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Vil

la G

on

zále

z

20

12

Fu

nd

am

en

to

s M

ate

má

tic

os

Fundamentos Matemáticos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1

gvilla@ipn.mx

Fundamentos Matemáticos

Fundamentos Matemáticos Página 2

Nombre: SOLUCIÓN Calificación

Grupo: 1PM1 Fecha:12-04-2012

Fundamentos Matemáticos

Instrucciones:

• La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problemas propuestos Uso de identidades fundamentales

Utilice identidades fundamentales para simplificar la expresión. Hay más de una forma correcta

para cada respuesta.

3

sec tanx x−

Solución

Utilizamos un conjugado en el denominador

( )

( )

( )

2 2

3 sec tan3 sec tan

sec tan sec tan sec tan3 sec tan

13 sec tan

x xx x

x x x x x xx x

x x

++• =− + −

+=

= +

Verifique la identidad

( )( )

csccot

sec

xx

x

−= −

−

Solución

Utilizamos la propiedades de propiedades de funciones pares e impares

csc( ) csc

sec( ) sec

x x

x x

− = −− =

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Fundamentos Matemáticos Página 3

( )1/csc( )

sec( ) 1/ cos( )

cos( )

( )

cos

cot

sen xx

x x

x

sen x

x

senxx

−− =− −

−=−

=−

= −

Problema de Ley de Senos

Distancia. Un bote navega al este, paralelo a la línea costera, a una velocidad de 10 millas por

hora. En un instante dado, el rumbo hacia el faro es S70°E y 15 minutos después el rumbo es de

S63°E (vea la figura). El faro esta ubicado en la línea costera. ¿Cuál es la distancia desde el bote

hasta la línea costera?

70° 63°

d

N

S

E O

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Fundamentos Matemáticos Página 4

Solución

En 15 minutos el barco ha viajado ( ) 1 1010

4 4d v t mph hr millas = • = =

( )

( )

180 20 (90 63 )

7

10 / 4

7 207.0161

277.

180 90 20 70

180 70 110

180 110 63 7

01613.2

y

sen seny

dsen

d millas

ó

θ

θ

θθ

θ= − ° + ° = °= − = °= ° − ° + ° = °

= ° − ° − ° + °= °

=° °

≈

° =

≈

Problema de Ley de Cosenos

Distancia. Dos barcos zarpan de puerto a las 9:00 a.m. Uno navega con rumbo de N53°O a 12

millas náuticas por hora y el otro navega con rumbo S67° O a 16 millas náuticas por hora.

Aproxime la distancia a la que se encuentran al mediodía.

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Fundamentos Matemáticos Página 5

Solución

( )( )( )( )

1

2

12 / 3 36

16 / 3 48

d v t millas hr hr millas

d v t millas hr hr millas

= • = =

= • = =

( )( ) ( )

2 2 2

2 2

180 53 67 60

2 cos

36 48 2 36 48 0.5

1872

43.3

C

c a b ab C

c millas

= ° − ° − ° = °= + −

= + −=

≈

Sistema de ecuaciones de 1 ó 2 Variables

Resuelva en forma grafica o algebraica los siguientes sistemas de ecuaciones

2 2

3 7 6 0

4

x y

x y

− + = − =

Solución

2 2

3 7 6 0 Ecuación 1

4 Ecuación 2

x y

x y

− + = − =

Despejando 3 6

Ecuación 37

xy

+=

Substituyendo en la ecuación 2 tenemos:

22 3 6

47

xx

+ − =

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Fundamentos Matemáticos Página 6

Desarrollando la última ecuación

( )

22

2 2

2

9 36 364

49

49 9 36 36 196

40 36 232 0

294(10 29)( 2 0 , 2

10

x xx

x x x

x x

x x x

+ +− =

− + + =

− − =

− + = ⇒ = −

Sustituyendo en la ecuación 3 tenemos:

( )

( )

( )

3 29 /10 629 3 6 21;

10 7 7 103 2 63 6

2; 07 729 21

: , , 2,010 10

xx y

xx y

Soluciones

++= = = =

− ++= − = = =

−

Problemas de Sistemas de Ecuaciones

Análisis del punto de equilibrio. Una compañía de software invierte 16,000 dólares para producir

un paquete que se venderá por 55.95 dólares. Cada unidad puede producirse por 35.45 dólares.

a. ¿Cuántos paquetes debe vender para lograr el punto de equilibrio?

b. ¿Cuántos debe vender para una ganancia de 60,000 dólares?

Solución

35.45 16,000, 55.95

)

55.95 33.45 16,000

20.50 16,000

781

)

60,000 55.95 (35.45 16,000)

60,000 20.50 16,000

76,000 20.50

3708

C x R x

a

R C

x x

x

x unidades

b

P R C

x x

x

x

x unidades

= + =

== +=

≈

= −= − += −=

≈

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Fundamentos Matemáticos Página 7

Sistemas de ecuaciones con tres variables

Resuelva el sistema de ecuaciones por Gauss Jordan y verifique cualquier solución

3 5 5 1

5 2 3 0

7 3 0

x y z

x y z

x y z

− + = − + = − + =

Solución

3 5 5 1

5 2 3 0

7 3 0

6 10 10 2

5 2 3 0 2 .1

7 3 0

8 7 2

0 38 32 10 -5 .1 .2, 7 .1 .3

0 55 46 14

8 7 2

0 2090 1760 550 55

0 2090 1748 532

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z Eq

x y z

x y z

x y z Eq Eq Eq Eq

x y z

x y z

x y z E

x y z

− + = − + = − + =

− + = − + = − + =

− + = + − = − + − + + − = −

− + = + − = − − + =

.2, 38 .3

8 7 2

0 2090 1760 550 .2 .3

0 0 12 18

312 18

23

38 32 10 12

3 18(1) 7 2

2 2

1 3: , 1,

2 2

q Eq

x y z

x y z Eq Eq

x y z

z z

y y

x x

Solución

−

− + = + − = − + + − = −

− = − ⇒ =

− = − ⇒ =

− + = ⇒ = −

− −

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Fundamentos Matemáticos Página 8

Problemas de sistemas de ecuaciones de tres ó más variables

Mezcla Acida. Un químico necesita 10 litros de una solución acida al 25%, misma que se mezclara

a partir de tres soluciones que sus concentraciones son 10%, 20% y 50%. ¿Cuántos litros de cada

solución satisfacen la condición?

a. Utilice 2 litros de la solución al 50%

b. Utilice la menor cantidad posible de la solución al 50%

c. Utilice la mayor cantidad posible de la solución al 50%

Solución

a) Se usan dos litros de solución al 50%: Por lo tanto hacemos x = concentración de

solución al 10%, y = concentración de solución al 20%:

8 8 Ecuación 1

(0.10) (0.20) 2(0.50) 10(0.25) Ecuación 2

Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2

0.10 0.20(8 ) 1 2.5

0.10 1.6 0.20 1 2.5

0.10 0.1

x y y x

x y

x x

x x

x

+ = ⇒ = −+ + =

+ − + =+ − + =

− =

Por lo tanto tendremos que:

x = 1 Litro al 10%de solución

y = 7 Litros al 20% de solución

Nos dan 2 litros de solución al 50% lo cual no es posible

b) Para usar la menor cantidad de solución al 50%, el químico no debe utilizar la

concentración al 10%

Hacemos:

x = Concentración al 20%

y = Concentración al 50%

10 10 Ecuación 1

(0.20) (0.50) 10(0.25) Ecuación 2

Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2

(0.20) (10 )(0.50) 10(0.25)

(0.20) 5 0.50 0.25

0.30 2.5

x y y x

x y

x x

x x

x

+ = ⇒ = −+ =

+ − =+ − =

− = −

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Fundamentos Matemáticos Página 9

Tenemos que:

18

3x = Litros al 20% de solución

21

3y = Litro al 50% de solución

c) Para usar la mayor cantidad posible de solución al 50%, el químico no deberá usar la

concentración al 20%

Por lo tanto tendremos:

x = Concentración al 10%

y = Concentración al 50%

( )10 10 Ecuación 1

0.10 (0.50) 10(0.25) Ecuación 2

Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2

0.10 0.50(10 ) 2.5

0.10 5 0.50 2.5

0.40 2.5

x y y x

x y

x x

x x

x

+ = ⇒ = −+ =

+ − =+ − =

− = −

Tenemos que:

16

4x = Litros al 10% de solución

33

4y = Litro al 50% de solución