Solucion de Hoja de Trabajo s1

7/26/2019 Solucion de Hoja de Trabajo s1

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Departamento de Ciencias

Calculo 1_Ingeniera

SESIN 1

Tema: Funciones Reales de Variable Real Funciones elementales

1. Valor numrico de una funcin. Determine el valor de N en cada caso:

a) ( ) 3;f x x= (19) (12)

(7)

f fN

f

=

b) 2

( ) ;3 4

xf x

x

+=

(0) (1)

(2) (3)

f fN

f f

=

Solucin:

c) ( ) 3;f x x= (19) (12)

(7)

f fN

f

=

Hallemos los valores:

(19) 19 3 16 4f = = =

(12) 12 3 9 3f = = =

(7) 7 3 4 2f = = =

Sustituyendo en la expresin N! tenemos:(19) (12) 4 3

6(7) 2

f fN

f

= = =

d) 2

( ) ;3 4

xf x

x

+=

(0) (1)

(2) (3)

f fN

f f

=

Hallemos los valores:0 2 1

(0)3(0) 4 2

f += =

1 2(1) 3

3(1) 4f

+= =

2 2(2) 2

3(2) 4f

+= =

3 2(3) 1

3(3) 4f

+= =

Sustituyendo en la expresin N! tenemos:

1 5( 3)

(0) (1) 52 2

(2) (3) 2 1 2 4

f fN

f f

= = = =

1


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Calculo 1_Ingeniera

2. "tilice la prueba de la recta vertical para determina si la gr#$ca es de una%uncin&

Solucin:'a gr#$ca de una ecuacin representa a una %uncin si toda recta verticaltra(ada sobre la gr#$ca corta a esta en un solo punto&

or tanto solo a y c representan %unciones&

3. Determine el dominio de la siguiente %uncin

2

1( )

5 6

xp x

x x

=

+Solucin:'a %uncin %*x) est# bien de$nida si la expresin +ue est# dentro de la ra(cuadrada es positiva& ,s decir

2

10

5 6

x

x x

+-esolviendo la inecuacin:

10

( 3)( 2)

x

x x

'uego el dominio de la %uncin sera: 1, 2 3,fD = +

.

No esuncinEs uncin

/

0

/

0

/

0

. 2 . 3

!!

. 2 . 3

!!

. 2 . 3

!!

. 2 . 3

!!

1 . 4 3

!!


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Calculo 1_Ingeniera

". Determine el dominio y el rango de la siguiente %uncin

2

2( )

4

xf x

x=

Solucin:

Dominio:'a %uncin %*x) est# bien de$nida si

04

22

xx

5plicando puntos crticos para resolver la inecuacin

( ) ( ) 0

2 2

x

x x

+

'uego el dominio ser#: ]2;0 2;fD =< < + >

-ango:

ara determinar el rango despe6amos 7x8 en %uncin de 7y8 de la %uncin dada&

4

2

2 =

x

xy ! adem#s observa +ue 0y

,levar al cuadrado para eliminar la ra(:

4

22

2

=

x

xy

( ) xxy 2422 =042 222 = yxxy

Desarrollamos esta 9ltima ecuacin cuadr#tica usando la %rmula general!

donde: 2 2, 2, 4a y b c y= = =

aacbbx

24

2

=4

2

2 4 16, 0

2

yx y

y

+=

5ora bien! 7x8 ser# un n9mero real si y slo si y IR ! puesto +ue si racionali(as

la expresin anterior! obtienes4

2

1642

8

y

yx

++= ! donde y 0

4

. 2 . 3

!!


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Calculo 1_Ingeniera

,s decir: 0; 0;y R + = +

or lo tanto el rango de la %uncin ser#!

0,fR = +

#. Determine el rango de la %uncin:2 1 4* ) ; < ! =f x x x x=

Solucin:

rimero observamos +ue el dominio est# dado en %orma explcita! es decir:41 x

ara allar el rango! partimos del dominio! as podemos obtener la regla de

correspondencia de la %uncin!

2( )f x x x=

ara ello! arreglamos la %uncin completando cuadrados:

( )22

2

2

1

2

1

+= xxxf

( )4

1

2

1 2

= xxf

,ntonces! aora como:41 x

Sumamos *>1?.) en cada parte de la expresin anterior

2

14

2

1

2

11 x

2

7

2

1

2

3 x

'uego elevamos al cuadrado! teniendo en cuenta +ue la expresin siempre ser#

positiva

22

2

7

2

10

x

4

1

2

7

4

1

2

1

4

10

22

x

@


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Calculo 1_Ingeniera

124

1

2

1

4

1 2

x

5+u nos detenemos! puesto +ue ya obtuvimos la regla de correspondencia de la

%uncin

1( ) 12

4f x

or lo tanto el rango ser#:

= 12,

4

1fR

$. ara estimular las ventas a grupos grandes! un teatro cobra dos precios& Si sugrupo es menor de 1.! cada boleto cuesta AB!2& Si su grupo es de 1. o m#s!cada boleto cuesta A!E& ,scriba una %uncin +ue de$nida por partes

represente el costo de comprar n boletos

Solucin:

Sea n la cantidad de personas +ue entraran al teatro! seg9n los datos de$nimosla %uncin por partes! as:

9,50 ; 0 12( )

8, 75 ; 12

n si nC n

n si n

<


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Calculo 1_Ingeniera

( ) 2059190 2 + t( ) 20590 t

'uego: [ ]90; 205R=

&. "na compaa %abrica sus productos con un costo de S?& 1. cada uno y los vendea S?& 42 la unidad& Si los costos $6os para dica empresa son S?& 4J 222&a) ,ncuentre la %uncin del costo total C y el ingreso total R de producir x

unidades y gra$+ue en un mismo plano cartesiano&b) KCu#l es la pFrdida o ganancia de la compaa si slo se producen y venden

1222 unidades al mesLc) KCu#l es la pFrdida o ganancia de la compaa si slo se producen y venden

422 unidades al mesLd) ,ncuentre las coordenadas del punto de e+uilibrio

Solucin:

Sea 7x

8 las unidades producidas y vendidas& Seg9n los datos tenemos:

M 42CM 1.xC 4J222

"saremos las %rmulas conocidas:

Costo Gotal Costo i6o 3 CostoMariable

Ingreso *recio) *cantidad)"tilidad Ingreso Costo Gotal

a'Hallemos la %uncin de costo total y la %uncin ingreso&uncin de Costo Gotal: C*x) 4J222 3 1.xuncin de Ingreso Gotal: -*x) 42x

b' KHay pFrdida o ganancia si se producen y venden x 1222 unidadesL'a %uncin utilidad est# dada por: " *x) - *x) C *x)

J

)(xC

)(xR36000

0x

,C R


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" *x) 42x *4J222 3 1.x)"*x) 1x 4J222" *1222) 1222 4J222" *1222) > 1222

Res(uesta:Si se producen y venden 1222 unidades al mes ay una pFrdidade S? 1 222&

c' KCu#l es la pFrdida o ganancia de la compaa si slo se producen y venden422 unidades al mesL"*x) 1x 4J222" *422) J4222 4J222" *422) .E222

Res(uesta: Si se producen y venden 422 unidades al mes ay unaganancia de S? .E222&

d' ,ncuentre las coordenadas del punto de e+uilibrio

Hay punto de e+uilibrio si ( ) ( )R x C x= e+uivalentemente si ( ) 0U x =

"*x) 1x 4J222 2x .222

'uego las coordenadas del punto de e+uilibrio son: *.222! J2 222)

). 5l producir q artculos! el precio es qp =32 y el costo total est# dado por.880 qC +=

a) Determine la %uncin de utilidad +ue dependa de la cantidad q de artculos&b) ,sboce su gr#$ca&c) KCu#l es la utilidad m#ximaLd) Kara +uF cantidades de artculos se produce gananciaL

Solucin:

Genemos los siguientes datos! el precio de cada artculo y el costo totalrespectivamente:

E

36000

60000

2000

)60000;2000(

)(xR

)(xC

x

R, C


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32p q=

80 8C q= +

a) Hallemos la %uncin utilidadU(q) = Ingreso Costo Tota

2

( ) (32 ) (80 8 )

( ) 24 80

U q q q q

U q q q

= +

= +

b) ,sboce su gr#$ca:

,ncontramos el vFrtice de la par#bola: 2( ) 24 80U q q q= +

( ) 12

12

24

2=

==

a

bh

( ) 6412 ==Uk

Hallamos los interceptos con el e6e 7+8! acemos ( ) 0U q =2 24 80 0q q + =

-esolviendo la ecuacin cuadr#tica por aspa simple! tenemos dossoluciones!

4 20q y q= =

'uego acemos la gr#$ca!

c) 'a utilidad m#xima es J@ soles! y eso ocurre cuando se venden 1. artculos&

d) Hay utilidad cuando se produce y vende! entre @ y .2 artculos! es decir:204


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1-.,n un experimento de laboratorio! se observa +ue cuando se reduce latemperatura G *grados Celsius) de un cone6o! su ritmo cardaco *latidos porminuto) disminuye& ,n condiciones de laboratorio! un cone6o a temperatura de4EO C tiene un ritmo cardaco de ..2 y a una temperatura de 4.O C su ritmocardaco disminuye a 12& 'a %uncin - es ritmo cardaco y est# relacionada

linealmente con la temperatura G&

a) ,ncontrar la relacin %uncional entre - y G y su respectiva gr#$ca&b) Hallar la variacin de - si G


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Calculo 1_Ingeniera

b' Hallar la variacin de - si G


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Calculo 1_Ingeniera

Se observa +ue la %uncin ingreso adopta una %orma cuadr#tica2

( ) 50 450I p p p= +

b) ,l ingreso depende del precio del platillo! as +ue:p: variable independiente

I: variable dependiente

c) ara gra$car la %uncin I*p) allamos el vFrtice de la par#bola!

( ) 5,4

502

450

2=

==

a

bh

Como @!! sustituya p @! en 2( ) 50 450I p p p= + para obtener la otra

coordenada

( ) ( ) ( )2

4, 5 50 4, 5 450 4, 5 1012, 5k I= = + =

5ora! allamos los interceptos con el e6e 7p8; es decir agamos I*p)2

pp 450500 2 +=( ) 045050 =pp

p 2 p B

d) Hallamos la utilidad"tilidad Ingreso Costo Gotal

Costo Gotal 4*>2p 3@2)

,ntonces: ( ) ( )45050345050)( 2 ++= ppppU135060050)(

2 += pppU

ara encontrar en +uF precio alcan(a la m#xima utilidad allamos el vFrticede la par#bola:

( ) 6

502

600

2=

==

a

bh

(6) 450k U= =

11

(

I,('

2 B@!

121.!

*@!;

121.!)


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Calculo 1_Ingeniera

-pta: Cuando el precio es de A J alcan(a una utilidad m#xima de A @2&

1.

(

+,('

2 BJ

@2*J; @2)

4

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