Upload
ricardo-mejia
View
59
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
ejercicios control2 unicesar
Citation preview
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
SOLUCIÓN A EJERCICIOS DEL SEGUNDO CORTE
Recordemos que la transformada z de un retenedor de orden
cero y un retenedor de orden uno son:
( ) ,
( )
-
(
)
( ) ,
( ) ( )
-
Obtener la función de transferencia pulso si existe, para
cada uno de los siguientes sistemas:
A.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), reemplazamos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Muestreamos ( ):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) - ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( )
( )
Sabemos que ( ) ( ) ( ), ahora muestreamos esta
ecuación, y reemplazamos la Ecuación A aquí:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
B.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( )
Muestreamos ( ):
( ) ( ) ( ) ( )
Sustituimos la en la :
( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) , ( ) ( ) - ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
C.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( )
( ), reemplazo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
Muestreamos ( ):
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) , ( )
( ) - ( )
( ) ( )
( ) ( )
Sabemos que ( ) ( ) ( )
( ), ahora muestreamos esta ecuación, y reemplazamos la Ecuación A aquí:
( ) ( ) ( )
( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
D.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), reemplazo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ), luego reemplazamos la Ecuación A aquí:
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos:
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ,
( ) - ( )
( )
( )
( )
Sabemos que ( ) ( ) ( ), ahora muestreamos esta
ecuación, y reemplazamos la Ecuación B aquí:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
E.
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ), muestreamos ( )
( ) ( ) Reemplazamos en la ecuación anterior:
( ) ( ) ( ) ( )
Sabemos que ( ) ( ) ( ) ( ), luego reemplazamos la Ecuación A aquí:
( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos esta ecuación
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) , ( ) - ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( )
( )
Sabemos que ( ) ( ),reemplazamos la Ecuación B aquí:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1. Considere el sistema de control que se muestra a
continuación, con un periodo de muestreo T=0.1 seg y un
retenedor unitario ( ) (Delta de Kronecker). El
controlador PID discreto tiene estos parámetros: ,
, obtener:
A) La función de transferencia pulso compacta en lazo
cerrado del sistema en potencias negativas, donde:
( )
Y el controlador tiene como función digital:
( ) ( )
( )
( )
B) La estabilidad del sistema
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
SOLUCIÓN:
A)
( ) ( ) ( ) pero ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Muestreamos ( )
( ) ( ) ( )
( )
Muestreamos ( ) y Reemplazamos la Ecuación A en dicha ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ]
( )
( ) ( )
( ) ( )
Sabemos que ( ) ( ) ( )
( ) ,reemplazamos la
Ecuación B aquí:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Ahora procederemos a resolver cada término de la FT:
( )
Igualamos la ecuación anterior con la ecuación No 16 de la
tabla de transformada Z, sabiendo que T=1 seg:
( )
Comparamos denominadores:
.
/
√
( ) √
( )
( )
( √
)
( √
)
( )
√ *
+
Sustituimos el valor de ( ) en la función de transferencia:
( )
( )
[
√ [
] ] 0
( )1
*
√ [
] 0
( )1+
Resolvemos:
( )
( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Ahora reemplazamos nuevamente:
( )
( )
[
√ [
] ] [
( )
]
*
√ [
] [
( )
]+
( )
( )
√ [
]
√ [
]
( )
( )
√ [
]
( )
( )
√ , -
B) Hallaremos la estabilidad mediante el criterio de Jury,
mediante el criterio de 3 condiciones:
| | ( ) ( ) {
Tomamos el polinomio característico, ósea el denominador y lo
pasamos a potencias positivas para evaluar las condiciones
antes mencionadas:
( )
| | Se cumple
( ) ( ) ( ) ( )
, la función es impar
( ) ( ) ( ) ( )
Ahora armaremos la tabla para el criterio de Jury:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) , ( ) - ( ) , ( ) - ( )
( ) ( )
Como y es impar debe cumplirse que:
| | | | | | | | Se cumple
2. Obtener la función de transferencia (si existe) en el siguiente diagrama de bloques, así como su respuesta
ante una entrada escalón unitario.
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
SOLUCIÓN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Pero ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Muestreamos la ecuación 1:
( ) ( ) ( )
Reemplazamos la Ecuación A en la ecuación 2:
( ) ( ) , ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Reemplazamos la Ecuación B en la ecuación 3:
( ) , ( ) ( ) - [ ( )
( ) ( ) ( )]
Reemplazamos la Ecuación C en la ecuación 4:
( ) ( ) [ , ( ) ( ) - [ ( )
( ) ( ) ( )] ]
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Muestreamos ( ):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) , ( ) ( ) ( ) -
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Se necesita obtener la respuesta ( ) al escalón unitario del diagrama de bloques anterior, siendo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
Ahora procederemos a realizar la transformada Z a cada
término de la función ( ):
( ) {
} {
} {
}
( )
( )
( )
( ) {
} ,
- ( ) {
}
( ) ( ) ,
} ( ) *
( ) +
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( ) [
] *
( ) ( ) +
( ) ( )
( ) {
( ) ( ) }
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) {
( ) ( ) }
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Reemplazamos todas los terminos hallados en la ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) [ [
] [
] [
( )
] ]
( )
[ [
] [
] ]
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
3. Obtener la función de transferencia pulso ( ) ( )⁄ en el
siguiente diagrama de bloques.
SOLUCIÓN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Pero ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Despejamos ( ) de la ecuación 4:
( ) ( )
( )
Reemplazamos la Ecuación A en la ecuación 1:
( )
( ) ( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Reemplazamos la ecuación 2 en la ecuación 3 y
muestreamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Reemplazamos la Ecuación C y la Ecuación Alternativa en
la Ecuación B:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) *
( ) ( )
( )
( )
+ ( )
( ) *
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )+ ( )
( ) *
( ) , ( ) ( ) -
( ) , ( )
( ) -+ ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Ahora procederemos a realizar la transformada Z a cada
término de la función de transferencia:
( )
( ) {
} ,
- ( ) {
( ) }
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) {
( ) } ( ) *
( )
( ) ( )+
( ) ( )
( )
( ) ,
- ( ) {
( )( )}
Resolvemos por fracciones parciales la ecuación:
( )( )
( )( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) {
( )
( ) }
( ) ( ) [
( )
( ) ]
( ) ( ) *
( ) ( )
( ) +
( ) ( ) *
( ) ( )
( ) ( )( )+
( ) [
( )
( )( )]
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) *
( )( )+
( ) * ( ) ( )
( )( )+
( ) *
( ) ( )
( )( )+
( ) *
( ) ( )
( )( )+
( ) ( ) ( )
( )( )
Reemplazamos todas los terminos hallados en Z, en la
ecuación:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
[
]
[ [ ( ) ( ) ( )( )
] [ ( ) ( )
] ]
( )
( )
( )
( )( )
( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
( )
( )
( )( )
( )( )( ) ( ) ( )
4. Obtener la transformada Z del circuito (utilice mínimo 3
cifras decimales) cuya entrada es Vx y salida Vy y sus
respectivos valores de resistencias y condensadores son:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
SOLUCIÓN
Plantearemos 3 ecuaciones de nodos de la siguiente manera:
( )
( )
( )
Aplicamos el concepto de tierra virtual en la entrada no
inversora ( ) y la entrada inversora ( ):
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Despejamos de la Ecuación C y aplicamos tierra virtual:
[
]
[
]
( )
( )
Despejamos de la Ecuación B:
[
]
[
]
[
]
( )
Reemplazamos las ecuaciones 1 y 2 en la ecuación A:
( )
( )
( )
( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) * ( ) ( ) ( )
( )
+
( ) [
]
[
] ( )
Normalizamos el denominador, dividiéndolo entre para
que el coeficiente de sea 1:
Ahora reemplazamos los valores de cada componente:
( )( ) ( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Descomponemos el numerador en 2 terminos para poder igualar
la ecuación anterior con la ecuación No 16 de la tabla de
transformada Z:
( )
( )
( )
Comparamos denominadores:
( ) √ Ahora, reemplazamos los elementos hallados y comparamos de
nuevo:
( )
( √ )
( ) ( ) ( √ )
( √ )
( √ )
Se observa que los denominadores en rojo de ambas ecuaciones
son los mismos, pero los numeradores en verde no son los
mismos, así que el numerador de la derecha osea ( √ ) lo
multiplicamos por un número A:
( √ )
( √ )
( )
( √ )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( ) ( √ )
( )
( )
( )
[ ( √ ) ]
( √ )
5. En el siguiente diagrama de bloques: A) Obtener la función de transferencia pulso (si existe) B) Obtener la transformada Z de C(t) compacta del
sistema, en potencias negativas, con una entrada
delta de Kronecker y un periodo de muestreo igual a
5seg, si:
( )
( )
( )
SOLUCIÓN
A)
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Muestreamos esta ecuación:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Reemplazamos la Ecuación 1 en la Ecuación 2:
( ) ( ) , ( ) ( )
( ) - ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ), ( )
( ) ( ) -
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Sabemos que ( ) ( ) ( ) muestreamos ( ) y reemplazamos la Ecuación 3 aquí
( ) ( ) ( )
( ) ( ) *
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
B) Ahora procederemos a hallar la transformada Z en potencias
negativas, resolviendo cada término de la ecuación anterior:
( )
( )
( ) ,
( )
- ( ) ,
( ) -
( ) ( ) {
( ) }
( ) ( ) {
( )
}
Utilizamos la ecuación 8 de la tabla de transformadas Z para
compararla con la ecuación anterior y transformamos a Z,
sabiendo que T=5 seg:
( )
( )
( ) ( ) [
( )
( ) ( )]
( ) (
)
( )
( )
( ) {
}
( ) {
} {
( ) }
( ) , ( ) ( ) -
( ) ( )
( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Luego, reemplazamos los terminos hallados en la función de
transferencia:
( )
( )
[
( ) ] [
( )
]
[
( ) ] [
( )
] [
( ) ( ) ]
( )
( )
[
( ) ( ) ]
[
( ) ( ) ] [
( ) ( ) ]
Hacemos ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
[
]
[
] [
]
( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
6. Para el sistema representado, determinar: A) La evolución temporal de la señal W (t) durante las 3
primeras decimas de segundos si la secuencia * + es un escalón y la señal P (t)=0. (En este apartado se supone
que k=1).
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
B) Suponiendo que la secuencia * + es nula y la señal P (t) es un escalón unitario, determinar los valores de k que
hace estable el sistema.
C) Si la secuencia * + es nula, y tomando k=1: a) Determinar (si es posible) la función de
transferencia entre la señal P (t) y la secuencia
* +. b) Calcular (si es posible) la transformada Z de la
secuencia * + si la señal P (t) es un escalón
unitario.
SOLUCIÓN
A) Como la entrada P (t)=0 y K=1, el diagrama de bloques
anterior quedaría de la siguiente manera:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Reemplazamos la Ecuación 1 en la Ecuación 2:
( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) -
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), muestreamos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ), ( ) ( ) - ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Ahora procederemos a realizar la transformada Z a cada
término de la función de transferencia:
( ) ,
- ( ) {
}
( ) ( ) *
( )
( )( ) +
( ) ( )
( )
( )
Reemplazamos en la función de transferencia:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( )
0
1 [
( )
( ) ]
0
1 [
( )
( ) ]
( )
( )
0
1 [
( )
( ) ]
( ) ( ) , ( ) -( ) ( )
( )
( ) 0
1 [ ( )
( ) ] ,( ) ( )-
( ) ( ) , ( ) -
Como T=0.1 seg:
( )
( ) 0
1 [ ( )
( ) ] ,( ) ( )-
( ) ( ) , ( ) -
( )
( ) 0
1 [ ( )
( ) ] ,( ) ( )-
( ) ( ) , ( ) -
( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
Las pasamos a potencias positivas multiplicando arriba y
abajo por :
( )
( )
Ahora, como se necesita es w (t), del diagrama de bloques
inicial y ( ) es la entrada paso, se sabe que:
( ) ( ) ( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( ) ( ) ( )
( )
Reemplazamos la Ecuación B en la Ecuación A:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) * ( )
( ) +
Como ya se sabemos, ( )
( ) fue la función en potencias positivas
hallada anteriormente:
( )
[
]
( )
*
+
( )
*
+
Como se sabe, ( ) es un retenedor de orden cero cuya
ecuación en transformada Z es:
( ) ,
- ( ) {
} ( )
( )
( )
Reemplazando ( ), Ecua.1 y Ecua.2 en la ecuación
alternativa, nos queda:
( )
*
+ 0
1
( )
( ) *
+
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( ) ( )
( )
( )
Ahora pasaremos a observar la evolución temporal de ( ), pero para esto, debemos realizar el método de la división
directa para poder hallar la secuencia de la señal:
Para graficar ( ) se toman los coeficientes del cociente y se multiplican por 3 siguiendo la trayectoria directa en el
diagrama de bloques:
( ) ,
- Graficamos:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
B) Suponiendo que la secuencia * + es nula y la señal P (t) es un escalón unitario, determinaremos los valores de k que
hace estable el sistema. Analizando el polinomio
característico, hallaremos los valores de k para cual el
sistema es estable sin importar la entrada al sistema:
( ) ( ) ( )
( )
* ( )
( ) +
Pasamos a potencias positivas:
( )
[
( ) ]
( )
( )
Ahora pasaremos a calcular la Estabilidad de Jury mediante el
criterio de 3 condiciones:
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
| | ( ) ( ) {
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
NOTA: si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la
desigualdad cambia:
Armamos el intervalo para el cual el sistema es Estable:
C) Si la secuencia * + es nula, y tomando k=1:
a) No existe función de transferencia entre ( ) y * + debido a que ( ) es una señal continua que no proviene de una reconstrucción, y al momento de sumarse con la
señal ( ) y ser multiplicada por ( ) y luego ser
muestreada, se perderá información.
b) Si la señal P (t) es un escalón unitario, hallaremos
la secuencia * + en terminos de Z en potencias
positivas:
( ) * ( ) ( ) +
( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Hallamos la transformada z del numerador:
{
} {
( ) } *
( )
( )( ) +
*
+
*
+
Pasando a potencias positivas:
[
]
[
]
Armamos nuevamente la función:
( ) 0
1
( )
Reemplazamos el valor de ( ) en la anterior ecuación:
( ) 0
1
* 0
1 0 1+
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
( )
( )
7. En un proceso de fabricación, el departamento de control genera sin retraso una ley de control, proporcional
K(K >0), según la diferencia entre lo perdido y lo
reproducido.
El departamento de fabricación tarda una semana en
reparar los productos defectuosos.
Los fabricados y los reparados van al departamento de
calidad, que, sin retraso, detecta los defectuosos (20% según la experiencia).
El 20% de los productos válidos es almacenado durante una semana a fin de evitar posibles pérdidas de clientes
ante fallos en el proceso de fabricación.
El 80% de los productos válidos es sumado a los
almacenados la semana anterior e introducidos en el
departamento de embalaje, que tarda una semana en llevar
a cabo su cometido.
El balance de todas las variables se realiza al final de
cada semana. Se pide:
a) Función de transferencia Z entre lo producido y lo perdido.
b) Determinar el rango de K para que el sistema sea
estable.
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
SOLUCIÓN
Armaremos el diagrama de bloques:
Emplearemos la siguiente nomenclatura:
Las ecuaciones en diferencia que describen el comportamiento
antes mencionado son:
( )
Como las ecuaciones antes planteadas son lineales, hallaremos
la transformada Z de cada una de ellas:
( ) ( ( ) ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), - ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Ahora procederemos a armar el nuevo diagrama de bloques
basándonos en las ecuaciones antes descritas:
Hallamos la función de transferencia:
( )
( )
[ (
) ( ) ( ) ]
[ (
) ( ) ( ) ]
( )
( )
[ ( ) ( )
]
[ ( ) ( )
]
( )
( )
[
( ) ]
[
( ) ]
Cancelamos terminos semejantes, sacamos K como factor común y
pasamos a potencias positivas:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Ahora pasaremos a calcular la Estabilidad de Jury mediante el
criterio de 3 condiciones:
| | ( ) ( ) {
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
NOTA: si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o
dividen por una misma cantidad negativa, el signo de la
desigualdad cambia:
| |
| |
Aplicamos la propiedad del valor absoluto:
Propiedad 8: Sea X una variable real y R un número real
positivo entonces:
| |
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Existen 2 posibles soluciones:
( )
Por consiguiente:
Como ( ) , entonces el anterior intervalo se
reescribiría de la siguiente manera:
Armamos la tabla de Jury:
( ) ( ) , ( ) - , - ( )
( ) ( )
Como y es impar debe cumplirse que:
| | | | | | | |
FACULTAD DE INGENIERIAS Y TECNOLIGIAS
UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR - UPC
EJERCICIOS DE CONTROL II
INGENIERO: LUIS VIRGILIO CRUZ ACOSTA
Inquietudes y Aportes: [email protected]
Y como ya habíamos definido qué , y ambos terminos son negativos ( ), puede expresarse la ecuación así:
Multiplicamos por (-1) la desigualdad:
Dividimos toda la expresión entre ( ) para poder calcular las raíces:
Por consiguiente las raíces son: y Como ya habíamos definido qué , entonces el
intervalo para el cual el sistema es Estable es: