SOBRE EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO Y LA MODELIZACIÓN

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Métodos Matemáticos para la Economía y la Empresa

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SOBRE EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO Y LA MODELIZACIÓN

FINANCIERO-ACTUARIAL

Julio García Villalón

Departamento Economía Aplicada (Matemáticas)

Universidad de Valladolid.

Palabras claves: Procesos estocásticos; filtración; cadena de Markov; martingala;

Matemática Financiera; operaciones de seguros; integral estocástica; ecuación diferencial

estocástica e integración de Itô.



Villalón J. G.

360

INTRODUCCIÓN

Se trata de considerar los modelos estocásticos para ilustrar cómo la Teoría de la

Probabilidad y otras Teorías Matemáticas se pueden aplicar al campo financiero-actuarial. Los procesos estocásticos son de gran utilidad no solamente porque conducen

a Matemáticas más avanzadas, sino también porque constituyen el lenguaje actual de los

especialistas en estas materias que coinciden con la ciencia financiero-actuarial.

Precisamente, porque la mayor parte de los riesgos financiero-actuariales

implican situaciones que se desarrollan a lo largo del tiempo es por lo que los modelos

basados en los procesos estocásticos resultan ser los más adecuados. No tratamos de dar

definiciones o deducciones rigurosas sino que nuestro objetivo es el de introducir unvocabulario y un breve resumen de algunas aplicaciones de los modelos estocásticos al

campo financiero-actuarial.

1.- LOS PROCESOS ESTOCÁSTICOS

La teoría de los procesos estocásticos, integra la dimensión temporal en el análisis

de los fenómenos aleatorios. Son adecuados para formalizar la evolución de un sistema

dinámico cuando esta evolución no puede ser prevista con certidumbre a partir delestado inicial del sistema y una ecuación de evolución. En el marco de la modelización

financiero-actuarial, intervienen desde el momento en que se aborda la gestión dinámica

de una cartera, elección del consumo intertemporal, etc.

Los procesos estocásticos más utilizados son los procesos markovianos y, en el

campo continuo, los procesos de difusión. Las "martingalas", veremos tienen gran

importancia en el campo financiero-actuarial, por ejemplo, en el tema de "arbitraje".

También son muy interesantes los procesos estocásticos en tiempo continuo yparticularmente la construcción del proceso de Wiener, de gran interés para la

modelización de los rendimientos de activos financieros.

Un "proceso estocástico" es una sucesión o familia de variables aleatorias

indizadas Xt,t∈T sobre el espacio de probabilidad (Ω, ℑ,P). Los puntos del "índice" o

"conjunto paramétrico" T, generalmente están asociados al tiempo.




361

Si T es numerable, ∞

=1nn X , es un proceso estocástico "temporalmente

discreto", (proceso de parámetro discreto) y si T=R, o bien, T=[a,b], para a y b números

reales, o bien, T=[0,∞], no numerable0≥t t X ,es un proceso estocástico temporalmente

continuo, es decir, un proceso estocástico de parámetro continuo.

Una "trayectoria o realización muestral" de un proceso estocástico Xt, t∈T

ordenado mediante cierto conjunto temporal T=[0,∞), es el conjunto de realizaciones de

la variable aleatoria Xt (ω),t∈T para un resultado ω∈Ω.

Ω, es el espacio muestral y para un determinado ω∈Ω, Xt(ω)=X(⋅,ω) para t ∈T,

se llama función muestral o trayectoria muestral correspondiente a ω.Evidentemente, para un determinado t∈T, Xt(ω)=X(t, ⋅), es una variable

aleatoria. Generalmente el espacio de los estados es la recta real R y X t se denomina

proceso estocástico real, o simplemente, proceso estocástico.

En general, una "información" en un determinado momento t es una σ-álgebra Ft

que contiene aquellos sucesos que, en el momento t, sabemos han acontecido o no.

Una "filtración", es un conjunto de σ-álgebras ℑt, donde ℑt ⊆ℑr, para todo

t<r. De este modo tenemos una sucesión de cantidades de información crecientes dondecada miembro ℑt contiene toda la información de los miembros anteriores.

Generalmente, ℑt contiene toda la información disponible hasta el momento t, es

decir, no suprime nada de nuestra información. Entonces, en un momento posterior r,

tenemos más información ℑr, debido a que añadimos a la información original la

información que hemos obtenido entre los momentos t y r. En este caso ℑt puede

considerarse como la historia del proceso hasta e inclusive en el momento t.

Más rigurosamente, si (Ω,ℑ,P), es un espacio de probabilidad. Se llama

"filtración" a una sucesión ℑ (t), t ∈Tde sub-σ-álgebras tal que ℑ (t) está incluida en ℑ

(R) si r <t.

Una "cadena de Markov" es un proceso estocástico Xt en el que

P(Xt=x/Fr)=P(Xt=x/Xr) para todo r ≤t

Estamos interesados en la probabilidad de que un proceso estocástico tenga un

cierto valor en el futuro. Podemos disponer de la información con respecto a los valores



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del proceso estocástico en momentos ciertos en el pasado y esta información puede

afectar a la probabilidad del resultado futuro. Sin embargo, para una cadena de Markov

la única información relevante es el valor conocido más reciente del proceso estocástico.Cualquier información adicional anterior al valor más reciente no cambiará la

probabilidad. Una consecuencia de esta propiedad es que si ∞

=1nn X es una cadena de

Markov y ℑn =σ(X1, X2,..., Xn), entonces:

E[Xn+m / ℑn]=E[Xn+m / X1, X2,.., Xn] =E[Xn+m / Xn]

Ley fundamental de las esperanzas condicionadas

Sea ℑn t∈T, una filtración de un proceso Xt.

La "Ley fundamental de las esperanzas condicionadas", nos indica que para

k ≤ m ≤ n:

E[E[Xn / ℑm]/ ℑk]=E[Xn / ℑk]

Es decir, supongamos que en el momento k queremos calcular la E[Xn / ℑk].

Podríamos hacerlo directamente (como se indica en el segundo miembro de la

expresión anterior) o indirectamente, condicionando la historia del proceso hasta cierto

momento futuro m(como se indica en el primer miembro). La ley fundamental nos indica

que obtenemos el mismo resultado.

Tiempos o momentos de parada.

Una variable aleatoria T es un "momento de parada" de un proceso estocástico si

constituye una regla para parar este proceso tal que la decisión de parar en el momento t

se puede tomar solamente en base a la información disponible en el momento t. por

ejemplo sea Xt el precio de una determinada acción en el momento t y consideremos lasdos definiciones siguientes:

a) T, es el primer momento del proceso X t en el que toma el valor 150

y

b) T, es el momento en el que el proceso Xt toma su valor máximo.

La definición a), define un momento de parada para el proceso porque la decisión

de establecer T=t, significa que el proceso toma el valor 150 por primera vez en el

momento t, y esta información debería conocerse en el momento t.




363

La definición b), no define un momento de parada para el proceso porque para en

T=t, requiere el conocimiento de los valores del proceso antes y después del momento t.

Más rigurosamente, la variable aleatoria T que transforma Ω en el conjunto índicetemporal T es un momento de parada si ω:T(ω)=t∈ℑt para todo t ∈T.

2. LAS MARTINGALAS

Sea ℑt t ∈T una filtración. Una Martingala con respecto a ℑt t ≥0 , es un

proceso estocástico Xt que goza de las propiedades siguientes:

a) E(|Xt|)< ∞ para todo t;

b) E(Xt|ℑr) =Xr para todo r < t

Una consecuencia de la b) es que:

E[Xt]=E[Xr] para todo t y r

El Teorema de la parada óptima

Una propiedad muy útil de las martingalas es que la esperanza es invariable si

reemplazamos t por un momento de parada T para el proceso, de modo que:

E[XT]=E[Xr] para cualquier r.

Las martingalas están relacionadas con el concepto de juegos equitativos. Por

ejemplo, sea Xt el montante de los fondos de un jugador en el momento t. Dada la

información ℑt-1 sabemos que el montante de los fondos del jugador en el momento t-1,

son Xt-1. Para un juego equitativo ( beneficio esperado nulo ) el montante de los fondos

después de la última vuelta ( jugada ) del juego en el momento t sería igual a X t-1.

El estudio de las martingalas es de gran importancia en la Teoría de la

Probabilidad. En el campo financiero-actuarial, la noción de martingala ha adquirido gran

importancia a partir de los trabajos de Ross ( 1976-1978 ) y sobre todo los de Harrisson

y Kreps ( 1979 ) sobre la valoración mediante arbitraje. Recientemente, Ross decía que el

elemento clave de la economía era la igualdad de la oferta y la demanda mientras que el

elemento clave en el campo financiero es la ausencia de oportunidades de arbitraje.

Una contribución esencial en este aspecto es la de Harrison y Kreps que ha

consistido en demostrar que cuando los activos pueden valorarse " mediante arbitraje " el

proceso de los precios es una martingala con respecto a una probabilidad particular.



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364

3.- ALGUNAS APLICACIONES A LAS OPERACIONES DE SEGUROS

Se trata de formular algunas operaciones financiero-actuariales mediante el uso

de los procesos estocásticos.El suceso mas simple es el acaecimiento del fallecimiento y precisamente debido a

su sencillez se puede modelizar de forma sencilla sin recurrir a los procesos estacásticos.

Ahora bien, existen otros sucesos que no son tan simples y es preciso recurrir a otros

modelos. Por tanto, los procesos estocásticos constituyen un buen punto de partida.

Consideremos un ejemplo sencillo representado de forma intuitiva mediante dos

estados:

Figura 1: Un modelo bi-estados de supervivencia

Por supuesto este es un caso muy sencillo y, en principio, no ofrece nada nuevo,

pero veamos cuando el modelo se complica.

a) Todos los instrumentos desarrollados en el caso de este proceso simple

conducen a procesos complicados tales como son los necesitados para

modelizar la enfermedad o invalidez a largo plazo.b) Se necesitan instrumentos que también se utilizan en el campo

financiero. En particular las "integrales estocásticas" y las " esperanzas

condicionadas " constituyen las ideas clave. De tal forma que en lugar de

adquirir dos herramientas diferentes, una valdría para ambas.

La diferencia principal entre las Matemáticas Financieras y las Matemáticas

del Seguro de vida es que las primeras se basan en procesos con trayectorias continuas,

mientras que las otras están basadas en procesos con saltos, es decir, en las MatemáticasFinancieras, los ejemplos sencillos se proporcionan mediante procesos con trayectorias

continuas, y las discontinuidades hacen que las matemáticas sean mas complicadas como

sucede con las matemáticas del seguro de vida. Los instrumentos fundamentales en las

matemáticas de seguro de vida son los procesos estocásticos denominados " procesos

numerables ".

0 = activo 1 = fallecidoµx




365

Los procesos estocásticos numerables

La fig. 1 representa un proceso de Markov con dos estados, con " intensidad de

transición µx " ( tanto instantáneo de fallecimiento ) µx que depende de la edad x. Porconveniencia, asociamos el 0 al estado activo y el 1 al estado fallecido. Una trayectoria

muestral típica de este proceso se representa en la fig. 2 donde el acaecimiento del

fallecimiento es a los 60 años. La trayectoria muestral es una función del tiempo que

denotamos por N01 ( t ). N01 ( t ) indica si el fallecimiento ha acaecido. Estrictamente

hablando, el espacio muestral Ω es el espacio de todas las funciones como la fig. 2 que

comienza en 0 y salta a 1 en un cierto momento y la trayectoria muestral particular en la

fig. es un punto ω∈Ω. Por tanto, N01 ( t ) representa el número de sucesos que hanacontecido hasta inclusive t. No pensemos que porque solamente puede acaecer un tipo

de suceso y solamente una vez, esta interpretación de " numerable " es trivial: todo lo

contrario. Esto es lo que define un proceso numerable.

Ahora consideremos los incrementos de la trayectoria muestral N01 ( t ). Es muy

sencillo. Si el proceso no salta en el momento t, el incremento es 0, y escribimos esto

como dN01(t) = 0. Si el proceso salta en el momento t el incremento es 1 y lo expresamos

como dN01(t) = 1. [ También se puede expresar de la forma ∆N01 ( t ) en lugar de dN01 (

t ) ].

Los incremento discretos como dN01 ( t ) son para los procesos numerables, lo

que es la primera derivada d/dx para los procesos en trayectorias muestrales

diferenciables. Lo mismo que cuando una trayectoria muestral es diferenciable se puede

reconstruir partiendo de su derivada ( mediante integración ), un proceso numerable se

puede reconstruir en base a sus incrementos ( también mediante integración ). Esto nos

conduce a la integral estocástica.


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366

0 20 40 60 80 100

La integral estocástica

La construcción de la integral estocástica que proponemos es de tipo práctico no

de rigor matemático. Se trata de dar la intuición de los problemas planteados cuando se

desea integrar un proceso con respecto a un proceso de Wiener.

La construcción rigurosa de la integral estocástica se puede ver en una de las

numerosas publicaciones relativas al cálculo estocástico y ecuaciones diferencialesestocásticas (Karatzas-Shreve, 1998, Elliott 1982). Por otra parte, es conveniente

observar que la teoría de la integración se puede abordar de forma mucho mas general

que lo hacemos nosotros aquí (la teoría general de las martingalas y de la integral

estocástica se denomina frecuentemente " Escuela de Strasburgo ").

Con referencia a la integral estocástica y al Lema de Itô, la referencia original es

el artículo de Itô ( 1994 ). Estos trabajos cuyo precursor fue Wiener, se han desarrollado

considerablemente después en el marco de una teoría general de los procesos

estocásticos en particular por Meyer ( 1976 ), Dellacherie ( 1974 ) y Dellacherie y Meyer

( 1978, 1982 ).

Comenzamos con un proceso numerable tiempo-discreto, por ejemplo, uno que

puede saltar solamente en momentos enteros.

Entonces, por definición dN01(t) = 0 en todos los momentos no enteros y

dN01(t) = 1 en solamente un momento entero.

Fig.2. Una trayectoria muestral N01(t) de un proceso numerable: fallecido a los 60 años.

1,5

1,0

0,5

0,0




367

¿ Podemos reconstruir N01(t) en base a sus incrementos dN01(t) ? Es decir,

¿ podemos obtener N01(T) ? ( T, no necesita ser entero ).

Sea S ( T ) el conjunto de todos los posibles saltos hasta e inclusive T.( Es decir, todos los enteros ≤ T), entonces:

N01(t) =( )

∑∈ T St

d N01(T) ( 1 )

Supongamos que N01(t) está en tiempo discreto, pero puede saltar en mas puntos:

por ejemplo, al final de cada mes. De nuevo definimos S ( T ) como el conjunto de todos

los posibles saltos hasta e incluido T y la ecuación (1) sigue siendo válida. Esto se

verifica para cualquier conjunto discreto de posibles saltos por mucho que se refine

( años, meses, días, minutos,...) ¿qué sucede en el límite ?

a) El proceso numerable se convierte en la versión tiempo continuo con

el que comenzamos.

b) El conjunto de momentos de salto posible S( T ) se convierte en el

intervalo ( 0, T ]; y

c) El sumatorio para N01(t) se convierte en la integral:

N01(t) =( )∫ ∈ T St d N01(t) = ∫

T

d 0 N01(t)

La integral general de la ecuación (2) es una "integral estocástica" ya que las

trayectorias muestrales del proceso estocástico N01(t) están implicadas en sus

definiciones. Dada la trayectoria muestral N01(t), estas integrales se construyen de la

misma forma que sus análogas deterministas. Las integrales estocásticaas utilizadas en la

Matemática Financiera, llamadas integrales de Itô, son muy diferentes.

Considerada como una función de T, es un proceso estocástico.

Esta idea es muy interesante ya que nos permite escribir a continuación los

valores de los seguros y de las rentas.

4.- ALGUNAS EXPRESIONES DE LAS OPERACIONES DE SEGUROS Y DE

LAS RENTAS

Consideremos una operación de seguro de vida entera unitaria, es decir, que la

prestación es de 1 u, m en el momento del fallecimiento.

( 2 )


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¿Cuál será su valor actuarial X a la edad x?

Para ello, definimos la variable aleatoria x asociada a la esperanza de vida de una

persona de edad x, entonces el valor actuarial de la operación de seguros seráX = vTx = e-dTx según la notación internacional.

También podemos escribir esto como una "integral estocástica". El valor

actuarial de 1.u.m.pagadera en el momento t será vt. Si la persona no fallece en el

momento t, el incremento del proceso numerable N será dN01(t)=0 y el valor actuarial de

la prestación será vt dN01(t)=0. Si la persona fallece en el momento t, el incremento de N

será dN01(t)=1 y el valor actuarial del pago será vt dN01(t)=vt . Integrando obtenemos

X= ∫ ∞

0 vt dN01(t)

Las rentas también se pueden expresar como integrales estocásticas. Para ello,

consideremos una renta vitalicia unitaria en el campo continuo y sea Y su valor acuarial.

Definimos un proceso estocástico I0(t) de la forma siguiente: I0(t)=1, si la persona

supervive en el momento t e I0(t)=0 en otro caso.

Este es un proceso indicatriz, es decir, toma el valor 1 o 0, dependiendo de si o

no se cumple una determinada condición. Entonces:

Y= dt t I vt

)(00∫

∞

Dada la trayectoria muestral, esta es una integral ordinaria, pero puesto que la

trayectoria muestral es aleatoria, también lo es Y. Entonces, definiendo X(T) e Y(T)

como el valor actuarial de las prestaciones hasta el momento T, podemos escribir los

procesos estocásticos:

X(T)= ∫ T

0vt dN01(t) e Y(T)= dt t I v

t )(

00∫ ∞

4.1.- Las operaciones del seguro de vida. En base a lo establecido anteriormente,

podemos escribir los elementos de la Matemática del Seguro de vida en función de los

procesos numerables, véanse Hoem-Aalen (1978) y Norberg (1990).

Comenzaremos por las funciones de pago (prestaciones):

a) Si N=0 en el momento t [la persona de edad x, denotada(x), supervive]

una renta es pagadera al tanto anual c0(t) y

( 3 )

( 4 )

( 5 )




369

b) Si N salta , (pasa) de 0 a 1 en el momento t [(x) fallece], se paga un

montante de C01(t).

Obviamente, las primas se pueden considerar como una renta negativa y estas

definiciones se pueden extender a cualquier modelo multi-estados. También, se pueden

considerar sin dificultad pagos en el campo discontinuo o capitales de supervivencia.

Las cantidades c0(t) y C01(t) son funciones del tiempo, pero no necesitan ser

procesos estocásticos. Éstas definen prestaciones que se realizarán, dependiendo de los

acontecimientos, pero no representan los sucesos en sí. En el caso de una operación de

seguros sin participación en beneficios, serán funciones deterministas de la edad. Lospagos realmente realizados se expresarán como un tanto, dL(t):

dL(t)=C01(t)dN01(t)+c0(t)I0(t)dt

Esto nos da el tanto de pago neto "durante" el intervalo de tiempo t a t +dt,

dependiente de los acontecimientos. Supongamos que no se realiza ningún pago después

del momento T (T podría ser ∞). Entonces, el montante del pago sería:

L= dt t t t d t t dL I c N C T T T

)()()()()(00 0010 0 01 ∫ ∫ ∫ +=

Y el valor del montante de pago en el momento 0, denotado V0(t) será:

V0(t)= dt t t t t d t t t dL I cv N C vvT T T t

)()()()()(00 0010 0 01 ∫ ∫ ∫ +=

Este montante es el principal objetivo de estudio.

Este es un proceso estocástico, como función de T, puesto que representa los

pagos realizados dependientes de lo sucedido de forma particular(esta es la trayectoria

muestral de N01(t)).

También hacemos uso del montante o valor actuarial de los pagos en cualquier

momento r, denotado V(r):

V(r)=v

r

1 dt t t t t d t t t dL I cv

v N C v

vv

T

r

T T

r

t )()(

1)()(

1)(

00 0010 0 01 ∫ ∫ ∫ +=

( 6 )

( 7 )

( 8 )

( 9 )



Villalón J. G.

370

4.2.- Algunos valores actuariales

En función de los modelos de probabilidad hemos definido los que en cierta medida

son los elementos del espacio muestral Ω [las trayectorias muestrales N0(t)] y algunasfunciones relacionadas tales como L y V(r). No hemos introducido ni σ-álgebras ni

filtraciones o medidas de probabilidad, ni hemos realizado ningún cálculo probabilista, tal

como esperanzas. Ahora vamos a considerar éstas:

a) Nuestra filtración es la filtración natural generada por el proceso N01(t),

que se describe fácilmente. En el momento t, los valores anteriores N01(r), (r≤t) son

todos conocidos, y los valores futuros N01(r), (r>t) son desconocidos (a menos que

N01(t)=1, en cuyo caso nada más puede acontecer). Esta información se recogemediante la σ-álgebra ℑt.

Para representar esta filtración, cubramos la fig.2 con la mano, y luego lentamente

revelemos la historia de la vida. Antes de los sesenta años, todas las historias

vitalicias futuras posibles están ocultas por la mano; la información ℑt, es la

combinación de la historia vitalicia revelada y todas estas posibilidades ocultas.

b) Nuestra σ-álgebra "total" ℑ es la unión de todas las ℑt.

c) La medida de la probabilidad corresponde a las bases de mortalidad.

Como es bien sabido, el actuario elegirá una base de mortalidad diferente para

propósitos diferentes, y supondremos que la naturaleza elige las bases de

mortalidad reales. Es decir, el espacio muestral y la filtración no determinan la

elección de la medida de la probabilidad, ni es la elección de la medida de

probabilidad siempre un intento para encontrar las probabilidades reales de la

naturaleza (este es el problema de la estimación). Este punto es incluso de mayor

importancia en la Matemática Financiera, donde frecuentemente es mal comprendido.

Todos los cálculos concretos dependen de la elección de la medida de la probabilidad

(bases de mortalidad). Veamos esto utilizando los valores actuariales. Supongamos

que el actuario ha elegido una medida de probabilidad P (equivalente a las

probabilidades de las tablas de mortalidad, tpx).Tomando como ejemplo la prestación

del seguro vida entera, para por ejemplo (x) (asegurado de edad x) Ep[x] tenemos:

Ep [ ] [ ] dt t t d Pt d t d t x x

t t

p

t t

pv N v N E v N v µ +

∞∞∞∞

∫ ∫ ∫ ∫ ====

00100100 01 1)()()( ( 10 )




371

Fig.3: Un módulo de invalidez-fallecimiento

el cual es bien conocido (supervivencia y fallecimiento). Si el actuario eligiese unamedida diferente P*, digamos (equivalente a las probabilidades de la tabla de mortalidad

diferentes tpx obtendría un valor actuarial diferente:

EP*[X]= dt t x xt pv

t **0 +∫ ∞

µ

Los valores actuariales de las rentas se expresan fácilmente:

EP[Y]= dt xt pvt

∫ ∞

0

4.3.- Algunos ejemplos de procesos numerables

La fig.3, muestra el modelo muy conocido de invalidez y fallecimiento.

Una formulación precisa comienza con el estado S(t) ocupado en el momento t;

un proceso estocástico.

La fig.4, muestra una sencilla trayectoria muestral de S(t): (x) que tiene una corta

enfermedad a los 50 años, se recupera a los 54, luego tiene una más larga, y últimamente

, una fatal enfermedad a los 60. En el modelo de mortalidad de 2-estados, el proceso

estocástico S(t), que representa el estado en que se encuentra coincide con el proceso

numerable N01(t) que representa el número de sucesos [no introducimos S(t) en el

modelo de 2-estados: ahora procedemos así porque es lo mismo que N01(t)]. En efecto,

podemos definir cuatro procesos numerables, uno por cada transición, por ejemplo:

N01(t) = nº de transiciones activo a invalido

0 = activo 1 = inválido

2 = fallecido

µ01

x

µ02

xµ

12

x

( 11 )

( 12 )

µ10

x



Villalón J. G.

372

N02(t) = nº de transiciones activo a fallecido

N10(t) = nº de transiciones invalido a activo

N12(t) = nº de transiciones invalido a fallecidoEs decir, considerándoles como un objeto, tener un proceso numerable

multivariante con 4 componentes. También, podemos definir los procesos estocásticos

indicando la presencia en cada estado, I j(t) de las funciones de pago de la renta c j(t) para

cada estado y el montante de las funciones aseguradas para cada transición posible,

C jk(t). Entonces toda la Matemática del Seguro de vida del modelo de 2-estados se

puede deducir con solamente cambios notacionales.

0 20 40 60 80 100

4.4.- Las martingalas asociadas a los procesos numerables

La noción de martingala ha tomado gran importancia en la modelización

financiera con los trabajos de Ross (1976-1978) y sobre todo de Harrison y Kreps

(1979) sobre la valoración mediante arbitraje.Ross (1979), esquematizaba esta situación diciendo que el elemento clave de la

economía era la igualdad entre la oferta y la demanda mientras que el elemento clave en

financiera era la ausencia de oportunidades de arbitraje. La contribución esencial de

Harrison y Kreps ha consistido en mostrar que cuando los activos pueden valorarse

"mediante arbitraje" el proceso del precio es una martingala con respecto a una

determinada probabilidad.

Fig.4:Una trayectoria muestral de un proceso invalidez-muerte S(t)=0= válido; 1= inválido; 2= fallecido

2,50

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0




373

Hasta ahora, no hemos mencionado ninguna martingala asociada a los procesos

numerables, pero es muy sencillo e importante tanto en el análisis de los datos como en

sus aplicaciones. En el módulo de dos estados la martingala es:M01(t) = N01(t) - dr r

r

t

I µ)(0 0∫

M01(t), se denomina proceso numerable compensado y la integral del segundo

miembro se denomina compensador de N01(t). Es fácil ver que M01(t) es una martingala

de sus incrementos:

d M01(t) = d N01(t) - I0(t)µtdt

Ep[d M01(t)] = Ep[d N01(t)] - Ep[I0(t)µtdt]=0

Es muy conveniente especificar la medida de probabilidad P en la esperanza pues

así cambiamos la medida, por ejemplo a P* correspondiente a las probabilidades tp*x,

obtendríamos una martingala diferente:

M*01(t) = N01(t) - dr r r

t

I *

0 0)( µ∫

Y EP*[ d M*01(t)]=0. Alternativamente, dado un tanto instantáneo µ*t, podemos

encontrar una medida de probabilidad P* tal que M*01(t) es una P*-martingala; P* es

simplemente dado por las probabilidades tp*x = exp( dr t

r x∫ +−0

*µ ).

Esto se verifica para cualquier tanto instantáneo de mortalidad (que se comporta

bien), no precisamente elegida la naturaleza del tanto instantáneo de mortalidad.

Una idea de la utilidad de M01(t) se puede obtener de la ecuación (13). Si

consideramos un pequeño intervalo de edad en el que un tanto instantáneo de transición

constante µ es una aproximación razonable, esto se convierte en:

M01(t) = N01(t) - µ dr r t I )(0 0∫ Pero las dos cantidades del segundo miembro son el nº de fallecimientos N 01(t) y

el tiempo total utilizado en el riesgo dr r t

I )(0 0∫ , mas conocido como el central

expuesto al riesgo. Todas las probabilidades del estimador máximo verosímil de µ,

basadas en estos dos estadísticos (sumado respecto a muchos individuos independientes)

son consecuencia de que M01(t) sea una martingala (véase Mcdonald 1996)

( 13 )

( 14 )

( 15 )

( 16 )

( 17 )



Villalón J. G.

374

Para modelos más complicados obtenemos un conjunto de martingalas, una para

cada posible transición (del estado j al k) de la forma M jk(t) = N jk(t) - dr r jk

r

t

j I µ)(0∫

que tienen todas las mismas propiedades

4.5.- Los valores actuariales de las reservas por los métodos prospectivo y

retrospectivo

Partiendo de la ecuación (9)

V(r)=v

-r

∫

T t

t dLv0 )(Recordemos que la prima es la parte de función de pago c0(t); estableciendo la

prima de acuerdo con el principio de equivalencia actuarial lo que significa establecer

EP[V(0)]=0 y resolver en c0(t), donde P es la medida de probabilidad correspondiente a

la base prima;

En general, se utiliza la misma base (medida) para las primas y reservas.

Las reservas se deducen cuando consideramos la evolución de la función valor V

a lo largo del tiempo, cuando se hace uso de la información. Partiendo de la esperanzacondicionada para r<T :

EP[V(r)|ℑr]=EP[v

r

1r

T t t dLv ℑ∫ / )(

0]

= EP[v

r

1r

r t t dLv ℑ∫ / )(

0]+EP[ t v

1r

T t t dLv ℑ∫ / )(

0]

El 2º término del 2º miembro son las reservas prospectivas en el momento r.

Si la información ℑr es la historia vitalicia completa hasta el momento r es lo

mismo que las reservas prospectivas. Sin embargo esta definición es más general; por

ejemplo, en un seguro al 2º fallecimiento vida conjunta, el primer fallecimiento puede no

estar informado, de modo que ℑr represente información incompleta, también esto no

depende de la naturaleza probabilista del proceso que genera la historia vitalicia; no es

necesario suponer que el proceso sea de Markov, por ejemplo. Si el proceso es de

Markov, (como frecuentemente sucede) el condicionamiento sobre ℑr simplemente

( 18 )

( 19 )

( 20 )




375

significa condicionamiento sobre el estado ocupado en el momento r, lo cual es muy

conveniente en la práctica.

El primer término del 2º miembro es menos las Reservas Retrospectivas.Esta definición de las Reservas Retrospectivas es nueva (Norberg 1991) y no es

equivalente a la definición "clásica". Esto es un logro obtenido mediante el enfoque de

los procesos estocásticos: por comodidad, también consideramos algunas de las nociones

de Reservas Retrospectivas que han precedido:

a) La reserva retrospectiva "clásica" [por ejemplo, C.W.Jordan (1967)]

depende de una generación de personas que participan de un fondo entre

supervivientes al final del plazo. Ahora bien, esto evidencia la debilidad delmodelo determinista: dado un colectivo de individuos en el origen denotado

lx, el número de supervivientes algo más tarde, lxpx generalmente no es un

entero. Considerado prospectivamente ésto, puede suponerse: como una

forma adecuada de pensar respecto a los valores esperados, pero

considerado retrospectivamente no es permisible.

b) Hoen (1969) supuso que tanto el número de supervivientes como el

fondo compartido entre los supervivientes, fueran aleatorios, y demostró quelas Reservas Retrospectivas clásicas se obtenían en el límite cuando el

número de supervivientes tendía a infinito.

c) Quizá sorprendentemente, la noción "clásica" de la Reserva

Retrospectiva no conduce a una especificación única de lo que debería ser la

reserva en cada estado en un modelo general de Markov, conduciendo a

varias definiciones alternativas (Hoen, 1988; Wolthius-

Hoen,1998;Wolthius,1992) en las cuales las Reservas Retrospectivas yProspectivas en el estado inicial fueran iguales por definición.

d) Finalmente, Norberg (1991), indicó que las Reservas Retrospectivas

"clásicas" eran " ... más bien una fórmula retrospectiva de las Reservas

Prospectivas..." e introdujo la definición en la ecuación (20). Esto es

adecuadamente definido para los elementos individuales y depende de la

información conocida ℑr . Si ℑr es la historia de la vida completa, la

esperanza condicionada desaparece y :



Villalón J. G.

376

La Reserva Retrospectiva = ∫ − r

t

r t dLv

v0

)(1

que es más semejante a una cuota parte sobre la base de una póliza individual. Si ℑr

representa la información más elemental, por ejemplo, datos agregados con respecto a

una generación de pólizas, la Reserva Retrospectiva es análoga a una acción

mancomunada respecto a los costes de mortalidad.

Hemos dedicado algún tiempo a las Reservas Retrospectivas, porque es un

ejemplo de la mayor claridad según una formulación matemática cuidadosa del proceso

que se está modelizando, en este caso la historia vitalicia.

4.6.- Las ecuaciones diferenciales

Los instrumentos de cálculo más interesantes asociados a los modelos de

múltiple-estados son las Ecuaciónes Diferenciales Ordinarias (EDO). Veamos tres

sistemas útiles:

a) Las ecuaciones "forward" (progresivas) de Kolmogorov

denominadas así porque implican la derivación con respecto a momentos

posteriores a t, se pueden encontrar en los libros de texto sobre procesos deMarkov (por ejemplo, Kulkarni (1995)). Nos permiten calcular las

probabilidades de transición en un proceso de Markov, dadas las intensidades

de transición, que es exactamente lo que necesitamos puesto que las

intensidades son las cantidades más fácilmente estimadas a partir de los

datos. Veamos un ejemplo, el más simple de todos los modelos con dos

estados:

µt x

xt xt p

t

p+

−=∂

∂ )(

b) La ecuación de Thiele rige el desarrollo de la Reserva Prospectiva.

Por ejemplo, si tVx es la reserva correspondiente a un seguro vida entera

unitario, la ecuación de Thiele sería:

d/dt tVx = δ tVx + Px - ( 1- tVx ) µx+t

que tiene una interpretación muy intuitiva. En efecto, es el equivalente en tiempo

continuo a la fórmula de las Reservas Recurrentes para los actuarios.

( 21 )

( 22 )

( 23 )




377

Se ha generalizado a un modelo de Markov por Hoem (1969)

c) Norberg (1995b) generalizó las ecuaciones de Kolmogorov para los

valores de pólizas prospectivas (es decir, momentos de primer orden delosvalores actuariales) a momentos de segundo y ordenes superiores. No

demostramos estas ecuaciones, pero observamos que se obtuvieron a partir de

las propiedades de las martingalas de procesos numerables.

La mayor parte de los sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

no admiten soluciones explícitas y tienen que ser resueltos numéricamente. Por

tanto, mientras que las soluciones explícitas son buenas, no son demasiado

importantes y es mejor tratar las ecuaciones diferenciales ordinarias que sonrelevantes para el problema, mejor que resolverlas explícitamente.

4.7.- Algunas ventajas del enfoque mediante los procesos numerables

a) Ante todo, los procesos numerables representan las historias de la vida

completa. En la practica no toda esta información puede ser disponible o

utilizable, sino que es mejor comenzar con un modelo que representa los

procesos subyacentes y luego hacer todo lo posible por lograraproximaciones que se pudieran necesitar para satisfacer las circunstancias.

b) Las Matemáticas de los procesos numerables y de los modelos multi-

estados se introducen fácilmente por lo que se refiere al modelo de

mortalidad dos estados, pero conduce a un modelo más complicado para

resolver problemas en los que fracasan los métodos de la tabla de mortalidad.

Esto es bastante importante en la práctica, cuando se introducen nuevos

seguros.c) Se han obtenido resultados completamente nuevos, tales como una

definición operativa de las Reservas Retrospectivas y las ecuaciones

diferenciales de Norberg.

d) Los instrumentos que usamos son exactamente los que son esenciales

en las Matemáticas Financieros modernas, en particular las integrales

estocásticas y las esperanzas condicionadas. Un enfoque alternativo en el que

los tantos de rendimiento así como los vitalicios se modelan mediante



Villalón J. G.

378

procesos de Markov, se ha desarrollado por Norberg (1995) generalizando

ampliamente el objetivo del material aquí considerado.

e) No hemos discutido el análisis de los datos. Ahora bien, los estudios de lamortalidad están crecientemente conducidos hacia los instrumentos de procesos

numerables, por la misma razón que en el apartado a).

5.- Los Procesos Estocásticos en el campo financiero

En esta sección vamos a ilustrar cómo se pueden utilizar los procesos

estocásticos para valorar los “derivados financieros”.

Un derivado financiero es un título cuyo valor depende los valores de otro másbásico subyacente. Por ejemplo, una opción call Europea sobre una acción da al

poseedor , el derecho, no la obligación de comprar la acción en la fecha del ejercicio T al

precio del ejercicio K. Si el precio de la acción en el momento T, S T, es menor que K

entonces no se ejercita la opción y expirará sin ningún valor. Si ST es mayor que K

entonces el poseedor ejercerá la opción y obtendrá un beneficio ST-K. Por tanto, el

resultado (payoff) en T, es el max ST-K,0.

5.1- Los modelos de los precios de los activos

Muchas de las Matemáticas Financieras deben estar basadas en modelos

explícitos de los precios de activos y los resultados dependen de los modelos que

decidamos utilizar. En esta sección nos centraremos en dos modelos para los precios de

las acciones: Un modelo binomial sencillo que nos conducirá a resultados importantes y

en el “Movimiento Browniano geométrico”. Haremos las hipótesis generales (que se

pueden flexibilizar) siguientes:a)Utilizamos St como precio del título que no para dividendo en el momento

t (t = 0,1,2,-.-). Para t>0, St es aleatorio.

b)A parte de en el "título", podemos invertir en una obligación o en una cuenta

corriente que tiene de valor Bt en el momento t por unidad invertida en el momento 0.

Esta cuenta se supone que no tiene riesgo y que produce intereses al tanto r anual

capitalizado de forma continua libre de riesgo. Por tanto, Bt = exp(rt). (En tiempo

discreto, "libre de riesgo" significa que sabemos en t-1 cual será el valor de la inversión




379

libre - de riesgo en el momento t . En este sencillo ejemplo, el valor de la inversión libre

de riesgo en cualquier momento t se conoce en el momento 0).

c) En cualquier momento podemos adquirir cantidades arbitrariamente grandes(positivas o negativas) del título o dinero.

El principio de ausencia de arbitraje

Veamos que entendemos por “arbitraje”.

Supongamos disponemos de un conjunto de activos en los que podemos invertir

(con posesiones que pueden ser positivas o negativas). Consideremos una cartera

particular que comienza con valor cero en el momento 0 (de modo que tenemos ciertas

posesiones positivas y alguna negativa ).Con esta cartera se sabe que hay ciertomomento T en el futuro en el que su valor será no-negativo con certidumbre y

estrictamente positivo con probabilidad mayor que cero. Esto se denomina oportunidad

de arbitraje. Para explotar esto podríamos multiplicar todas las cantidades por mil o un

millón y obtener beneficios interesantes sin ningún coste o riesgo.

En Matemática Financiera y valoración de derivados, hacemos la hipótesis

fundamentalmente de que las oportunidades de arbitraje no existen (o al menos de que sí

existen , desaparecen rápidamente al ser utilizadas).

5.2.- Comparación de los enfoques Económico - Financiero y Actuarial

El enfoque actuarial de la valoración de este contrato daría:

V a

0= e-δ Ep [C(S1)] = e-δ [pCu + (1-p)Cd]

donde δ es el tanto instantáneo de actualización con riesgo actuarial.

Comparemos esto con el precio calculado usando los principios de economía financiera

anteriores:

V 0 = e-r EQ [C(S1)] = e-r [qCu + (1-q)Cd]

Si se están negociando futuros a V a

0, donde V

a

0>V 0 , entonces podemos vender

un derivado al precio actuarial y utilizar una cantidad V 0 para construir la cartera (A,B)

en el momento 0.



Villalón J. G.

380

La cartera contrapartida asegura que tenemos derecho a la cantidad de dinero en

el momento t = 1 para pagar al poseedor del contrato de derivado.

La diferencia entre V a

0y V 0 es el beneficio garantizado sin ningún riesgo.

Análogamente, si V a

0<V 0 , podemos obtener beneficios mediante arbitraje.

Evidentemente, ninguna de estas situaciones podría persistir durante algún tiempo

debido a que la demanda para tales contratos que se negocian a V a

0, impulsarían el

precio hacia V 0 rápidamente. Este es el principio fundamental de la economía

financiera: es decir, los precios no deben admitir oportunidades de arbitraje. Si existiera,

entonces el mercado eliminaría rápidamente cualquier oportunidad y el exceso resultante

de la oferta o la demanda eliminaría la oportunidad de arbitraje antes de que se pudieran

obtener beneficios sustanciales. Es decir, la oportunidad de arbitraje podría existir

durante periodos de tiempo muy cortos en la práctica, en tanto el mercado se libere de

arbitraje durante la gran mayoría de tiempo y ciertamente en cualquier momento donde

se realizarán grandes transacciones financieras. Por supuesto, no tendríamos problema en

comprar tal contrato si ofreciéramos un precio V a

0al vendedor, si este fuera mayor que

V 0 , pero no podríamos vender a tal precio. Análogamente, podríamos fácilmente vender

una cantidad si V a

0<V 0 , pero no podríamos comprar a aquel precio. En ambos casos,

nos quedaríamos en una posición en la que tendríamos que mantener una cartera

arriesgada en orden a tener la posibilidad de un beneficio puesto que el arbitraje

produciría una pérdida garantizada.

Para que tenga sentido razonable V a

0, debemos establecer δ de tal forma que V

a

0

sea igual a V 0 . Es decir, la elección subjetiva de δ en el campo actuarial es lo mismo

que la selección objetiva de la medida de probabilidad Q neutral frente al riego.




381

Eligiendo δ para igualar V a

0y V 0 lo que no sucede en la práctica y, aunque δ

se establezca con respecto al nivel de riesgo según el contrato derivado, el elemento

subjetivo en esta elección significa que no hay garantía de que V a

0sea igual a V 0 .

Por tanto, en general, el enfoque actuarial, en este aspecto, no es el apropiado

para utilizar en la valoración de derivados. Cuando los modelos se generalizan y las

hipótesis se suavizan de tal forma que no sea posible construir estrategias de arbitraje

que reproduzcan exactamente los resultados, entonces existe una regla para una

combinación de enfoque económico - financiero y actuariales.

5.3- Retículos Binomiales

Ahora vamos a ver como podríamos valorar un contrato de derivados en un

modelo multiperiodo con n periodos de tiempo.

Sea c(x) el resultado del derivado si la acción tiene un precio de x en la fecha de

vencimiento n. Por ejemplo, para una opción call europea nosotros tenemos c(x)= max

x-k,0, donde k es el precio de ejercicio.

Ahora, supongamos que en cada periodo de tiempo el precio de la acción puede

subir por un factor u o bajar por un factor d= 1/u: es decir, para todo t, S t+1 es igual a

Stu, o bien, Std. Esto significa que el efecto movimientos sucesivos de "ascenso y

descenso" es el mismo que el movimiento de "bajada y subida". Además, el tanto de

interés libre de riesgo constante e igual a r, con d < e r <u. Entonces, tenemos St = S0 uNt

d

t-Nt

Donde Nt es el número de ascensos entre 0 y t (en este sentido, N t también puede

considerarse como un proceso numerable tiempo - discreto). Esto significa que tenemos

(n+1) estados posibles en el momento n. Vemos que el valor del precio del título en el

momento t depende solamente del número de subidas y bajadas, no del orden en que

acaecen. Debido a esta propiedad el modelo se denomina retículo binomial (ver Fig.6)



Villalón J. G.

382

Figura 6: Retículo Binomial

El espacio muestral para este modelo Ω es el conjunto de todas las trayectorias

muestrales desde el momento 0 al momento n. Este se denomina modelo de trayectoria

aleatoria. Hay 2n trayectorias muestrales puesto que hay dos resultados posibles en cada

periodo de tiempo. La información ℑ es la σ-álgebra generada por todas las trayectorias

muestrales desde el momento 0 al n mientras que las filtraciones ℑb están generadas por

todas las trayectorias muestrales hasta el momento t. (Dado el espacio muestral Ω cada

trayectoria muestral hasta el momento t es equivalente a 2n-t elementos del espacio

muestral, cada elemento siendo el mismo en el periodo de 0 a t. Nt y St son variables

aleatorias que son funciones del espacio muestral.)

En este modelo, todos los periodos tienen la misma probabilidad de un ascenso y

los ascensos en cada periodo temporal son independientes entre sí. Por tanto, el número

de ascensos hasta el momento t, Nt, tiene según Q una distribución binomial con

parámetros t y q. Además para 0<t<n, Nt es independiente de Nn-Nt y Nn-Nt tiene una

distribución binomial con parámetros n-t y q.

S0

S0u4

S0u3d

S0u2d2

S0ud3

S0d4

S0u2

S0u3

S0u2d

S0ud2

S0d3

S0d2

S0ud

S0d

S0u




383

Vamos a generalizar la notación. Sea Vt(j) el valor equitativo del derivado en el

momento t dado Nt=j para j = 0,...,t. Asimismo, sea Vn(j) = c(S0v jdn-j ). Finalmente

escribimos Vt= Vt(Nt) como valor aleatorio en cierto momento futuro t .Con el fin de calcular el valor en el momento 0, V(0),debemos operar

retrospectivamente un periodo a veces desde el momento n haciendo uso del modelo

binomial uni-periódico como sigue.

En 1er lugar, consideremos el periodo n-1 a n. Supongamos que Nn-1 = j.

Luego por analogía en el modelo uni-periodo, tenemos :

Vn-1 (j)= e-r [q Vn(j+1)+ (1-q) Vn(j)] = e-r EQ [Vn | ℑn-1]

= e-r

EQ [c(Sn)| Nn-1=j ] = e-r

EQ [c(Sn)| ℑn-1]donde q = er-d / u-d;

Análogamente, podemos escribir esto de la forma Vn-1 = e-r EQ [c(Sn)| ℑn-1].

Cuando operamos retrospectivamente, tenemos

Vt-1 = e-r EQ [Vt| ℑt-1] = e-r EQ [e-r EQ (Vt+1 | ℑt)| ℑt-1

= e-2r EQ [Vt+1| ℑt-1]. (utilizando la Ley Fundamental)

= e-(n-t+1) r EQ [Vn| ℑt-1] = e-(n-t+1) r EQ [c(Sn)| ℑt-1].

Finalmente obtenemos:

V0 = e-nr EQ [c(Sn)| ℑ0] = e-nr EQ [c(Sn)| S0]

El precio en el momento t del derivado dependiente de la trayectoria es por tanto:

Vt = e-r(n-t) EQ [c(StuNn -Nt d(n-t)-(Nn-Nt))| Nt]

= e-r(n-t) ∑−

=

t n

k

c0

(Stuk dn-t-k)

)(!

)!(

k t nk

t n

−−−

qk (1-q)n-t-k

Hemos observado antes que EQ ( S1 ) = S0 er da entrada al uso del nombre

"medida neutral del riesgo” para Q . Análogamente, en el modelo n-periodo, tenemos

[haciendo c(r) = r ];

EQ [St| ℑ0] = S0 ert

Por tanto el uso de la expresión ,"medida neutral de riesgo” para Q es también

válida. Alternativamente podemos escribir:

EQ [e-rtSt| ℑt] = e-rtSt

Es decir, el proceso valor del activo actualizado D t = e-rt St, es una martingala

según Q. Esto da lugar a otro nombre para Q: "medida de la martingala equivalente".



Villalón J. G.

384

En efecto, generalmente usamos este resultado de otra forma, como veremos a

continuación. Es decir lo primero que procede hacer es encontrar la medida de la

martingala equivalente Q y luego la utilizamos inmediatamente para valorar losderivados.

El proceso de Wiener,

Si X es un proceso estocástico definido sobre un espacio de probabilidad

(Ω,ℑ,Ρ ), se dice es un "proceso de Wiener típico" ( estándar ) si cumple las tres

condiciones siguientes:

1. X (0) = 0;

2. X, es de incrementos independientes; y3. Para todo par ( r, t ), tal que r≤ t, la variable X ( t )-X( r ) se distribuye según

una normal tipificada y de varianza ( t-r )

Para que Zt sea un Movimiento Browniano Estándar según la medida Ρ , tiene

que cumplir las siguientes propiedades :

1. Zt , tiene trayectorias muestrales continuas que no son diferenciables en

ninguna parte;2. Z0 = 0;

3. Zt, se distribuye normalmente con media 0 y varianza t.

4. Para 0 < r < t, Zt-Zr, se distribuye normalmente con media 0 y varianza t-r y es

independiente de Zr;

5. Zt, se puede expresar como la integral estocástica ∫ t

0dZr donde dZr se puede

considerar como el incremento de Zt en el intervalo ( r, r+dr ] distribuido según lanormal con media 0 y varianza dr y es independiente de Z r

Un proceso de difusión Xt , es un proceso estocástico que, localmente, es como

un movimiento Browniano escalonado con tendencia. Su dinámica está

determinada mediante una ecuación diferencial estocástica:

dXt = m( t, Xt)dt + r(t, Xt)dZt

Con X0 = constante, donde Zt es u proceso de Wiener estándar y se puede

expresar la solución de esta ecuación de la forma:




385

Xt = X0 + ∫ ∫ +t

0

t

0Xu)dZuu,r(Xu)duu,m(

No hay ningún problema en operar mediante el cálculo tradicional la primera

integral del segundo miembro. Ahora bien, no sucede lo mismo con la segunda integral

ya que no es posible considerarla del tipo Riemann-Stieltjes al ser Zu una función

demasiado volátil. (Esto está relacionado con el hecho de que la Zt no es diferenciable ).

La segunda integral se puede estudiar mediante el uso de la integración de Itô, ver

Oksendal ( 1985 )

Describir la integral estocástica no es muy informativo y, si es posible, es más útil

tener una expresión adecuada de Xt. En muchos casos no es posible lograr esto medianteel uso del Lema de Itô, también llamado "Teorema Fundamental del Cálculo

Estocástico" ya que es el resultado más utilizado en los modelos financieros en tiempo

continuo y permite calcular la diferencial estocástica de un proceso Υt a partir de la de un

proceso Xt donde Xt e Υt están ligados mediante una relación funcional del tipo:

Υt = F(Xt,t)

Entonces, si suponemos que Xt e Υt son procesos de difusión con

dXt = µ( Xt ,t)dt + ρ( Xt ,t)dZt e Υt = f(Xt ,t) para cierta función f(t,r)

d Υt =t

f

∂∂

( Xt ,t)dt + x

f

∂∂

( Xt ,t)dXt + 1/22

2

x

f

∂

∂( Xt ,t)ρ ( Xt ,t)2 dt

En el caso particular de que Xt = Zt e Υt = exp(at+bXt) = f(Xt ,t) se tendría que:

t

f

∂∂

= a exp (at+bx) = a f(t, x)

x

f

∂∂

= b f(t, x)

x

f 2

2

∂∂ = b2 f(t, x)

y, por tanto, por el Lema de Itô:

d Υt =a Υt dt + b Υt dXt +1/2 b2 Υt dt =(a+2

1b2) Υt dt+b Υt dZt



Villalón J. G.

386

5.4 Un modelo en tiempo continuo ( El modelo de valoración de opciones de Black-

Scholes )

Ahora, vamos a operar en tiempo continuo.Sea St el precio de una acción que no paga dividendo para 0 ≤ t ≤ T.

Supongamos que un derivado paga c ( r ) en el momento T si el precio de la acción en

T es r .

El modelo particular que vamos a considerar para S t es del tipo "movimiento

Browniano geométrico": este es, St = S0 exp[(µ-2

1σ)t+σ Zt], donde Zt es un

movimiento Browniano estándar según la medida Ρ .Esto significa que St tiene una distribución log-normal con media S0 exp ( nt ), y

varianza exp ( 2nt ). [exp ( σ2t) –1 ]. Aplicando el Lema de Itô podemos escribir la

“ecuación diferencial estocástica” ( E D E ) para St de la forma siguiente:

dSt = µ Stdt + δStdZt

Es decir, el cambio del título subyacente sigue un movimiento Browniano

geométrico, donde µ y σ son la esperanza y la desviación típica instantáneas de los

rendimientos del título y Zt es un proceso de Wiener estándar.Por analogía en el momento binomial, hay otra medida de probabilidad Q ( la

medida neutral frente al riesgo, o bien, medida martingala equivalente) según la cual:

a) e-rt St, es una martingala;

b) St, se puede escribir como el movimiento Browniano geométrico

S0 exp[(r-2

1σ2)t+σZt], donde Zt(t) es un movimiento Browniano estándar según Q.

Continuando la analogía con el modelo binomial ( véase Baxter-Rennie ( 1996 ))también podemos decir que el valor en el momento t del derivado es:

Vt = e-r (T –t ) EQ [ c ( ST) | ℑt ] = e-r ( T-t ) EQ[ c ( ST ) | St ]

Con cierta dificultad también podemos ver que, según este modelo, si invertimos

Vt directamente ( es decir, con una adecuada estrategia de arbitraje ) entonces podemos

reproducir exactamente el resultado en T sin necesidad de más dinero.

Supongamos que consideramos una opción call Europea, de modo que




387

c( r ) = max r-k, 0 . Entonces, utilizando una propiedad de la distribución log- normal

obtenemos la fórmula de Black-Scholes:

Vt=S1 Φ(d1)-ke-r(T-t)

Φ(d2)

donde Φ(y) = dr y r

e∫ ∞−

−2

2

1

π, es decir, la distribución normal.

donde d1 =t-T

)(2

1(log 2

σ

σ t T r k

S t

−++y d2 = d1 -σ t T −

Un desarrollo más detallado de la valoración y cobertura de los derivados en tiempo

continuo se puede ver en Mallaris|Brock ( 1995 ).

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Documents

SOBRE EL CÁLCULO ESTOCÁSTICO Y LA MODELIZACIÓN