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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
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CÁLCULO DE ESFUERZOS EFECTIVOS EN CÚPULAS DE MAMPOSTERÍAUTILIZANDO UNA ECUACIÓN CONSTITUTIVA MODIFICADA
Jesús Gerardo Valdés Vázquez1,Mabel Mendoza Perez1 y Alejandro Hernández Martínez1
RESUMEN
Este trabajo tiene como objetivo encontrar los esfuerzos efectivos en cúpulas de mampostería de estructurashistóricas. Lo anterior debido a la problemática encontrada en la práctica profesional, ya que al disponer desoftware comercial se recurre erróneamente modelos de plasticidad. Teniendo en cuenta que para el análisisde mamposterías lo más apropiado es utilizar modelos no-lineales de daño o fractura, en esta investigación sepresenta una nueva alternativa cuyos alcances consisten en proporcionar resultados correctos para el cálculode esfuerzos, teniendo presencia solo aquellos de compresión y eliminando o reduciendo de manera adecuadalos de tensión.
ABSTRACT
This work aims to find effective stresses in masonry domes of historic structures. This was due to theproblems encountered in professional practice since the available commercial software is used erroneouslywith plasticity models. Given that for the analysis of masonry is most appropriate to use nonlinear models ofdamage or fracture, this research presents a new alternative whose effects are to provide correct results for thecalculation of stresses, taking only those of compression and eliminating or reducing appropriately those withtension.
INTRODUCCIÓN
Tal como se menciona en el Diario Oficial de la Federación de 1972, existen edificios que son relativamentepoco significativos, pero son importantes ya que son testimonio histórico de la aptitud de los logros deingenieros y constructores de cada época. Por otro lado, los edificios históricos forman parte importante delpatrimonio cultural de los habitantes de una ciudad o un país y en muchas ocasiones se han convertido enatracción turística detonando la economía de dichos lugares, principalmente en el viejo continente. Por todo loanterior, es necesario conservar estos inmuebles aplicando técnicas adecuadas para su mantenimiento yrestauración, de acuerdo a lo establecido por la UNESCO en el año 2000.
Entre los diferentes factores que afectan un edificio histórico se encuentran: la degradación del material por elpaso del tiempo, eventos naturales con largos periodos de retorno, actividades del hombre como cambios deusos y remodelaciones, entre muchas otras. Por lo anterior, es necesario evaluar la seguridad estructural de losedificios históricos, no solamente por la conservación y preservación del mismo, sino por la seguridad eintegridad de las personas que lo usan o visitan.
Como parte fundamental del proceso para evaluar la seguridad de este tipo de estructuras es necesarioconocer su historia, incluyendo las fechas de construcción, origen de los materiales, motivaciones de laconstrucción, técnicas y sobretodo procesos constructivos, así como acciones extraordinarias a las que haestado sometida la estructura. Todo este conocimiento es de vital importancia para comprender mejor elcomportamiento de la estructura.
1 Profesor-Investigador, Departamento de Ingeniería Civil, División de Ingenierías, Campus Guanajuato,Universidad de Guanajuato. Avenida Juárez 77, Zona Centro. Teléfono: (473) 10 20 100 Ext. 2288;[email protected], [email protected] y [email protected]
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Otro paso importante previo al análisis estructural de un edificio histórico es realizar una inspección detalladade la estructura en su estado actual, ya sea mediante la observación directa o a través de ensayos in situ. Estainspección debe centrarse en el reconocimiento de deformaciones, grietas, pérdida de material, etc., así comode todos aquellos signos de degradación, tanto a nivel de material como a nivel de estructura.
Finalmente, el cálculo adecuado de monumentos históricos mediante un modelo computacional permiteconocer mejor su funcionamiento, así como predecir el comportamiento bajo diferentes acciones, perosobretodo definir la seguridad estructural de dichos monumentos [Oñate, 1995]. La elección del modelodepende de muchos factores, tales, como la motivación del análisis estructural, el tipo de material, lasacciones bajo las cuales se desea analizar, etc. [Oñate, E.; Hanganu, A.; Barbat, A.; Oller, S.; Vitaliani, R.;Saetta, A. y Scotta, R., 1997].
EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS
EQUILIBRIO DE FUERZAS
En el método de los elementos finitos, el principio básico consiste en igualar las fuerzas internas existentes enla estructura con las fuerzas externas presentes. La forma discretizada de las fuerzas externas consiste en
= + (1)
donde hace referencia a las fuerzas másicas y a las fuerzas de superficie. Por otro lado, las fuerzasinternas discretizadas se expresan por
= (2)
donde es el tensor de las derivadas de las funciones de forma doblemente contraído con el tensor de losesfuerzos . Usando la notación de Voigt se pueden transformar el algebra tensorial en algebra matricial. Ladiferencia entre cada instante de tiempo entre las fuerzas internas y las fuerzas externas da lugar al residuo, elcual se escribe como = − (3)
La derivada del residuo con respecto de los desplazamientos , que es nuestra variable primaria, da lugar a lamatriz tangente. Esta matriz es la encargada de asegurar la convergencia del problema en cada instante detiempo, lo cual en estructuras se representa por
= = ∙ ∙ (4)
mejor conocida como matriz de rigidez, donde es la ecuación constitutiva, la cual es la encargada derepresentar las propiedades del material en estudio, en este caso, mamposterías de cúpulas. De esta forma elequilibrio del problema se plantea de la siguiente forma∆ = − (5)
donde ∆ es el incremento de los desplazamientos en cada instante de tiempo. Hay que resaltar que paraproblemas lineales, la convergencia del problema está asegurada en solo una iteración, por lo que el
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incremento del desplazamiento ∆ se convierte en realidad en el desplazamiento buscado en ese paso detiempo.
MODIFICACION DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA
La parte sustancial de esta investigación consiste en encontrar una ecuación constitutiva modificada que al sermultiplicada por las deformaciones respectivas, de lugar a unos esfuerzos que tengan la característica de nosobrepasar cierto valor máximo de tensión. La forma de modificar dicha ecuación constitutiva es sencilla,razón por la cual es fácil de implementar dicha formulación. Nuestra idea sigue el trabajo desarrollado porValdés et al. (2009) donde se presenta la eliminación de las compresiones a estructuras de membrana.
Para cada tensor de esfuerzos , el primer paso consiste en encontrar sus esfuerzos principales, de maneraque se pueda construir un sistema de referencia tal y como se muestra en la figura 1, donde , ,representa los ejes globales de referencia del problema y ̅ , ̅ , ̅ representa los ejes principales del tensor deesfuerzos.
Figura 1 Ejes de Referencia y Ejes Principales del Tensor de Esfuerzos
El segundo paso consiste en construir la matriz de rotación base que nos permite pasar de ejes principales aejes globales, mediante la expresión que es función de los ejes , , y ̅ , ̅ , ̅ , de manera que
= (6)
El siguiente paso tiene como objetivo encontrar el tensor de transformación de esfuerzos de ejes principales aejes de referencia, lo cual viene dado por la expresión= (7)
que en notación de Voigt para esfuerzos es igual a= ∙(8)
donde es una matriz de rotación para esfuerzos función de la matriz de rotación base. De manera similar seencuentra el tensor de transformación de deformaciones, el cual es= ̅ (9)
que escrito mediante la notación de Voigt para deformaciones queda
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incremento del desplazamiento ∆ se convierte en realidad en el desplazamiento buscado en ese paso detiempo.
MODIFICACION DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA
La parte sustancial de esta investigación consiste en encontrar una ecuación constitutiva modificada que al sermultiplicada por las deformaciones respectivas, de lugar a unos esfuerzos que tengan la característica de nosobrepasar cierto valor máximo de tensión. La forma de modificar dicha ecuación constitutiva es sencilla,razón por la cual es fácil de implementar dicha formulación. Nuestra idea sigue el trabajo desarrollado porValdés et al. (2009) donde se presenta la eliminación de las compresiones a estructuras de membrana.
Para cada tensor de esfuerzos , el primer paso consiste en encontrar sus esfuerzos principales, de maneraque se pueda construir un sistema de referencia tal y como se muestra en la figura 1, donde , ,representa los ejes globales de referencia del problema y ̅ , ̅ , ̅ representa los ejes principales del tensor deesfuerzos.
Figura 1 Ejes de Referencia y Ejes Principales del Tensor de Esfuerzos
El segundo paso consiste en construir la matriz de rotación base que nos permite pasar de ejes principales aejes globales, mediante la expresión que es función de los ejes , , y ̅ , ̅ , ̅ , de manera que
= (6)
El siguiente paso tiene como objetivo encontrar el tensor de transformación de esfuerzos de ejes principales aejes de referencia, lo cual viene dado por la expresión= (7)
que en notación de Voigt para esfuerzos es igual a= ∙(8)
donde es una matriz de rotación para esfuerzos función de la matriz de rotación base. De manera similar seencuentra el tensor de transformación de deformaciones, el cual es= ̅ (9)
que escrito mediante la notación de Voigt para deformaciones queda
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incremento del desplazamiento ∆ se convierte en realidad en el desplazamiento buscado en ese paso detiempo.
MODIFICACION DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA
La parte sustancial de esta investigación consiste en encontrar una ecuación constitutiva modificada que al sermultiplicada por las deformaciones respectivas, de lugar a unos esfuerzos que tengan la característica de nosobrepasar cierto valor máximo de tensión. La forma de modificar dicha ecuación constitutiva es sencilla,razón por la cual es fácil de implementar dicha formulación. Nuestra idea sigue el trabajo desarrollado porValdés et al. (2009) donde se presenta la eliminación de las compresiones a estructuras de membrana.
Para cada tensor de esfuerzos , el primer paso consiste en encontrar sus esfuerzos principales, de maneraque se pueda construir un sistema de referencia tal y como se muestra en la figura 1, donde , ,representa los ejes globales de referencia del problema y ̅ , ̅ , ̅ representa los ejes principales del tensor deesfuerzos.
Figura 1 Ejes de Referencia y Ejes Principales del Tensor de Esfuerzos
El segundo paso consiste en construir la matriz de rotación base que nos permite pasar de ejes principales aejes globales, mediante la expresión que es función de los ejes , , y ̅ , ̅ , ̅ , de manera que
= (6)
El siguiente paso tiene como objetivo encontrar el tensor de transformación de esfuerzos de ejes principales aejes de referencia, lo cual viene dado por la expresión= (7)
que en notación de Voigt para esfuerzos es igual a= ∙(8)
donde es una matriz de rotación para esfuerzos función de la matriz de rotación base. De manera similar seencuentra el tensor de transformación de deformaciones, el cual es= ̅ (9)
que escrito mediante la notación de Voigt para deformaciones queda
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= ∙(10)
El procedimiento inverso para ir de esfuerzos globales a esfuerzos principales resulta de invertir la ecuación(8), la cual da como resultado = ∙ (11)
Sin embargo, se puede demostrar que = (12)
por lo que se puede realizar la misma operación que la indicada por la ecuación (11) de una manera muchomás sencilla, la cual es = ∙ (13)
De manera similar, se encuentra que = ∙ (14)
Con las ecuaciones de rotación tanto para esfuerzos como para deformaciones, se encuentra que para rotar laecuación constitutiva de ejes principales a ejes de referencia se multiplica= ∙ ∙ (15)
mientras que el procedimiento inverso resulta ser= ∙ ∙ (16)
Con las rotaciones de esfuerzos, deformaciones y de la ecuación constitutiva definidas, el siguiente paso essimplemente modificar adecuadamente esta última, lo cual se explica a continuación, mediante una serie depasos:
1. Encontrar el vector de los esfuerzos en el sistema global de referencia.2. Encontrar los esfuerzos principales así como sus respectivas direcciones principales.3. Construir las matrices de rotación σ y ε.
4. Rotar la ecuación constitutiva a direcciones principales usando = ε ∙ ∙ ε.5. Modificar la ecuación constitutiva por un factor reductivo de manera que el esfuerzo que el umbral
de daño no se sobrepase, con lo cual queda = .6. Encontrar una nueva ecuación constitutiva rotando la ecuación constitutiva modificada del
sistema de direcciones principales al sistema global multiplicando = ∙ ∙ .7. Finalmente encontrar los nuevos esfuerzos con = ∙
Con estas sencillas modificaciones a la ecuación constitutiva se obtienen esfuerzos que no sobrepasan elmáximo permitido por el material, además de asegurar una rápida convergencia usando la ecuaciónconstitutiva nueva para obtener la matriz tangente correspondiente.
APLICACIÓN A MONUMENTOS HISTÓRICOS
Con el fin de comparar los resultados de nuestro trabajo con los de una aplicación práctica real, se tomo comoejemplo el análisis estructural de la Catedral de Palma de Mallorca, España, la cual se muestra en la figura 2.
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Figura 2 Catedral Utilizada en el Análisis Estructural
Dicho trabajo fue realizado por el Dr. Roberto Clemente en el año 2007 cuando la obra presentaba variasfallas como el pandeo de columnas y la aparición de grietas en diferentes zonas de la estructura, como sepuede apreciar en la figura 3. Hay que resaltar que el trabajo del Dr. Clemente es mucho más amplio, sinembargo nos limitaremos en este trabajo a comparar soluciones de los procedimientos en común que tenganlos mismos alcances.
(a) (b)
Figura 3 Pandeo de Columnas (a) y Aparición de Grietas (b) en la Catedral
En su análisis estructural, el Dr. Clemente se utilizó un modelo de daño isótropo, mientras que en el nuestroaplicamos la ecuación constitutiva modificada explicada en el apartado anterior. En nuestro análisis se trabajócon una malla de elementos finitos no estructurada con 49,979 elementos tridimensionales de 4 nodos y14,689 nodos. Como se puede ver en la figura 3a, la planta de la Catedral es muy uniforme por lo que solouna parte de ella se utiliza para el análisis. El resto de las condiciones se pueden obtener por simetría, y altener nuestra zona en estudio dos planos de simetría, entonces basta con analizar un cuarto de la parte deinterés. En la figura 3b se observa como ya se ha intervenido la Catedral construyendo un muro tapón que noes parte de la estructura original, y que sin embargo, no ha ayudado en nada a su estabilidad.
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El primer análisis consistió en aplicar la carga de forma monótona paso a paso en 20 pasos a toda la estructurasin considerar el procedimiento constructivo. Lo anterior arrojó el resultado mostrado en la figura 4.
Figura 4 Zonas Dañadas Resultado del Análisis Estructural
Si bien en la figura 4 se observan zonas con daño correcto correspondientes con la figura 3b, el análisis nopresenta ningún problema en las columnas que en realidad están pandeadas como se muestra en la figura 3a.Por lo anterior, se repitió en análisis de la estructura con los mismos pasos de carga pero en esta ocasiónconsiderando dentro del análisis estructural, el procedimiento constructivo. Este nuevo análisis se muestra enla figura 5.
Figura 5 Zonas Dañadas Resultado del Análisis Estructural + Procedimiento Constructivo
En esta nuevo análisis se puede observar como tomando en cuenta el procedimiento constructivo de laestructura aparece el daño en las columnas por pandeo (figura 3a) así como el daño reportado en la figura 3b.Los mismos resultados vistos desde otro ángulo se presenta en la figura 6, donde se puede observar cómo sepresentan grietas también en las cúpulas, resultado clásico de fallas en este tipo de estructuras.
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Figura 6 Daño en las Cúpulas y Otras Zonas
En la figura 7 se presentan los resultados del trabajo del Dr. Clemente, donde se ha utilizado un modelo dedaño diferenciado para el análisis.
Figura 7 Resultados Utilizando un Modelo de Daño Diferenciado
Si comparamos directamente los resultados de la figura 6 con los de la figura 7, podemos observar ciertasdiferencia. Lo anterior se debe a varios factores que hay que tomar en cuenta antes de sacar conclusioneserrores. El postproceso de la figura 6 muestra solamente zonas donde se presentan grietas además que laspropiedades del material solo son modificadas al momento de tener daño a tensión. Por su parte, elpostproceso de la figura 7 muestra las zonas de daño, donde la ecuación constitutiva se ha modificado tantopara tensión como para compresión. Además, los resultados de la figura 7 muestran una escala progresiva dedaño, donde los colores más rojos es donde hay más daño y los colores menos rojizos presentan solamente unpoco de daño. Esto es una gran diferencia, ya que mientras que este último presenta por intensidades dondehay más o menos daño, en nuestra propuesta solamente se ve que partes están dañadas simplemente. Lomismo se puede hacer en nuestro trabajo, pero necesitamos trabajar un poco más en el postproceso deresultados.
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En la figura 7 también se puede apreciar un poco de daño en las cúpulas principales, mientras que en nuestromodelo no se presenta este fenómeno. Lo anterior es debido a que nuestro modelo solo afecta la partecorrespondiente de la ecuación constitutiva a tensión, mientras que el modelo de daño afecta la ecuaciónconstitutiva en su totalidad.
Por otro lado se analizan los esfuerzos principales de ambos análisis, resultando que los esfuerzos máximos detensión equivalen a 4.065x105 Pa. En la figura 8 se presenta dicha comparación. El análisis estático lineal sinutilizar la ecuación constitutiva modificada ni el modelo de daño arroja un esfuerzo máximo de tensiónequivalente a 9.993x105 Pa, el cual sobrepasa por mucho el valor máximo de tensión en la mampostería que esde 4.0x105 Pa.
(a) (b)
Figura 8 Esfuerzos Principales de Tensión con: (a) Ecuación Constitutiva Modificada y (b) Modelo deDaño
Finalmente, en la figura 9 se presentan los esfuerzos principales a compresión, resultando un máximo de5.629x106 Pa. En este caso, los esfuerzos máximos de compresión son prácticamente los mismos para laecuación constitutiva modificada, para el modelo de daño, así como para el análisis estático-lineal.
(a) (b)
Figura 9 Esfuerzos Principales de Compresión con: (a) Ecuación Constitutiva Modificada y (b)Modelo de Daño
Existen también otros resultados que son igualmente valiosos. En monumentos históricos donde elprocedimiento constructivo no dé lugar a daños importantes, se pueden buscar zonas de daño que de algunamanera puedan comprometer la estabilidad de la estructura. En la figura 10 se presenta este caso.
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Figura 10 Otras Zonas de Daño Importante
En la figura anterior se aprecia como casi en la unión de la bóveda con la columna existe una zona de dañoimportante. Este tipo de daño es muy común en muchas iglesias de nuestro país, lo que nos lleva a laconclusión de que existen esfuerzos de tensión debido a las deformaciones de la estructura en zonas donde sepensaba que existían esfuerzos de compresión que no comprometían en nada a la estructura.
CONCLUSIONES
En este trabajo se ha demostrado como el análisis estructural de monumentos históricos se puede llevar a cabode una manera sencilla, eficiente, rápida y fácil de implementar en un programa de elementos finitos basadoen la simple teoría sobre la modificación adecuada de la ecuación constitutiva. El problema estudiado dioexcelentes resultados comparados con aquellos que usando teorías mucho más complicadas y difíciles deimplementar se utilizaron en otros trabajos. Aunque queda mucho trabajo por hacer para lograr una adecuadalocalización de fisuras en el modelo, el trabajo presentado muestra un excelente inicio de partida con unfuturo prometedor.
REFERENCIAS
Clemente, R. (2007), "Análisis estructural de edificios históricos mediante modelos localizados defisuración", Tesis Doctoral, UPC, Barcelona, Espala.
Diario Oficial de la Federación (1972), "Ley Federal sobre monumentos y zonas arqueológicas, artísticase históricas", decreto emitido por el Congreso de Los Estados Unidos Mexicanos, publicado en el DiarioOficial de la Federación el 6 de mayo de 1972, versión publicada en la página Web: (www.inah.gob.mx)
Oñate, E. (1995), "Cálculo de Estructuras por el Método de los Elementos Finitos. Análisis EstáticoLineal", Segunda Edición. CIMNE. Barcelona, España.
Oñate, E., Hanganu, A., Barbat, A., Oller, S., Vitaliani, R., Saetta, A. y Scotta, R. (1997), "Structuralanalysis and durability assessment of historical construction using a finite element damage model.Structural Analysis of Historical Construction", Editado por P. Roca, J. L. González, A. R. Mari y E.Oñate, CIMNE, Barcelona, España.
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UNESCO (2000), "Principios para la conservación y restauración del patrimonio edificado", Carta deCracovia, Cracovia.
Valdes, J.G. (2009) "Nonlinear finite element analysis of orthotropic and prestressed membranestructures", Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 45, pp. 395-405.
