ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS HOMOGÉNEAS Lic. Mat. Jorge Luis Rojas Paz

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SOLUCIÓN DE UNA Ecuación DIFERENCIAL ORDINARIA homogénea

UTILIZANDO EL SOFTWARE DERIVE 6.10

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado que se denotan en

general como:

( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy ………………….( )

Se llaman homogéneas si My N son funciones Homogéneas del mismo grado en x e y.

Solución clásica de una ecuación diferencial ordinaria

Homogénea

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria homogénea

( )( , ) ( , ) 0............M x y dx N x y dy

Entonces ( , )M x y y ( , )N x y son funciones homogéneas y como tal son funciones

homogéneas del mismo grado el cual podemos suponer que es k, y de ello se sigue que:

( , ) ( , )kM x y M x y

( )( , ) ( , )..................kN x y N x y

Si hacemos 1

x y remplazamos en estas dos ecuaciones dicho valor

obtenemos

1

(1, ) ( ) ( , ) ( , ) (1, )k ky yM M x y M x y x M

x x x

1(1, ) ( ) ( , ) ( , ) (1, )k ky y

N N x y N x y x Nx x x

Si en la primera ecuación hacemos y/x=u entonces

( , ) (1, ) (1, ) ( )k k kyM x y x M x M u x u

x

Así obtenemos: ( , ) ( )kM x y x u , y/x=u

Si en la segunda ecuación también hacemos y/x=u entonces

( , ) (1, ) (1, ) ( )k k kyN x y x N x N u x u

x

Obteniendo así ( , ) ( );kN x y x u y/x=u

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Ahora de y/x=u se sigue que y=ux dy=udx+xdu y con los resultados

anteriores obtenidos, la ecuación se transforma en:

( ) ( )( ) 0k kx u dx x u udx xdu

Factorizando xk y agrupando convenientemente tenemos

( ) ( ) ( ) 0u u u dx x u du

De donde obtenemos ( )

0( ) ( )

dx udu

x u u uecuación que corresponde a

las ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable.

Si hacemos 1

yy reemplazamos dicho valor en las ecuaciones se obtiene

( , ) ( );k xM x y y u u

y

( , ) ( );k xN x y y u u

y

De x

uy

se sigue que x=yu de donde dx=udy+ydu, conjugando estos

resultados tenemos ( )( ) ( ) 0k ky u udy ydu y u dy

de donde

factorizando yk, y agrupando convenientemente obtenemos

( )

0( ) ( )

dy udu

y u u u

La que corresponde nuevamente a una ecuación diferencial ordinaria de variable

separable. Veamos un ejemplo de aplicación

Resolver la ecuación diferencial 2 2( ) 0; ( 3) 1y x y dx xdy sujeta a y

Solución

Haciendo el cambio de variable apropiado (y=ux), y siguiendo la teoría

descrita anteriormente se tiene:

2 2( ( ) ) ( ) 0ux x ux dx x udx xdu

De esto simplificando y agrupando convenientemente obtenemos:

20

1

dx du

x u

Integrando esta ecuación de variable separable obtenemos como solución la

familia

2 2 ;y y x k k R

Además como ( 3) 1y de la familia anterior se obtiene la solución particular

siguiente 2 9 6x y , x>0.

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Podemos hacer uso del Software Derive 6.10 para hallar la solución de una ecuación

diferencial ordinaria homogénea usando la función

DSOLVE1 (m, n, x, y, 0 0,x y )

Explicaremos a continuación su uso en el problema anteriormente desarrollado, para

ello consideramos 2 2m y x y , n x , 0 03 1x y

En seguida sustituimos estos valores en la función: DSOLVE1 (m, n, x, y, 0 0,x y )

e ingresamos en la ventana Álgebra de derive como se indica a continuación

Fig. 01

Finalmente haciendo clic en el icono de derive, obtenemos la primitiva de la

ecuación como se puede apreciar en la figura adjunta

Fig. 02

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Es posible observar gracias a derive la curva que representa la primitiva para ello

simplemente buscamos el icono bidimensional en derive y hacemos clic dos veces

en el obteniendo

Fig. 03

Resuelva con derive las ecuaciones diferenciales que se indican a continuación:

1.-2 2

2 2

20 ; (1) 1

2

dy y xy xy

dx y xy x 2.-

2

2

2; (1) 2

2

dy xy yy

dx xy x

3.- 3 2 2 2 2 2( ) 0x y x y dx xy x y dy 4.-

2 2

dy xy

dx x xy y

BIBLIOGRAFÍA

HOFFMAN,K;KUNZE.R.-...................................Álgebra Lineal .ed.Prentice Hall.1973.

IMMONS.G;ROTA.G.C.-…...Ordinary Diffencial Equations. Gin and Company.1962.

GUZMÁN. M.-…………..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: Teoría de Estabilidad y

Control. Editorial Alhambra.1975.

Texto de Aplicaciones

ESPINOZA. R.-…..Ecuaciones Diferenciales Ordinarias .ed.Servicios Gráficos JJ.2004.