Universidad de Costa Rica – Escuela de FısicaSOLUCION DEL I EXAMEN PARCIAL DE FISICA GENERAL III (FS0410), I ciclo del 2015

I. Seleccion Unica: 20 pts. (2pts. por pregunta)

1. OPCION (b)

2. OPCION (a)

3. OPCION (c)

4. OPCION (c)

5. OPCION (a)

6. OPCION (d)

7. OPCION (b)

8. OPCION (b)

9. OPCION (b)

10. OPCION (d)

II. Desarrollo: 80 pts.

1. (Miguel Araya) Un cable conductor se encuentra en un plano y tiene la forma de la funcion y = x2, con lascoordenadas medidas en metros en algun sistema de referencia. En ese sistema de referencia, el cable comienzay termina en los puntos con coordenadas (x, y), medidas en metros, dados por P1 : (−1, 1) y P2 : (1, 1),respectivamente; ademas, lleva una corriente electrica constante de i = 0, 50 A desde P1 hasta P2. Se coloca elalambre en un campo magnetico que depende de la coordenada y de la forma ~B = (2, 0 T/m) y . Encontrar lamagnitud y direccion de la fuerza sobre el alambre (20 pts.).

SOLUCION Al ser el campo no uniforme, la fuerza en su forma mas general es

~F =

∫i ~dl × ~B (5pts.)

= i

∫(dxı + dy)× (2, 0 y ) = 2, 0i

∫y dx k (10pts.)

= 2, 0i k

∫1

−1

x2dx (2,5pts.)

~F =4, 0i

3k = (0, 67N) k. (2,5pts.)

2. (Elian Conejo) Un solenoide con 30 vueltas y seccion transversal circular de radio r = 0, 050 m tiene una corriente

i = 5, 0 A. Se coloca el solenoide en un campo magnetico uniforme ( ~B en la figura) de magnitud 1,2 T que es entodo punto paralelo a la seccion transversal, como se muestra (se incluye sistema de referencia). Encontrar (20pts.):

(a) El momento dipolar del solenoide (magnitud y direccion) (8 pts.).

(b) El torque magnetico sobre el solenoide (8 pts.).

(c) ¿Que magnitud de fuerza se requerirıa aplicar en lados opuestos del solenoide (puntos A y D) para que semantenga en la orientacion indicada? (4 pts.)

SOLUCION

1

(a) El momento dipolar es, por definicion,

~µ = Ni ~A = Niπr2 (6pts.)

~µ = 30× 5, 0× π(0, 050)2 Am2 = 1, 2 Am2 (2pts.)

(b) El torque es entonces (redondeando al final)

~τ = ~µ×~B (3pts.)

~τ = (1, 178 )× (1, 2 ı) Nm (4pts.)

= (−1, 4 Nm) k (1pt.)

(c) Se consideraran fuerzas a lo largo del eje y, aunque obviamente esta no es la unica posibilidad (fuerzas concomponentes en las dos dimensiones pueden ser soluciones correctas). La magnitud, F , de estas fuerzasdebe satisfacer

2rF = 1, 4 Nm (3pts.)

F = 14 N (1pt.)

3. (Manuel Mesen) Un alambre recto finito se encuentra sobre el plano xy y tiene las dimensiones e inclinacion quese indican en la figura, y transporta una corriente electrica que varıa con la distancia r al origen segun i(r) = (2, 0A/m5) r5. Determinar la magnitud y direccion del campo magnetico en el origen del sistema mostrado (el puntoP de la figura) (20 pts.).

SOLUCION

Si la ecuacion que describe el alambre es de la forma y = mx + b, entonces, de la figura se ve que m = 1 yb = 2, 0, y el elemento de corriente en la direccion ~ds = dxı+ dy = dxı+ dx. la posicion de P es ~r = −xı− y,por lo que este elemento contribuye al campo

~dB =µ0 i(x, y)

4π

(dxı+ dx)× (−xı− y)

(x2 + y2)3/2(10pts.)

=2, 0µ0 (x

2 + y2)5/2

4π

(dxı+ dx)× (−xı− y)

(x2 + y2)3/2=

2, 0µ0

4π(x2 + y2)(dxı + dx)× (−xı− y) (5pts.)

=µ0k

2π(x2 + y2)(x− y)dx =

µ0k

2π(−2)(x2 + (x+ 2)2)dx = −

µ0

π(2x2 + 4x+ 4)dx k

Por lo tanto, el campo magnetico es

~B = −

µ0

π

∫2

0

(2x2 + 4x+ 4)dx k = (−8, 5× 10−6 T) k.

4. (Heidy Gutierrez) Un cable conductor cilındrico hueco muy largo, de radio interno R y radio externo 2R, conduceuna corriente electrica (en la region entre R y 2R) definida por una densidad de corriente no uniforme dada porJ(r) = J0r/R, donde r es la distancia medida desde el centro del cilindro. Encontrar la magnitud del campomagnetico en las regiones (20 pts.):

(a) R < r < 2R (10 pts.).

(b) 2R < r (10 pts.).

SOLUCION

2

(a) Para R < r < 2R, por la ley de Ampere y la simetrıa circular del campo,

∮~B1 ·

~ds = B12πr = µ0i1 (2pts.)

la magnitud del campo es tal que

B1 2πr = µ0

∫ r

R

J0r′

R2πr′dr′ (5pts.)

B1 =µ0J03rR

(r3 −R3). (3pts.)

(b) Fuera del alambre, de nuevo por la ley de Ampere y la simetrıa circular del campo,

∮~B2 ·

~ds = B22πr = µ0i2 (2pts.)

B22πr = µ0

∫2R

R

J0r′

R2πr′dr′ (5pts.)

B2 =7µ0J0R

2

3r. (3pts.)

3