Sólidos

Sustancias Macroscópicas = Agregación de muchos átomos.

La materia macroscópica, puede existir en diferentes “estados” o “fases”, dependiendo de la temperatura y de la intensidad de la interacción entre los átomos.

Los estados difieren en sus propiedades mecánicas y térmicas:

PLASMA: Es un gas de iones y electrones que se da a muy altas temperaturas.

GAS: La distancia promedio entre los átomos(o moléculas) es mucho mayor que los tamaños atómicos.

• La energía potencial es mucho menor que la cinética.

• Los átomos se mueven casi libremente, pues se dan colisiones(pocas).

• La interacción con la radiación se puede estudiar de la misma forma en que se hace con átomos o moléculas libres, por lo cual los espectros de absorción y emisión son discretos.

LÍQUIDOS: Los átomos o moléculas están lo suficientemente cercanos entre sí para que temporalmente se formen enlaces entre ellos. Estos enlaces se rompen por los movimientos térmicos. Sus espectros son continuos.

T

Plasma

Gases

Líquidos

Sólidos

230 10AN N∼ ∼

Existe un balance entre la energía cinética y las fuerzas intermoleculares.

SÓLIDOS: Los átomos mantienen los mismo vecinos y se arreglan en una forma regular y (casi)estable que minimiza la energía total. Los sólidos tienen un espectro de emisión y absorción continuo.

SÓLIDOS

Cristalinos: Son moléculas gigantescas, con átomos fijos en posiciones bien definidas y distribuidas en forma periódica. De este orden se logra una minimización de la energía del sistema; al igual que cuando se forman moléculas de pocos átomos:

Amorfos: Se asemejan a los líquidos con viscosidad extremadamente grande, dado que no son estables y fluyen muy lentamente, en escalas de tiempo de cientos de años(como el vidrio). Existe un cierto orden regular en sus átomos constituyentes, pero de corta distancia. Pueden formarse a partir de líquidos congelados muy rápidamente, que no alcancen a formar estructuras cristalinas estables. 0

MINiTot Tot i

E r E r ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

→

1 0r ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 0r ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

0ir ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Tipos de Enlaces en una red Cristalina.

Enlace Iónico. Por ejemplo la sal común NaCl.

La atracción se da entre los iones opuestamente cargados:

Enlace Covalente. Por ejemplo el Silicio Sólido.

La atracción se da a través de los electrones de valencia compartidos entre los átomos vecinos:

Enlace Metálico. Por ejemplo el sodio(Na) metálico, el Magnesio (Mg), etc.

Las fuerzas de interacción se dan entre los iones(núcleos) y los electrones libres, que se encuentran distribuidos por todo el material:

Teoría de BANDAS.

Ella explica la diferencia en la conductividad eléctrica de los sólidos y la formación de la red cristalina, en términos de las propiedades de sus átomos constituyentes.

Estudiemos como se modifican los niveles energéticos de los átomos cuando ellos se juntan al formar un sólido.

Cuando los átomos están muy separados, no interaccionan entre si y mantienen sus propios niveles de energía, como si fueran átomos libres.

1S

2S2P

3S

3P

FUNCIONES DE ONDAELECTRÓNICAS

ENERGÍAPOTENCIAL

NIVELES DE ENERGÍA DE CADA

ÁTOMO.

ESTADOBASE(1S)

¿Qué pasa cuándo los átomos se acercan? Los electrones de cada átomo comienzan a interactuar con los de los otros átomos y cambian sus niveles de energía:

Cuando el número de átomos por unidad de volumen se compara al número de Avogadro, los niveles se hacen pseudocontinuos y se reagrupan en bandas.

N

3 pE

3 p iE + ∆

3 1pE − ∆

3 3pE − ∆3 p kE ∆

3 p kE ± ∆

Energía potencialde interacción entreElectrón y atomos vecinos

230 310A

atomoN Nm

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∼ ∼

Así mismo, cada nivel atómico forma su BANDA de energías en un sólido.

Los electrones de las bandas, pertenecen a todos los átomos de la red (la función de onda está extendida).

Cuando las bandas son muy estrechas, los electrones están más bien localizados en sus propios átomos.

Estados electrónicos disponibles en Bandas.

N atomos interactuantesen un solido N atomos libres

1s

2s

2 p

3s

3p

Ocupación electronica en Bandas.

Ocupación de Bandas en Sodio (Na):

Estadosdesponibles

Número de electrónes

Subcapa Semillena

Subcapa llena

Subcapa llena

Subcapa llena

Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)

Conductividad eléctrica Los electrones en un sólido pueden responder al campo eléctrico E externo y aumentar su energía cinética, moviéndose en la dirección opuesta al campo.

La corriente I, se debe al movimiento de los electrones y se define su dirección como la contraria a la que efectivamente tienen las cargas eléctricas (electrones).

Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan

gE

gE

pequeño

0T =

Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan

gE

gE

pequeño

Conducción Eléctrica en Sólidos (Teoría de Bandas)

Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan

gE

Terminología usada

Banda de Conducción (BC)

Banda no totalmente llena.

Banda de Valencia (BV)

Banda superior

(energéticamente)

con electrones.

Observación:

En los conductoresla BC y la BV son equivalentes.

gE

pequeño

Electrones en un Conductor.

Hay muchos estados disponibles en la Banda de Conducción (BC) para que los electrones puedan aumentar su energía cinética y moverse, como un gas de electrones libres.

Los electrones en la BC pueden tratarse como un gas de Fermiones libres libres, descritos por la estadística de Fermi-Dirac:

1 1

exp 1 exp 1iFD

i i FFD

B B

f EE E EC k T k T

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =−+ +

exp FFD

B

EC k T⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= −con

En que fFD es el número promedio de partículas por estado con energía E a temperatura T.

BC

Electrones en un Conductor.

Hay muchos estados disponibles en la Banda de Conducción (BC) para que los electrones puedan aumentar su energía cinética y moverse, como un gas de electrones libres.

Los electrones en la BC pueden tratarse como un gas de Fermiones libres libres, descritos por la estadística de Fermi-Dirac:

1

1FD

F

B

fE E

exp k T

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

=−

+

En que fFD es el número promedio de partículas por estado con energía E a temperatura T.

BC

1

El Principio de Exclusión impone:

Energía de Fermi depende del número de partículas del sistema.

¿Cuál es el significado físico de EF? Esto se aclara a temperatura T=0:

1FDf E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≤

FE

0

0

1 1 111

0

1 1 011

0

FD F TF

B

FD F TF

B

f E E expE Eexp

k T

f E E expE Eexp

k T

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

=

=

< = = =−∞ +− −

+× →

> = = =+∞ ++ −

+× →

BC Los estados disponibles son llenados con electrones.

Como llenar un vaso de agua.

Más particulas

FEpartN

Más particulas

FE

partN

Más particulas

FE

partN

Energía de Fermi de los electrones libres.

La energía de Fermi se determina por el número de electrones totales en el sistema(Banda):

partest FN E N⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

FE E<Número de estados con Número total de electrones.

A T=0, todos los estados con energía menor a la de Fermi están ocupados.

Encontremos el número de los estados con energias menore que estN E⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

E

La aproximación estándar es considerar

electrones en una caja tridimensional de LxLxL.

Los electrones en una caja se comportan como

ondas estacionarias, cuyos nodos se

localizan en las paredes:

El momento p de los electrones se encuentra cuantizado:

x x x

y y y

z z z

p k nLp k nLp k nL

π

π

π

= =

= =

= =

22

L n

k

λ

πλ

=

=k nL

π=

Cada estado electrónico queda caracterizado por tres números (cuánticos) enteros

y además por dos posibilidades para la orientación de spín

La energía de cada estado está dada por:

( ), ,x y zn n n

12zS = ±

2 2 22 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 2

zx yzx y

e e e e

p p ppE n n n Rm m m L m Lπ π⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

+ += = = + + =2

2 22 em L ER

π=

El número de estados electrónicos con energía menor que un valor dado E

R

xn

yn

zn

22 2

2 e Em Lπ

=

El número de los puntos al interior del octante positivo del radio R

( ) =estN E

Como cada punto está asociado a un volumen igual a 1, el numero de estados será aproximadamente igual al volumen del octante de radio R, (multiplicado por 2, dado que hay dos estados de spin):

3 323 23 3

1 4 12 28 3 3ππ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝ ⎠

= × × =est eVN E R m E

3 32 23 3

1 23 π⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠=est e

VN E m E

La energía de Fermi se determina por la condición que hay N electrones en total:

22 32323 2part

F e

NE Vmπ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= partest FN E N

Energía de un gas de electrones a Temperatura T=0.

La energía de un Gas de Fermi ( ) a T=0 (Energía de punto cero) ese−

O bien:

´ 3 12 2´0 3 3

0 0 0 03 52 2

3 3

( ) ( ) 1 22

1 25

F F F

part est

Fest

EE E ETot

e

e F

E E dN dEdEVE E dN E dN E E m E dE

Vm E

π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

== ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

=

∫ ∫ ∫ ∫

´035

TotFE NE=

Cada estado esta ocupado por un electrón

22 32323 2F eNE Vmπ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

La energía cinética promedio por electrón sería:

´0´0

35

Tot

FEE EN= =

El movimiento de los electrones a T=0 se denomina “Movimiento de Fermi”.

Un ejemplo es la plata (Ag) cuya densidad electrónica es:

28 35,8 10N mV⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

−≈ ×

Ha de tener:

´05,4 3,24FE eV E eV⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= → =

La diferencia energética debida a movimiento térmico de un gas ideal clásico a 300[ºK] con la de un gas de electrones a T=0, es de varios ordenes de magnitud:

´03 0,038 3,242T BE k T eV E eV⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= = =

En el gas de electrones de un metal, los efectos térmicos son pequeños. Entonces, el modelo de gas electrónico a T=0 es una muy buena aproximación para las temperaturs T>0 hasta el puntode fusión.

Juntura Metal-Metal.

Al juntar dos metales aparece difusión de electrones:

La función de trabajo es la energía mínima para liberar un electrón.

1 2Φ Φ

Juntura Metal-Metal.

En la superficie de contacto se acumulan cargas positivas y negativas(superficie dipolar). Aparece el potencial de contacto

1 2F C FE eV E+ =La difusión se termina cuando

+

+

++

−−

−−

E 2 1 1 2C F FeV E E= − = Φ −Φ

CV

Energía mínima de los estados disponibles en 1

Energía máxiamade electrones en 2

1 2F F CE E eV= −

Cuando los materiales se unen (juntura), los niveles de Fermi se igualan a un valor común.

Energía máximade electrones en 1 en 2Energia de Ferm

1F FE E=

i

Semiconductores (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan

gE

gE

pequeño

0T =

Semiconductores (Teoría de Bandas)Teoría de Bandas Los electrones pueden aumentar su energía solo si se encuentran disponibles(desocupados) estados de energía superior dentro de la banda que ellos ocupan

gE

gE

pequeño

Semiconductores:

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

1t

2t

3t

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

¿Qué significado tiene el movimiento de los huecos?

Es el movimiento de los electrones, del “mar de electrones” en la dirección opuesta, al ir ocupando sucesivamente los huecos (vacancias)

E

e−

Semiconductores:

Tipos de Semiconductores.

Semiconductores Intrínsecos (puros):

Ejemplos son el Silicio y el Germanio, cuyos gap energéticos son de 1,14 y 0,67[eV] respectivamente:

he intnn n= =0T >

B.C.

B.V.

ne

nh

Tipos de Semiconductores.

Semiconductores Extrínsecos (dopados):

El dopamiento consiste en agregar pequeñas cantidades de impurezas. Con lo cual se consigue controlar la conductividad del material.

Semiconductores tipo n impurezas donadoras de electrones, tales como los elementos del grupo V (As, P, Sb,...).

he intnn n> =

B.C.

B.V.

ne

nh

Semiconductores tipo p impurezas aceptoras de electrones, tales como los elementos del grupo IV (B, Ga, In,...).

eh intnn n> =

B.C.

B.V.

ne

nh

Juntura semiconductor tipo n con semiconductor tipo pVista Simplificada:

Hay una diferencia en las concentraciones de electrones y huecos a los lados de la juntura; causando DIFUSIÓN de portadores de carga.

CVAparece el potencial de contacto

Diodo: Vista Simplificada.

0invI ≈

0dirI ≠

Polaridad inversa

Polaridad directa

Aplicación Electrónica.

Rectificador de medio ciclo:

+

−

Aplicación Electrónica.

Rectificador de medio ciclo:

+

−0=

Transistor n-p-n. Vista Simplificada:

Emisor Colector

Base CI

11

c EB BC

E BC

I II I I

I I Iαα α βα

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎯⎯⎯⎯→⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

≤== =−= +

Para un transistor típico, el factor de amplificación es del orden de:

1 ; 500β β ≈

c bi iβ= ⋅

1 ; 500β β ≈

El Transistor de Efecto de Campo (MOSFET)

La corriente de la fuente al drenaje se controla con la diferencia de potencial entre la fuente y el drenaje, y por la carga en la compuerta. No pasa la corriente por la compuerta.

MOSFET de metal-oxide-semiconductor field-effect transistor (transistor de efecto de campo metal-óxido-semiconductor).Leer el libro F.R.Sears, M.W. Zemansky, H.D. Young, R.A. Freedman, Física Universitaria, Vol.2, sección 42.7.

El Transistor de Efecto de Campo (MOSFET)

La corriente de la fuente al drenaje se controla con la diferencia de potencial entre la fuente y el drenaje, y por la carga en la compuerta. No pasa la corriente por la compuerta.

Q

I I

MOSFET de metal-oxide-semiconductor field-effect transistor (transistor de efecto de campo metal-óxido-semiconductor)