-
1
1 RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45
.....................................................................................2
2 PROBLEMAS RELATIVOS A TRINGULOS RECTNGULOS Pag:112
...........................................18
3 NGULOS DE ELEVACIN Y DEPRESIN Pagina:123
...............................................................27
4 RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS Pgina: 146
....................................................38
5. LEY DE SENOS Pg: 137.42
6 IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Paguina:276
.....................................................................47
7 ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Pgina : 284
........................................................................81
-
2
RELACIONES FUNDAMENTALES PAG:45 1
DEMOSTRAR LAS SIGUIENTES IGUALDADES
a) Cos x tan x = Sen x
b) Sen x Sec x = Tan x
c) Sen y cot y = cos y
d) (1+tan y) Cos y = 0
-
3
e) Sen A+Sen A . tan A = tan A
f) Cot A Cos A = Cot A Cos A
g) Tan A + Cot A = Sec A Csc A
-
4
h) Cos A Csc A= Cot A
Cot A
i) Cos A Sen = 1 2 Sen A
j) Cos A Sen A = 2 Cos A 1
k) (1+ Cot B) Sen B = 1
(
)
-
5
(
)
l)
(
)
(
)
m) Sec A+ Csc A = Sec A CscA
n)
-
6
o)
p)
q)
r)
-
7
s) Cos B tan B + Sen B Cot B = Sen B +Cos B
t)
u)
v)
-
8
Usando las relaciones fundamentales( 13) a (20), Calcular los
valores de todas las funciones a
partir de los siguientes datos:
4. Cos A ,cuando A est en el segundo cuadrante
(
)
(
)
;
;
-
9
(
)
5.
-
10
6. Csc A = -3, cuando A est en el cuarto cuadrante
( )
-
11
7.
( )
4
8.
-
12
9.
Calcular Algebraicamente el valor de cada una de las siguientes
expresiones a partir de los datos
dados. Considerar en cada caso el ngulo como agudo
Calcular
10.
-
13
* (
) +
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11. (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)
12.
( )
(
)
-
14
13.
(
)
14.
Ordenando se tiene
-
15
15.
(
)
2
-
16
16. Transformar las siguientes expresiones en otras que no
contengan mas que senos y cosenos
a)
b)
c)
17. Transformar las siguientes expresiones en otras equivalentes
que contengan solamente tg A
a)
(
)
(
)
b)
-
17
c)
Transformar las siguientes expresiones en otras que no contengan
mas que senos y cosenos
18.
19.
20.
21.
-
18
35
a c
b=5m A
a
c
b=5m A
35
B
C
PROBLEMAS RELATIVOS A TRINGULOS RECTNGULOS Pag:112 2
TRIGONOMETRA
b=? A C
55
c=10m
B
-
19
a=2 millas A
A
15
b=?
navio
b=?
A
C
a=30m
5
c=10m
observador
smastil
b=?
A
C
?
c=12m
b=?
a=6m
B
-
20
35 35
c=? c=?
B
393,18m
35
c=?
B
b=1965
a=
C A
B
a=150m
300m
35
c=?
D
d=150m
a=150m
C A
B
-
21
a
b=24cm
?
c
D
d=12m
a=
C A
B
? ? A
A
48 24
b=50m
a =35,01
b=100m
c
D
a=35,01m
C A
B
C
35
45
12m
12,60
24m
45
c=
b=6,3m
-
22
X
r
B
A C
R
b= l=24cm
D
-
23
-
24
(
)
/2
l=21,78cm
-
25
r R
B
b
l=24cm
-
26
(
)
-
27
B
a=24m
C A b=?
60
60
B
a=120m
C A b=?
2743
2743
c=?
NGULOS DE ELEVACIN Y DEPRESIN Pagina:123 3
B
a=?
C A
l=250m
40
B
a=?
C A b=200m
60
B
a=10m
C b=8,391
?
-
28
A
b=350m
C B
a=?
5012
B
a=?
C A b=300m
2116
2116
X
r R
B
( )
B
a=1m
C A b=40m
l
l
l
l
A
b
l=12cm
-
29
41,36m
48 14537
41,36m
R
x
b=
B
B
R x
b
c=1027m
R x
b=
45
N=10millas/h
N
E
-
30
7h 10h
a=10,32millas
1813
7h 7h30
1813
a=10,32millas
10h37 12h
a
37
37
N
N
-
31
70
b
x
a
B
b
b b
a=10m a=6
60 30
c=12m
c=12m
b b
a1 a2
60 30
-
32
2715 4618
2715 4618
b2
b1
-
33
25
35 25
35
A
B
a1
a2
45 45
a
b
10 15
y
1 milla
200 x
-
34
l-x x
l
l
l x
-
35
l=6m
60 45
30 45
c a
( )
a
x
-
36
(
)
-
37
R2
R1
d=36dm
F
A
B
C
D
E
-
38
D
50
30
`
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS 4
1
2 3
M
Q
W B 50
A 50
C 50
F 50
S T
W
P
E
R
M
15
0
50
B
b=7
C
A
C=10
a=4
8
-
39
B C
A
C
A B
50
b=11 a=10
C=?
a=3
C=8 b=9 h
49 18
X=5
X=5
49 18
=13042b
X=5
X=5
a
b
C
B
A
b= 426 m
A
B
C
a=322,4m
6842
1
2
1
1
1
0
9
-
40
B
b=8 m
a=7 m
c=5 m
B
A
C
?
c=?
b=11,5Km a=9,4 Km
B C
5930
C
b= 5 m
A
B
C
a=4,60m
C=2m
1
5
1
4
1
-
41
+A
=1820+243
SenA
SenA
SenA=0,40766
A=243
a=
c=? b=
1820
6215
C
A
B
1
6
-
42
5. LEY DE SENOS Pg: 137
Datos
AC=283m
38
ACB=6618
AB=?
AC=14,55m
BC=25,2m
BAC=2130
BC=270m
BCA=55
CBA=65
c=?
a=270
m
A
C B
c = ?
65 55
A C
B
a=25,2m
c = ?
b=14,55m
b=283 m
A
C
B
c = ?
6618
38
1
0
9
8
-
43
AB=?
1
2
1
1
70
A
C B
c = ?
a=1006 m
44
b
40 A
C
B
a=140,5
m
b=170,6
m
-
44
1
4
Aplicando propiedades de las proporciones se tiene:
La razn de cualquiera de los lados de un tringulo al
seno de ngulo opuesto es numricamente igual al
dimetro del crculo circunscrito.
C
A B
b=74,1m
c=64,2
m
2718
1
3
-
45
Demostracin
Demostrar
a)
Demostracin
1
a
A
C B
D
b c
m n
b
B
C A
D
a c
m n
c
C
B A D
a b
m
Demostracin
Remplazando 1 y 2 en 3
-
46
Demostracin
DEMOSTRACION
Remplazando 4 y 5 en 3
C
h
A
B
a
b c
-
47
6. IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS Paguina:276
Demostrar las siguientes identidades:
1)
2)
3)
(
)
(
)
-
48
4)
5)
(
) (
)
(
) (
)
6)
-
49
7)
(
)
(
)
8)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
9)
10)
( )
-
50
11)
12)
13)
14)
-
51
15)
16)
17)
18)
19)
[ ]
[ ]
-
52
20)
{
[ ]}
[ ( )]
[ ( )]
[ ]
[ ]
21)
22)
23)
[ ]
[ ]
24)
[ ]
[ ]
-
53
25)
(
)
-
54
(
)
(
)
-
55
-
56
-
57
(
)
-
58
-
59
(
)
-
60
-
61
[ ]
[(
)
(
)
]
[
]
[ ]
[ ]
-
62
(
)
[ (
)]
-
63
(
)
( )
( )
[ ] [ ]
(
)
(
)
(
)
-
64
( )
[ ]
[ ]
-
65
-
66
(
)
(
)
(
)
(
)
-
67
(
)(
)
( ) (
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
-
68
( )
( )
-
69
(
)
(
)
(
)
-
70
(
)
(
)
(
)
(
)
-
71
[ ]
(
) (
)
(
) (
)
(
) [ (
)]
(
) (
)
-
72
[ ]
(
) (
)
(
) (
)
(
) [ (
)]
(
) (
)
(
) (
)
-
73
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
y
0 1 1 Sen 0 = 1 0 = 1
-
74
30
45
60
90
0.5
0.293
0.234
0
1 Sen 30 = 1 0.5 = 0.5
1 Sen 45 = 1 0.707 = 0.293
1 Sen 60 = 1 0.866 = 0.234
1 Sen 90 = 1 1 = 0
(
)
y = 2 Csc 2
0
10
20
30
45
60
80
90
5.84
3.11
2.31
2
2.30
5.84
-
75
(
)
(
)
(
)
(
)
-
76
(
)
[ ]
[ ]
-
77
[ ]
[ ]
[ ]
{
[ ]
[ ]}
(
) (
)
-
78
(
)
[ (
)]
(
)
[
(
)
(
)]
-
79
[ ]
[(
)
]
(
)
-
80
[ ]
[(
)
]
(
)
-
81
30 30 150
210
30
330
30
45 45 135
225
45
315
45
7. ECUACIONES TRIGONOMTRICAS
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de x
comprendidos entre0 y 360
1.
a)
,
b)
( )
,
{
2.
a)
,
b)
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
82
60 240
60
60 120 300
60
300
60 60
240
60 60 120
3.
a)
,
b)
,
Solucin total
{
4.
a)
,
b) ( )
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
83
45 225
30 150 210
30
5.
{
}
Solucin
{
6.
( )
{
{
y
X
y
X
y
X
y
X
-
84
60 300
60
60 120 240
60
7.
a)
,
,
b)
,
,
{
8.
a)
{
{
b) ( )
{
{
}
y
X
y
X
y
X
y
X
-
85
30
330
30
315
45
210
30
30 30 150
45
45 135 225
45
9.
a)
,
b)
( )
,
,
,
10.
a)
,
,
b)
( )
,
,
,
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
86
45 135 315
30 45
60 240
60
60 120 240
60
11. ( )
a)
{
b)
{
{
12.
a)
( )
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
87
30 300
30
30 150 210
30
210
30
330
30
b)
{
13.
a)
a1)
{
a2)
(
)
{
b)
( )
{
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
88
210
30
330
30
60 240
60
45 225
45
14.
a)
b)
(
)
{
{
15. ( )
( )
a)
{
b)
{
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
89
60 60 120
60 120 240
60
16. ( )
(
)
(
)
a)
b)
,
{
{
Resolver las siguientes ecuaciones para valores de ngulos
comprendidos entre 0 y 360
17.
a)
(
)
b)
,
18.
y
X
y
X
y
X
y
X
-
90
30 300
30
30 150 210
30
60 60 120
a)
,
b)
,
19.
(
) (
)
a)
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
91
60 300
60
30 210
60
30 150 300
30
20.
a)
b)
(
)
}
21.
a)
,
b) (
)
(
)
,
}
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
92
60 225
45
45 135 315
45
22.
}
23.
}
24.
a)
,
b)
}
y
X
y
X
y
X
y
X
-
93
60 120 240
60
25.
a)
b)
(
)
}
26.
a)
b)
a)
(
)
b)
y
X
y
X
-
94
30 30 150
45 225
45
315
45 45 135
27.
a)
,
b)
{
28.
a)
,
b)
,
{
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
95
60 300
60
210
30
330
30
29.
(
) (
)
a)
b)
(
)
30.
(
)
{
{
31.
a)
,
1.
a)
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
-
96
60 120 240
60
60 120 240
60
b)
32.
a)
b)
33.
a)
,
b)
( )
,
34.
a)
,
y
X
y
X
y
X
y
X
-
97
b)
}
35.
a)
,
b)
,
-
98
30
240
60
300
60
210
30
330
30
30 210
30
36.
(
) *
+
*
+
(
)
(
)
}
37.
(
)
(
)
,
38.
(
) (
)
(
) (
)
(
)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
99
330
30 30 150
a)
(
)
,
b)
( )
,
}
39.
*
+
[ ]
[ ]
a)
,
b)
{
}
y
X
y
X
-
100
39.
*
+
[ ]
a)
,
b)
{
}
-
101
41,41 41,41
318,59
40.
(
)
a)
,
b)
(
)
,
}
41.
( )
a)
y
X
y
X
-
102
60 60 300
60 60 300
60 120
30
240
60
b)
( )
,
42.
(
)
a)
a1)
,
a2)
(
)
,
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
103
71,56 71,56 108,44
285,44 254,56
74,56 74,56
68,53 111,47 248,53
68,53
43.
a)
{
b)
{
}
}
44.
a)
b)
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
y
X
-
104
199,47
19,47
340,53
19,47
}
45.
a)
}
b)
}
46.
a)
b)
( )
}
47.
y
X
y
X
-
105
70,53 70,53 109,47
a)
b)
( )
}
y
X
y
X
![Cálculo diferencial e integral [Granville] - by CXPA](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/55a9b77f1a28ab7b2f8b468b/calculo-diferencial-e-integral-granville-by-cxpa.jpg)
![Cálculo diferencial e integral [granville]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/5588e65cd8b42ab12b8b4615/calculo-diferencial-e-integral-granville-55893c0498b3d.jpg)
![[Cálculo integral] Solucionario de Granville 1° ed](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/58a5df691a28abd14d8b5b6b/calculo-integral-solucionario-de-granville-1-ed.jpg)
