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Caracas: 19 de Mayo 2015.
Solucin del Primer Parcial de Matemticas IV, Bloque A
1. Decidir se las siguientes series numricas convergen o
divergen:
a) (4 ptos.)
1
)1
(n n
Arcsen
b) (4 ptos.)
1
)3
1
3
1(
nn n
c) (7 ptos.)
3 ))(()(
1
n nLnLnnnLn
Solucin:
a) Consideremos:
-
(*),11
1lim
1
1
1
lim
:',0
0)(lim
20
2
0
0
x
x
HpitalLAplicandox
xArcsen
xx
x
Luego, aplicando el Criterio de Comparacin del lmite:
(*),,,01)(
lim1
1
limlim0
dex
xArcsen
n
nArcsen
b
a
xnn
n
n
Como el trmino del denominador, es el trmino general de la serie
armnica ,1
1
n n que es
divergente, entonces la serie dada en a) es divergente.
b) Consideremos las series:
1,13
1,,
3
1)(
1
GeomtricaSerien
n
Cuya razn es menor que uno, es decir la serie Converge.
DivergenteSerienn
,3
1
1
Ya que, aplicando el Criterio de Comparacin del Lmite para una
serie positiva:
,,03
1
3lim
13
1
limlim
n
n
n
n
b
a
xnn
n
n
Como el trmino del denominador, es el trmino general de la serie
armnica ,1
1
n n que es divergente,
entonces la serie dada en es divergente, entonces la suma de una
serie convergente ms una serie
divergente es divergente. Luego, la serie:
1
)3
1
3
1(
nn n
es divergente.
-
c)
3 ))(()(
1
n nLnLnnnLn
Aplicando el Criterio de la Integral para una serie positiva,
sea: ,3,))(()(
1)( x
xLnLnxxLnxf
La funcin f es positiva, ya que el Ln(x) es positivo si x es
mayor o igual a 3.
La funcin f es continua en ,3 , ya que el Ln(x) es una funcin
continua en ,0 . la funcin es decreciente en ,3 ?
.,3:0)(3,01)())((:
,3,1)())(())(()(1
1))((1)())(()(1
1
))(()())(()(1
))(())(()())(()(1
))(()())(()(1))(()())(()(
1)(
2
2
2
2
21
enedecrecientesfxfxLnxLnxLnLnxLnComo
xLnxLnxLnLnxLnxLnLnxxLn
xLnxxLnxxLnLnxLnxLnLnxxLn
Lnx
xxLnxxLnLnx
xxLnxLnLnxxLn
xLnLnxLnxxLnLnxxLnxLnLnxxLn
xLnLnxxLnxLnLnxxLnxLnLnxxLnxLnLnxxLn
xf
Entonces:
,3limlim)(
,1
),(,lim)(
lim)(
)(
)3(
3
)(
)3(3 3
LnLnLnLntLnLnLnuLnxxLnxLn
dx
xLnxLnx
LnxduLnxLnu
u
du
LnxxLnxLn
dxdxxf
t
LntLn
LnLnt
LntLn
LnLnt
t
t
Entonces la serie diverge.
-
2. (15 ptos.) Hallar el Conjunto de convergencia y determinar el
radio de convergencia para la
serie de potencias:
0 1
)1()3(
n
nn
n
x
Solucin:
i) Aplicando el Criterio de Comparacin del Cociente absoluto
.,113
,132
13lim131
2
13lim
2
1)1)(3(lim
2)1()3(
1)1()3(lim
1
)1()3(
2
)1()3(
limlim11
11
1
eConvergentSerielaseaqueParax
xn
nxx
n
n
n
nx
nx
nx
n
x
n
x
a
a
nnn
nn
nn
nnn
nn
nn
n
n
Resolviendo la inecuacin:
,3
4,
3
2:
,3
4
3
21
3
11
3
1
3
11
3
1
3
11113
iaConvergencdeConjuntoPosible
xxxxx
.
Estudio de la Serie en los Extremos:
ii) ,1
1
1
)1(
1
)3
1()3(
1
)13
2()3(
,3
2
00
2
00
nn
n
n
nn
n
nn
nnnnx
Estudiamos la Convergencia o Divergencia de esta ltima
Serie:
Aplicando el Criterio de Comparacin del Lmite para una serie
positiva:
,,011
lim1
1
1
limlim
n
n
n
n
b
a
xnn
n
n
-
Como el trmino del denominador, es el trmino general de una
serie p-sima ,1
1
n n que es
divergente, ya que ,12
1p entonces la serie obtenida cuando x=2/3, diverge.
iii) .,1
)1(
1
)3
1()3(
1
)13
4()3(
,3
4
000
AlternanteSeriennn
xn
n
n
nn
n
nn
Aplicando el Criterio de Series alternantes:
.
,,1212122
1
1
10)
,01
1lim)
1
edecrecientesa
Verdaderonnnnnn
aaii
ni
n
nn
n
Entonces la serie obtenida cuando x=4/3, es Convergente.
Conclusin:
La serie
0 1
)1()3(
n
nn
n
x converge en
3
4,
3
2, converge condicionalmente en x=2/3, y el Radio de
convergencia es 1/3.
3. (10 ptos.) Hallar el desarrollo en serie de Maclaurin de la
funcin:
x
t dtexf0
2
)(
Solucin:
Utilizando el desarrollo en serie de potencias de la funcin
exponencial:
0 !n
nx
n
xe
Haciendo el cambio x=-t2,
,,!
)1(
!
)(
0
2
0
22
xn
t
n
te
n
nn
n
nt
-
Integrando la expresin anterior:
,,12!
)1(
12!
)1(
!
)1(
!
)1(
0
12
0 0
12
0 0
2
0 0
2
0
2
xn
x
nn
t
ndtt
ndt
n
tdte
n
nn
n
xnn
n
x
nnx
n
nnx
t
4. (10 ptos.) Hallar la ecuacin de las trayectorias ortogonales
a la familia de curvas:
axay ),2
cos(
Solucin:
Despejando el valor del parmetro en la ecuacin inicial, se
tiene:
.,20
)2
()2
cos(cos)2
cos(0)2
cos(,
)2
cos(
)(
Zkkxsenx
senxsenxxx
x
ya
Derivando la ecuacin dada:
axaseny ),2
(
Usando el valor de a:
.,2),2
tan()2
(
)2
cos(
Zkkxxyxsen
x
yy
Entonces las trayectorias ortogonales, tienen como
pendiente:
,
)2
tan(
,,2),2
tan(
ydy
x
dx
Zkkxxydy
dx
dx
dy
-
Integrando la ltima expresin:
,0)2
(,,)2
(2
,,2
)2
(
)2
tan(
2
2
xsenccxsenLny
cy
cxsenLnydy
x
dx
Si se desarrolla el ,cos2
cos2
cos)2
( xxsensenxxsen
Entonces la ecuacin de las trayectorias ortogonales a la familia
de curvas dadas es:
.,2
)12(,0cos,,cos2
2
ZkkxxccxLny
