Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraicoJos Albeiro Snchez Cano Departamento de Ciencias Bsicas_ Universidad EAFIT josanche@eafit.edu.co Resumen Enestetrabajosepresentaunmtodoalgebraicoelementalpararesolverecuaciones diferenciales con factores lineales reducibles a homogneas,evitando los procesos largos que involucran su solucin por los mtodos clsicos. Palabras claveEcuacin diferencial, pendiente, recta tangente, problema de valor inicial Abstract This paperis to present an elementary algebraic methodto solve differential equations with linear factors, avoiding the long processes that involve their solution by theclassic methods. KeywordsDifferential equations, slope, tangent line, initial value problem.1. Introduccin EnloscursosregularesdeEcuacionesDiferencialesOrdinarias(EDO)nosencontramoscon ecuaciones diferenciales con factores lineales de la forma | o + ++ +=y xc by axdxdy, donde| o, , , , c b a yson constantes. Aprendimos que si se cumple, 0 = b a o |entonces, mediante el cambio , bt ax y + = la ecuacin considerada se reduce a una ecuacin con variables separables. En el otro caso, esto es, si , 0 = b a o | entonces,haciendouncambiodelasvariablesdependienteeindependienteporlas frmulas ( ), ; ; t | o t y y y x c by ax y = + + = + + =obtenemos una ecuacin homognea. En este artculo, encontraremos la solucin a este tipo de ecuaciones diferenciales, mediante un proceso algebraico, si en dicha ecuacin se cumplenlas siguientescondiciones: (i)0 = b a o | y (ii). 0 = + b o Definicin. Una ecuacin diferencial de la forma ( ) ( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M se dice que es de coeficientes lineales si se puede representar de la forma( ) ( ) 02 2 2 1 1 1= + + + + + dy c y b x a dx c y b x aSolucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 2 O bien, en la forma estndar( ) 1 . | o + ++ +=y xc by axdxdy Estaremosinteresadosenelcasodondeeldeterminante0 =| ob a,estoes,donde0 = b a o | . Luego el sistema lineal de ecuaciones( ) 20, 0= + += + + | o y xc by ax tiene una nica solucin( )0 0, y x. Nota.Lacondicin(ii)hacequelaecuacindiferencial(1)seaexactayporlotantostapuedeser resuelta por el mtodo clsico.2.Solucin clsica Consideremos el0 = b a o | ,luegomediantelassustituciones 0x u x + = y 0y v y + = , donde( )0 0, y x es solucin del sistema de ecuaciones (2), transforman la ecuacin (1) en la ecuacin homognea ,|.|

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\|+=++=uvuuvb av ubv aududv| o| o la cual ya sabemos cmo resolver.Otra forma de resolver la ecuacin (1), que resulta ser exacta, es mediante una agrupacin adecuada de sus trminos. La ecuacin as ordenada se puede integrar trmino a trmino. As, la ecuacin( ) ( ) 0 , , = + dy y x N dx y x M donde( ) c by ax y x M + + = ,

y ( ) , , | o = y x y x N

resulta ser exacta ya que ( ) (i) condicin.xNbyMcc= = =ccoEsto tambin se puede ver despus de agrupar as: Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 3 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, 00= + + = = + + + = + + + +y cdx xdy ydx ydy axdxb dy y x dx c y axdy y x dx c by ax o |o | o o | o Esta ltima ecuacin se puede integrar trmino a trmino para obtener la primitiva ( ) 32 22 2k y cx xy y xa= + o| Ahora bien,nos proponemos a resolver la ecuacin diferencial (1) usando slo Algebra elemental, el cual, como veremos, evita realizar los largos clculos que involucra resolver un tipo problema como el que se presenta por el mtodo de las ecuaciones con coeficientes lineales o bien, por exactas. Haremos el siguiente ejemplo (R. Nagle y E. Saff,1991, pp. 74-76) de dos formas: 1. Usaremos el mtodo clsico para su solucin y 2. Usando el mtodo algebraico, mediante unos pasos sencillos, sin hacer referencia al mtodo como tal, solo como un ejercicio de algebra, despus, se dar la fundamentacin del mtodo, esto se hace, para no perdernos en los detalles del mismo. Ejemplo 1. Resolver la ecuacin diferencial( ) 3 .26 3+ + =y xy xdxdy En este caso se tiene:2 , 1 , 1 , 6 , 1 , 3 = = = = = = | o c b a se cumple que0 4 = = b a o | Resolvemos primero el sistema de ecuaciones: ( ) 40 1, 0 6 3= + += y xy x el cual arroja las soluciones:. 3 , 1 = = y xPor consiguiente, hacemos1 + = u x y3 = v y . Puesto quedu dx = ydv dy = , sustituyendo x y y en la ecuacin (3) resulta .31|.|

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\|=uvuvdudv La ecuacin anterior es homognea, as que hacemos el cambio de variable u v z = . Entonces ( ) du dz u z du dv + = , remplazandou v se obtieneSolucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 4 .31 zzdudzu z+= +Al separar variables obtenemos, ln 3 2 ln21,13 21122C u z zduudzz zz+ = + = + +} } de lo cual se deduce que . 3 22 2 = + Cu z zCuando se reemplaza en forma regresiva z, u y v, se obtiene ( ) ( )( ) ( ) . 1 3 3 1 2 3, 3 2, 3 22 22 222C x y x yC u uv vCuuvuv= + + += += |.|

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\| La ltima ecuacin proporciona una solucin implcita de (3). Ahora utilicemos el resultado del mtodo que propondremos. El cual realizaremos mediante los pasos siguientes:Paso 1. Resolver el sistema (4) produce. 3 , 10 0 = = y xPaso 2. Hacemos.13+=xydxdy Paso 3.Elresultado del paso 2 se iguala con ecuacin (3) para obtener, .26 313+ + =+y xy xxy Paso 4. Resolvemos la ecuacin dada en el paso 3, esto es,C x y xy x yy x x xy x y x y y xy= + + + + = + + + + +12 4 2 36 3 6 3 6 3 3 22 22 2 Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 5 donde C es una constante. La ltima ecuacin es precisamente la solucin de la EDO (3) y coincide con la solucin proporcionada por el mtodo clsico. Deber notarse que se ha igualado a una constante C, ya que la ecuacin es exacta. Las preguntas que surgen: Dnde est el truco?yFunciona para toda ecuacin diferencial de la forma (1)?. La respuesta a estas dos preguntas es dada en la siguiente proposicin. Proposicin.Laecuacindiferencial(1)ademsdesatisfacerlacondicin0 = b a o | ,se cumpleque0 = + b o ,entonces,lasolucinseobtieneenunaformaalgebraicasencilla,lacual viene dada por ( ) ( ) ( ) ( ) 50 0 0 02 2k x y ax c y bx y xy b ax y = + + + + o | o | donde( )0 0, y xes la solucin del sistema de ecuaciones (2), y k constante.Observar que la ecuacin (5) tambin puede ser escrita como ( ) 6 2 2 22 2k cx y xy ax y = + + o | Puesto que 0 = + b o y( )0 0, y xes la solucin del sistema de ecuaciones (2). Demostracin. Supongamos inicialmente que el punto( )0 0, y x es solucin del sistema (2). Luego la pendiente de la recta tangente viene dada por 00x xy ym= con lo cual, haciendo dxdym = e igualando con la ecuacin (1) obtenemos ( ) 7 .00 | o + ++ +=y xc by axx xy y Resolviendo se llega a la siguiente ecuacin ( ) ( ) ( ) ( ) 80 0 0 02 2k x y ax c y bx y xy b ax y = + + + + o | o | O bien la ecuacin (6). Afirmamos que la ecuacin (8) es solucin de la ecuacin diferencial (1).En efecto, diferenciando implcitamente con respecto a x, en la ecuacin (8), se tiene Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 20 0 0 0= + + + + + y ax c y bx y xy b y b ax yy o | o o |Dondey denota la derivada con respecto x. Despejando de sta ltima ecuacin y,se tiene: ( ) ( )( ) ( )( ) 9220 00 0bx y x b yy b ax y ax cy+ + + + + =| o |o o Por una parte, el numerador de la ecuacin (9) es ( ) ( )( ) ( )( ). 22 20 00 0 0 0 0 0y y b x x aby y ax y ax by ax y b ax y ax c =+ + + = + + oo o o o pues00 0= + + c by ax . Anlogamente, el denominador de la ecuacin (9) viene dado por ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 0 02 2 x x b y y bx y x b y + = + + + o | | o |Con lo que la ecuacin (9) es equivalente a( )( )( )( ) ( )( )( ) 10220 00 0x x b y yy y b x x ay + =o |o Ahora bien, ya que( )0 0, y xes solucin del sistema (1) se tiene que( ) ( )0 0y y b x x a c by ax + = + +de igual forma,( ) ( )0 0y y x x y x + = + + | o | o .As que la ecuacin (1) queda ( ) ( )( ) ( )( ) 11 0 00 0y y x xy y b x x ay + + =| o Igualando las ecuaciones (10) y (11) se tiene: ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )0 00 00 00 022y y x xy y b x x ax x b y yy y b x x a + + = + | o o |o Para simplificar los clculos, llamamos 0 0, y y Y x x X = =, con lo cual, se obtiene finalmente, ( )( )( ) ( ) ( ) ( )XY b b X b a Y b XY a Y b XY b XY a X aY XbY aXX b YY b aX + + + = +++= + o o | | o | o o | o| o o |o2 2 2 22 2 2 222Reorganizando Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) | |( )00 , 0000 2 22 22 22 2= += = += + += + + + += + + + +ooo | oo o o o |o o o o o | o | |bk k baX XY b Y bX b a XY b b Y bX a b a XY b b Y b b Observar que el factor que acompaa ab + o , esto es,( ) k aX XY b Y = +2 2 , no es ms que la ecuacin (8), es decir, la solucin de la EDO (1).Observar que esto se sigue ya que la ecuacin diferencial (1) con la condicin0 = + b o , es exacta. 3. Ejemplos Elprimerejemploalqueleaplicaremoselmtodoalgebraico,serunaEDOseparableyel segundoejemplo ser un problema de valor inicial (PVI), lascualespueden ser fcilmenteobtenidas mediante su solucin clsica. Deber observarse que no habr necesidad de aprenderse la frmula (6).3.1. Ejemplo 1. Resolver la EDO.xydxdy =Solucin.Enestecasosetiene:. 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 = = = = = = | o c b a Secumplelasdos condiciones: (i)0 1= = b a o |y (ii)0 = + b o . Lo cual indica que podemos seguir.Paso 1:claramente se tiene( ) ( ). 0 , 0 ,0 0= y x Paso 2:la pendiente de la recta tangente a la curva que pasa por( ) 0 , 0 viene dada por.xydxdy= Paso 3:resolvemos la ecuacin.xyxy = El resultado de esto da,, xy xy = o equivalentemente xky = la cual es la solucin de la EDO .xydxdy = 3.2. Ejemplo 2. Resolver el problema de valor inicial (PVI)( ) ( ) ( ) () 11 1 1 , 0 1 2 1 2 5 = = + + + + + y dy y x dx y xSolucin. Escribimos la ecuacin en la forma (1), esto es, Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 8 ( ) 12 .1 21 2 5+ ++ + =y xy xdxdy En este caso se tiene:1 , 1 , 2 , 1 , 2 , 5 = = = = = = | o c b a Se cumple la condicin:0 = + b o . Lo cual indica que podemos seguir. La condicin (i) indica que el sistema de ecuaciones (2) tiene solucin nica. Paso 1:Resolvemos primero el sistema de ecuaciones, el cual sabemos que tiene solucin, , 1 21 2 5 = + = +y xy x elcualarrojalassoluciones:. 3 , 1 = = y x Elmtodoconsisteentoncesenescribir13+=xydxdy , la cual a su vez, se iguala con la EDO (11), con lo cual obtenemos .1 21 2 513+ ++ + =+y xy xxy O equivalentemente0 2 2 2 4 52 2= + + + + + y x xy y xPero segn el mtodo, hacemos el lado izquierdo de la ecuacin igual a una constante, esto es, k y x xy y x = + + + + 2 2 4 52 2 Ahora para obtenerelvalor de k,hacemosusodela condicininicial, 1 , 1 = = y x dada por la condicin (11). Reemplazando estosvaloresen la ecuacin anterior, se obtiene el valor de k, a saber, . 14 = k as que la solucin del PVI, es. 14 2 2 4 52 2= + + + + y x xy y xResolviendo esta ltima ecuacin, mediante la solucin de una exacta, se tiene: ( ) ( ) ( ) ( ) B y x y x N A y x y x M 1 2 , , 1 2 5 , + + = + + =Condicin de exacta. 2xNyMcc= =ccCon lo cualSolucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 9 ( ) ( ) () C y x y x M y xxf, 1 2 5 , , + + = =cc Integrando con respecto a x en la ecuacin (C), se obtiene ( ) ( ) () D y h x xy x y x f + + + = 225,2 Derivando con respecto a y e igualando con la ecuacin (B) tenemos ( )( )( ) y y y hy y hy x y h x+ =+ = '+ + = ' +22111 2 2 Remplazando en (D), tenemos( ) y y x xy x y x f + + + + =2 221225, As que la solucin de la ecuacin diferencial viene dada por( ) k y x f = , , o bien k y y x xy x = + + + +2 221225 La cual coincide con nuestra solucin, encontrada algebraicamente. Conclusiones Enestetrabajopresentamosunaformaalternativaderesolverunaecuacindiferencialcon factoreslinealesdelaforma(1),bajociertascondiciones,evitandolosprocesoslargos,loscuales ocurrencuandoseresuelvenconlosmtodosclsicos.Esclaroqueelmtodoalgebraicoexpuesto resultasermuyrestrictivo,peroresultasermuchomssencilloderesolverunavezsecumplanlas condiciones (i) y (ii), las cuales son fciles de verificar.Solucin de una clase de ecuaciones diferenciales - Mtodo algebraico J.A. Snchez Cano 10 Bibliografa Nagle, R.K. y Saff, E.B. (1992). Fundamentos de ecuaciones diferenciales. Mxico, Addison-Wesley Iberoamericana.O. Garca J., J. Villegas G., J.I. Bedoya,J.A.Snchez C. (2010). Ecuaciones Diferenciales. Colombia, Fondo Editorial Universidad EAFIT.