DE DADOS A DADOSCUBOS

En esta fotografía puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) hasta la (f). Hay una regla que es válida para todos los dados:

La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.

1. Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número de puntos que tiene la cara inferior del dado correspondiente que aparece en la foto.

2. Calcula la suma de todos los puntos de los seis dados.

A la derecha puedes ver tres dados colocados uno encima del otro. El dado 1 tiene cuatro puntos en la cara de arriba.

3. ¿Cuántos puntos hay en total en las cinco caras horizontales que no se pueden ver (cara de abajo del dado 1, caras de arriba y de debajo de los dados 2 y 3)?

CARRERAS DE CABALLOS (por parejas)

: Abrid la hoja carreras.xls. Pulsad el botón NUEVA para em-pezar una partida. Cada vez que tocáis la tecla F9 es como si ti-rarais dos dados Se suman las puntuaciones y el caballo que es-tá en ese carril avanza una posición. Antes de empezar a jugar, contestad:

1. ¿Cuál es el caballo que tiene más posibilidades de ganar? ¿Por qué?

2. ¿Y el que menos?

Jugad una partida.

3. Escribid el número total de tiradas hasta que alguien gane.

4. Elaborad una tabla en la que aparezca el porcentaje de veces que ha salido cada suma. (Cada cual hace la suya)

5. ¿Ha salido con más frecuencia la suma que pensabais?

Antes de tirar los dados, podríamos haber echado las cuentas de que suma esperá-bamos más frecuente y también el porcentaje esperado. Sólo rellenando esta tabla:

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Nº %

2

3

….

12

1

6. Completadla.

7. ¿Cuántas posibilidades distintas hay?

8. ¿En cuántas de ellas sale el 7 como suma?

9. ¿Cuál es el porcentaje esperado para la suma 7?

: Abre la hoja simullgn.xls. Cada vez que pulsas F9 es como si tiraras dos dados 1000 veces. Pul-sad F9 diez veces e id apuntando las veces que sa-le 7 de suma. (¡Es como si jugarais 10.000 veces!)

10. Calculad la media de las diez tiradas. Apuntad-la.

11. ¿Sale parecido a lo esperado?

12. Si hablamos en tanto por cien, ¿cuál es la diferencia entre la media esperada (teórica) con la real después de tirar 10.000 veces?

13. ¿Cuál es el error relativo?

:!Jugar con el programa 0Preideas.exe y realizar posterior-mente el análisis como en PreProbabilidad.doc.

:!Abriendo las hojas correspondientes, realizad las actividades que se proponen en PROBABILIDAD.doc.

APOSTANDO

Ahora tiramos sólo un dado. El jugador apuesta 1 €. Si sale par, la banca le paga 40 €, pero si sale tres, debe pagar el jugador 6 € y 60 si saca cinco, como se describe en el sistema de pérdidas y ganancias de la tabla.

1. ¿Qué prefieres ser?, ¿jugador o banca?2. ¿Te parece un juego justo?3. Si tú, siendo jugador, jugaras 60 partidas, ¿Cuál estimas que, aproximadamente, podría ser tu balance final?4. ¿Cuántos euros de pérdida habría que adjudicarle al uno para que el juego fuera justo?

Vamos con tres dados. Este juego se llama Tragasuertes.El feriante tira 3 dados (numerados del 1 al 6). Los jugadores apuestan por cualquier número del 1 al 6, y reciben de premio la misma cantidad que apuesten por cada dado que salga con su número.Algunos jugadores creen que el juego les favorece. ¿Es así? Supongamos, para analizar el problema (y

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5

6

2

minimizar la suerte) que las apuestas están cubiertas. Completa los huecos. Contesta a las preguntas.

1 2 3 4 5 6 Sale 2-3-6 (sin repetición)1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e el feriante se queda en paz0 e 1 e 1 e 0 e 0 e 1 e (-3)+(+3)=01 2 3 4 5 6 Sale 2-2-6 (una repetición)

1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e el feriante ……

1 2 3 4 5 6 Sale 2-2-2 (dos repeticiones)1 e 1 e 1 e 1 e 1 e 1 e el feriante ……..

Si hay repetición el feriante, ¿gana o pierde? Luego, el jugador ¿pierde o gana?

::!Proyectar y comentar la presentación PROBABILI-DAD.ppt y proponer una exposición oral (en grupo) de uno de los siguientes temas:

1. El juego de la taba. Orígenes. Reglas del juego en España en el s. XX.

2. El juego de los dados. Orígenes. Re-glas del juego en los casinos. 3. Lotería. Orígenes. Tipos de loterías hoy en España. Reglas y premios.4. Naipes. Orígenes. Juegos de naipes a los que se juega hoy en España.5. La ruleta. Orígenes. Tipos de rule-tas. Reglas del juego.

6. Descripción de dos juegos: uno de puro azar y otro de azar/estrate-gia.

: El Cheva-lier de Méré fue un gentleman con bastante experiencia en juegos de azar y, apa-rentemente, con buen sentido para intuir las diferentes posibilidades que ofrecían las distintas apuestas en el juego de los dados. Habiendo conseguido a lo largo de los años una fortuna considerable apostando a obtener un seis en cuatro lanzamientos de un dado, de Méré razonó, siguiendo un argumento común en su época, que apostar a sacar un doble seis en veinticuatro lanzamientos con dos dados sería igual de provechoso. Hay que señalar en su descargo que después de dolorosos ensayos llegó a la conclusión de que esta última apuesta no le reporta-ba ningún beneficio; así, en 1645 de Méré retó a su célebre amigo Blaise Pascal a que le ofreciese una explicación. En correspondencia

3

mantenida entre Pascal y Pierre de Fermat se resolvió el problema propuesto por de Méré, y de paso, surgieron la idea formal de probabilidad, el famoso triángulo de Pascal y la omnipre-sente distribución binomial. M. Barreras, “Matemáticas con Microft Excel, pág. 138

Los gráficos muestran que Méré debería haber consultado con Pascal antes de cambiar de jue-go.

: Abre la hoja mere.xls y comprueba cómo, normalmente, gana en un juego y pierde en el otro.

En los gráficos puede verse la probabilidad teórica.

1. Intenta calcular la probabilidad de al tirar un dado 4 veces no salga ningún seis. Ayúdate de un diagrama de árbol.

Estos dos problemas supusieron, allá por mil seiscientos y pico, los comienzos de la probabili-dad. Otro se une a éstos, el de la partida interrumpida. Contamos aquí una versión actualizada. A ver si lo resuelves.

Jimmy y Telma están en plena partida de un juego donde se tienen que conseguir 6 puntos pa-ra ganar, y en el que cada uno de los jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda y llevarse un punto. Jimmy está ganando por 5 a 3, cuando llega la policía y se interrumpe la partida.

2. ¿Cómo deberán repartirse las apuestas de-positadas?

[problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su “Liber Abaci” , mal resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición debería ser de 5 a 3, cuando, real-mente, debe ser de 7 a 1]

DADOS DE COLORES

Dos amigos quieren renovar el juego de los dados. Cada uno de ellos tiene un pequeño cubo en el que ha pintado varias caras de verde y el resto de amarillo. Los dos lanzan su dado a la vez. Si salen dos caras del mismo color gana Aurora, y si los colores son distintos, gana Beto. Beto sabe que Aurora ha pintado su dado con tres caras verdes y tres amarillas.1. ¿Habrá alguna manera de que, pintando adecuadamente sus caras, Be-to aumente sus posibilidades de ganar? ¿Cómo?[uno más general]2. ¿Y si Aurora hubiera pintado 4 verdes y dos amarillos?3. ¿Cuál crees que es, en general, la estrategia para obtener más posibili-dades de ganar?

MÁS CARAS

4

En la vida corriente no es difícil encontrar cubos. Se ven en todos los ám-bitos:

arquitectura tecnología velas macetas envases pu-blicidadMenos corrientes son los poliedros que no tienen seis caras. Por ejemplo, de cuatro caras (tetraedro).Hubo un tiempo en que algunos zumos se empaqueta-

ban así:Y en la estructura del agua, los electro-nes saben bien cómo colocarse:

La fluorita (CaF2) es caprichosa cristalizando (en octaedros, polígono regular de ocho caras). (Tam-bién la mag- netita, el oro o el cobre)

El dodecaedro (12 caras pentagona-les) va bien para calendario.La pirita eligió esta forma para cris-talizar.Los que practican los juegos de rol lo usan a menudo.Algunos han diseñado con esta for-ma altavoces que emiten llenando el espacio.

Por fin, hay quien confunde los ico- saedros (20 ca-ras triangulares) con flores, y, otros, prefieren bailar dentro de ellos.

5

¿Hay más poliedros regulares que estos cinco?Abre en Internet la ruta Poliedros / Poliedros regulares de la página http://mimosa.cnice.mecd.es/%7Eclobo/geo-web/2eso.htm

¿Por qué no hay poliedros regulares de caras hexagonales?¿Por qué no hay de caras octogona-les?Un balón de fútbol, ¿es un poliedro? ¿Es regular? Analiza los tres de la fi-gura.

¿Es un balón de rugby un poliedro re-gular? ¿Cómo definirías un balón de ru-gby?

: A los cinco sólidos regulares se les llama Cuerpos Platónicos porque Platón en uno de sus dialogos más significativos, el ``Timeo'', en el que se explica la construcción del universo, establece una asociación entre ellos y los elementos fundamentales de los que éste está compuesto, que según sostenían los griegos estaba hecho con átomos de agua, aire, tie-rra y fuego.

Según lo que allí se expone, el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y bueno al que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esfé-rica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro ele-mentos: fuego, tierra, aire y agua, que han de tener la propiedad de ser ``sólidos'' (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen pro-fundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas -cate-tos- iguales) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la pro-piedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos. A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo equi-látero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con seis de éstos el cubo.

Incluimos a continuación extractos literales del ``Timeo'' según la tra-ducción castellana [23]:

6

``... Antes de la creación, por cierto, todo esto carecía de proporción y medida. Cuando dios se puso a ordenar el universo, primero dio forma y número al fuego, agua, tierra y aire, de los que, si bien había algunas huellas, se encontraban en el estado en que probablemente se halle to-do cuando dios está ausente. Sea siempre esto lo que afirmamos en to-da ocasión: que dios los compuso tan bellos y excelsos como era posi-ble de aquello que no era así. Ahora, en verdad, debo intentar demos-traros el orden y origen de cada uno de los elementos con un discurso poco habitual... En primer lugar, creo que para cualquiera está más allá de toda duda que fuego, tierra, agua y aire son cuerpos. Ahora bien, toda forma corporal tiene también profundidad. Y, además, es de toda necesidad que la superficie rodee la profundidad. La superficie de una cara plana está compuesta de triángulos. Todos los triángulos se desarrollan a partir de dos, cada uno con un ángulo recto y los otros agudos. Uno tiene a ambos lados una fracción de ángulo recto dividido por lados iguales, el otro partes desiguales de un ángulo recto atribui-da a lados desiguales... suponemos que éste es el principio del fuego y de los otros cuerpos... Ciertamente, debemos explicar cuáles serían los cuatro cuerpos más perfectos, que, aunque disímiles entre sí, podrían nacer unos de otros cuando se desintegran. En efecto, si lo logramos, tendremos la verdad acerca del origen de la tierra y el fuego y de sus medios proporcionales. Pues no coincidiremos con nadie en que hay cuerpos visibles más bellos que éstos, de los que cada uno representa un género particular. Debemos, entonces, esforzarnos por componer estos cuatro géneros de cuerpos de extraordinaria belleza y decir que hemos captado su naturaleza suficientemente...''

Debe haber cuatro elementos por el siguiente razonamiento: las cosas deben tener fuego, puesto que se ven, y tierra, puesto que son materia-les; dos cosas necesitan de una tercera para poder ser unidas. Si el uni-verso fuese plano bastaría con un tercer elemento, pero, como tiene pro-fundidad, necesita de otro más para poder hacer esta unión. Así, para unir el fuego y la tierra se precisan otros dos: el aire y el agua. Anali-zando las propiedades de los elementos y la proporción en la que deben estar en la naturaleza, llega a la conclusión de que los átomos de fuego son tetraedros, los de tierra son cubos, los de aire octaedros y los de agua icosaedros. Queda una única combinación, el dodecaedro, que lo reserva para el universo.

http://www.unirioja.es/dptos/dmc/luhernan/Divul/POLIEDROS/cuerpos.html

(Entra en esta página para SABER MÁS)

El texto habla de dos figuras planas básicas que generarán el tetraedro, cubo, octaedro e ico-saedro. Son “el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas -catetos- iguales) y el trián-gulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble lon-gitud que uno de sus catetos”.

Supongamos que los catetos del triángulo rectángulo isósceles miden 1 (una unidad) y el cate-to pequeño del cojo mide también 1 (así que 2 la hipotenusa).

“Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado”. ¿Cómo?

7

“A partir de seis de estos últimos triángulos (triángulos cojos) construye el triángulo equi-

látero”. ¿Cómo?

Recorta 6 iguales e inténtalo.

: Si no tienes tijeras a mano, ve a tri_cojo.doc e inténtalo en Word.

Si no te sale, piensa. ¿Cuál es el área del triángulo básico cojo?

¿Cuál será el área del equilátero formado con 6 cojos?

¿Cuál será su base y su altura?

Ahora las posibilidades quedan muy acotadas.

: Comprueba tu solución en cojosol.doc.

Calcula el volumen del tetraedro y del octaedro. Compara tus resultados con los que aparecen en la tabla siguiente.

POLIEDROREGULAR

HEXAEDROREGULAR

TETRAEDROREGULAR

DODECAEDROREGULAR

ICOSAEDROREGULAR

OCTAEDROREGULAR

MODELO

CARAS 6 cuadrados 4 triángulosequiláteros

12 pentágonosregulares

20 triángulosequiláteros

8 triángulosequiláteros

VÉRTICES 8 4 20 12 6

ARISTAS 12 6 30 30 12

ARISTASPOR VËRTICE 3 3 3 5 4

SENO DEL ÁNGULOENTRE CARAS 1

ÁREA DE LA SUPER-FICIE EXTERIOR

VOLUMEN

RADIO DE LA ESFE-RA CIRCUNSCRIPTA

RADIO DE LA ESFE-RA INSCRIPTA

En las fórmulas, a  =  arista.

GENIAL Y MÍSTICO KEPLER

: Johannes Kepler (1571-1630)

8

Astrónomo alemán, nacido en Weilderstadt, en Würtemberg.  Estudia teología, astronomía y matemáticas en  el seminario de Tubinga. Poste-riormente, deja la teología para dedicarse a la astronomía y las matemá-ticas y a ejercer la profesión de astrólogo.

Concibe, en una primera fase de su pensamiento condicionada por la  místico-pitagórica-platónica, la posibilidad de una nueva astronomía, cosa que persigue, en un primer momento, por la vía del misterio y de los símbolos. En Mysterium Cosmographicum (1596) utiliza las distan-cias de los planetas al sol para encajar la imagen del mundo en un siste-ma geométrico que consideraba representativo de la armonía universal: las órbitas de los planetas quedan organizadas de tal manera que cada una de ellas quedaba inscrita en un sólido regular sobre el que quedaba circunscrita la órbita del planeta exterior siguiente:  la esfera de Saturno quedaba circunscrita a un cubo en el que se inscribía la esfera de Júpi-ter, que circunscribía el tetraedro, etc. Siguiendo este orden: Saturno -Cubo-Júpiter -Tetraedro- Marte -Dodecaedro- Tierra -Icosaedro- Venus -Octaedro- Mercurio.

(Entra en www.unirioja.es/.../ Divul/POLIEDROS/cuerpos.html para SABER MÁS)

Comprueba la hipótesis de Kepler con los datos de la tabla.

:!¿Cuál fue el mayor descubrimiento de Kepler? Escribe las tres le-yes de Kepler.

http://www.luventicus.org/articulos/03C001/kepler.html

http://enciclopedia.us.es/index.php/Kepler

: Podemos descubrir poliedros regulares en muchos ámbitos del cono-cimiento humano. Abre los enlaces (palabras subrayadas) para ver, las figuras correspondientes en la página

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geome-tria/poliedros/

En la naturaleza

En 1.996 se concedió el premio Nobel de Química a tres investigadores por el descubrimiento del fullereno cuya forma es un icosaedro truncado.

Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales; El virus de la poliomelitis y de la verruga tienen forma de Icosaedro; Las células del tejido epitelial tienen forma de Cubos y Prismas; Los Radiolarios presentan formas de Octaedros con apéndices, Icosaedros regulares y dodecaedros; etc.

En sus formas naturales, muchos minerales cristalizan formando poliedros característicos. Así, por ejemplo, algunos de los más conocidos son:

- Galena, Sal Gema, Platino y Diamante, cristalizan formando Hexaedros.

- Fluorita, Magnetita, Oro y Cobre, cristalizan formando Octaedros.

9

En Literatura

En Literatura también hay algunas muestras de utilización de poliedros, como en el so-neto de Rafael Alberti:

A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina.A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo armónico origina.A ti, mar de los sueños, angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro.Luces por alas un compás ardiente Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporción de oro.

En pintura

Salvador Dalí, utiliza el dodecaedro en un óleo para enmarcar su escena sobre la última cena (con sus 12 Apóstoles). También lo utiliza en su obra Crucifixión (la cruz se compone de 8 hexaedros adosados)

Escher también utilizó poliedros regulares (tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro) en sus famosos dibujos, así como Leonardo da Vinci (ucocedrón abscisus vacuus)

En arquitectura

El mausoleo de Gol Gumbaz de Bijapur (India) tiene forma de cubo, el Planetario de New York (obra de Polshek y Schliemann) es otro cubo de cristal de 29 metros de arista que con-tiene una esfera blanca de 27 metros de diámetro, en cuyo interior se ha representado el centro de la Tierra y el Espacio.

En escultura

En Escocia se han encontrado piedras de formas poliédricas que tienen más de 4.000 años.

: Lectura recomendada: Planilandia, de Edwin Abbott Abbott. Un ca-pítulo en SIGMA, págs. 319-332. (J. R. Newman)

! foreuler.doc. Relación entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. Fórmula de Eu-ler.

10

! arpoli.doc. Áreas laterales de los poliedros regula-res. Problemas.

Los ocho hexaedros adosados que aparecen en el cuadro Cru-cifixión de Salvador Dalí son el desarrollo de un tetracubo, un cubo en la cuarta dimensión. Para más información sobre la cuarta dimensión:

: Lectura recomendada. Martín Garner, Carnaval matemáti-co, cap. Hipercubos, págs. 51-66.

Para una ficción sobre el mundo bidi-mensional:

: Lectura recomendada. AGNOSIA.-doc.

CUBOS EN EQUILIBRIO

El escultor Marcu Bista ha diseñado una obra compuesta de cubos apoyados (soldados) en otros por un vértice, co-mo se ve en la figura.El cubo base tiene 1 m de arista y cada uno 3/4 del ante-rior. 1. ¿Qué altura alcanzará una estructura de 5 cubos?2. ¿Qué longitud total tendrán todas las varillas de la es-tructura?(Te serán de ayuda:): tpitagoras.zip

3. ¿Le cabrá en una nave de 5 m. de altura?4. ¿Cuántos cubos le cabrían en una nave de 6 m. de altu-ra?5. ¿Y en una de 7 m. de altura?

CUBOS (DE FREGAR)

Hay unos objetos imprescindibles en cualquier casa que se llaman cubos pero no son hexaedros. Son las fregonas.

11

¿Cómo se llama el cuerpo geométrico que es un cubo de agua? (La super-ficie está ligeramente abombada, pero, para simplificar el problema, la va-mos a suponer recta)Una fregona estándar tiene estas dimensiones:Diámetro grande, 29 cm., diámetro pequeño, 20 cm., lon-gitud lateral, 26 cm.Imagina que tienes una fábrica de montaje de fregonas. El distribuidor del material te proporciona planchas de 1 m. de ancho y lo que tu le pidas de largo (mínimo 1 m.)Dibuja el desarrollo de una fregona a escala 1:10.¿Qué dimensiones de planchas encargarías para desaprovechar en el cor-te el mínimo material posible? (Ten en cuenta también los fondos)Si venden el m2 a 1,2 €, ¿cuánto te costarían 1500 fregonas?

Calcula el volumen de la fregona.En la foto de la izquierda casi no se ve, pero está fregona está graduada por la parte de dentro del 1 al 12. (Si haces zoom en la pantalla, lo verás)¿Qué significa esa graduación?¿Estarán todas las rayas a la misma distancia unas de otras?Gradua un recipiente de forma de tronco de cono de las siguien-tes dimensiones:

Diámetro grande, 50 cm., diámetro pequeño, 20 cm., longitud lateral, 40 cm.

Cubo de Necker.Es éste uno de los ejemplos más típicos de ilusión óptica: unas veces veremos el cubo desde abajo y otras veces desde arriba.Más curioso aún es que si lo miramos du-rante un rato ambos puntos de vista se irán alternando cada pocos segundos. La explicación parece estribar en que nuestro pobre cerebro capta las dos posibilidades pero no es capaz de decidirse por ninguna de ellas, de modo que nos muestra las dos.

JUEGOS EN LA RED

12

http://www.jugarjuegos.com/juegos/java/wissetris3d/index.htm

13