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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
EFECTO DE LA DIFRACCIÓN DE ONDAS DEBIDAS A LA TOPOGRAFÍA
EN LA RESPUESTA DINÁMICA DE PUENTES
Luciano Roberto Fernández Sola1 , Raúl Sánchez García
1 y José Antonio López Meza
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RESUMEN
En el análisis de la respuesta dinámica de puentes de grandes claros ante movimientos sísmicos, es de vital
importancia estudiar la influencia de la variación de las excitaciones sísmicas que se introducen en cada uno
de los apoyos, debido a las condiciones topográficas. El presente trabajo presenta un análisis de los efectos de
dichas variaciones en la respuesta dinámica de un puente utilizando un modelo matemático que toma en
cuenta la difracción de ondas SH producidas por la presencia de un valle semicircular y las diferentes
excitaciones sísmicas en distintos puntos del puente. La respuesta del puente es estimada con un modelo de
elemento finito.
ABSTRACT
In the dynamic response of long-span bridges under seismic actions, the influence of differences in motion in
the supports due to topography on the structural behavior is of primary importance. In this work, an analysis
of such effects on the dynamic response of a bridge is studied. An analytical model to estimate the
modification of motion due to wave diffraction through a semi cylindrically canyon is used. Bridge response
is estimated with a finite element model.
INTRODUCCIÓN
En el análisis y diseño de estructuras típicas sujetas a excitaciones sísmicas en sus apoyos, tales como
edificios, los ingenieros generalmente asumen que el mismo movimiento del terreno actúa simultáneamente
en todos los apoyos de la estructura. Esta suposición es válida cuando las estructuras están cimentadas en el
mismo tipo de suelo y las dimensiones estructurales son mucho más cortas que la longitud de onda de una
típica onda sísmica. Sin embargo, esta hipótesis es inválida para la mayoría de estructuras donde sus apoyos
estén muy espaciados o no necesariamente estén cimentados en un mismo tipo de suelo, como pudieran ser
los puentes de gran claro, en los cuales los apoyos estarán expuestos a diferentes movimientos del terreno.
Incluso si los apoyos estuvieran en un mismo tipo de suelo, los movimientos del terreno tendrían una
diferencia de fase en sus diferentes apoyos debido al efecto de la propagación de ondas sísmicas en el tiempo
como en el espacio (Nazmy y Abdel-Ghaffar, 1992). Por otra parte también debe considerarse el efecto de la
difracción de las ondas debida a la presencia de accidentes topográficos, como es el caso de barrancas o
cañadas. Además, los movimientos del terreno también dependen de los ángulos de incidencia y los diferentes
patrones de viaje de las ondas sísmicas.
CASO DE ESTUDIO
En este estudio se presenta el caso de un puente el cuál por sus características, y dado lo anterior, debe ser
tratado como un caso de “excitaciones múltiples en apoyos” (o sus siglas en inglés, MSE), en el cual los
movimientos del terreno en cada apoyo difieren uno de otro.
1 Instituto de Ingeniería UNAM, Circuito escolar, Ciudad Universitaria, CP 04510, México D.F
XVII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural León, Guanajuato 2010.
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El modelo matemático del caso estudio, el cual será tratado más adelante, fue realizado en el programa de
elemento finito SAP2000 v.12 (2008).
Para el análisis, el programa SAP2000 separa el subsistema del puente en los grados de libertad
correspondientes a la superestructura y los correspondientes a los apoyos, por lo que las ecuaciones dinámicas
del puente sujeto a movimientos del terreno pueden ser expresadas como (Chopra 1995, Hao 1989, Xia et al.
2006):
(1)
donde m, c y k representan las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez del puente respectivamente; , y los vectores de aceleración, velocidad y desplazamiento del puente, los subíndices gg y g representan a los
apoyos y la parte de interacción respectivamente; es el vector de fuerzas de reacción de la parte de soporte
u apoyos.
Mientras que los movimientos del terreno en los apoyos deben ser especificados, es deseado determinar los
desplazamientos de los grados de libertad correspondientes a la superestructura y las fuerzas en los apoyos
. Para ello es necesario escribir las ecuaciones que gobiernan el caso de estudio de una manera más
simplificada tomando en cuenta el caso de que se presenta una sola excitación en los apoyos, por lo que
separando los desplazamientos en dos partes tenemos,
(2)
donde, es el vector de desplazamientos del puente debido a la aplicación estática de los desplazamientos
previstos en cada instante de tiempo. Los dos se relacionan a través de:
(3)
donde son las fuerzas necesarias en los apoyos para imponer estáticamente los desplazamientos , los
cuales varían con el tiempo, por lo que, varia con el tiempo y por lo tanto se conoce como el vector de
desplazamientos pseudo-estáticos. El resto de los desplazamientos son conocidos como desplazamientos
dinámicos ya que es necesario un análisis dinámico para evaluarlos.
Con el total de los desplazamientos estructurales divididos en pseudo-estáticos y dinámicos (ecuación 2),
regresamos a la ecuación 1:
(4)
Sustituyendo 2 en 4 tenemos:
(5)
donde el vector de fuerzas sísmicas efectivas es:
(6)
Este vector de fuerzas efectivas puede ser reescrito en una forma más simplificada, y de acuerdo a la ecuación
3, tenemos que:
(7)
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Esta relación permite expresar los desplazamientos pseudo-estáticos en términos de los desplazamientos
especificados de los apoyos
(8)
donde, es la matriz de influencia porque describe la influencia de los desplazamientos de los apoyos en los
desplazamientos estructurales de cada grado de libertad de la superestructura.
MODELO
La geometría del modelo considerado en este estudio se basa en la configuración de un tipo de puente como el
que se muestra en la figura 1. Una condición importante en este estudio es que se modeló el abismo a salvar
como un cañón semicircular. En la figura 3 se muestra la geometría del modelo.
El modelo consta de un claro central de 170 m con dos claros laterales de 35 m cada uno. La subestructura
está conformada por dos pilas rectangulares huecas de concreto de 85 m de altura y estribos en los extremos.
Para el tablero se utilizó una sección equivalente a la de un cajón de acero estructural con piso ortotrópico
como el que se muestra en la figura 2. La velocidad de propagación de ondas de cortante en el suelo se
consideró de = 1000 m/s.
Figura 1. Puente tipo
Figura 2. Secciones transversales (pilas y tablero respectivamente)
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Figura 3. Modelo analítico
DINÁMICA DEL SUELO
Se plantea un sistema de un cañón semicilíndrico, rodeado por un medio con velocidad de las ondas S y
densidad ( y , respectivamente sujetos a la incidencia de ondas planas SH.
Figura 4. Representación gráfica del modelo
En la figura 4 se muestra este modelo. Ahí se define como el ángulo de incidencia, con respecto a la
horizontal, del frente de ondas, y r son las coordenadas cilíndricas que definen el punto donde se quiere
estimar el movimiento, r0 es el radio del cañón y E es el semiespacio elástico.
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Y SOLUCIÓN
Para definir las historias de desplazamiento a las que estarán sujetos los distintos apoyos del puente, se utilizó
una solución analítica para cañones semicirculares. La solución se obtiene en el dominio de la frecuencia
pues la excitación es armónica. Ésta solución se basa en el método de separación de variables y se expresa
mediante funciones de Bessel. Éste acercamiento ha sido previamente utilizada por Fernández y Sánchez-
Sesma (2007) para una configuración de estratos semicilíndricos.
En primera instancia se establece un campo de desplazamiento en el semiespacio tal como se define en la
ecuación 9:
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(9)
donde es el campo de desplazamiento total sin inclusión constituido por (campo incidente) y
(campo reflejado). En estas expresiones = frecuencia angular, = número de onda de las ondas S.
Se ha omitido aquí y en toda la secuencia el factor común . Haciendo el cambio al sistema de
coordenadas cilíndricas se tiene:
(10)
Utilizando la expansión de Neumann se puede expresar la solución haciéndola depender de funciones
especiales (Funciones de Bessel):
(11)
donde m = Coeficiente de Neumann, 1 para m=1 y 2 para m=2, 3, 4 ... , mJ =Función de Bessel de orden m.
Con esta notación se puede expresar el campo difractado por la presencia del cañón semicircular como:
(12)
Con lo que se define el campo total de desplazamiento en el semiespacio:
(13)
Estableciendo que los esfuerzos en la superficie deben valer cero, se encuentra la ecuación 14.
(14)
en donde:
es la amplitud del campo de ondas incidente
es el coeficiente de amplitud del movimiento en el semiespacio
y
son las derivadas de las funciones de Bessel
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Figura 5. Posición de los receptores
Figura 6. Funciones de transferencia en varios receptores para distintos ángulos de incidencia
Definiendo el valor de es posible conocer el desplazamiento al que está sometido algún punto del sistema
sustituyendo las coordenadas del punto en la ecuación 13.
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Si se repite el proceso para distintas frecuencias, se puede establecer la función de transferencia del sistema en
la posición deseada. Con las funciones de transferencia, sometiendo el sistema a una excitación establecida y
mediante la FFT (Fast Fourier Transform) se puede obtener la respuesta en el dominio del tiempo.
Se calcularon las funciones de transferencia para cinco receptores ubicados en la superficie libre del cañón en
distintas posiciones ( = 0°, 45°, 90°, 135° y 180°), como se muestra en la figura 5. Las gráficas de las
funciones de transferencia se presentan en la figura 6.
Es posible observar como el movimiento sufre cambios significativos por la presencia del cañón, no solo en
términos del desfase en el tiempo, sino que también en la amplitud de los desplazamientos. Se puede notar
cómo, para el caso de un ángulo de incidencia , la amplificación del movimiento en el receptor
correspondiente a es significativa, mientras que para el receptor correspondiente a existe
una gran reducción, debido a la difracción que produce la presencia de un valle. Esto pone de manifiesto que
efectivamente, no es suficiente con considerar únicamente el desfase en el tiempo, ya que la mayoría de los
puentes son utilizados para salvar accidentes topográficos.
Incluso para el caso de la incidencia vertical de las ondas SH ( ), existe diferencia entre el
movimiento en los receptores correspondientes a los estribos ( y ) y el movimiento en los
puntos en donde van desplantadas las pilas del puente ( y ), aunque es el caso en el que se
podría suponer que la excitación en todos los apoyos es la misma.
MODELO DE ELEMENTO FINITO
El modelo de elemento finito del puente fue desarrollado en el programa SAP2000 utilizando elementos tipo
barra para modelar el tablero y las pilas. La restricción en la base de las pilas se consideró como apoyo
empotrado, mientras que en los estribos como simplemente apoyado. La conexión entre pilas y tablero se
consideró como una conexión rígida. En la figura 7 se muestra el modelo de elemento finito del puente.
En el programa SAP2000 no se emplean directamente los acelerogramas en los diferentes apoyos para
efectuar análisis dinámicos paso a paso, por lo que en este estudio se utilizaron historias de desplazamientos
para cada apoyo, las cuales son introducidas al programa como registros o funciones en el tiempo, estas
historias de desplazamiento actúan como multiplicadores de desplazamientos unitarios asignados en patrones
de carga del modelo. En cada nodo de apoyo se colocaron desplazamientos unitarios de manera independiente
y perpendicular al plano longitudinal para definir un movimiento fuera de ese plano.
Una vez terminado el análisis, se puede obtener historias de desplazamiento para cualquier nodo de la
estructura.
Figura 7. Modelo de elemento finito del puente
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EXCITACIÓN APLICADA
Debido a que una gran cantidad de puentes se encuentran cerca de la zona sismogénica de la costa del
Pacífico, se decidió utilizar un sismo registrado en el municipio de Huatulco en el estado de Oaxaca (BMDSF
2001). Como ya se mencionó anteriormente, el programa en el que se realizó el análisis (SAP2000) solo
permite realizar un análisis multisoporte introduciendo como excitación en cada uno de los nodos una historia
de desplazamiento, por lo que se realizó el cálculo de desplazamientos mediante la doble integración del
acelerograma considerado (figura 8a) con un programa de análisis de señales (DEGTRA A4), obteniendo
como resultado la historia de desplazamientos mostrada en la figura 8b.
(a) (b)
Figura 8. Historia de aceleración y desplazamiento utilizadas como excitación
Para calcular los desplazamientos que se introducirán en cada uno de los soportes de modelo, se utilizó la
técnica de la transformada rápida de Fourier (FFT) para combinar las funciones de transferencia previamente
calculadas con el desplazamiento definido. Como resultado de este procedimiento se obtienen las historias de
desplazamiento para cada receptor. En la figura 9 se muestran las historias de desplazamientos en los distintos
receptores para dos ángulos de incidencia ( y ).
Figura 9. Historias de desplazamiento en distintos puntos del caños para dos ángulos de incidencia
( y )
En el caso de un ángulo de incidencia se aprecia claramente como el movimiento en los receptores
correspondientes al lado derecho, después del valle ( y ) sufre una reducción importante en
relación a los receptores correspondientes al lado izquierdo, antes del valle ( y ). Para el caso
de la incidencia vertical ( ), el movimiento en los cuatro puntos es muy similar, manifestando
únicamente una muy pequeña amplificación del movimiento para los receptores correspondientes a las
esquinas del cañón ( y ) calculadas con el desplazamiento definido.
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RESULTADOS
Para definir la influencia de la topografía y el ángulo de incidencia del tren de ondas en la respuesta dinámica
del puente se analizaron dos tipos de resultados. En primera instancia se presenta la historia de
desplazamientos del centro del tablero del claro central normalizada respecto al desplazamiento máximo para
el caso de un ángulo de incidencia . En la figura 10 se muestra esta respuesta para dos distintos
ángulos de incidencia ( y ).
En la parte superior de la figura se presenta la historia de desplazamientos completa, mientras que en la parte
inferior se muestra solamente una parte, con la finalidad de observar mejor los efectos.
Es claro que la respuesta del puente se encuentra gobernada principalmente por sus propiedades dinámicas,
haciendo que la historia de desplazamientos para ambos ángulos de incidencia sea muy similar. Las
diferencias estriban básicamente, en primera instancia, en un pequeño desfase entre ambas señales, debido a
que para el caso de la incidencia horizontal ( ) el tren de ondas arriba antes al primer apoyo en relación
al caso de incidencia vertical ( ).
Por otra parte, existe una mayor amplitud en la respuesta para el caso de , lo cuál se puede deber a
que la energía introducida para este caso es mayor, ya que los desplazamientos en la base de las columnas
sufren una reducción muy pequeña debido a la presencia del cañón, en tanto que para el caso de , el
movimiento en la base de la columna de la derecha se ve reducido, además que el desfase del movimiento en
los apoyos produce una reducción en el desplazamiento total.
Dado que el desplazamiento total de la estructura no define completamente el nivel de esfuerzos que ésta
puede desarrollar, se presenta también el análisis de las distorsiones que sufren los principales elementos del
puente (tablero del claro central y ambas pilas).
En la figura 11 se muestran las historias de distorsiones en el tablero del claro central, para todos los ángulos
de incidencia analizados. Nuevamente en la parte superior se presenta la historia completa, mientras que en la
parte inferior se muestra solamente la parte de mayores distorsiones.
Aquí se observa como para el caso de incidencia vertical ( ) la distorsión del tablero es cero, lo cual
pone de manifiesto que los elementos que constituyen el tablero no sufrirán esfuerzos debidos al movimiento
en la base. Se puede observar como a medida que el ángulo de incidencia es menor, y por lo tanto el
movimiento en los apoyos más distinto, la distorsión del tablero del claro central crece.
Este efecto pone de manifiesto que a medida que el desplazamiento en los apoyos es más distinto, el tablero
correspondiente al claro central estará sujeto a mayores niveles de trabajo. Las diferencias del movimiento en
este caso se deben tanto a los distintos tiempos de arribo como a la presencia del cañón semicircular.
También se analizan las distorsiones que sufren ambas pilas para los distintos ángulos de incidencia. En la
figura 12 se muestran las historias de distorsión para la pila izquierda. Para este elemento se puede notar que
las distorsiones que sufre no varían tanto con respecto al ángulo de incidencia del tren de ondas. Las mayores
variaciones se presentan sólo en algunos ciclos, mostrando que para el caso de incidencia vertical, se
producen los mayores valores de distorsión en dichos tiempos.
Aquí se puede mostrar que la influencia del movimiento introducido en la base de la otra pila no es muy
significativa, poniendo de manifiesto que el trabajo que deberá desarrollar el elemento depende básicamente
de la naturaleza del movimiento al que este sujeto en su base.
En la figura 13 se muestran las distorsiones a las que está sujeta la pila de la derecha. En este caso se puede
apreciar que las gráficas de distorsiones presentan una mayor variación, de acuerdo con el ángulo de
incidencia del tren de ondas, con respecto a la pila de la izquierda.
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Figura 10. Desplazamientos en el centro del claro para dos ángulos de incidencia
( y )
Figura 11. Distorsiones en el tablero del claro central para distintos ángulos de incidencia
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Figura 12. Distorsiones en la pila de la izquierda para distintos ángulos de incidencia
En principio se manifiesta un desfase en las historias de distorsión mucho más evidente que para el caso
anterior, debido a que el punto en donde se desplanta esta pila se encuentra más alejado del lugar de arribo de
las ondas. En el caso que solamente se considerara el efecto del distinto tiempo de arribo de las ondas a los
distintos apoyos, las historias de distorsiones en ambas columnas presentarían solamente una influencia en el
desfase. En este caso, cuando se analiza la distorsión de la columna de la derecha, es claro cómo la presencia
del caño introduce una disminución en el movimiento de la base.
A medida que la incidencia del tren de ondas es más horizontal, la disminución del movimiento en la base de
la pila de la izquierda es mayor. La respuesta de la parte superior de la pila está fuertemente influida por la
dinámica propia del puente, como ya se ha mencionado antes. Al momento de calcular las distorsiones, se
muestra cómo a medida que el movimiento en la base es menor, la distorsión total del elemento crece, como
es el caso de incidencia horizontal.
Para el caso de la incidencia vertical, se observa cómo las distorsiones de la pila disminuyen, debido a que el
movimiento en la base de la pila es mayor. Este efecto muestra que en una estructura con movimientos
distintos en sus apoyos, a medida que uno de los apoyos se mueve menos, el elemento conectado a este sufrirá
mayores distorsiones. Esto se traduce en que a medida que un accidente topográfico funciona como barrera
física para la propagación de ondas, es posible que se afecte de una mayor manera al elemento apoyado en la
parte protegida del valle.
En la figura 14 se presenta la comparación de las historias de distorsión de las pilas para distintos ángulos de
incidencia ( , 30°, 60° y 90°). Se puede observar cómo las distorsiones en ambas columnas son
distintas cuando el ángulo de incidencia es distinto a 90°. A medida que el ángulo de incidencia decrece, la
diferencia de la respuesta de ambas pilas es mayor, presentando alternancia en la presencia de los valores
máximos.
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Figura 13. Distorsiones en la pila de la derecha para distintos ángulos de incidencia
Figura 14. Comparación de las distorsiones en las pilas derecha e izquierda para distintos ángulos de incidencia
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Es claro que el ángulo de incidencia del tren de ondas tiene una influencia muy importante en la respuesta
dinámica de estructuras de gran claro que libran algún accidente topográfico. Tanto los distintos tiempos de
arribo, como la modificación del movimiento producto de la difracción de ondas debida a la presencia del
cañón, producen que la respuesta estructural del puente sea distinta.
Se puede apreciar que, aunque la respuesta general de la estructura está gobernada por las propiedades
dinámicas de la misma, las distorsiones de sus principales elementos se ven afectadas de manera importante
por la diferencia de los movimientos en los soportes.
CONCLUSIONES
La variación espacial en el movimiento sobre la superficie del terreno puede ser significativa. Esto depende
de la distancia entre los apoyos, así como de las condiciones estratográficas y topográficas del sitio. Para el
caso de estructuras de gran claro, el efecto debe ser tomado en cuenta al analizar su comportamiento sísmico.
Los códigos de diseño actuales no incluyen factores que, de manera directa o indirecta, tomen en cuenta este
fenómeno.
El desfase del sismo depende del ángulo de incidencia en la estructura y de la velocidad aparente de
propagación de las ondas del mismo. La amplitud y contenido de frecuencias del mismo se puede ver afectada
por la presencia de accidentes topográficos que funcionen como difractores.
En este trabajo se demuestra que el ángulo de incidencia del tren de ondas tiene una influencia muy
importante en la respuesta dinámica de estructuras de gran claro que libran algún accidente topográfico. En
términos del desplazamiento total que sufre la estructura la influencia no es tan notoria ya que la respuesta
general de la estructura está gobernada por las propiedades dinámicas de la misma.
Por otro lado, las distorsiones que sufren los distintos elementos que constituyen al puente se ven afectadas de
manera mucho más importante por la modificación del movimiento. A medida que los desplazamientos a los
que están sujetos los apoyos son más distintos entre sí, las distorsiones de los elementos que se encuentran
directamente ligados con ambos apoyos crecen, como es el caso de los elementos horizontales.
En cuanto a las distorsiones en las pilas, como éstas dependen tanto del movimiento en la base como de la
respuesta de la estructura, se muestra que en algunos casos, la atenuación de la excitación debida a la
presencia de un accidente topográfico, puede incluso generar mayores distorsiones en la pila que se apoya en
el lugar de menor desplazamiento.
Este trabajo es un análisis somero de la influencia de los efectos topográficos en la respuesta dinámica de
estructuras de gran claro, para un caso sencillo. Aún falta considerar distintas condiciones topográficas,
distintas componentes de desplazamiento y el efecto de medios estratificados en conjunto con accidentes
topográficos.
AGRADECIMIENTOS
Se agradece al Instituto de Ingeniería de la UNAM el apoyo para la realización de este trabajo y al Dr. Juan
José Pérez Gavilán por sus valiosos comentarios.
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