UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADAFACULTAD DE ESTUDIOS A DISTANCIA

Programa: Ingeniera Civil Asignatura: Ecuaciones DiferencialesTutor : Jorge A. Len R.Semestre: Quinto

Nota: En adelante utilizaremos la abreviacin ED para ecuacin diferencial.

TEMAS A EVALUAR

Unidad 1 Clasificacin de las ecuaciones diferenciales Problemas de valor inicial

Unidad 2 ED de primer orden de variables separables ED lineales ED exactas ED Homognea ED de Bernoulli.

Unidad 3: Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

EJERCICOS PROPUESTOS

1. En los siguientes problemas establezca si la ED es lineal o no lineal, indique el orden de cada ecuacin y decida si la ecuacin es ordinaria o parcial:

a. b. c.

d. e.

f.

A. Orden 2: Porque la mxima derivada es grado 2Lineal: Porque sus coeficientes (1-x), -4x, 5 y cos(x); dependen de XOrdinaria: Es ordinaria porque contiene una derivada cuya variable dependiente es Y la variable independiente X.

B. Orden 3: Porque la mxima derivada es grado 3No Lineal: Porque la primera derivada esta elevada a la potencia 4 Ordinaria: Es ordinaria porque contiene una derivada cuya variable dependiente es Y la variable independiente es X.

C. Orden 2: Porque la mxima derivada es grado 2No Lineal: Porque sus coeficientes no dependen solo de XParcial: contienen derivadas parciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes (u,x y t).

D. Orden 1: Porque la mxima derivada es grado 3No Lineal: Porque la primera derivada esta elevada a la potencia 4 Ordinaria: Es ordinaria porque contiene una derivada cuya variable dependiente es y la variable independiente.

E. Orden 2: Porque la mxima derivada es grado 2Lineal: Porque sus coeficientes 1, u y cos(r+u); dependen de UOrdinaria: Es ordinaria porque contiene una derivada cuya variable dependiente es U la variable independiente R.

2. En los problemas siguientes verifique que la funcin indicada sea una solucin explicita de la ED dada.

a.

;

Reemplazando:

= Se cumple la igualdad,Si es explicita

b.

;

Reemplazando:

= Se cumple la igualdad,Si es explicita

c.

; Reemplazando:

=

= No cumple la igualdad, No es explicita

d.

;

Reemplazando:

=

3. Resuelva para m.

a.

Determine valores tales que la funcin: sea una solucin de la ED . Explique su razonamiento.b.

Determine valores tales que la funcin sea una solucin de la ED . Explique su razonamiento.

4. Resolver las siguientes ED:

5. a. b. c. d. e.

f. g.

h. i. j. k.

6. Resolver las siguientes ED de Bernoulli.

a. b. c. d. e. f.

PROBLEMAS

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

7. La tasa de disminucin del elemento Radio es proporcional a la cantidad que queda de l. Pruebe que la cantidad C de radio presente en el momento t est dada por .

8. Segn la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad a que se enfra una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si, cuando la temperatura del aire es de 18 0C, se enfra una sustancia desde 80 0C hasta 65 0C en 16 minutos, hallar la temperatura despus de 35 minutos.

9. El nmero de bacterias en un cultivo aumenta de 800 a 1600 en dos horas. Encontrar una frmula para el nmero de bacterias en el tiempo t, suponiendo que en cada momento la tasa de crecimiento es directamente proporcional al nmero de bacterias. Cul ser el nmero de bacterias al cabo de 4 horas?

10. La ley de Newton del enfriamiento afirma que la rapidez con que un objeto se enfra es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que los rodea. La temperatura de un objeto baja de 135 F. a 90 F. en 1/2 hora, Estando rodeado por aire a una temperatura de 65 F. Calcular su temperatura al cabo de otra media hora.

11. Se calcula que la poblacin del mundo en 1900 era de 1600 millones de personas y que para 1950 haba aumentado a 2510 millones. Cul ser la poblacin del mundo en el ao 2010, suponiendo que hay alimento y espacio vital ilimitados?

12. Un termmetro se lleva al exterior donde la temperatura ambiental es de 70 grados Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos, el termmetro registra 65 grados Fahrenheit, 4 minutos despus registra 58 grados Fahrenheit. Cul era la temperatura del interior?

13. El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la poblacin inicial es de 500.000; y al cabo de 3 aos es de 550.000. Qu poblacin habr en 8 aos?

14. La cantidad de bacterias de un cultivo crece proporcionalmente al nmero de bacterias que haya en un instante dado. Se observa que al cabo de 2 horas el nmero de bacterias es de 160 y al cabo de 5 horas es de 460. Cuntas bacterias haba inicialmente?

15. Un gran tanque con 2000 litros de agua pura se comienza a verter una solucin salina a razn constante de 5 litros/minuto. La solucin dentro del tanque se mantiene revuelta y sale del tanque a razn de 5,5 litros/minuto. Si la concentracin de sal en la solucin que entra al tanque es de 0.2 Kg/litro, encuentre el momento en que la concentracin de sal en el tanque llega a 0,08 Kg/litro.

16. En el problema 9 suponga que la solucin salina sale del tanque a razn de 4,5 litro/minuto en vez de 5 litros/minuto, mantenindose el resto igual. Determine la concentracin de sal en el tanque como una funcin del tiempo.17. Un termmetro que indica 75 F se coloca sobre un horno a una temperatura constante A travs de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termmetro lee 115 F despus de 30 segundos y 150 F despus de 60 segundos. Cul es la temperatura del horno?