Sobre la ontología de la lógica modal. La reforma

ESCUELADE FILOSOFÍA

UCV

apuntesfilosóficos Vol. 27 No. 53

Sobre la ontología de la lógica modal.La reforma metafísica de Kripke.

Breve manual de semántica

Jesús F. Baceta V.(Universidad Central de Venezuela)

Apuntes Filosóficos, Vol. 27 N° 53. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.

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Sobre la ontología de la lógica modal. La reforma metafísica de Kripke

Breve manual de semántica

On the ontology of modal logic. The metaphysical reform of Kripke

Brief semantics manual

Jesús F. Baceta V.

(Universidad Central de Venezuela)

Articulo Recibido: 6 de diciembre de 2018.

Arbitrado: 19 de enero de 2019.

Resumen: Se analizan los supuestos ontológicos de la lógica modal de Saul Kripke.

Se dan respuestas a las preguntas: ¿Qué son las modalidades? ¿Cuál es el problema

semántico que afrontó Kripke? ¿Cómo lo resolvió? ¿Cómo un cambio de lógica

reforma los análisis ontológicos? Este trabajo también tiene el propósito de ser una

introducción a la semántica de la lógica modal proposicional de Kripke.

Palabras clave: Lógica Modal, Ontología, Marcos De Kripke.

Abstract: The ontological assumptions of the modal logic of Saul Kripke are

analyzed. Answers to the questions are given: What are the modalities? What is the

semantic problem that Kripke faced? How was it resolved? How a substitution of

logic reforms the ontological analyzes? This paper is also intended to be an

introduction to the semantics of Kripke's propositional modal logic.

Keywords: Modal Logic, Ontology, Kripke Frames.

Jesús Baceta Sobre la ontología de la lógica modal. La reforma metafísica de Kripke. Breve manual de semántica.


9

Se analizan aquí los supuestos ontológicos de la interpretación de la lógica modal de

Kripke. Para ello explicamos, brevemente, en el contexto de una nota sobre el cuadro de

oposición aristotélico que aparece en la Conceptografía de Frege, qué son las modalidades y

algunos de sus tipos. Luego, se explica en qué consistió el problema semántico que abordó

Kripke, cómo lo resolvió y cómo la lógica guía la elección de clases metafísicas.

¿QUÉ SON LAS MODALIDADES?

Las modalidades son marcas de nuestra subjetividad y con ellas se codifica parte de

nuestras intenciones: lo que creemos, entendemos, dudamos, sabemos, esperamos, imaginamos,

deseamos, prohibimos, anhelamos, tememos, necesitamos, sea en el pasado, en el ahora o en el

futuro. Ellas codifican las expectativas que tenemos sobre la acción expresada por el verbo del

llamado “contenido proposicional”. Por ejemplo, la oración:

Deseo que pronto “el dictador esté preso”

…expresa, al menos, dos intenciones: mi deseo que, en un futuro muy próximo, pronto, el

valor de verdad de la proposición “El dictador está preso” sea verdadero; que, en efecto, “esté

preso”. Trata sobre mi voluntad hacia el fin de un objeto.

Las modalidades son idóneas para representar gradaciones de la verdad, contrafácticos,

hipótesis, hechos probables, procesos dinámicos, tránsitos temporales, en los llamados “contextos

intensionales”1. Ellas codifican distintos estados en que se manifiestan las cosas. Por eso son

fundamentales en las argumentaciones de la filosofía de la mente, la ética deóntica, la filosofía de

la lógica, la epistemología, etc.

Las modalidades, desde un punto de vista lógico, son cierto tipo de operadores que trabajan

muy similar a los cuantificadores; funciones de funciones de verdad que afectan la manera en que

1 Se distingue entre la llamada intencionalidad de los estados mentales y la denominada intensionalidad de las

proposiciones que describen a los primeros. La intencionalidad se predica de los estados mentales, mientras que

solo de ciertas proposiciones predicamos que son intensionales, solo si éstas fallan en las pruebas semánticas

extensionales, particularmente si no satisfacen la sustitución salva veritate. Los estados mentales no se someten a

“pruebas extensionales”; las proposiciones sí. Así que las proposiciones intensionales pueden describir ciertos

actos intencionales. Las primeras son verdaderas o falsas; los segundos, pueden ser afortunados o desafortunados.

Trocar la palabra en el objeto es tanto como confundir la intensión con la intención. Las creencias no son

intensionales; las proposiciones que las expresan sí que lo son. Así, toda proposición sobre nuestra intencionalidad

es susceptible de un análisis intensional, pero no todo acto intencional puede ser expresado como una oración

intensional. Ver, SEARLE, J.: Intentionality, an Essay in the Philosophy of Mind, Cambridge University Press 1983, p.24. Pujadas, L.: “Intensión, intención, intencionalidad”, Taula, N° 10 (1988), p. 29-41.



10

evaluamos la verdad de una proposición. Las más conocidas son las modalidades de la verdad, la

posibilidad (el diamante: ) y la necesidad (la caja: ). Los operadores y son operadores de

un solo parámetro; similares a la negación, se aplican a una proposición para crear nuevas

proposiciones. “p” se lee: “Es posible p” y “p” se lee “Es necesario p”. La gramática de la

lógica modal proposicional, por lo general, es la usual de la lógica proposicional más las

cláusulas modales:

Definición 1: Gramática de las fórmulas de la lógica modal (se supone el alfabeto

de la lógica proposicional más y ):

(Lenguaje modal) ::= pi | | | ( ) | ( ) | ( ) | ( ) | |

De acuerdo a la gramática de la lógica modal, son fórmulas:

p, ¬p, (p q), (p (q q))

Se introduce una constante para la falsedad, , porque se quiere ilustrar, posteriormente, un

detalle muy específico de la ontología de los modelos de Kripke, a saber, lo que le debe a lo

mundano los modelos de Kripke. Por definición, , es la constante para la verdad.

En lógica temporal se entiende como "siempre va a ser el caso" y como "a veces va a

ser el caso". En lógica deóntica se lee “es moralmente obligatorio…” y como “es moralmente

permitido…”. En lógica epistémica codifica “se sabe que…” y un tipo de rumor. Entre otras,

se distinguen, así, varios tipos de modalidades:

Aléticas o de la verdad: Necesidad y posibilidad

Deónticas: Prohibido, permitido y obligatorio

Temporales: Siempre, a veces, presente, pasado y futuro

Epistémicas: saber, conocer, ignorancia

Doxásticas: Creer, suponer

Dinámicas: Transiciones entre estados de la ejecución de un programa

Físicas: Necesidad física y posibilidad física



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Borrosas o fuzzy: casi…, próximo…, probable…, verdadero en el rango…

Podríamos agregar “temer” y “confiar”, o cualquier par de operadores que se opongan por

medio de otra oposición. Si temo, necesariamente no confío. Si no confío, puedo no temer. Se

puede hacer mediar la oposición entre “temer” y “confiar” mediante la oposición entre

“necesario” y “posible”. Para explicar esto con más detalle, codifiquemos, en primer orden, el

cuadro de oposición aristotélico con algo de ingenio:

x(Px Qx) x(Px Qx)

x (Px Qx) x (PxQx)

Para las proposiciones A y O, el operador x se opone a x por medio de la contradicción

entre (PxQx) y (PxQx) que, por supuesto, es otra oposición. Para las proposiciones E e I, se

oponen x y x por medio de la contradicción entre (Px Qx) y (Px Qx). Son

oposiciones vía contradicciones. Esto en cuanto a las contradictorias. ¿Qué ocurre con las

contrarias y subcontrarias?

Frege deja constancia de lo escurridizas que son las contrarias y subcontrarias. Él pareciera

cometer un error en el cuadro de oposición aristotélico que apareció en su Conceptografía (p. 24),

sin ningún comentario adicional por parte de Frege, el cual se reproduce a continuación:



12

Como se puede observar, llama “contraria” (conträr) a las relaciones entre I y O que,

clásicamente, se llama “subcontraria”. En lógica aristotélica, dos proposiciones subcontrarias

pueden ser ambas verdaderas, pero no pueden ser ambas falsas y las contrarias pueden ser ambas

falsas, pero no pueden ser ambas verdaderas. Ahora resulta que la contrariedad que afirma Frege

entre I y O en efecto está ahí: x(PxQx) y x(PxQx) pero pueden ser ambas falsas (el

universo vacío es el caso más simple) y no pueden ser ambas verdaderas, como es fácil

comprobar, pero a un costo: se supone la existencia de al menos un individuo para que alguna sea

verdadera. Algo similar pasa con A y E que no necesitan presuposición existencial; ellas

satisfacen los criterios de las clásicas “subcontrarias”. Hay una diferencia entre subcontraria y

contraria que radica, más allá de como las denominemos, en la presuposición existencial y Frege

parece aceptarla en una nota a pie de página por el énfasis que pone en el adverbio, dice

previamente al cuadro: “La palabra “algunos” ha de entenderse siempre (immer) así: que incluye

el caso “un”. Más explícitamente, se diría: “algunos o al menos uno” ” (p.24, nota al pie).

Dado lo anterior, uno estaría tentado a llamar “subcontraria” a lo que clásicamente se llamó

“contraria” y viceversa, o simplemente llamar a ambas “contrarias”, como hizo Frege, pues, al fin y al

cabo, los cuantificadores son oposiciones mediadas por oposiciones, por modos de ser o no ser el

caso.

Esta grata característica que subyace a la cuantificación de Frege, los cuantificadores como

operadores opuestos por oposiciones, se preserva para los operadores modales.

(P Q) (P Q)

(P Q) (PQ)



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No todo es el caso del mismo modo. Existen diferentes modos en que se presenta la verdad

y la falsedad y ellos dependen de las oposiciones. También, por lo tanto, hay modos de modos y

modos que son necesarios. De hecho, cuando las situaciones son inevitables decimos “ni modo”.

Montague2 observó que los operadores modales y pueden ser interpretados como el

cuantificador universal y existencial, respectivamente3. Ellos son interdefinibles, tal como lo es la

cuantificación existencial y la universal. El paralelismo es evidente:

Así, por ejemplo, si el contenido proposicional se declara imposible (), es

necesariamente falso () y, si es necesario (), es imposible que sea falso ().

Los problemas de una semántica para la lógica modal

En la lógica actual, la gramática de cada lenguaje permite representar las formas

argumentativas mediante fórmulas. Tal codificación se interpreta y permite definir las nociones

de “modelo” y “verdad de una fórmula en un modelo”, de tal manera que cada instancia de una

forma argumentativa válida es una fórmula verdadera en todos los modelos o espacio lógico,

como lo llamo Wittgenstein4. Así, la amplia gama de casos argumentativos se reemplaza por el

conjunto de modelos, que teóricamente pueden resultar más manejables y, quizás, más cómodos

en la práctica. Sobre esto trata la teoría de modelos. Los modelos más usados, con fines

didácticos, para la evaluación de fórmulas en lógica proposicional son las tablas de verdad y los

árboles semánticos.

Al tratar de establecer los modelos y la verdad de una fórmula, en un modelo, para la lógica

modal surge un problema: Los operadores modales no son funciones de verdad. Para mostrar

2 MONTAGUE, R., “Logical necessity, physical necessity, ethics and quantifiers”, Inquiry 4, (1960). pp. 259-269.

3 Una forma de hacer explícita tal interpretación es mediante lo que se conoce como “Traducción estándar”. Más

adelante se definirá y se darán ejemplos. Consiste en una traducción de las fórmulas modales en fórmulas de la

lógica de primer orden, sin pérdida de contenido semántico. 4 WITTGENSTEIN, Tractatus logico-philosophicus, Austria, 1921. Ver §1.13, §2.11, §3.4 §4.125, ver también §3.02, §3.24, §4.1212,



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esto, simplemente suponga que se quiere determinar los valores de verdad de p a partir de los

valores de verdad de p, como si se tratase de una tabla de verdad:

p p

V ?

F F

nota, de inmediato, que el valor de verdad de la proposición p no determinar el valor de p,

de donde no es una función de verdad. Hay un falló en una prueba extensional5. ¿Cómo se

recupera la composición6 para los lenguajes modales? ¿Cómo se logra que el valor de verdad, la

referencia, de la proposición modal sea una función del valor de vedad de sus componentes?

Quine criticó a los contextos modales por no preservar la referencia, ya que no satisfacen la

prueba extensional de la sustitución salva veritate y, de tal forma, no preservan la referencia

objetiva. Da, entre otros ejemplos, el siguiente: “Necesariamente 9 es mayor que 7”, lo cual es

verdadero. Como 9 era extensionalmente el número de planetas del sistema solar cuando Quine

escribió el ejemplo7, la sustitución de uno por otro atribuye una necesidad a una proposición

contingente: “Necesariamente el número de planetas del sistema solar es mayor que 7” lo cual es

paradójico, falso, si se interpreta “necesario” como “analítico” y esto, además, es independiente

de si el número de planetas es 8 o 9. Aquí la sustitución del nombre de un número, el numeral,

por una descripción convierte un contexto referencial y transparente (pleonasmo) en uno opaco e

intensional (pleonasmo), cuando se supone que ambas refieren al número 9. Falla la prueba

extensional. Además, según prueba Quine para un sistema en el que interpreta como “es

analítico que” o “es lógicamente necesario que”, las modalidades colapsan vía reiteración de las

mismas y esto muestra su indispensabilidad8. ¿Cómo formular, entonces, una semántica

referencial para la lógica modal, si sus operadores son intensionales? ¿Cómo recuperar la

5 Se considera a un lenguaje extensional, si ninguna de sus proposiciones cambia de valor de verdad cuando una

expresión de la misma es sustituida por otra que tenga la misma extensión, esto es, si satisface las sustituciones

salva veritate; caso contrario, es intensional 6 Prefiero el término “composición”, que hace referencia a las funciones compuestas de las matemáticas, al término

“composicionabilidad”, un invento de filósofos y malos traductores ajenos al mundo simbólico. Así uso “principio

de composición” para la composición de funciones de verdad, referencia y sentido, y no uso el incorrecto y oscuro

“composicionabilidad” que parece referir al carácter esencial de ser compuesto. 7 Lo cual muestra lo que debe la referencia al contexto científico y social; punto a favor de Kripke. Plutón ahora es

considerado un planetoide por la comunidad de astrofísicos. 8 QUINE, W. V. O.: “Referencia y modalidad” en Desde un punto de vista lógico. Ariel, 1962. (1° ed., 1953).



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composición? ¿Cómo evitar el colapso? ¿Se precisan, entonces, contextos intensionales, para la

interpretación de las fórmulas en las que aparecen las modalidades que dependen de la naturaleza

deóntica, temporal, situacional, epistémica, probabilísticas, etc., de los estados de cosas?

El problema anterior se vinculó con un problema técnico quizá más complejo. Antes de la

semántica de Kripke se desarrolló considerablemente la sintaxis de la lógica modal por parte de

Lewis y sus discípulos. A los axiomas de la lógica clásica se agregaba un subconjunto de los

siguientes 4 axiomas:

(K) A B A B)

(Ax1) A A

(Ax2) A A

(Ax3) A A

Tales subconjuntos caracterizan 4 sistemas axiomáticos, T, B, S4 y S5 para la lógica modal.

Todos estos y la gran mayoría de los sistemas modales aceptan K, pero difieren en el resto de los

axiomas que aceptan como premisas:

T: (A1)

B (A1), (A2)

S4: (A1), (A3)

S5: (A1), (A2), (A3)

Al sistema que tiene solo tiene a K como axioma se le llamó, posteriormente, K en honor al

trabajo semántico de Kripke.

Todos estos sistemas, como la gran mayoría de los sistemas modales, incluyen la regla de

necesidad y la de modus ponens en la sintaxis:

MP A B, A

B

N A

A



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Diseñar una teoría de modelos para la lógica modal exigía, por lo tanto, completar varias

tareas. Habría que diseñar una semántica para cada sistema. Ya Carnap había proporcionado una

semántica para S5 basado en la noción de “estados de cosas” que, sin embargo, no era aplicable a

otros sistemas. El problema, entonces, era ¿cómo diseñar un tipo general de teoría de modelos

que, al variar las condiciones, podría producir las semánticas específicas para cada sistema? Este

último fue el camino que afrontó Kripke, quien crea una teoría general de modelos, tipo Tarski,

extensional y referencial, para un conjunto de sistemas modales de los cuales mostró,

adicionalmente, que eran correctos y completos. El célebre artículo se llama “A Completeness

Theorem in Modal Logic”, del año 1959, y apareció en el volumen 24 del prestigioso Journal of

Symbolic Logic. Kripke tenía, en ese entonces, tan solo 19 años en el tránsito por este mundo.

La solución de Kipke

Kripke prestó atención al contexto y lo amplió a lo que hoy llamamos “marcos de

referencia de Kripke”. Ellos pueden ser entendidos como una ampliación del principio de

contexto de Frege. Según Frege “en el contexto de una oración las palabras significan algo”9 o,

dicho de otra manera, el contexto mínimo de evaluación de la verdad es la proposición. Para

Kripke el contexto para la interpretación de la lógica modal es cierto tipo de estructura relacional.

¿Qué es una estructura relacional?

En términos generales, una estructura relacional E es una lista ordenada de elementos W,

R cuyo primer elemento es un conjunto no-vacío de elementos W y los restantes elementos son

relaciones sobre W. Se asume que una estructura relacional contiene, al menos, una relación. El

análisis de redes, los grafos, los sistemas de transición, los autómatas, y los marcos de Kripke son

todos estructuras relacionales.

Las estructuras relacionales tienen el atractivo particular de que pueden ser representadas

por gráficos simples: grafos, diagramas de Hasse, árboles, etc.

Definición 2: Un marco de Kripke F (frame) es una lista ordenada de dos elementos W, R

donde:

a) W es un conjunto de mundos

9 FREGE, G.; Fundamentos de la aritmética, Sección 60, 1884.



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b) R WW es la relación de accesibilidad entre mundos.

Cuando wRw1, se dice que w accede a w1, w1 es accesible desde w o w1 es el sucesor de w.

A R se le conoce con el nombre de “relación de accesibilidad”.

Los marcos de Kripke son importantes estructuras relacionales porque codifican el espacio

lógico y son claves para representar la ontología y la noción de “validez”. Los marcos son como

los “cuadros matemáticos” de la ontología; ellos caracterizan, mediante la relación de

accesibilidad, el espacio lógico de las modalidades y en ellos se distribuye toda la ontología

modal. Ellos son como las posibles combinaciones de las tablas de verdad en el espacio lógico

proposicional. Por ejemplo, se puede considerar al tiempo como una colección de puntos

ordenados por un orden parcial estricto o suponer un análisis del conocimiento que requiera

estados epistémicos vinculados por una relación de equivalencia. De hecho, Chalmers, en La

mente consciente, codifica el espacio lógico para su filosofía de la mente en un marco de

Kripke10

. Los marcos, en suma, permiten que se codifiquen nuestras suposiciones ontológicas

fundamentales de una forma matemáticamente rigurosa, agotando todas las posibilidades de la

distribución de la ontología.

Dos elementos destacan en la definición del marco: el conjunto W y la relación R. Los

elementos de W son llamados de muy distintas maneras: puntos, estados, nudos, mundos,

tiempos, instantes, situaciones, etc. En fin, los llamados “mundos posibles”. ¿Cuál es el estatus

ontológico de los mundos posibles? ¿Son reales o imaginarios? Forbes11

distingue, al menos, tres

posturas al respecto. La primera sostiene un realismo absoluto: los mundos posibles existen y son

entidades sui generis. Lewis es uno de sus defensores12

. La segunda sostiene un tipo de

conceptualismo llamado realismo reductivo según el cual existen mundos posibles, pero pueden

reducirse a entidades más inofensivas (por ejemplo, conceptuales o lingüísticas). La tercera

sostiene un pleno anti-realismo: los mundos posibles no existen, de tal modo las proposiciones

posibles sobre los mundos son falsas o sin sentido. La primera y la tercera son posiciones

extremas, mientras que ciertas variantes de la segunda son las más comunes. Por ejemplo,

Kripke13

niega la "visión telescópica" de los mundos de Lewis y concibe los mundos posibles

10

CHALMERS, D., La Mente Consciente. En busca de una teoría fundamental. Barcelona: Gedisa, 1999. 11

FORBES, G., The Metaphysics of Modality. Oxford: Clarendon Press, 1985, p. 74 12

LEWIS, D., Counterfactuals. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1973, p. 84 13

KRIPKE, S. A. Naming and Necessity. Oxford: Basil Blackwell, 1972, p. 15



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como estados o historias posibles del mundo real, esto es, considera a los mundos posibles como

contrafácticos. “Es posible que, si abro la gaveta, encuentre un lápiz” es lo mismo que decir “si

abriera la gaveta, encontraría un lápiz”. Ha de notarse que la verificación de la verdad del

contrafáctico depende de la verificación del contenido proposicional que se expresa en la oración:

“Si abro la gaveta, hay un lápiz” que habla del mundo real. Kripke no siempre fue de esta

opinión. En los orígenes14

, concibió a los mundos como entidades metalingüísticas, es decir,

como funciones de interpretación del lenguaje objeto. Carnap15

identificó los mundos con ciertas

entidades del lenguaje objeto, sus denominadas “descripciones de estado”. Hintikka las

generalizó16

y las denominó "descripciones de estado extendidas", cierto tipo de conjuntos

máximamente consistentes. Pareciera, por lo tanto, que la semántica de los mundos posibles da

para todos los gustos ontológicos, no obliga a tomar una posición metafísica particular.

El segundo elemento es la relación R, llamada “accesibilidad”; permite controlar el acceso a

los mundos. Clásicamente no se supuso, con Leibniz y Carnap, restricciones a los accesos de los

mundos posibles o de los estados de cosas. Para ellos:

A es verdadera en el mundo real si, y sólo si, A es verdadera en todo mundo posible.

A es verdadera en el mundo real si, y solo si, A es verdadera en algún mundo posible.

Kripke condicionó el acceso que tienen los mundos a otros mundos. Se puede notar, por

ejemplo, que se puede acceder al pasado por medio de los registros históricos, fósiles, arte, etc. y

que no todo el tiempo nos es dado acceder al futuro, con la excepción de las buenas predicciones

de los físicos. Similarmente, cuando no se conoce un código, no se tiene acceso a ese mundo. Y,

si se es esquizofrénico, pareciera que no se tiene acceso ni al propio mundo interno. No se sabe

cómo resolver el problema de las otras mentes, no se sabe cómo acceder a la fenomenología de

otro, más allá de la simpatía. Así que no todo mundo accede a otro mundo. La relación de

accesibilidad establece cierto tipo de “posibilidad relativa” y la reiteración de las modalidades de

acuerdo al tipo de acceso. Supongamos que w es el mundo real, entonces wRw1 representa las

posibilidades reales para algún w1; wRw1 y w1Rw2

codifica las posibilidades posiblemente reales

para algún w1 y w2

; wRw1, w1Rw2 y w2Rw3, las posibles posibilidades posiblemente reales para…

14

KRIPKE, S., “A completeness theorem in modal logic”. Journal of Symbolic Logic, 24/1, 1959, pp. 1–14. 15

CARNAP, R., Meaning and Necessity. Chicago: University of Chicago Press, 1947, p. 9 16

HINTIKKA, J. “Modality and quantification”, Theoria 27. Reprinted in J. Hintikka. Models for Modalities, Dordrecht, Reidel. 1961. pp. 57–70



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De tal manera, Kripke proporciona una definición de necesidad y posibilidad más flexible que la

de Carnap y Leibniz al agregar la relación de accesibilidad:

A es verdadera en un mundo dado w W si, y sólo si, A es verdadera en todo w* tal que

wRw*.

A es verdadera en un mundo dado w W si, y sólo si, A es verdadera en algún w* tal que

wRw*.

Una proposición p es necesaria en w, si es verdadera en todo mundo accesible desde w y es

posible, si es verdadera en algún mundo al que se accede desde w.

Los marcos se pueden representar por grafos. Por ejemplo:

Grafo 1

En el grafo 1 se representa un conjunto de mundos posibles {w, v, t, u} y la relación de

accesibilidad R = {(w, v), (v, v), (u, t), (t, u)}. En esta configuración de la accesibilidad, el mundo

w accede únicamente a v, v es el único mundo accesible al propio v y los mundos u y t se acceden

mutuamente. La relación, evidentemente, no es reflexiva, ni simétrica.

Grafo 2

El grafo 2 representa otro marco. En él R es reflexiva, simétrica y transitiva.

Una vez caracterizado el espacio lógico de la lógica modal, se definen los modelos de la

siguiente forma:



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Definición 3: Un modelo de Kripke M para la lógica modal es una lista ordenada de tres

elementos W, R, V donde:

W, R es un marco de Kripke (el marco subyace a M).

V es una función que asigna a cada letra proposicional pi un subconjunto V(pi) de W.

Los modelos de Kripke (no los marcos) dependen de la elección de las variables

proposicionales.

Informalmente, V(pi) es el conjunto de mundos en el modelo donde pi es verdadera. Un

modelo de Kripke es un marco relacional, una distribución de la ontología, con una relación

binaria, la accesibilidad, más una clase de funciones dadas por V (como toda función es una

relación, se sigue cumpliendo con la definición de marco relacional). De las definiciones se sigue

que:

M = W, R, V(p1), V(p2), V(p3),…

Las valuaciones llenan, entonces, los marcos con información contingente. “Hay clases el

viernes”,” Es legal protestar”, “Néstor toma”, “Juan ama a María”, ”5+7=12”, “Leopoldo fuma”,

etc. Tal información, sin duda, es importante y ciertamente se necesita para poder trabajar con

ella. Sin embargo, las proposiciones solo merecen la descripción lógica, si son invariantes a los

cambios de información contingente. Hay, entonces, una distinción fundamental entre la

información ontológica de los marcos y la información, más mundana, dada por los modelos.

Mientras la noción de verdad en los modelos de Kripke adquiere un carácter local, ya que cada

fórmula se evalúa en su mundo, las fórmulas válidas tendrán un carácter universal en la

ontología, en los marcos de Kripke. Veamos:

Definición 4: Sea M = W, R, V un modelo de Kripke y w un mundo posible en W y pI un

conjunto de variables proposicionales atómica. El valor de verdad de las fórmulas modales se

define inductivamente en relación con M y w, de la manera que se indica a continuación.

M, w pi syss wV(pi)

M, w



21

M, w syss M, w

M, w syss M, w y M, w

M, w syss M, w o M, w

M, w syss M, w implica a M, w

M, w syss M, w si, y sólo si M, w

M, w syss para algún w*W tal que Rww*

, M, w*

M, w syss para todo w*W tal que Rww

*, M, w

*

En cada mundo evaluamos las fórmulas dentro de los modelos, mientras que y recorren

los mundos verificado si alguno o todos, de acuerdo al caso, satisfacen , según el tipo de acceso.

De manera decisiva, solo los mundos accesibles desde el mundo real pueden ser recorridos.

¡Nada más extensional! Se recorre el marco, toda la ontología.

Por definición, es falso en todo mundo posible, por lo tanto es verdadera en cualquier

mundo.

Los modelos de Kripke también pueden representarse, como todo marco, por grafos. Ahora,

para mayor facilidad, se escribe el conjunto de las proposiciones verdaderas junto al mundo en

los gráficos:

Grafo 3

En este modelo Kripke, el marco consta de cuatro mundos posibles {w, v, t, u} y la relación

de accesibilidad es R = {(t, w), (t, v), (t, u), (u, w)}. Las proposiciones verdaderas en cada mundo,

son: V(t) = {p, r} entonces, en t, p y r son verdaderas y q es falsa; V(v) = {p} entonces, en v, p es



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verdadera y q y r falsas; V(w) = {q, r} entonces, en w, q y r son verdaderas y p es falsa; por

último, según V(u), no existen proposiciones verdaderas en u.

Para definir un modelo de la semántica de la lógica modal, tenemos que definir, no solo la

verdad en los modelos “locales” de cada mundo, también tenemos que definir la validez. Esto se

logra generalizando la definición anterior por medio de tres pasos que permiten proporcionar una

definición general de validez de una fórmula.

Definición 5: Sea una fórmula modal, M un modelo de Kripke, F un marco de

Kripke:

5.1) es válida en M (M ) syss M, w para todos los mundos

posibles w en M

5.2) es válida en F (F ) syss M para todos los modelos

M basados en F

5.3) es válida ( ) syss F , para todo marco F

Así, una inferencia de a partir de la clase de fórmulas es válida, , si y sólo si,

para todos los modelos M y mundos w se cumple: M, w , para todo , implica M, w .

Ejemplo: Se prueba que (p p) es verdad en todos los modelos, por lo tanto es válida en

todos los marcos. La proposición (p p) es una tautología clásica, ésta es verdadera en todo

mundo posible en todos los modelos. Por lo tanto, para todo w y todo M es claro que M, w*(p

p) para todo w* tal que wRw

*. Así, M, w(p p) para todo w y todo M. De donde para todo

F (p p).

Los marcos de Kripke aseguran que los mundos posibles son derivados estrictos de W. La

estructura F y los modelos M, basados en F, son estructuras relacionales que comparten el mismo

universo del discurso W. Si F tiene una ontología, M la preserva. Así que los mundos posibles,

vía la accesibilidad R, son considerados algo así como muestras del mundo real. En eso consistió

una de las estratagemas de Kripke: al considerar que los mundos posibles dependen del marco,

asegura que los mundos posibles son distribuciones de la ontología, como las muestras y



23

poblaciones en los laboratorios de los científicos, objetos sobre los cuales hacemos nuestras

teorías. Por supuesto, excluye explícitamente los mundos sin objetos, al excluir el conjunto vacío

como mundo posible.

Así que la semántica de Kripke habla sobre las circunstancias que hay y sus modos de

presentación, no sobre copias de ellas o de los objetos que están en esas situaciones, ni sobre

copias de Ud o mías, en universos paralelos. No; si Ud habla de copias, avatares, zombies

filosóficos, idénticos a Ud. comete una violación a tercero excluído: O es Ud o es una copia, pero

no ambos. Si alguna vez Ud. me quiere convencer de la verdad de la oración “Si María fuese

presidente, todo fuese muncho mejor”, no habla del zombi filosófico de María, ni su avatar o su

copia, habla de María. Bueno, esta suposición es la que hace Kripke al considerar que los

nombres propios son designadores rígidos: designan necesariamente al mismo objeto en todo

mundo posible. Los mundos posibles no cambian la designación, así, por ejemplo, si yo tomo una

muestra de la población de ratones, es una muestra de la población de ratones, no de copias o

avatares de ratones. Esto garantiza que mi hipótesis mantenga la misma referencia objetiva a

través de los mundos posibles. En la práctica, la designación rígida comenzó con un acto

bautismal y luego la designación del nombre se traspasó a otros mediante cadenas causales de

información. Seguir la cadena causal, es seguir la referencia del nombre17

.

Lo mismo no ocurre con la denotación. La designación es individual, particular; la

denotación, es múltiple, general. Y así como los nombres designan individuos, los predicados

denotan clases de individuos. El predicado lógico Estudiante denota a todos y cada uno de los

estudiantes en las circunstancias dadas. Hay mundos posibles donde Ud. es una persona solitaria,

sin amigos. Hay otros mundos donde Ud. tiene un poco más de amigos y otros mundos donde

tiene un millón de amigo (para así más fuerte poder cantar).

Ha de notarse que la denotación del predicado “Amigo” fue cambiando de acuerdo al

mundo posible. La extensión de la amistad en algunos mundos es nula, en otros abarca solo a un

individuo y, en un pletórico mundo, se tiene un millón de amigos. Cambiaron, como todo en la

17

Esta teoría es una alternativa a las teorías descriptivistas de los nombres que sostienen, con Frege, Russell,

Wittgenstein y Searle, que las descripciones fijan las referencias. Cosa dudosa, porque Aristóteles pudo haber

muerto a los 2 años y muchas de sus descripciones serían falsas, esto es, las descripciones designan diferentes

objetos en diferentes mundos posibles; no así los nombres. El punto es que en contra de las teorías descriptivas de

los nombres, la teoría causal de la referencia de Kripke se eleva como una alternativa a cómo fijar la designación de los nombres.



24

vida, las circunstancias, las extensiones, los objetos presentes en las circunstancias. De tal manera

el conjunto de las circunstancias, de los mundos posibles, se convierte en nuestro tan reiterado

espacio lógico de la lógica modal o marco de Kripke, pues abarca todas las distribuciones de los

objetos en la ontología.

No todos los predicados son como el predicado “amigo” que vimos anteriormente. Hay

predicados como “agua”, “oro”, “quarks”, “potasio” y, quizás, “mamífero” que refieren clases

naturales. Pero, ¿qué caracteriza a una clase natural? Las clases naturales tratan a los objetos

como si tuvieran algo en común en la composición. Para Quine, un conjunto de objetos forma

una clase natural, si los juicios realizados acerca de algún miembro de ese conjunto pueden ser

plausiblemente extendido por un científico por razonamiento inductivo a otros miembros. Son

predicados intrínsecos y, como tales, monádicos. De tal forma que lo único que garantiza la

referencia de las clases naturales es que éstas también designen rígidamente en su recorrido,

mediante la accesibilidad, por los mundos.

Lo más sugestivo de la relación de accesibilidad es que podemos cambiar las propiedades

que exigimos de la relación. Si todos pueden acceder a su propio mundo, la propiedad es

reflexiva; si todos son alienados y no pueden acceder a su propio mundo interno, la relación es

irreflexiva. Supongamos que solo se puede acceder del futuro al pasado por medio de la historia,

pero que no se puede de ninguna forma acceder del pasado al futuro, la relación sería, entonces,

antisimétrica. Listamos las propiedades más comunes que se pueden atribuir a la relación de

accesibilidad como relación binaria:

P1. x (xRx) Reflexiva T: A A

P2. xy (xRy yRx) Simétrica B: A A

P3. xyz (xRy yRz xRz) Transitiva 4: A A

P4. xyz (xRy xRz yRz) Euclidiana 5: A A

Todos estos tipos de accesos son distintos modos en que se evalúa la verdad. Para Kripke la

relación de accesibilidad es fundamental para la demostración del carácter correcto y completo de



25

los sistemas modales18

y es la que permite una teoría de modelos que interpreta todos los sistemas

axiomáticos mencionados y muchísimos más. Ahora resulta que hay una íntima relación entre las

propiedades de la accesibilidad y los axiomas que caracterizan T, S4, B y S5, y todas esas

correspondencias se pueden probar en la semántica. Si la relación de accesibilidad es solo

simétrica, satisface los axiomas del sistema T; si es reflexiva, los de B; si es transitiva, los de S4

y si es euclidiana, los de S5 (o si es reflexiva, simétrica y transitiva). Así, dependiendo de las

propiedades que se requieran de la accesibilidad, se satisface un nuevo esquema modal que define

un nuevo sistema axiomático. Otras correspondencias son las siguientes:

Relación Nombre Principio modal

P5. x y (xRy) Serial D:

P.7 x !y (xRy) Funcional Q: A A

P.8 xy (xRy z (xRz zRy)) Densa débil R: A A

P.10 xyz (xRy xRz w (yRw zRw)) Dirigida débil G: A A

Se prueba, a continuación, como ejemplo, que R es reflexiva si, y solo si, A A es válida

en F:

Premisa: Supongamos que F = W, R es reflexivo. Se tiene que probar que FA A, esto

es, para todas las fórmulas A, para toda valuación V, para todo wW, A A en el modelo

M = W, R, V. Así, consideremos una fórmula cualquiera A, cualquier valuación V y

cualquier mundo w en W. Ya que R es reflexiva, se cumple wRw para todo w por hipótesis.

Ahora se supone que wA (tenemos que probar A). Esto significa que para todo w1, si

wRw1 entonces w1

A. Ya que wRw, esto implica que wA. Esto prueba que wA A.

Esta dirección se muestra por contraposición, entonces se supone que F = W, R no es

reflexivo, por lo que se tiene que mostrar que FA A para alguna fórmula A. En otras

18

Esta propiedad la llaman “completitud”, otra palabra inventada por los filósofos. El español tiene una antiquísima

palabra para la calidad o condición de completo, a saber, “compleción”. “Completitud” e “incompletitud” no son

de mi agrado porque no respetan las analogías. De ser así, no veo problema alguno en que se acepte la palabra “idiotitud”, la cualidad esencial de ser idiota.



26

palabras, se tiene que mostrar que si F no es reflexivo, entonces hay una fórmula A, una

valuación V y un mundo w en W tal que wA A en el modelo M = W, R, V. Se hace

notar que wA A es lo mismo que wA A. Por lo que se supone que F no es

reflexivo, lo cual quiere decir que hay al menos un mundo w tal que es falso wRw. Ahora,

se define la valuación V sobre F de la siguiente manera (con solo una proposición atómica

p). Para todos los mundos w1:

p V(w1) syss wRw1

Se ha de ver que en esta definición w1 es una elección arbitraria, pero w es el mundo en

particular tal que es falso wRw. De la definición se sigue, entonces, que w1p, si wRw1 y, para

todos los otros mundos wi en W esto implica w

ip, esto es w

ip. Ya que es falso wRw, se tiene

que wp. Pero, la definición de V implica que todo mundo tal que wRw1 se cumple w1p. Así,

wp. Por lo tanto, wp p, de lo cual wp p. En consecuencia, hay una fórmula A, a

saber p, tal que wA A. A. Esto prueba que A A es caracterizada por los marcos

reflexivos.

Se prueba, también como ejemplo, que R es transitiva si, y sólo si, A A es válida en

F:

Premisa: Supongamos que F = W, R es transitivo. Se tiene que probar que FA A,

esto es, para todas las fórmulas A, para toda valuación V, para todo wW, A A en el

modelo M = W, R, V. Así, consideremos una fórmula cualquiera A, cualquier valuación

V y cualquier mundo w en W. Ahora se supone wA Se tiene que probar, entonces,

wA, esto es, que para todo w1 tal que wRw1, w1A. Dado así el estado de cosas,

consideremos un w1 tal que wRw1. Para mostrar w1A, se tiene que mostrar, para todo

w2 con w1Rw2, w2A. Así, sea un w2 tal que w1Rw2. La transitividad de R implica que

wRw2. Por lo tanto, wA, esto significa que todo mundo accesible desde w tiene A. De



27

donde, wRw2, w2 es accesible desde w. Por lo tanto, w2A. En consecuencia, w1A. Y

esto es lo que teníamos que probar, con esto se prueba que wA A.

Esta dirección se muestra por contraposición, entonces se supone que F = W, R no es

transitivo, por lo que se tiene que mostrar que FA A para alguna fórmula A. En

otras palabras, se tiene que mostrar que si F no es transitivo entonces hay una fórmula A,

una valuación V y un mundo w en W tal que wA A en el modelo M = W, R, V.

Se hace notar que wA A es lo mismo que wA A. Por lo que se supone que

F no es transitiva, lo cual quiere decir que hay al menos tres mundos w, w1, w2 tal que

wRw1 y w1Rw2

y es falso wRw2. Ahora, se define la valuación V sobre F de la siguiente

manera

p V(wi) syss wRwi

Así, w1p, si wRw

1 y, para todos los otros mundos w

2 en W, w

2p, es decir, w

2p. Ya que

falso wRw2, se tiene w2

p. Esto implica que w2p. Pero esto implica, nuevamente, w2

p.

Pero la definición de V implica que todo mundo tal que wRw1 tiene w

1p. Por lo tanto, wp.

De donde, wp p de lo cual wp p. En consecuencia, hay una fórmula A, a saber

p, tal que wA A. Esto prueba que A A es caracterizada por los marcos transitivos.

Se puede mostrar, aprovechando las relaciones y los principios modales correspondientes,

cómo funciona la “traducción estándar” de los cuantificadores. Con ello se muestra,

definitivamente, la estrecha relación entre la cuantificación y los operadores modales. Consiste en

una transformación de las fórmulas modales proposicionales en fórmulas de la lógica de primer

orden preservando la semántica de las fórmulas modales, lo cual se logra, nuevamente, gracias a

R. La traducción estándar ST se define inductivamente de la siguiente manera:

a) STw(p) = Pw donde p es una fórmula atómica. Pw es verdadero cuando p está en w.

b) STw() =



28

c) STw() =

d) STw() = STw()

e) STw( ) = STw() STw()

f) STw( ) = STw() STw()

g) STw( ) = STw() STw()

h) STw( ) = STw() STw()

i) STw(R ) = u(R(w, u) STu())

j) STw(R ) = u(R(w, u) STu())

En la definición anterior, w es el mundo desde el que se evalúa la fórmula. Inicialmente, se

usa una variable libre w y, cada vez que se necesita traducir un operador modal, se introduce una

nueva variable para indicar que el resto de la fórmula debe evaluarse desde ese mundo. R se

refiere, por supuesto, a la relación de accesibilidad que debe ser usada.

Podemos traducir, al fin, p y p en términos de cuantificadores:

p = u (R(w, u) Pw)

Se pasa de w a un mundo accesible u, porque hay un mundo u accesible desde w donde el

predicado P es verdadero para w.

p = u (R(w, u) Pw)

Se pasa de w a un mundo accesible u, porque para todo mundo u accesible desde w el

predicado P es verdadero para w.

p = u (R(w, u) STu(p))… se pasa de w a un mundo accesible u. Ahora evaluamos el resto

de la fórmula: u(R(w,u) (v(R(u,v) Pv))). Esta cuantificación captura con precisión la

semántica de la fórmula modal. Según la traducción, p está en w cuando para todo mundo

accesible u desde w y para todo mundo accesible v desde u, el predicado P es verdadero para v.

Otro ejemplo:



29

p p = STw(p) STw(p) = u (R(w, u) Pw) u (R(w, u) Pw)

Las traducciones estándar proveen de un método para pasar del conjunto de todos los

mundos posibles a la cuantificación sobre un universo del discurso.

Ahora pasemos a comentar algunas propiedades metateóricas de la lógica modal

proposicional.

Kripke vinculó, de forma precisa, la sintaxis y la semántica de la lógica modal al

proporcionar una correspondencia entre deducción y validez, demostración y prueba. Demostró

que el sistema K, el que tiene sólo el axioma K, es correcto y completo para la clase de todos los

modelos de Kripke. Aún más, demostró que cada uno de los sistemas clásicos en la tradición de

Lewis, los sistemas T, B, S4 y S5, son correctos y completos. El que un sistema S sea correcto

quiere decir que, si una fórmula es demostrable en S, entonces es verdadera en todos los modelos

de Kripke de S. En otros términos, si A es una fórmula cualquiera del lenguaje y S es el sistema

modal en consideración, entonces demostró:

S A entonces S A

Es completo, si una fórmula verdadera en todos los modelos de Kripke, es un teorema en S.

S A entonces S A

Por ejemplo, los teoremas de T corresponden con la verdad en todos los modelos de Kripke

con una relación de accesibilidad reflexiva. En ellos, la verdad de A en w equivale a la verdad

de A para todo w* tal que wRw*

y la reflexividad garantiza que w estará entre éstos. Los teoremas

de B a modelos de Kripke simétricos. Los teoremas de S4 corresponden a modelos de Kripke

reflexivos y simétricos. Los de S5 a modelos reflexivos, simétricos y transitivos.

Por otro lado, una lógica es decidible si, y solo si, existe un procedimiento efectivo

(máquina de Turing) mediante el cual para cada fórmula en el lenguaje se puede establecer si es,

de manera general, que es válida (o desde la sintaxis, si es un teorema). La lógica proposicional

es decidible, porque el método de la tabla de verdad es uno de tales procedimientos efectivos. La

lógica de predicados no es decidible. A. Turing, quien demostró este hecho (al igual que A.

Church), dio una definición teórica para "procedimiento efectivo" que luego se denominó



30

"máquina de Turing". Así, una lógica es decidible, si hay una máquina de Turing que compute la

(in)validez general de cada fórmula. Un método común de probar que una lógica es decidible es

mediante la propiedad del modelo finito. Una lógica tiene la propiedad de modelo finito, si todas

las fórmulas que generalmente no son válidas tienen un contra modelo; en otras palabras, si el

hecho de que una fórmula sea válida en todos los marcos finitos es suficiente para concluir que es

válida en todos los marcos, finitos o no. Cuando una lógica modal tiene esta propiedad, solo

necesitamos verificar los marcos finitos para ver si alguna fórmula es válida y resulta que este es

un procedimiento efectivo, en el sentido de Turing.

Si una lógica correcta y completa tiene solo un número finito de axiomas y reglas de

inferencia, y tiene la propiedad de tener modelos finitos, entonces es decidible.

Todas las lógicas modales que hemos considerado son correctas y completas, y solo tienen

un número finito de axiomas y reglas de inferencia. Además, los sistemas de lógica modal

considerados tienen la propiedad de tener modelos finitos. Podemos concluir, entonces, que son

decidibles.

Kripke, entonces, restaura la metafísica de la lógica modal con una base muy sólida de

propiedades metateóricas: los sistemas con la propiedad de modelos finitos de la lógica modal

proposicional son correctos, completos y decidibles. Tales propiedades restauran su referencia

objetiva y, con ella, su transparencia. En lógica proposicional las proposiciones refieren

extensionalmente sus valores de verdad. En lógica proposicional modal las proposiciones

modales refieren al conjunto formado por todos los mundos donde la proposición es verdadera.

Se restauró la consecuencia lógica y la sustitución salva veritate. La metafísica es flexible,

gracias a la accesibilidad. Se pueden crear muy distintos mundos y estados de cosas de una

manera coherente. Es una máquina creadora de juegos del lenguaje. Una máquina tan versátil que

permite una reducción de la lógica de segundo orden a la lógica modal19

, una interpretación de la

19

THOMASON, S. K.: “Reduction of second-orden logic to modal logic”. Mathematical Logic Quarterly. Vol. 21, N° 1, 1975. pp. 107-114



31

teoría de conjuntos como un tipo de lógica modal20

o una traducción de la lógica modal como una

metalógica21

, en este último caso las traducciones del metalenguaje son casi naturales.

Metalenguaje Lógica modal

es válida es necesaria

es satisfacible

no es válida es posible

es inválida es innecesaria

es insatisfacible

es contradictoria es imposible

es contingente y

Es posible y es posible

Es innecesaria y es innecesaria

Metafísicamente, da coherencia a la existencia de necesidades a posteriori, lo que toca el

núcleo mismo de la distinción analítico-sintético, como la conocíamos en la tradición de Carnap.

Ahora podemos mostrar extensionalmente la verdad de enunciados necesariamente verdaderos de

los cuales solo puede ser conocido su valor de verdad mediante la investigación empírica.

Seguramente, los ratones de la muestra siguen siendo mamíferos. De tal forma que sobre el

universo de los ratones estudiados y las posibles distribuciones de agrupaciones de los ratones el

enunciado “Todos los ratones son mamíferos” es una necesidad a posteriori en todos los mundos

a los que se tiene acceso, simplemente porque la oración “Todos los ratones son mamíferos” es

verdadera para todos y cada uno de ellos, pero no por necesidad lógica, sino por la investigación

empírica. En fin “El agua es H2O”, “Tulio es Cicerón” y “Hesperus es fósforo” son necesarios a

posteriori y todas las verdades lógicas son verdaderas en todo mundo.

Las mayores preocupaciones de Quine con respecto a lógica modal se referían a la

cuantificación sobre contextos modales de re, combinaciones como xFx, cuando se lee “es

20

DISHKANT, Herman: “Set Theory as Modal Logic”. Studia Logica: An International Journal for Symbolic Logic,

Vol.39, N° 4 (1980), pp. 335-345 21

DOSEN, Kosta: “Modal Logic as metalogic”. Journal of Logic, language, and information. Vol. 1, N° 3 (1992), pp. 173-201,



32

lógicamente necesario…” o “es analítico…”. Una fórmula modal A se llama de re, si una

constante o variable individual en A está libre bajo el alcance de "" De lo contrario se llama de

dicto. Por ejemplo, xFx son de re, mientras que xFx es de dicto xFx

dice que en nuestro mundo existe un individuo que en todos los mundos posibles tiene la

propiedad F; en otras palabras, F es una propiedad esencial (es decir, necesaria) de este

individuo. Ahora bien, l xFx requiere la existencia de algo tal que Fx, es decir, tal

que Fx sea analíticamente cierto, pero ¿qué significa decir que una forma proposicional, con sus

variables libres, sea analítica? ¿Es analíticamente cierta de una cosa, independientemente de

cómo se nombra o describe? Parece no tener sentido. El problema se torna más pertinente cuando

notamos que las modalidades de re son las únicas relevantes al tratar la cuestión semántica sobre

los designadores rígidos frente a los no-rígidos y que las proposiciones de dicto no juegan ningún

papel en esta distinción. Esto se debe a que la evaluación de las fórmulas de re requiere una

identificación de los objetos en diferentes mundos. Por lo tanto, hay que asumir que existe un

objeto de nuestro mundo o, al menos, algún correlato identificable de él en todos los demás

mundos posibles. En contraste, xFx simplemente afirma que en todos los mundos posibles

existe algún individuo que tiene la propiedad F lo cual no presupone ninguna correlación entre

los individuos en mundos diferentes.

Tal como está planteado, parece ser un problema que no pueda ser resuelto por la lógica-

matemática. Veamos el porqué: al no tener Fx referencia objetiva, lo que nos queda es

preguntarnos por su significado y, al decir de Rorty, los problemas de la filosofía son los

problemas del significado, esa zona que no es clara ni para los mismos filósofos y sobre la cual

tenemos muchos prejuicios. La lógica-matemática, como la ciencia en general, requiere de la

preservación de la referencia objetiva, por lo que los modelos matemáticos no pueden resolver los

problemas del significado. O hacemos como Rorty y abandonamos la filosofía o seguimos

indagando en esa zona difusa que juega con nuestros usos del lenguaje hasta que se restituya la

referencia. Quine lo hizo nuevamente, revirtió la debilidad de su argumento a su favor y de una

forma muy certera.

Kripke guía su metafísica por su lógica y con aquella explica a ésta. Extrapola la lógica en

la metafísica con satisfactorios resultados. Se planteó la adecuación de su teoría y se preguntó

cómo refieren los nombres a las cosas. Demolió lo que quedaba de la dicotomía analítico-



33

sintético. Si hay necesarios a posteriori ¿son analíticos o sintéticos? Pareciera que, como dijo

Quine, nada escapa al tribunal de la experiencia, ni siquiera las verdades necesarias. Abordó el

problema de las propiedades esenciales y estableció la posibilidad de enunciados necesarios a

posteriori. Este trabajo muestra, entonces, como un cambio de lógica condiciona un cambio de

metafísica. Ha de notarse, por favor, que Kripke mostró que existen enunciados necesarios a

posteriori, esto es, mostró, en contra de la recomendación de Tarski de la separación de niveles

del lenguaje para evitar paradojas, la posibilidad de que un enunciado fuese portador de su verdad

en el propio lenguaje y con ello mostró la posibilidad de una teoría de la verdad que fuese

coherente y que incluyese su propia semántica. Esto lo logró en un “Esbozo de una teoría de la

verdad”22

, pero ya ese es otro cuento que dejamos para otra oportunidad.

Culmino saldando mis deudas con el aspecto técnico. Las 5 estupendas norias que usé.

Referencias Bibliográficas

Blackburn, Patrick; de Rijke, Maarten; Venema, Yde, Modal Logic, Cambridge Univ. Press,

2002.

Burgess, John P., “Kripke Models”, en Alan Berger (ed.), Saul Kripke. Cambridge Univ Press,

2011.

Chellas, Brian, Modal Logic, an introduction, Cambridge University Press, 1980.

Rosja Mastop, Modal Logic. Cambridge University Press, 2001

La página web Mathematics: https://math.stackexchange.com/

22

KRIPKE, S. “Outline of a Theory of Truth”, Journal of Philosophy, 72/19 (1975), pp. 690-715.

https://math.stackexchange.com/

Documents

Sobre la ontología de la lógica modal. La reforma