=

y111Rs-----

Dp F̂p+

Di F̂i–-------------------= y22

1RL------

Dp F̂p–

Di F̂i–------------------= y12

1RsRL

---------------- NDi F̂i–----------------=

z11 RsDi F̂i–

Dp F̂p+-------------------= z22 RL

Di F̂i+

Dp F̂p+-------------------= z12

RsRLN

Dp F̂p+--------------------=

y111Rs-----

Di F̂i+

Dp F̂p–------------------= y22

1RL------

Di F̂i–

Dp F̂p–------------------= y12

1RsRL

---------------- NDp F̂p–------------------=

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SÍNTESIS DE FILTROS PASIVOS II: BIPUERTAS · 2008-06-13 · salida del filtro normalmente es la salida de un amplificador operaciona l que puede considerarse una fuente ideal de