Solucin de ecuaciones lineales simultneasPrincipales mtodos de solucin1.- Eliminacin de Gauss simpleEl mtodo de Eliminacin de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente ms sencillo de resolver (se puede resolver por simple inspeccin). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene exactamente las mismas soluciones.Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman operaciones elementales.Hay tres tipos de operaciones elementales:1.- Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.

2.- Reemplazar una ecuacin del S.E.L. por un mltiplo escalar de esta. (Se multiplica a ambos lados de una ecuacin por un nmero diferente de cero).

3.- Reemplazo de una ecuacin del S.E.L. por la suma de esta y un mltiplo escalar de otra ecuacin del S.E.L.

El mtodo sirve para resolver grandes sistemas de ecuaciones de la forma:

2.- Descomposicin LUEl mtodo de descomposicin LU para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales debe su nombre a que se basa en la descomposicin de la matriz original de coeficientes (A) en el producto de dos matrices (L y U).Esto es:

Donde:L - Matriz triangular inferiorU - Matriz triangular superior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1.De lo anterior, para matrices de 3x3 se escribe:=Si efectuamos la multiplicacin de L y U, igualando los elementos de ese producto con los de la matriz A correspondientes, se obtiene:

De aqu que los elementos de L y U son, en este caso:

Si el sistema de ecuaciones original se escribe como:A x = bLo cual resulta lo mismo escribir:L U X = bDefiniendo a:U X = YPodemos escribir:L Y = bResolviendo para Y, encontramos:

El algoritmo de solucin, una vez conocidas L, U y b, consiste en encontrar primeramente los valores de "Y" por sustitucin progresiva sobre "L Y = b". En segundo lugar se resuelve "U x = y " por sustitucin regresiva para encontrar los valores de "x", obteniendo:

La determinacin de los elementos de las matrices L y U se realizan eficientemente aplicando una forma modificada del mtodo de eliminacin de Gauss.Se observa que el mtodo de descomposicin LU opera slo sobre la matriz de coeficientes, sin modificar el vector de excitacin (en este caso b), por lo que resulta superior al mtodo de eliminacin gaussiana.

3.- Mtodo de Gauss-SiedelLaiteracin de Gauss-Seidelse define al tomarQcomo la parte triangular inferior deAincluyendo los elementos de la diagonal:

Si, como en el caso anterior, definimos la matrizR=A-Q

y la ecuacinse puede escribir en la forma:Qx(k)= -Rx(k-1)+b

Un elemento cualquiera,i, del vectorQx(k)vendr dado por la ecuacin:

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matricesQyR, resulta que todos los sumandos para los quej>ien la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que. Podemos escribir entonces:=

=

de donde despejandoxi(k), obtenemos:

Obsrvese que en el mtodo de Gauss-Seidel los valores actualizados dexisustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el mtodo de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitucin. Por contra, en el mtodo de Gauss-Seidel los clculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valorxidepende de los valores actualizados dex1,x2, ...,xi-1.

Mtodo de Gauss-JordanEste mtodo debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y as hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reduccin del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendr una incgnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada.

Este mtodo, permite resolver hasta 20 ecuaciones simultneas. Lo que lo diferencia del mtodo Gaussiano es que cuando es eliminada una incgnita, se eliminar de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuacin principal as como de las que la siguen a continuacin. De esta manera el paso de eliminacin forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitucin hacia atrs para conseguir la solucin.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mtodo Gauss Jordan, debemos en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales con la notacin matricial, por ejemplo:

Tambin se le llama matriz aumentada. Luego de realizado lo anterior procederemos a transformar dicha matriz en una matriz identidad, o sea una matriz equivalente a la inicial, de la forma:

Logramos esto aplicando a las distintas columnas y filas de las matrices, restas, sumas, multiplicaciones y divisiones. Debemos tener en cuenta que las operaciones utilizadas se aplicarn en todos los elementos de la fila.

En dicha matriz identidad no vemos los trminos independientes. Esto sucede ya que cuando la matriz original alcance la matriz identidad, los trminos sern la solucin del sistema y verificarn la igualdad para cada variable que se correspondern de la forma siguiente:

d1 = xd2 = y d3 = z

Ahora teniendo clara esta base, analicemos detalladamente este mtodo con un ejemplo concreto.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

Aplicaremos luego el primer paso, o sea que lo anotaremos en forma matricial:

Realizado lo anterior, podemos operar con las distintas columnas y filas de la matriz para as convertirla en la matriz identidad, sin olvidar la forma del sistema:

Ahora debemos transformar el 2 de la primera fila de la matriz original en el 1 de la primera fila de matriz identidad. Para realizar este paso multiplicamos toda la fila 1 por el inverso de 2, o sea . Veamos como nos queda: A continuacin debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad. Para lograrlo buscaremos el opuesto de los nmeros que se encuentren por debajo del 1 de la primera columna. El opuesto de 3 ser -3 y el de 5 -5. Hecho esto multiplicaremos los opuestos de estos nmeros por cada uno de los elementos de la fila primera y estos se adicionarn a los nmeros de sus respectivas columnas Por ejemplo en el caso de la segunda fila, se multiplicar a -3 que es el opuesto de 3, por cada uno de los elementos de la primera fila y se aadir el resultado con el nmero correspondiente de la columna de la segunda fila. Veamos el ejemplo:

A medida que realicemos este procedimiento operando con las distintas filas y columnas de la matriz, observaremos como esta se transforma en el modelo de la matriz identidad. Finalizado el proceso, encontraremos finalmente en la cuarta columna los valores de las variables. Veamos entonces como nos quedara: 1.- Algoritmo1. Clear

2. Escribir (PROGRAMA EN MATLAB PARA RESOLVER ECUACIONES DE LA FORMA AX=B DONDE A (6x6);

3. A: arreglo [6x7]; z,x,c: entero;

4. Repita para z 1 hasta 6 4.1 Escribir (Coeficientes de la ecuacin %z); 4.2 Repita para x 1 hasta 6 4.2.1 Leer (Coeficiente %x,c,); 4.2.1 A (z,x) c 4.3 Fin_Repita para 4.4 Leer (Valor de la igualdad para la ecuacin %z,c,); 4.5 A (z,7) c5. Fin_Repita para

6. Escribir (La matriz aumentada A(6x7) es:)

7. Escribir(A[6x7])

8. Escribir (Matriz solucin: Los valores de las incgnitas estn la columna 4 para x,y,z)

9. Repita para k 1 hasta 69.1 A(k,:) A(k,:)/A(k,k)9.2 Repita para i 1 hasta 69.2.1 Si i k entonces9.2.2.1 Escribir () De lo contrario9.2.2.2 A(i,:) A(i,:) (A(k,:)*A(i,k))9.2.2 Fin_Si9.3 Fin_Repita para10. Fin_Repita para

11. Escribir(A[6x7])

2.- Cdigo en MATLAB.

EjerciciosEjercicio 4.6Usando los datos de la tabla 1 para Vg a t=40, 60, 80 y 100. Desarrolle una ecuacin de tercer grado. Y calcule Vg(70). Tabla 1. Se procede con el procedimiento para determinar una ecuacin cuando los valores de X se encuentran uniformemente espaciados.Donde n = 1. R = 100-40= 60 Resolvindose las ecuaciones:

Se obtienen los valores de a1, a2 y a3.

Sustituyndolos en una ecuacin de la forma:

Se obtiene la ecuacin:

La cual al evaluarla en Mathcad nos da: Obteniendo el error porcentual del valor obtenido y el valor de la tabla se tiene:

Grafica 1: y=(x)Ejercicio 4.7La interpolacin de Lagrange es utilizada para representar la entalpia h, como una funcin de la temperatura. Usando los siguientes pares de valores:

Se obtienen los polinomiales de la funcin son de la forma Donde los polinomios de Lagrange son:

Obteniendo los polinomios de Lagrange para X1, X2, X3 y X4 se tiene:

Programando la ecuacin polinmica en MathCAD y evaluando tenemos:

Las constantes para los polinomios son:

Ejercicio 4.19

Se obtendra la curva de la ecuacin, por mnimos cuadrados.

Se deriva parcialmente esta ecuacion para a, b y c. Se obtiene el sistema de ecuaciones:

Los puntos son:

Resolviendo este sistema de ecuaciones las incognitas tienen los valores de:

a= -2.0467 b= -0.9175 c = 1.88

Ajuste de curva para los datos rendimiento de una bomba

Grafica de rendimiento de una bomba H(Q,C)

Los pares de puntos obtenidos de la grafica son:3 HP(Q,H)1.5 HP(Q,H)1 HP(Q,H)

(151,34)(40,27)(20,24)

(379,30)(70,24)(60,18)

(606,21)(120,15)(80,12)

La ecuacin general ser de la forma:

De este se desarrolla el siguiente sistema de ecuaciones

Ahora se evalan estas ecuaciones para c = 3, 1.5 y 1 Hp. Para cada evaluacin se encontraran 3 incgnitas, por ejemplo:Si c = 1 HP

De este sistema se hallan a1, b1, y c1.

Si c = 1.5 HP

De este sistema se hallan a2, b2, y c2.Si c = 3 HP

De este sistema se hallan a3, b3, y c3.Recordemos que la ecuacin general es:

Encontraremos ecuaciones para a, b y c. en funcin de C.

Para la primera ecuacin se tienen 3 ecuaciones ms que son:

De aqu hallamos Ao, A1 y A2. Y as sucesivamente para hallar: Bo, B1, B2, Co, C1 y C2.Quedando las ecuaciones:

Ahora estas se sustituyen en la ecuacin general para obtener:

Grafica en 3D de la funcin Hx(Q,C)Puede verse que el comportamiendo de la grafica es parecido a al de la tabla.

Evaluando para

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERIAMRIDA VENEZUELA

RESULUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LENEALES Y AJUSTE DE CURVAS

Realizado por: Avancini R. Csar O. C.I: 19620738