8/18/2019 Solucion Taller Funciones

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UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA

FAEDIS

Profesora: Helena Dulcey Hernández

Matemáticas - Contaduŕıa Noviembre, 2015

Solución Taller sobre Funciones   30%

“Vive como si fueses a morir ma˜ nana.

Aprende como si fueses a vivir siempre.”

Mahatma Gandhi.

Fecha de entrega:  Noviembre 2 de 2015.

1. (8 puntos) Evalúe cada una de las siguientes funciones en los puntos indicados

a.   f (x) = 3 − 4x  cuando  x = −1, 0, 1,Solución:

Cuando  x = −1 se tiene que  f (−1) = 3 − 4(−1) = 3 + 4 = 7

Cuando  x = 0 se tiene que  f (0) = 3 − 4(0) = 3 − 0 = 3Cuando  x = 1 se tiene que  f (1) = 3 − 4(1) = 3 − 4 = −1Cuando  x =  se tiene que  f () = 3 − 4() = 3 − 4

b.   f (x) =  x2 − 2x − 3 cuando  x = −1, 1, 3,Solución:

Cuando  x = −1 se tiene que  f (−1) = (−1)2 − 2(−1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 0Cuando  x = 1 se tiene que  f (1) = (1)2 − 2(1) − 3 = 1 − 2 − 3 = −4Cuando  x = 3 se tiene que  f (3) = (3)2 − 2(3) − 3 = 9 − 6 − 3 = 0Cuando  x =  se tiene que  f () = ()2

−2()

−3 = 2

−2

−3

2. (5 puntos) Haga la gráfica de la función

y =  f (x) =

−100x + 1.000 si 0 ≤ x

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A. 0 B. 2 C. 5 D. 7

Solución: Se pide evaluar la función cuando

  x = −1, por tanto el comportamientopara dicho valor es |x − 6| = | − 1 − 6| = | − 7| = 7 y por tanto la respuesta correcta

es la opción  D.

b. En el gráfico, se muestran las tarifas de un estacionamiento por horas. Un automovi-lista estaciona durante 4 d́ıas: el primer d́ıa 152 minutos, el segundo d́ıa 180 minutos,el tercer dı́a 90 minutos y el cuarto dı́a 210 minutos. ¿Cuánto canceló en total por losd́ıas que estacionó?

A. $1.900

B. $2.000

C. $2.300D. $2.400

Solución: Se requiere calcular lo que pagó en cada d́ıa de estacionamiento, haciendouna lectura de la gráfica suministrada, se debe tener en cuenta que el eje  x  está dadoen horas y las indicaciones del problema nos indica en minutos, aśı que se debe hacerla conversión respectiva. Por tanto,

Primer dı́a : 152 minutos está entre 2 y 3 horas, y por tanto se paga $600

Segundo d́ıa: 180 minutos equivale exactamente a 3 horas y el valor correspondea $600

Tercer d́ıa: 90 minutos está entre 1 y 2 horas y el valor es $400

Cuarto d́ıa: 210 minutos está entre 3 y 4 horas, aśı $700

Luego, el total cancelado corresponde a la suma de todos estos valores 600 + 600 +400 + 700 = 2300 y por tanto la opción correcta es la  C.

c. Dada la gráfica de la función

De las afirmaciones

I.   f (−2)  > f (4)

II.   f (−1) +  f (3) =  f (−3)III.   f (−6) − f (8) = 2

son ciertas

A.   I 

B.   II 

C.   I  y  II 

D.   II   y  III 

Solución:  Para resolver este ejercicio se debe comprobar cada una de las afirmacionespara luego ver cuáles se cumplen y seleccionar la respuesta correcta.

Para la afirmación  f (−2)  > f (4), recordemos que  f (−2) significa ver el valor que tomay   cuando   x  = −2, haciendo lectura de la gráfica se observa que   f (−2) = 3 y por tantof (4) = 1, luego como 3 es mayor que 1 entonces la afirmación es correcta y se tiene queI  se cumple.

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Para la afirmación f (−1) + f (3) = f (−3), se tiene que  f (−1) = 2,  f (3) = 2 y  f (−3) = 4,por tanto 2 + 2 = 4 y esto hace correcta la afirmaci ón.

Para la afirmación  f (−6) − f (8) = 2, se tiene que  f (−6) = 4,  f (8) = −2, comprobemossi al restar estos valores obtenemos 2 como resultado, por tanto 4 − (−2) = 4+ 2 = 6̸ = 2Aśı, NO se cumple esta afirmación.

Luego, las afirmaciones correctas corresponden a  I  y  I I  y por tanto la opción correcta esla  C.

4. (12 puntos) En una empresa de confecciones la producci ón de 1.500 camisas cuesta$55.000.000 y la producción de 5.000 unidades cuesta $125.000.000. Determine una funciónpara la producción suponiendo que es lineal.

Solución:

Para encontrar la función de costo, se utilizan los dos puntos que se han dado, teniendoen cuenta que la variable independiente es la producción y la variable dependiente es elcosto, aśı los puntos son (1.500   

x0

, 55.000.000   y0

) y (5.000   x1

, 125.000.000   y1

), con estos puntos se

encuentra la pendiente

m = 125.000.000 − 55.000.000

5.000 − 1.5000   = 70.000.000

3.500  = 20.000

Ahora solo falta encontrar el valor de   b  para ello se utiliza un punto de los dados y sereemplaza en  y =  mx + b, por tanto

55.000.000 = 20.000(1.500) + b

55.000.000 = 30.000.000 + b

55.000.000 − 30.000.000 = b25.000.000 = b

Luego la función buscada es

C (x) = 20.000x + 25.000.000

Con base en esta función lineal de costos, determine

a. Si se producen 800 camisas, ¿cuál será su costo?.

Solución: Se debe evaluar la función costo con  x = 800, ası́

C (800) = 20.000(800) + 25.000.000 = 16.000.000 + 25.000.000 = 41.000.000

Luego, producir 800 camisas tiene un costo de 41 millones de pesos.

b. Para un costo de producción de $80.000.000, ¿cuántas camisas se producirán?.

Solución:  Ahora se nos da el valor de costo, y se debe encontrar el valor de   x, portanto

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80.000.000 = 20.000x + 25.000.000

80.000.000 − 25.000.000 = 20.000x55.000.000 = 20.000x

55.000.000

20.000  = x

2.750 = x

Se deben producir 2.750 camisas para tener un costo de 80 millones de pesos.

c. ¿Qué interpretación tienen la pendiente y el intercepto con el eje de las ordenadas dela función hallada?

Solución: La pendiente representa que producir una camisa tiene un costo de 20.000y la intersección con el eje   Y  en este caso que es 25.000.000 significa los costos fijosque se tienen, es decir el valor que se debe pagar independiente de la producci ón,como por ejemplo los impuestos, arriendo, servicios, etc.

d. Trace la gráfica

5. (10 puntos) La función de demanda para una ĺınea de lap - tops de una compañı́a deelectrónica es   p   = 2400 − 6q , donde   p   es el precio (en dólares) por unidad cuando losconsumidores demandas   q   unidades (semanales). Encuentre el nivel de producción quemaximizará el ingreso total del fabricante y determine este ingreso.

Solución: Recordemos que el ingreso está dado por  I  =  pq , luego

I  = pq 

I  = (2400 − 6q )q = 2400q − 6q 2

Esta función es cuadrática, donde  a  = −6,  b  = 2400 y  c  = 0, como  a  es negativo entonceses una parábola que abre hacia abajo y por tanto el vértice corresponde al máximo de lafunción, en consecuencia se debe encontrar el vértice para poder resolver el ejercicio, deesta manera se tiene que

q  = −   b2a

 = −   24002(−6) =

 2400

12  = 200

Aśı el nivel de producción debe ser de 200 unidades semanales para tener un ingresomáximo de

I (200) = 2400(200) − 6(200)2 = 480.00 − 6(40.000) = 480.000 − 240.000 = 240.000