Solucionario de Calculo IntegralSOLUCIONARIO DECALCULO DIFERENCIALEINTEGRAL - GRANVILLE AUTORES: *GINA ALEJANDRINA VALLADARES BANCHN*MARCOS ANTONIO VALLADARES SOSAEste Solucionario de problemas resueltos, del texto de:Clculo Diferencial e Integral de Granville , es una elaboracin realizada con lujo de detalles, de tal manera que cada problema por ms complejo que parezca, puedasercomprendidoyanalizadoporel estudiante.El autor espera las sugerencias respectivas, que sabra receptarlas y compaginarlas en una proxima edicin. Esta obra no puede ser reproducida o transmitida,mediante ningn sistema o mtodo, electrnicoomecnico(incluyendo el fotocopiado,la grabacin o cualquier sistemaderecuperacinyalmacenamiento de informacin,sin previo aviso u consentimiento de los autores.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 1Solucionario de Calculo IntegralProblemas. Pagina 236Verificar las siguientes Integraciones:1.x 4 dx =x 5 + cv = x El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = dxn = 4 x 4 dx = x 4 +

1 = x 5

+ c . 4+152. dx=

x2 x -2.dxv = xEl diferencial esta completo, se procede a integrar. dv= dxn = -2x -2 dx = x -2

+

1 = x -1 = - x -1 =-1+ c. -2+1

-1x3. x2/3 dxx 2/3+1 = x 5/3 = 3 x 5/3 + c . 2/3 + 1 5/3 5 4. dx x x -1/2.dx = x -1/2 +

1 = x 1/2 = 2x1/2 = 2x + c .

- 1/2 +1 1/2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 2Solucionario de Calculo Integral5. dx= 3 xdx= x -1/3 dx = x -1/3+1 = x 2/3 = 3x 2/3 +c. x 1/3 -1/3+12/3 26. 3ay2 dy3a y2 dy = = 3ay 2+1 = 3ay 3 = ay3 + c .2+13.7. 2 dt t22 t -2. dt = 2 t -2+1

= 2t -1

= - 2.t -1 = -2 + c. -2+1 - 1 t8. ax . dx (ax)1/2. dx v = axFalta (a) para completar,dv = a.dx el diferencial.n = 1/2 . 1 (ax)1/2. a .dx =1 (ax) 1/2+1 =(ax) 3/2 =2(ax) 3/2 = a a 1/2+1 3/2(a)3a2(ax) 2/2 (ax) 1/2 = 2. a .x (ax) 1/2 = 2 x (ax ) 1/2

= 2 x ax + c .3 a 3a3 39. dx= 2xdx = (2x)-1/2 = (2x)1/2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 3Solucionario de Calculo Integralv = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dxSe aplica: vn dv = v n+1+ c . n =-1/2 n+1 1 . (2x)-1/2.2dx = 1 (2x) -1/2+1 = (2x) 1/2 = (2x) 1/2

= (2x) 1/2

= 2 2 -1/2+12(1/2)2/2 1(2x)1/2 + c . (3t)1/3 dt .v = 3tFalta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n = 1/3n+1 1 (3t)1/3.3dt = 1(3t) 1/3+1

= (3t) 4/3 = (3t) 4/3 + c .

331/3 + 1 3(4/3)411. (x3/2 - 2x2/3 + 5 x - 3) dx . x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 x dx - dx x3/2dx - 2 x2/3 dx + 5 (x)1/2 dx - dx x 3/2+1- 2 x 2/3+1 + 5 (x) 1/2+1 - x + c .3/2+12/3+11/2+1 x 5/2- 2 x 5/3 + 5 (x) 3/2 - x + c .5/25/3 3/22x 5/2-6x 5/3 + 10(x) 3/2 - x + c .55 3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 4 dt . t 33. 10Solucionario de Calculo Integral12. 4x 2- 2 x dxx4x 2- 2 xdx = 4x - 2x 1/

2 dx= xx x2/2 (4x - 2x 1/2.x -2/2) dx = (4x - 2x-1/2) dx . 4x dx - 2x -1/2 dx= 4 x dx - 2 x -1/2 dx .4 x 1+1 - 2 x -1/2+1 =4 . x 2-2 . x 1/2 =2x2 - 4x1/2

= 1+1 -1/2+121/22x2-4 x+c .13. ( x 2 -2 ) dx . 2x2x 2dx-2dx= 1x2 dx-2 x -2 dx = 2 x221 x 2+1-2 x -2+1

= x 3 -2.x -1 = x 3 +2+c.2 2+1 -2+12(3) -1 6 x14. x(3x - 2) dx(3x. x - 2. x) dx = (3x.x1/2 - 2x1/2) dx = (3x 3/2 - 2x1/2) dx . 3x3/2 dx - 2x1/2 dx = 3 x3/2 dx - 2 x1/2 dx = 3 x 3/2+1- 2 x 1/2+1

= 3 x 3/2+1- 2x 1/2+1

= 3/2+11/2+1

3/2+11/2+1

3x 5/2 -2x 3/2 =6x 5/2 -4x 3/2 +c. 5/2 3/2 5 3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 5Solucionario de Calculo Integral15. x 3- 6x + 5 dx = x 3

- 6x + 5 ln x + c .x3 x 3- 6x +5dx = x2 - 6 +5 dx = x2 dx - 6 dx + 5 dx . x x x x x x 2+1 - 6(x) + 5(ln x)= x 3 -6x+5 ln x+c . 2+1 316. a + bxdx = 2(a + bx) 3/2+ c .3b (a + bx)1/2 dx .v = (a + bx)Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dx vn dv = v n+1 +c .n = 1/2n+1 1 . (a + bx)1/2.bdx = 1 (a + bx) 1/2+1

= (a + bx) 3/2 =(a + bx) 3/

2 = bb 1/2+1b(3/2) 3b .

22(a + bx) 3/2 +c. 3b17. dy .a - by dy= (a - by)-1/2 dy = (a - by)1/2v = (a - by) Falta (-b) para completar el diferencial.dv = - b dy vn dv = v n+1 +c n = - 1/2 n+1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 6Solucionario de Calculo Integral- 1 (a - by)-1/2.( - b) dyb

- 1(a - by) -1/2+1 = - (a - by) 1/2

=- (a - by) 1/2

= -2 (a - by) 1/2+ c.b-1/2+1 b(1/2)b/2 b18. (a + bt)2 dt = (a + bt) 3+ c . 3v = (a + bt) Falta (b), para completar el diferencial, se aplica:dv = b dt vn dv = v n+1+ c .n = 2n+1 1 (a + bt)2.b dt= (a + bt) 2+1 =(a + bt) 3 +c. bb(2+1) 3b19. x (2 + x2)2 dx = (2 + x 2 ) 3 .6 (2 + x2)2. x dxv = (2 + x2) Falta (2), se aplica: v n = v n+1/n+1+ c . dv = 2x dx1 (2 + x2)2. 2x dx = 1 (2 + x 2 )2+1 = (2 + x 2 )3

= (2 + x 2 )3+ c n = 2 22 2+1 2(3) 620. y (a - by2) dy = - (a - by 2 ) 2 + c . 4b (a - by2) . y dy .v = (a - by2) Falta (-2b),para completar el diferencial. dv = -2by dySe aplica: v n = v n+1/n+1+ c .n = 1 (a - by2) . y dy =-1 (a - by 2 ) 1+1 =- (a - by) 2

=- (a - by 2 )+ c. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 7Solucionario de Calculo Integral2b1+12b(2)4b21. t2t2 + 3 dt = (2t 2+ 3) 3/2 + c . 6 (2t2 + 3)1/2. t dt v = (2t2 + 3) Falta (4) para completar el diferencial.dv = 4t dt . Se aplica: vn dv = v n+1+ c . n = 1/2 n+1 1 (2t2 + 3)1/2. 4t dt = 1 (2t 2 +3) 1/2+1 = (2t 2 +3) 3/2 = (2t 2 +3) 3/2

= 4 4 1/2+14(3/2) 12/2 (2t 2 +3) 1/2+ c .622. x (2x + 1)2 dx = x4 + 4x 3+x 2+ c . 3 2 Primero solucionamos el producto notable:(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 . x (4x2 + 4x + 1) = (4x3 + 4x2 + x) dx . 4x3 dx + 4x2 dx + x dx = 4 x3 dx + 4 x2 dx + x dx .4 x 3+1+ 4x 2+1+x 1+1 =4x 4 +4x 3 +x 2 = 3+12+1 1+1432x4+4x 3 +x 2 +c. 3223. 4x 2dx .x3 + 8Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 8Solucionario de Calculo Integral(x3 + 8)-1/2 . 4x2 dxv = (x3 + 8)Falta (3) para completar el diferencial. dv = 3x2 dxSe aplica: vn dv = v n+1+ c .n = -1/2 n+1El # 4 sale fuera de la integral porque no nos va a servir en dv. 4 (x3 + 8)-1/2 . 3x2 dx = 4 (x 3+ 8) -1/2+1

=4(x 3+ 8) 1/2 = 3 3 -1/2+13(1/2)4(x 3+ 8) 1/2

= 2{4(x 3+ 8) 1/2 }= 8(x 3+ 8) 1/2

=8 (x 3 + 8)+c .3/2 3 3324. 6z dz . (5 - 3z2)2 (5 - 3z2)-2.6z dzv = (5 - 3z2) A la integral original para que se integredv = - 6zsolo le falta el signo negativo.n = -2- (5 - 3z2)-2. (-) 6z dz-(5 - 3z 2 ) -2+1 = -(5 - 3z 2 ) -1

= (5 - 3z2)-1 = 1 +c . -2+1-1(5 - 3z2)25. (a - x)2 dx .Solucionando el producto notable: (a - x)2 = a - 2a.x + x . {(a)2 - 2a .x + (x)2} dx = (a - 2a .x + x ) dx . a dx - 2a .x + x dx = a dx - 2a x dx + x dx .a dx - 2a1/2 x1/2 dx + x dx = a. x - 2a 1/2 .x 1/2+1 +x 1+1

= 1/2+1 1+1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 9Solucionario de Calculo Integralax - 2a 1/2 x 3/2+ x 2

= ax - 4 x 2/2 a 1/2x 1/2 +x 2

= 3/2 2 3 2ax- 4x a . x +x 2

=ax - 4x ax+ x 2+c .3 2 3 226. ( a - x) 2dx xv = (a - x) Falta (-1/2) para completar el diferencial.dv = - 1dx . Se aplica: vn dv = v n+1+ c . 2x n+1 n = 2 (a - x)2.1.dx = - 2 (a - x)2_ 1 dx x 2x-2 ( a - x) 2+1

=-2( a - x) 3 +c . 2+1 3 x{(a)2 - 2a.x+ (x)2} dx = x(a - 2a.x+ x) dx (ax - 2a.x.x + x.x)dx = {ax1/2 - 21/2.(x)2 + x2/2.x1/2}dx {ax1/2 - 2a1/2 x + x3/2} dx = a x1/2 dx - 2a1/2 x dx + x3/2 dx = ax 1/2+1- 2a1/2x 1+1 +x 3/2+1 = a.x 3/2 - 2a 1/2 .x 2 +x 5/2 =

1/2+11+13/2+1 3/2 2 5/22a .x 3/2 - a1/2.x2+2x 5/2 = 2ax 3/2- x2a + 2x 5/2

+ c .35 3528. t 3dt. a4 + t4 (a4 + t4)-1/2.t3 dt .v = (a4 + t4) Falta (4)para completar elAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 10( ) dx . x a x . 272

Solucionario de Calculo Integral dv = 4t3 dt diferencial, se aplica:n = -1/2 vn dv = vn+1/n+1 + c . 1 (a4 + t4)-1/2.(4)t3 dt = 1 (a 4+ t 4 ) -1/2+1 = (a 4+ t 4 ) 1/2 = 4 4 -1/2+14(1/2)(a 4+ t 4 ) 1/2 = 2(a 4+ t 4 ) 1/2 = (a 4+ t 4 ) 1/2

= (a4 + t4) +c .4/24 229.dy . (a + by)3 (a + by)-3 dyv = (a + by)Falta (b) para completar el diferencial.dv = b dy Se aplica: Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n = - 3 n+1 1 (a + by)-3.(b)dyb 1 (a + by) -3+1 = (a + by) -2

= (a + by) -2

=- 1+ c . b-3+1b(-2) -2b2b(a + by)230. x dx . (a + bx2)3 (a + bx2)-3.x dxv = (a + bx2) Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bx.dxSe aplica: Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n+1 1 (a + bx2)-3.(2b)x dx2bAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 11Solucionario de Calculo Integral 1(a + bx 2 ) -3+1

= (a + bx 2 ) -2

=_1+c .2b- 3 + 1 (2b)( - 2)4b(a + bx2)231. t 2dt . (a + bt3)2 (a + bt3)2.t2 dtv = (a+bt3) Falta (3b) para completar el diferencial.dv = 3bt2 dt Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n = 2n+1 1 (a+bt3)-2.(3b)t2 dt = (a+bt 3 ) -2+1 = (a+bt 3 ) -1

=3b 3b(-2+1) 3b(-1) (a+bt 3 ) -1 = - 1 +c . -3b3b(a + bt3)32. z(a + bz3)2 dz .Desarrollando el producto notable: (a + bz3)2 , obtenemos , z (a2 + 2abz3 + b2z6) dz(a2z + 2abz4 + b2z7) dza2 z dz + 2ab z4 dz + b2 z7 dza2z 1+1 +2abz 4+1 + b2 z 7+1

= a 2 z 2+ 2abz 5+ b 2 z 8+ c . 1+14+1 7+1 2 5 833. xn-1a+bxndx(a + bxn)1/2. xn-1dxAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 12Solucionario de Calculo Integralv = (a + bxn) Falta (nb) para completar el diferencial.dv = nbxn-1 dxSe aplica: vn dv = v n+1+ c .n = 1/2 n+1 1(a + bxn)1/2. (nb) xn-1dxnb(a + bx n ) 1/2+1

= (a + bx n ) 3/2

= 2(a + bx n ) 3/2+ c .1/2+13/2334. (2x + 3) dxx2 + 3x (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dxv = (x2 + 3x)El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = 2x + 3Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n = -1/2 n+1 (x2 + 3x)-1/2. (2x + 3) dx(x 2+ 3x) -1/2+1

= (x 2+ 3x) 1/2

= 2(x2 + 3x)1/2 = 2 x2 + 3x+c . - 1/2 + 1 1/2 35. (x 2+ 1) dx . x3 + 3x (x3 + 3x)-1/2. (x2 + 1) dxv = (x3 + 3x)Falta (3) para completar eldv = 3x2 + 3 dx = 3(x2 + 1) dxdiferencial.n = -1/2 1 (x3 + 3x)-1/2.(3)(x2 + 1) dx = (x 3+ 3x) -1/2+1 = (x 3+ 3x) 1/2

= 33(-1/2+1)3(1/2)Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 13Solucionario de Calculo Integral(x 3+ 3x) 1/2 =2(x 3+ 3x) 1/2 = 2 (x 3+ 3x) + c .

3/2 3336. (2 + ln x) dxx (2 + ln x). 1 dxxv = (2 + ln x) Falta 1/x para completar el diferencial.dv = 1 dx Se aplica: vn dv = v n+1+ c . xn+1n = 1 (2 + ln x). 1 dx = (2 + ln x) 1+1 = (2 + ln x) 2+ c . x 1+1237. sen2x cos x dx (senx)2 . cos x dx .v = (senx) El diferencial esta dv = cos x dxcompleto,se procede n = 2 a integrar. (senx)2 cos x dx = (senx) 2+1 = (senx) 3+ c . 2+1338. sen ax cos ax dx v = sen axFalta (a) para completar eldv = (cos ax)(a) dx = a cos ax dx diferencial.Se aplica:n = 1 vn dv = vn +1+ c . n+1 1 (sen ax) . (a)cos ax dx = (sen ax) 1+1 = (sen ax) 2

= sen 2 ax+c . a

a(1+1)2a 2aAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 14Solucionario de Calculo Integral39. sen 2x cos22x dx (cos 2x)2. sen 2x dxv = (cos2x) Falta (-2) para completar el diferencialdv = (- sen 2x)(2) dx = - 2sen 2xSe aplica: v n dv = v n+1+ c . n = 2 n+1- 1 (cos2x)2.(-2)sen 2x dx=- (cos2x) 2+1

= - (cos2x) 3

= 22(2+1)2(3) - cos 3 2x

+ c .6 40. tgxsec2 x dx 2 2v = tg x/2falta (1/2) para completar el diferencial. dv =1sec 2 x. 2 2n = 1 2 [tgx ]1+12 [ tgx ]2

2 tgx 1. sec2 x dx= 2= 2= 2 2 21+12 tg 2x = [tg 2x ]+ c .

2241. cos ax dx.b + sen ax (b + sen ax)-1/2 . cos ax dx .v = (b + sen ax)Falta (a) para completar el Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 15Solucionario de Calculo Integraldv = cos ax.a dx = a cos ax dx diferencial: Se aplica:n = - 1/2 vn dv = v n+1+ c . n+1 1(b + sen ax)-1/2 .(a) cos ax dx= (b + sen ax) -1/2+1

= a a(-1/2+1)(b + sen ax) 1/2

= (b + sen ax) 1/2

= 2(b + sen ax) 1/2

=a(1/2) a/2 a2 b + sen ax +c . a42. sec x2 dx1 + tg xsec 2 xdx(1 + tg2x) (1 + tg x)-2. Sec2x dx .v = (1 + tg x)El diferencial esta completo, se procede adv = sec2x dxintegrar.n = -2(1 + tg x) -2+1 = (1 + tg x) -1

= _1 +c . -2+1 - 1 (1 + tg x)43.dx . 2 + 3xv = 2 + 3xFalta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dx Se aplica: dv= ln v + c .v 1 (3)dx= 1ln (2 + 3x)+c. 3 2 + 3x3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 16Solucionario de Calculo Integral44. x 2dx . 2 + x3v = 2 + x3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dxSe aplica: dv= ln v + c . v

1 (3) x 2dx= 1ln (2 + x3) = ln (2 + x 3 )

+c. 3 2 + x33 345. tdt.a + bt2

v = a + bt2Falta (2b) para completar el diferencial.dv = 2bt Se aplica : dv= ln v + c .v 1(2b) t dt =1. ln(a + bt2)=ln(a + bt 2 ) +c. 2b (a + bt2) 2b 2b46. (2x + 3) dx x2 + 3xv = x2 + xEl diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = (2x + 3) (2x + 3) dx=ln (x2 + 3x) + c . x2 + 3x47. (y + 2) dyy2 + 4yv = y2 + 4y Falta (2) para completar eldv = 2y + 4 dy = 2(y + 2) dy diferencial .Se aplica: dv= ln v + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 17Solucionario de Calculo Integralv 1 (2)(y + 2) dy= 1 .ln (y2 + 4y) =ln (y 2+ 4y)

+ c .

2 (y2 + 4y)2248. e d .a + bev = a + beFalta (b) para completar el diferencial.dv = be d Se aplica: dv/v = ln v + c . 1 e (b) d . b a + beln (a + be ) +cb49. sen x dx .1 - cos xv = 1 - cos x El diferencial esta completo.dv = - (-sen x ) dx = sen x dx .Se procede a integrar. ln (1 - cos x) + c .50. sec 2 y dy.a + btg y v = a + btg y . Falta (b), para completar el diferencial dv = b sec2y dy 1 (b) sec 2 y dy= 1 . ln(a + btg y) =ln(a + btg y)+ c . b a + btg y bb51. ( 2x + 3) dxx + 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 18Solucionario de Calculo IntegralEfectuamos la divisin: 2x + 3x + 2 -2x - 42 - 1 El resultado es:2 + - 1 =2 - 1 . Sustituyendo en la integral . x + 2 x + 2 [ 2 - 1 ] dx= 2 dx - dx = 2x - ln(x + 2)+c.x + 2 x + 252. x 2+ 2dx x + 1Efectuamos la divisin:x2+ 2 x + 1 - x 2- x x - 1- x + x + 2 + 2El resultado es:(x - 1)+3. Sustituyendo en la Integral.x + 1 [ x - 1+ 3] dx x + 1 x dx - dx + 3 dx. x + 1x 1+1 -x+3 ln (x + 1)= x 2- x + 3 ln (x + 1)+c .1+12Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 19Solucionario de Calculo Integral53. (x + 4) dx 2x + 3Efectuamos la divisin:x + 42x + 3 - x - 3/21/2 . - x + 5/2 .

5. El resultado es:1+2 . Sustituyendo en la Integral.22x + 3 1+5/2dx 22x + 31dx+5 . 1(2)dx . v = 2x + 3 2 2 22x + 3 dv = 2 dx 1dx+5(2) dx = 1x+5ln (2x + 3)= 242x + 324x+5 ln (2x + 3)+c.2 454. e 2sds . e2s + 1 v = e2s + 1 El diferencial esta incompleto, falta (2) dv = 2e2s . y se le opone 1/2. 1(2) e 2sds= 1 . ln(e2s + 1) =ln ( e 2s+ 1) +c. 2 e2s + 1 2 255. a e + bdae -b Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 20Solucionario de Calculo IntegralEfectuamos la divisin:b + ae

- b + a e El resultado es :- b + a e - 1- 1 + 2a e . + 2ae- b + ae

Para la 2da integral:v = - b + aedv = aed -1 + 2 a e d = - d+ 2 a e d = - b + ae- b + ae

- +2 ln (- b + ae) = 2 ln (ae - b ) - +c .56. 2x dx . (6 - 5x2)-1/3.2x dxv = (6 - 5x2)dv = - 10x dx El diferencial esta incompleto, falta (- 5 ) .n = -1/3 .- 1 (6 - 5x 2 ) -1/3(-5)2x dx=- 1 . (6 - 5x 2 ) -1/3+1

=-(6 - 5x 2 ) 2/3

= 5 5 -1/3+1 5(2/3) - 3(6 - 5x 2 ) 2/3+ c. 1057. (x3 + 3x2) dx x3 dx + 3 x2 dxx 3+1

+ 3.x 2+1 = x 4+ 3x 3

= x 4 +x3 = c .3+12+1 43 4 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 21325x - (6 )Solucionario de Calculo Integral58. x 2- 4 . dx x4Desarrollando: x 2- 4 = x 2 -4= 1- 4. x4x4 x4x2 x4

Sustituyendo en la integral . [ 1-4 ] dx = 1dx - 4 dx= x -2 dx - 4 x -4 dx x2x4 x2x4x -2+1 -4.x -4+1 = x -1-4x -3

=-1+4+c . -2+1-4+1 -1-3 x 3x3

15x dx +5 dx = 1 (5x)1/2 dx +5 (5x)-1/2 dx. 55x5

v = 5x v = 5xCompletando el diferencial a dv = 5 dxdv = 5 dx ambas integrales. n = 1/2 n = - 1/2 1 . 1 (5x)1/2.(5)dx +5. 1(5x)-1/2 (5)dx= 5(5) 5 1 . (5x) 1/2+1 +(5x) -1/2+1 =25 1/2 + 1 - 1/2+1(5x) 3/2+(5x) -1/2+1 = 2(5x) 3/2+ 2(5x) 1/2 = 25(3/2)1/25(5)(3)1 2(5 x) (5x) 1/2+ 2(5x)1/2 =2x(5x) 1/2+ 2(5x)1/2 = 5 (5)(3)152(5x)1/2 {x+ 1 } = 25.x x+ 15 +c . 1515Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 22dx .x 5x 555. 59+1]1

Solucionario de Calculo Integral

dt = 1 dt=1 . dt =1 . t -3/2 dt= t -3/2+1 .

t.t1/2.21/2 21/2 t1+1/22t3/2 2 2(- 3/2 + 1) t -1/2 = t -1/2 = -2=-2 = -2+c2(-1/2) - 2 2.t1/2 2. t 2t (2 - 3x)1/3. dx . v = (2 - 3x)El diferencial esta incompleto, falta ( - 3 ) .dv = - 3 dx Se aplica: vn = v n+1 + c .n = 1/3 n+1 (- 1 ) (2 - 3x)1/3 (- 3). dx= - (2 - 3x) 1/3+1 =- (2 - 3x) 4/3

= 33(1/3+1) 3(4/3)-(2 - 3x) 4/3

=-3(2 - 3x) 4/3 = - (2 - 3x) 4/3 +c . 12/3 12 463. sen 2 d Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 23

. c5by 3 5y b 3 3 5yb1 3 2yb 1 3 / 2y

b .dyy b dy .ybdy .y. b by. 6035 3 5 3 1 3 53 11 3 231 3 233 2332332332+ 1]1

1]1

+

,_

+ ++ t 2 tdt . 61dx . . 6233x - 2 Solucionario de Calculo Integral cos 2 (cos 2)-1/2.sen 2 d v = (cos 2) Falta (-2) para completar el diferencial.dv = - 2 sen 2 d Se aplica: vn = v n+1 + c . n = - 1/2n+1(- 1 ) (cos 2)-1/2.(-2)sen 2 d 2(- 1 ).(cos 2 ) -1/2+1

= - (cos 2 ) 1/2

= - (cos 2 ) 1/2

=- cos 2+ c.

2 -1/2+12(1/2)164. e x dx.ex - 5v = (ex - 5)El diferencial esta completo, (ex - 5)-1/2 . ex dx.dv = ex dxse procede a integrar.n = - 1/2 (ex - 5)-1/2.ex dx= ( e x - 5) -1/2+1 =( e x - 5) 1/2 = 2(ex - 5)1/2+c -1/2+1 1/265. 2 dx.3 + 2x (3 + 2x)-1/2. 2 dx v = (3 + 2x) El diferencial esta completo ,dv = 2 dx se procede a integrar.n = - 1/2 (3 + 2x)-1/2. 2dx = (3 + 2x) -1/2+1 =(3 + 2x) 1/2

=2(3 + 2x)1/2 =

-1/2+1 1/2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 24Solucionario de Calculo Integral2 (3 + 2x) + c66. 3 dx= 2 + 3xv = 2 + 3xEl diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = 3 dxdv=ln v + c .v 3 dx =ln (2 + 3x) + c . 2 + 3x67.x dx .1 - 2x2 (1 - 2x2)-1/2. x dx .v = (1 - 2x2)El diferencial esta incompleto,dv = - 4x dxfalta (- 4) y se le opone (-1/4) .n = - 1/2 (- 1 ) (1 - 2x2)-1/2.( - 4) x dx= - 1 . (1 - 2x 2 ) -1/2+1 44 -1/2+1 - (1 - 2x 2 ) 1/2 = - (1 - 2x 2 ) 1/2

+c .4(1/2) 268. t dt.3t2 + 4v = 3t2 + 4 El diferencial esta incompleto, falta (6) dv = 6t dt y se le opone (1/6) .( 1 ) (6)t dt= 1 .ln(3t2 + 4) = ln(3t 2+ 4) +c . 6 3t2 + 466Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 25Solucionario de Calculo Integral (y2)3 - 3 (y2)2. 1 + 3 (y2). 1 2 - 1 3 . dy. y2y2 y2 y6 - 3. y 2 . y 2 + 3. y 2 -1dy =y6 - 3 y2 +3-1dy.y2y2 . y2 y6 y2y6 y 6+1 - 3 . y 2+1 +3 y-2 dy-y - 6 dy= 6+1 2+1 y 7 -3 y 3 +3.y -2+1 -y -6+1

= 7 3 - 1- 5 y 7 -y3-3.y -1+y-5

=y7 -y 3-3+1+c .

75 7y 5y571.sen a d cos aSegn Trigonometra: sen a =tg a . tg a. d .cos av = aUtilizamos la integral: dv = a d tg v dv = - ln cos v = ln sec v + c . ( 1 ) tg a. (a)d = -{ln cos (a ) }= ln sec (a ) +c

.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 26( )( )

,_

11]1

,_

+ 1]1

,_

+ 1]1

dy .y1y 70.

dx .x12 xdx .x1x1. x 2 x x1x . 6932222222Solucionario de Calculo Integral a a a72. csc 2 d .(2cot + 3) (2cot + 3)-1/2 . csc2d.

v = (2cot + 3) Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2 csc2dSe aplica: v n dv = v n+1 + c n+1-1 (2cot + 3)-1/2.(-2)csc2 .d= _1 . (2cot + 3) -1/2+1

=

22-1/2+1 - 1 .(2cot + 3) 1/2 = - (2cot + 3) 1/2

= - (2cot + 3) 1/2 = 21/2 2(1/2) 1- (2cot + 3)1/2 = - (2cot + 3) + c .

73.(2x + 5) dxx2 + 5x +6v = x2 + 5x +6

El diferencial esta completo,dv = (2x + 5) . dx

aplicamos la frmula: dv/v=ln v + c .(2x + 5) dx=ln (2x + 5) + c .x2 + 5x + 674. (2x + 7) dxx + 3 Dividimos:2x + 7 x + 3El resultado es:2+ 1 . - 2x - 62 x + 3+ 1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 27Solucionario de Calculo Integral2+1 dx.x + 32 dx+ dx= 2 x + ln (x + 3) + c . x + 375. (x 2+ 2) dx x + 2 Dividimos: x2+ 2 x + 2 - x 2- 2xx - 2El resultado es: - 2x+ 2x - 2+6 . + 2x+ 4 x + 2+ 6 [x - 2 +6 ] dx = x dx - 2 dx + 6 dx= x + 2 x + 2 x 2 -2x+6 ln (x + 2)+c. 2 76. (x 3+ 3x) dx x2 + 1 Dividimos:El resultado de la divisin es :x3 + 3xx 2+ 1 x+ 2x. - x 3- xx x2 + 1 + 2x v = x2 + 1El diferencial esta completodv = 2x dxse procede a integrar.x dx+ 2x dx= x 1+1 +ln (x2 + 1)= x 2 +ln (x2 + 1) + c . x2 + 1 1+12Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 28Solucionario de Calculo Integral77. (4x + 3) dx. 1 + 3x + 2x2 (1 + 3x + 2x2)-1/3.(4x + 3) dx . v = (1 + 3x + 2x2) El diferencial esta completo, se dv = 3 + 4x dx = 4x + 3 dxprocede a integrar.n = - 1/3 (1 + 3x + 2x2)-1/3 . (4x + 3) dx= (1 + 3x + 2x 2 ) -1/3+1.- 1/3 + 1 (1 + 3x + 2x 2 ) 2/3

= 3 (1 + 3x + 2x 2 ) 2/3 +c .2/3278. ( e t+ 2) dt et + 2t

v = et + 2t El diferencial esta completo. dv = (et + 2) dt Se aplica: dv/v =ln v + c . ( e t+ 2) dt =ln (et + 2t) + c . et + 2t79. ( e x + sen x) dx ex - cos x(ex - cos x)-1/2.(ex+ sen x) dx v = (ex - cos x) El diferencial esta dv = (ex - (-sen x) dx= (ex + sen x) dx completo,se procede a n = - 1/2integrar.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 29Solucionario de Calculo Integral ( e x- cos x) -1/2+1

=( e x- cos x) 1/2 = 2(ex - cos x)1/2 + c .-1/2+11/280. sec 2 tg 2 d 3 sec 2 - 2v = 3 sec 2 - 2Falta (6) para completar el dv = 3{sec 2 . tg 2}.2 d =diferencial y se le opone (1/6).dv ={6 sec 2 . tg 2} dSe aplica: dv/v =ln v + c .( 1 ) ( 6 )sec 2 tg 2 d = 1 . ln (3 sec 2 - 2) = 63 sec 2 - 2 6 ln (3 sec 2 - 2) +c . 681. sec 2 2t dt .5 + 3tg 2t (5 + 3tg 2t)-1/2.sec22t dt.v = (5 + 3tg 2t)Falta (6)para completar el diferencial . dv = 3(sec22t)(2) dt Se aplica: v n dv = v n+1 + c dv = 6 sec22t dtn+1 n = - 1/2( 1 ) (5 + 3tg 2t)-1/2.(6)sec22t dt 6( 1 ) . (5 + 3tg 2t) -1/2+1 =(5 + 3tg 2t) 1/2 =(5 + 3tg 2t) 1/2

+c . 6-1/2+1 6(1/2)3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 30Solucionario de Calculo IntegralProblemas. Pagina 241Verificar las Siguientes Integraciones:1. 6 e3x dx= 2e3x + c .6 e3x dx. v = 3x Falta el (3) para completar el diferencial, dv = 3 dxluego se procede a integrar.Se aplica: ev dv = ev + c .

6 ( 1 ) e3x.(3) dx = 2 e3x + c . 3. 2. ex/n dx = nex/n + c .v =x/n Falta 1/n completar en el diferencial, Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 31Solucionario de Calculo Integraldv = 1/nluego se procede a integrar. Se aplica: ev dv = ev + c .(n) ex/n .(1/n) dx = n.ex/n + c .3. dx= -1 + c .ex ex e-x. dx ; { v = - x;dv = - dx }Para completar el diferencial, le falta el signo (-).(-) e-x.(-) dx = - e-x = -1+c. ex4. 10 x dx = 10 x +c . ln 10v = xEl diferencial esta completo, se usa la frmula:dv = dxav dv = a v+ c .ln a 10 x dx = 10 x +c . ln 10 5. any dy= a ny +c . n ln a

v = ny Falta (n) para completar el diferencial.dv = n.dySe aplica: av dv = a v+ c .ln a(1/n) any.(n) dy= . 1 . a ny =a ny +c . n ln an ln aAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 32Solucionario de Calculo Integral6. e xdx= 2ex+c .x ex . 1 . 1 . dx= x2 v = xFalta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1. dx luego se procede a integrar.2x Se aplica: ev dv = ev + c .ex . 1 . 1 . dx= (2) ex. 1 .dx= 2ex+c . x2 2x 7. (ex/a + e-x/a) dx = a (ex/a - e-x/a) + c . v = x/a v =- x/a ex/a dx + e-x/a dx .dv = 1/a dx dv =- 1/a dxUna vez completado los diferenciales, se integra. ( a) ex/a.(1/a) dx+(- a) e-x/a.(- 1/a) dxa.ex/a - a.e-x/a = a (ex/a - e-x/a) + c .8. (ex/a - e-x/a)2 dxDesarrollando el producto notable: (ex/a - e-x/a)2 :(ex/a - e-x/a)2 ={(ex/a)2 - 2(ex/a)(e-x/a) + (e-x/a)2} .e2x/a - 2e+x/a -x/a + e-2x/a = e2x/a - 2e0 + e-2x/a .e2x/a - 2(1) + e-2x/a

= e2x/a - 2 + e-2x/a .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 33Solucionario de Calculo IntegralSustituyendo : {e2x/a - 2 + e-2x/a} en la integral . {e2x/a - 2 + e-2x/a} dx = e2x/a dx - 2 dx + e-2x/a dx .Completando el diferencial, antes de integrar : v = 2x/a v = -2x/a dv = 2/a dxdv = - 2/a dxSe aplica en ambas integrales: ev dv = ev + c .( a/2) e2x/a.(2/a) dx - 2 dx + (- a/2) e-2x/a.(- 2/a) dx .a.e2x/a- 2x-a.e-2x/a = a .{e2x/a - e-2x/a} - 2x+ c . 2 2 2 9. x ex2dx = 1 .ex2+ c .2 v = x2Como el diferencial esta completo, dv = 2x dxse procede a integrar. x ex2 dx = 1 .ex2+c .2 10. e sen x cos x dx = e sen x + c .

v = sen x El diferencial esta completo,dv = cos x dx se procede a integrar. esen x. cos x dx = esen x + c . 11. etg sec 2 d .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 34Solucionario de Calculo Integralv = tg El diferencial esta completo,dv = sec2 d se procede a integrar. e tg . sec2 d = e tg + c .12. et dt=2et+ c. (et)1/2 dt= et/2. dt v = t/2Falta (1/2) en el diferencial, dv = 1/2luego se procede a integrar.Se aplica: ev dv = ev + c .(2) et/2.(1/2) dt= 2et/2 + c .13. ax ex dx -0Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 35Solucionario de Calculo Integralv = ax ex

Falta (1 + ln a) para completar dv ={ax.ex + ex. ax.ln a} dx el diferencial, luego se procededv = ax.ex{1 + ln a} dx a integrar. 1 . ax ex.( 1 + ln a) dx = a x e x + c .1 + ln a 1 + ln a 14. a2x dx= a 2x+ c . 2 ln av = 2x Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 dxSe aplica: av dv = a v+ c .ln a( 1 ) a2x.(2) dx= . 1 .a 2x = a 2x + c .22 ln a 2 ln a15. (e5x + a5x) dx = . 1e5x +a 5x + c . 5ln a e5x. dx + a5x. dx Completando los diferenciales de ambas integrales.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 36Solucionario de Calculo Integralv = 5x

v = 5xdv = 5 dx

dv = 5 dxSe aplica: ev dv = ev + c .( 1/5) e5x.(5) dx + ( 1/5) a5x.(5) dx . 1 .e5x+. 1 .a 5x

=1 e5x+a 5x+c . 5 5 ln a5 ln a16. 5eax dxv = ax Falta (a) para completar el diferencial,dv = a dx luego se procede a integrar.Se aplica: ev dv = ev + c .5 1 eax.(a) dx= 5 e ax + c . aa 17. 3 dx exAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 37Solucionario de Calculo Integral3 e -x. dxv = - xFalta el signo ( - ) , para completar el diferencial,dv = - dxluego se procede a integrar.Se aplica: ev dv = ev + c .3( - ) e -x .( - ) dx = -3.e-x = -3+c .ex18. 4 dt=et (et)-1/2 dt= 4( - 2) e- t /2.( - 1/2) dt= - 8 e- t/2 = - 8

+ c .et /219. cax dxSuponemos que : "c" de la integral dada es la constante "a" de la formula.v = axFalta (a) para completar el diferencial, dv = a dx luego se procede a integrar.Empleando la frmula: av. dv = a v+c ln a( 1/a) cax.(a) dx = . 1 . c ax

+ c .

a ln c20. dx.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 38Solucionario de Calculo Integral 42x 4-2x. dx v = - 2x Falta ( - 2) , para completar el diferencial, dv = - 2 dxluego se procede a integrar.Utilizamos la frmula: av. dv = a v+c ln a ( - 1/2) 4-2x.( - 2) dx= .- 1 . 4 -2x = - 1 +c .2 ln 4 2 . ln 4 . 42x21. x2 ex3dxOrdenando: ex3. x2dxv = x3 Falta (3) para completar el diferencial,dv = 3x2 dx luego se procede a integrar.

Se aplica: ev. dv = ev +c .( 1/3) ex3.(3) x2 dx = . 1 .ex3 = e x

3 +c

3 3 22. ( e x+ 4) dx exe xdx + 4 dx= dx + 4(-) e -x.(-) dx = x - 4e-x = x - 4 + c . ex exex23. e xdx ex - 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 39Solucionario de Calculo Integralv = ex - 2 El diferencial esta completo, dv = ex dx

aplicamos : dv = ln v +c . vln (ex - 2) + c .24. x (ex2 + 2) dx {(ex2 + 2) . x} dx ex2 . x dx + 2 x dxv = x2 Falta (2) en la 1ra integral, para completar dv = 2x dx el diferencial , el 2do integral esta completo.Se aplica: ev dv = ev + c , en la 1ra integral .(1/2) ex2.(2) x dx + 2 x dx= . 1 . e x2 + 2 . x 1+1 = 2 1+1e x 2 +2 . x 2 = e x 2+ x2 + c.

2 2 2 25. ( e

x- 3 ) dx x ex. 1 . dx- 3 dx. x xv = x Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = . 1 . 1 . dx de la 1ra integral.

2x Se aplica: ev dv = ev + c .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 40Solucionario de Calculo Integral(2) ex . 1 . 1 . dx- 3 x -1/2 dx = 2ex -3.x -1/2+1 = 2x-1/2+12ex - 3.x 1/2 = 2ex - 6x1/2 = 2ex - 6 x + c . 1/2 26. t 2t2dt 2 t2 . t dt v = t2

Falta (2) para completar el diferencial,dv = 2t dt luego se procede a integrar. Se aplica: av. dv = a v+c ln a( 1/2) 2 t2.(2) t dt= . 1 . 2 t 2

= 2 t 2+ c . 2 ln 2 2 ln 2

27. a d b3a b-3. dv = - 3 Falta (- 3) para completar el diferencial.dv = - 3d Se aplica: av dv = av/ ln a + c . a(- 1/3) b-3.( - 3) d = - a . b -3

= - a +c. 3 ln b(3 ln b) b328. 6 x e - x2 dx Descomponiendo el # 6 en 2 factores y ordenando:3 e- x2.2xdx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 41Solucionario de Calculo Integral

v = - x2Falta el signo ( - ) para completar el diferencial.dv = - 2x dx Se aplica: ev dv = ev + c . 3(-) e- x2.(-)2x dx= - 3e- x2 = - 3 +c . e x2 29. (e2x)2 dxe4 x dxv = 4xFalta el # 4 para completar el diferencial.dv = 4 dx . Se aplica: ev dv = ev + c .( 1/4) e4 x.(4) dx= . 1 .e4 x

= e 4 x +c . 4 4

30. x 2dx ex3

e - x3 . x2 dxv = = - x3 Falta ( - 3) para completar el diferencial.dv = - 3x2 dxSe aplica: ev dv = ev + c . - 1e - x3.( - 3) x2 dx = - 1 . e - x3 = - 1+c. 333 e x3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 42Solucionario de Calculo IntegralProblemas. Paginas 244 y 245Verificar las siguientes Integraciones:1. cos mx dx = 1sen mx + c . mv = mx Falta (m) para completar el diferencial.dv = m dx Se aplica: cos v dv = sen v + c . ( 1 ) cos mx .(m) dx = 1sen mx + c .m m2. tg bx dx = 1ln sec bx+ c .bv = bxFalta (b) para completar el diferencial. dv = b dx Se aplica: tg x dx = - ln {cos (v)} + c = ln {sec (v)} + c . ( 1 ) tg bx .(b) dx = 1ln sec bx+ c .bb3. sec ax dx = 1ln (sec ax + tg ax) + c .aAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 43Solucionario de Calculo Integralv = axFalta (a) para completar el diferencial. dv = a dx Usamos la frmula: sec v dv = ln(sec v + tg v) + c.( 1 ) sec ax .(a) dx = 1ln (sec ax + tg ax) + c .a a4. csc v dv = ln tg1v+ c . 2 ln (csc v - cot v) = ln1 -cos v=ln 1 - cos v=

sen v sen v sen vln tg1v + c . 2Por trigonometra :csc v = 1 ; cot v = cos v ; tgv= 1 -cos v . sen vsen v2 sen v Esta demostrado : csc v dv = ln tg1v+ c . 2 5. sec 3t tg 3t dt = 1sec 3t + c .

3 v = 3tFalta (3) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 3 dt sec v tg v dv = sec v + c .( 1/3) sec 3t . tg 3t (3) dt = 1sec 3t + c . 3. 1 .{ sec 3t} + c .3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 44Solucionario de Calculo Integral6. csc ay cot ay dy = - 1 csc ay + ca v = ay Falta (a) para completar el diferencial. Se aplica:dv = a dy csc v cot v dv = - csc v + c

( 1/a) csc ay . cot ay. (a) dy .

. 1 .{ - csc ay } = - 1 csc ay+ c . aa7. csc2 3x dx = - 1cot 3x + c .3v = 3xCompletando el diferencial con (3) .dv = 3 dx Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .( 1/3) csc2 3x . (3) dx = 1{- cot 3x } = - 1cot 3x + c . + c .3 38. cot x dx 2v = 1 x Falta (1/2) para completar el diferencial.2Se aplica: cot v dv = ln {sen (v) } + c .dv = 1dx2 (2) cot x ( 1 ) dx = 2 ln (sen x) + c . 2 22 9. xsec2 x3 = 1 . tg x3 + c . 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 45Solucionario de Calculo IntegralOrdenando: (sec x3)2 . x dx = sec2 x3 . x dx v = x3 Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dxSe aplica: sec2 v .dv = tg v + c . 1 . (sec x3)2 .(3) x dx = 3 1 . tg x3 + c . 3 10. dx.sen2xPor Trigonometra:1=csc2 x sen2 x csc2 xdx = - cot2 x + c .

11. ds= tg s + c . cos2 sPor Trigonometra:1=sec2 s cos2 s sec2 s ds = tg s + c .12. (tg + cot )2 d = tg - cot + c . (tg2 + 2 tg cot + cot2 ) d = Por Trigonometra: tg . cot = 1; tg2 + 1 = sec2 ;cot2 + 1 = csc2 .

Utilizando un artificio matemtico : 2 = 1 + 1 .Reemplazando y utilizando el artificio, obtenemos:Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 46Solucionario de Calculo Integral (tg2 + 2(1) + cot2 ) d = (tg2 + 2 + cot2 ) d (tg2 + 1 + 1 + cot2 ) d = (tg2 + 1 + cot2 + 1 ) dPero: tg2 + 1 = sec2 ;cot2 + 1 = csc2 . sec2 d + csc2 d = tg - cot + c .13. (sec - tg )2 d= 2 (sec - tg ) - + c . (sec2 - 2 sec tg + tg2 ) d=Pero: tg2 = sec2 - 1 , sustituyendo en la integral. (sec2 - 2 sec tg + sec2 - 1 ) d= (2sec 2 - 2 sec tg - 1 ) d= 2sec2 d- 2 sec tg d- d= 2 sec2 d- 2 sec tg d- d=En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + c .En la 2da integral aplicamos: sec v tg v dv = sec v + c . 2 tg - 2sec - = 2(tg - sec ) - + c .14. dx= - cot x + csc x + c . 1 + cos xRacionalizando: 1 . 1 + cos xAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 47Solucionario de Calculo Integral 1 .1 - cos x=1 - cos x .1 + cos x1 - cos x 1 - cos2xPero: 1 - cos2 x = sen2 x .1 - cos x . dx .Aplicando artificios aritmticos, Ejm: sen2x Aplicando artificios aritmticos, Ejm: 8 - 6= 8-6 1 - cos x =1 -cos x .22 2sen2 x sen2 xsen2 x1 -cos xdx = dx- cos x dx= sen2x sen2x sen2xsen2x csc2 x dx - (sen x)-2. cos x dx =v = sen xEn la 1ra aplicamos: csc2 v dv = - cot v + c .dv = cos x dx El diferencial de la 2da integral, esta completo. csc2x dx - (sen x)-2. cos x dx = - cot x - (sen x) -2+1 = - 2 + 1Por Trigonometra : 1 = csc x . sen x= - cot x - (sen x) -1

= - cot x +1 = - cot x + csc x + c . - 1 sen x15. dx = tg x - sec x + c . 1 + sen xRacionalizando y efectuando artificios aritmticos : 1 . 1 - sen x = 1 - sen x= 1 - sen x .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 48Solucionario de Calculo Integral 1 + sen x 1 - sen x1 - sen2 xcos 2 x1 - sen x = 1 -sen x= sec2 x-senx=cos2 x cos2 xcos2 xcos2 x sec2 x dx - sen x dx= sec2 x dx - (cosx)-2. sen x dx cos2 xv = cos x En la 1ra integral aplicamos: sec2 v dv = tg v + cdv = - sen x dxEn la 2da integral aplicamos: vn dv = v n+1 + c n+1 sec2 x dx - (-) (cosx)-2.(-) sen x dx =tg x + (cos x) -2+1

= tg x + (cos x) -1

= tg x -1 = - 2 + 1 - 1cos xtg x - sec x + c .16. sen s ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos sv = 1 + cos sFalta el signo (-) , para completar el diferencialdv = - sen s ds Aplicamos la frmula : dv= ln v + c .v(-) sen s (-)ds = - ln (1 + cos s) + c .1 + cos s17. sec 2 x dx= 1 + tg xv = 1 + tg x El diferencial esta completo,dv = sec2 x dx se procede a integrar. sec 2 x dx= ln(1 + tg x ) + c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 49Solucionario de Calculo Integral1 + tg x18. x cos x2 dx = 1sen x2 + c . 2 cos x2 . xdx =

v = x2Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2x dx Se aplica: cos vdv = sen v + c . (2) cos x2 .(2)x dx = 1sen x2 + c .2 19. (x + sen 2x) dx = 1/2 (x2 - cos 2x) + c . x dx + sen 2x dx ={v = 2x ;dv = = 2 dx} x dx +1 sen 2x .(2) dx = x 1+1 +1- cos 2x = 21+1 2

x 2- cos 2x = 1 x2 - cos 2x + c . 2 2 220. sen x dx=2 4 - cos x+ c . 4 - cos xsen x dx=2 4 - cos x+c . (4 - cos x)1/2 (4 - cos x )-1/2. sen x dx=v = (4 - cos x ) El diferencial esta completo, dv = -(- sen x) dx = sen x dxse procede a integrar.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 50Solucionario de Calculo Integral (4 - cos x )-1/2. sen x dx= (4 - cos x ) - 1/2 + 1 =

- 1/2 + 1 (4 - cos x ) 1/2

= 2(4 - cos x )1/2 = 2 4 - cos x+ c . 1/221. (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen xv = x + sen xEl diferencial esta completo, Aplicamos: dv = (1 + cos x) dx dv=ln v + c .

v (1 + cos x) dx = ln (x + sen x) + c .x + sen x22. sec 2 d . 1 + 2tg sec 2 d . (1 + 2tg )1/2 (1 + 2tg )-1/2. sec2 d.v = (1 + 2tg )Falta (2) para completar el diferencial.dv = 2 sec2 d(1/2) (1 + 2tg )-1/2.(2) sec2 d.. 1 (1 + 2tg ) -1/2+1

=(1 + 2tg ) 1/2

=(1 + 2tg ) 1/2 =2-1/2+ 1 2(1/2) 1 (1 + 2tg )

+ c .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 51Solucionario de Calculo Integral23. sen 2xdx3v = 2x .Falta (2/3) para completar el diferencial. 3Se aplica : sen v dv = - cos v + c .dv = 2/3 dx ( 3 ) sen 2x( 2 ) dx = 3 - cos2x =- 3 cos 2x+ c 2

3 32

3 2 3 24. cos (b + ax) dxv = (b + ax) Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dx Se aplica : cos v dv = sen v + c .. 1 . cos (b + ax). (a) dx = 1 . sen(b + ax) = sen(b + ax) + c . aa a

25. csc2 (a - bx) dx = {csc (a - bx)}2 .dx{v = a - bx ; dv = - b dx} Falta(-b) para completar el diferencial. Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c .(- 1 ) {csc 2 (a - bx)} .( - b) dx = - 1- cot (a - bx)= bb cot (a - bx) +c . b 26. sectgd 2 2 v = /2 .Falta (1/2) para completar el diferencial,dv = 1/2 . d sec v tg v dv = sec v + c .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 52Solucionario de Calculo Integral ( 2 ) sec tg (1/2)d = 2 sec + c . 2 2 227. csca cota d bb v = a Falta (a/b) para completar el diferencial, b Se aplica: csc v cot v dv = - csc v + c . dv = a. d b b csc a cot a .( a ) d = . b .{- csc a } = a b b b a

b

- bcsc a + c.ab 28. ex cot

ex dxv = exEl diferencial esta completo, dv = ex dx se procede a integrar.cot ex . ex dx = ln {sen (ex)} + c .29. sec2 2 ax dx =v = 2axFalta (2a) para completar el diferencial.dv = 2a dx( 1/2a) sec2 2ax.(2a) dx = .1.tg 2ax =tg 2a + c . 2a 2a30. tgx dx 3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 53Solucionario de Calculo Integralv =x/3. Falta (1/3) para completar el diferencial. dv = 1/3 dx Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . dv = 1dxluego se procede a integrar.

3(3) tgx(1/3) dx = 3{ - ln cos x} = 3 ln sec x+ c .

33 331. dt.tg 5t cot 5t dt . v = 5tFalta (5) para completar el diferencialdv = 5 dtluego se procede a integrar.(1/5) cot 5t dt = 1ln sen 5t = ln 5t + c . 5 5 32. d .sen24Por trigonometria: 1/sen24 = csc24 . d =csc24 d.sen24v = 4Falta (4) para completar el diferencial,dv = 4 d luego se procede a integrar.csc24 d = 1{- cot 4 } = - cot 4 + c . 4433. dy .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 54Solucionario de Calculo Integral cot 7y tg 7y dy =v = 7yFalta (4) para completar el diferencial,dv = 7 dy luego se procede a integrar. Se aplica: tg v dv = - ln cos v + c = ln sec v + c . (1/7) tg 7y .(7) dy = 1{- ln cos 7y} = - ln cos 7y = 7 7 1ln cos 7y + c .

734. sen xdx xv = xFalta1para completar el diferencial,dv = 1 . dx 2 2x luego se procede a integrar. 2 (2) sen xdx.1.1. dx= 2 ( - cosx ) = - 2 cosx + c .2x 35. dt.sen2 3t csc2 3t dtv = 3tFalta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt Se aplica: csc2 v dv = - cot v + c . ( 1/3) csc23t .(3) dt = 1( - cot 3t ) =- cot 3t+ c . 33Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 55Solucionario de Calculo Integral36. d . cos 4Por Trigonometra:1/cos 4= sec 4. sec 4d.v = 4Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 d sec v dv = ln (sec v+tg v ) + c . (1/4) sec 4.(4) d= 1/4 { ln (sec 4+ tg 4) } + c .37. a dx.cos2 bx Por trigonometra: 1/cos2 bx = sec2 bx .a sec2 bx dx = v = bx Falta (4) para completar el diferencial,dv = b dxsec2 v dv = tg v + c . asec2bx .(b) dx = atg bx = a tg bx +c .

b b b

38. (sec 2 - csc ) d .2 sec 2 d - csc d .2 v = 2 v = /2 dv = 2 ddv = 1/2 dAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 56Solucionario de Calculo Integral(1/2) sec 2 .(2)d - (2) csc . 1 .)d .221{ln (sec 2 + tg 2 )} - 2 { ln csc- cot } + c .2 2 2 39. (tg +sec )2 d {tg2 + 2 tg sec + sec2 } dPor Trigonometra: tg2 = sec2 - 1. Sustituyendo en la integral . {sec2 - 1 + 2 tg sec + sec2 } d.2 sec2 d- d+ 2 tg sec } d.2 tg - + 2 sec + c . 40. ( tg 4s - cots ) ds .

4 1 tg 4s .(4) ds - (4) cot s . 1 .ds = 1ln{sec 4s} - 4 ln sen s= 4 4 4 44{ln sec 4s} - 4 ln sens + c . 44 41. (cot x - 1)2 dx (cot2x - 2 cot x + 1) dxPero:1 + cot2 x = csc2 x , reemplazando en la integral. (csc2 x - 2 cot x ) dx Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 57Solucionario de Calculo Integral csc2 x dx - 2 cot x dx = - cot x - 2ln (sen x) = -[cot x + 2 ln (sen x)] -{cot x +ln (sen x)2 } = -{cot x +ln (sen2 x) } + c .42. ( sec t - 1)2 dt .(sec2 t - 2 sec t + 1) dt . sec2 t dt - 2 sec t dt + dt .tg t - 2 ln (sec t + tg t) + t + c .43. (1 - csc y)2 dy . (1 - 2 . 1 . csc y + csc2 y) dy = (1 - 2 csc y + csc2 y) dy .dy - 2 csc y dy+ csc2 y dy .y - 2ln (csc y - cot y) - cot y + c .44. dx .1 - cos xRacionalizando: 1. (1 - cos x) 11 + cos x = 1 + cos x= 1 + cos x=1 - cos x 1 + cos x 12 - cos2 x sen2 x 1 + cos x =csc2 x + cos x.sen2 xsen2 x sen2 x csc2 x +cosx dx= csc2 x + (sen x) -2 . cosx dx = sen2 xAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 58Solucionario de Calculo Integral

- cot x + (sen x) -2+1

= - cot x + (sen x) -1 = - cot x - (sen x)-1 = -2+1 -1- cot x- 1= - cot x - csc x = - (cot x + csc x) + c . sen x 45. dx .

1 - sen xRacionalizando:1 1 + sen x= 1 + sen x= 1 + sen x. 1 - sen x1 + sen x 1 - sen2 xcos2 x1 + sen xdx= 1 dx +sen x dx .

cos2 x cos2 x cos2 x sec2 x dx + (cos x)-2 . sen x dx = tg x - (cos x) -2+1 = - 2 + 1 tg x - (cos x) -1 = tg x+1 = tg x + sec x + c . -1cos x 46. sen 2x dx.3 + cos 2xv = 3 + cos 2xFalta (-2) para completar el diferencial, dv = - 2 sen 2x dxse aplica:dv= ln v + c . v(-1 ) (-2) sen 2x dx= - 1ln (3 + cos 2x) + c .23 + cos 2x 2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 59Solucionario de Calculo Integral47. cos t dt. a + b sen tcos t dt= (a + b sen t)-1/2 .cos t dt = (a + b sen t)1/2v = (a + b sen t) Falta (b) para completar el diferencial,dv = b cos t dt Se aplica: vn dv = v n+1+ c .

n + 1 1 . (a + b sen t)-1/2.(b)cos t dt = (a + b sen t) -1/2+1

= (a + b sen t) 1/2 = b(b)(-1/2 + 1)1/2 (b)(a + b sen t) 1/2

1 = 2 (a + b sen t) 1/2

= 2 (a + b sen t)+c . bb b 2 48. csc cot d 5 - 4 csc v = 5 - 4 csc Falta (- 4) para completar el diferencial, dv = - 4 csc cot dSe aplica: dv= ln v + c . v (- 1 ) ( - 4) .csc cot d 4 5 - 4 csc - 1ln (5 - 4 csc ) + c . 4 49. csc 2 x dx .3 - cot x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 60Solucionario de Calculo Integralcsc 2 x dx = (3 - cot x)-1/2. csc2 x dx(3 - cot x)1/2 v = 3 - cot x El diferencial esta completo.dv = csc2x dx Se aplica: vn dv = v n+1+ c . n+1 (3 - cot x) -1/2+1

=(3 - cot x) 1/

2 = 2(3 - cot x)1/2

=-1/2 + 1 1/2 2 (3 - cot x)+ c .50. 5 + 2tg xdxcos2 x 5 + 2tg x. 1. dx= 5 + 2tg x. sec2 x dxcos2 x(5 + 2tg x)1/2 . sec2 x dx .v = (5 + 2tg x) Falta (2) para completar el diferencial,dv = 2 sec2x dx Se aplica: vn dv = v n+1+ c .n+1( 1 ) (5 + 2tg x)1/2 .(2) sec2 x dx = . 1 . (5 + 2tg x) 1/2+1

=22 1/2 + 1 (5 + 2tg x) 3/2 = (5 + 2tg x) 3/2 = (5 + 2tg x) 3

=

2(3/2) 33 (5 + 2tg x) 2 .(5 + 2tg x)

= (5 + 2tg x) (5 + 2tg x) + c . 33 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 61Solucionario de Calculo IntegralProblemas. Pagina 248y 249Verificar las siguientes Integraciones:1. dx. x2 + 9 dx.x2 + 32v = x El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv= 1arc tgv+ c . a = 3 v2 + a2 a a dx= 1 .arc tgx + c . x2 + 323 3 2. dx.x2 - 4 dx.x2 - 22 v = xEl diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv= 1. ln v - a + c .a = 2v2 - a22a v + a dx= 1. ln x - 2 = 1ln x - 2 + c .x2 - 22 2(2) x + 2 4x + 2 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 62Solucionario de Calculo Integral3. dy. 25 - y2 v = y El diferencial esta completo. Se aplica:dv = dy dv = arc senv +c .a = 5 a2 - v2

a dy = arc seny +c .52 - y2 54. ds.s2 - 16 ds.s2 - 42v = sEl diferencial esta completo.dv = dsSe aplica: dv=ln { v + v2 - a2 } + c .a = 4v2 - a2ds=ln { s + s2 - 16 } + c . s2 - 425. dx . 9x2 - 4 v = 3x Falta (3) para completar el diferencial dv .dv = 3 dxSe aplica: dv = 1. lnv - a+ c .(3x)2 - 22 a = 2 v2 - a2 2a v + a( 1 ) (3)dx =11 ln3x - 2= 1 .ln3x - 2 +c .3 (3x)2 - 22

3 2(2) 3x + 2 123x + 26. dx .16 - 9x2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 63Solucionario de Calculo Integral dx .42 - (3x)2v = 3x Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dxSe aplica: dv= arc senv + c . a = 4 a2 - v2 a ( 1 ) (3)dx =1 .arc sen3x+ c .342 - (3x)2

347. dx .9x2 - 1 dx.(3x)2 - 12v = 3xFalta (3) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 3 dx dv= 1 . ln v - a . a = 1v2 - a2 2a v + a dx= 1 . 1 . ln 3x - 1=1ln 3x - 1+ c . (3x)2 - 12 3 1(2) 3x + 163x + 18. dt.4 - 9t2 dt.22 - (3t)2 v = 3t Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3 dt dv= 1 .ln v - a+ c . a = 2 v2 - a22a v + aAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 64Solucionario de Calculo Integral( 1 ) (3) dt= 1 .1. ln 2 + 3t= 1 .ln 2 + 3t + c .3 22 - (3t)232(2) 2 - 3t122 - 3t 9. e xdx 1 + e 2x

e xdx .12 + (e x)2 v = e x El diferencial esta completo. dv = e x dxSe aplica: dv= 1arc tgv+ c . a = 1a2 + v2a a e xdx= 1 .arc tg e x

= arc tg e x + c . 12 + (e x)21 1

10. cos d 4 - sen2 cos d . 22 - (sen )2

v =sen El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = cos d dv = 1. ln a + v+ c . a = 2 a2 - v2 2aa - vcos d = 1 ln 2 + sen = 1ln2 + sen + c . 22 - (sen )2 2(2)2 - sen 42 - sen 11. bdx . a2x2 - c2bdx . (ax)2 - c2v = ax Falta (a) para completar el diferencial.dv = a dxdv = 1 ln v - a+ c . Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 65Solucionario de Calculo Integrala = c v2 - a22av + a( 1 )(b) (a) dx = b . 1. lnax - c =b. ln ax - c + c .a (ax)2 - c2 a 2(c) ax + c 2ac ax + c12. 5x dx.1 - x4 5x dx. 12 - (x2)2

v = x2Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 2x dx dv = arc sen v+ c .a = 1 a2 - v2a(5) (2)x dx= 5 .arc sen x= 5arc sen x + c 2 12 - (x2)2

21 213. ax dx.x4 + b4 ax dx . (x2)2 + (b2)2v = x2 Falta (2) para completar el diferencial. Se aplica:dv = 2x dx dv = 1arc tg v+ c .a = b2v2 + a2aa ( a ) (2) ax dx = a .1. arc tgx 2 = aarc tg x 2 + c2(x2)2 + (b2)22 b2 b22b2b2

14. dt .(t - 2)2 + 9Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 66Solucionario de Calculo Integral dt= (t - 2)2 + 32 v = t - 2El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv = 1 . arc tgv+ c .a = 3v2 + a2a a 1 . arc tg t - 2+ c .3 3 15. dy .1 + a2y2v = ayFalta (a) para completar el diferencial, se aplica: dv = a dy dv = ln {v + a2 + v2} + c .a = 1 a2 + v2 1 (a) dy = 1 . (a) dy = 1ln {ay + 1 + a2y2} + c .a1 +(ay)2 a (ay)2 + 12

a16. du.4 - (u + 3)2 du. 22 - (u + 3)2v = u + 3El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = duSe aplica: dv = arc senv+ c . a = 2a2 - v2 a du= arc senu + 3+ c . 22 - (u + 3)2 2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 67Solucionario de Calculo Integral17. dx. 9 - 16x2 dx. 32 - (4x)2v = 9 - 16x2 Falta (4) para completar el diferencial, se aplica:dv = 4 dx dx= arc senv+ c .a = 3a2 - v2 a( 1 ) (4)dx = 1 . arc sen4x+ c . 4 32 - (4x)2 4 3 18. dy . 9y2 + 4 dy. (3y)2 + 22v = 3yFalta (3)para completar el diferencial. dv = 3 dy Se aplica: dv = ln {v + v2 + a2} + c. a = 2v2 + a2( 1 ) (3) dy = 1 . ln {3y + (3y)2 + 22 } = 3 (3y)2 + 223 ln{3y + 9y 2+ 4 } + c 3 19. dt.4t2 + 25dt. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 68Solucionario de Calculo Integral(2t)2 + 52

v = 2tFalta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv = 2 dtdv = ln {v +v2 + a2} + c.a = 5v2 + a2 ( 1 ) (2)dt =1 . arc tg2t+ c . 2(2t)2 + 52 5520. dx. 25x2 - 4 dx.(5x)2 - 22v = 5x Falta (5) para completar el diferencial, se aplica:dv = 5 dxdv = 1ln v - a .+ c . a = 2v2 - a2 2av + a( 1 ) (5) dx =11 ln 5x - 2= 1ln 5x - 2+ c5(5x)2 - 22 52(2)5x + 220 5x + 221. 7 dx.3 + 7x2 7 dx . (3)2 + (7.x)2v = 7. x Falta (7) para completar el diferencial, se aplica:dv = 7 dxdv=1arc tgv+ c . a = 3a2 + v2a a( 1 ) 7 dx = 11 arc tg 7.x= 7(3)2 + (7.x)2 7 33Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 69Solucionario de Calculo Integral1 arc tg 7.x + c .21 3 21 . arc tg 7. 3.x = 21arc tg 21. x + c .21.21 3. 3 21 3 22. 3 dy .9y2 - 16 3 dy . (3y)2 - 42

v = 3y El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = 3 dySe aplica: dv = 1. lnv - aa = 4 v2 - a2 2a v + a 3 dy = 1. ln 3y - 4= 1 ln 3y - 4= ln 3y - 41/8 + c . (3y)2 - 42 2(4) 3y + 4 8 3y + 4 3y + 4 23. ds . 4s2 + 5ds.(2s)2 + (5)2v = 2sFalta (2) para conmpletar el diferencial, se aplica:dv = 2 ds dv= ln {v +v2 + a2} + c .a = 5 v2 + a2( 1 ) (2)ds= 1 {ln [2s + (4s2 + 5)]}+ c . 2 (2s)2 + (5)2

2

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 70Solucionario de Calculo Integral24. t dt.t4 - 4t dt.(t2)2 - (2)2v = t2 Falta (2) para completar el diferencial, se aplica:dv = 2t dtdv = ln {v + v2 - a2} + c .a = 2 v2 - a2( 1 )(2)t dt= 1{ln [t2 + (t4 - 4)]} +c.2 (t2)2 - (2)2 225. x dx .5x2 + 3 (5x2 + 3)-1/2. x dx .v = 5x2 + 3 Falta (10) para completar el diferencial, se aplica:dv = 10x dxvn dv = vn+1 + c .n = -1/2 1 . (5x2 + 3)-1/2.(10) x dx = 1 . (5x 2+ 3) -1/2+1

=1010-1/2+1 (5x 2+ 3) 1/2 = 5x 2+ 3+ c . 10(1/2)526. 2 xdx.1 - 2x Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 71Solucionario de Calculo Integral2 xdx.12 - (x)2v = x El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = x dxSe aplica: dv= arc senv + c . a = 1a2 - v2 a2 xdx= 2 arc sen x = 2 arc senx+ c . 12 - (x)2

127. 6t dt. 8 - 3t2v = 8 - 3t2 Falta el signo (-) para completar el diferencial,dv = - 6t dt se usa la frmula: dv= ln v + c .v(-)(-) 6t dt=- ln (8 - 3t2) + c . 8 - 3t228. sen . 4 + cos2 sen d . 22 + (cos )2 v = cos Falta el signo (-) paradv = - sen d completar el diferencial.a = 2Se aplica: dv=ln {v + a2 + v2 } + c .

a2 + v2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 72Solucionario de Calculo Integral(-) (-)sen d = - ln { cos +4 + cos2 } + c .22 + (cos )229. dx . m2 + (x + n)2v = x + n El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = dx Se aplica: dv = 1 . arc tg v+ c . a2 + v2 aadx= 1 . arc tgx + n+ c m2 + (x + n)2 mm30. du . 4 - (2u - 1)2du .22 - (2u - 1)2v = 2u - 1Falta el (2) para completar el diferencial, se aplica: dv = 2 dudv = 1. ln a + v + c .a = 2a2 - v22aa - v( 1 ) (2) du= 1 . 1. ln 2 + (2u - 1) = 2 22 - (2u - 1)2 22.22 - (2u - 1)1. ln 2 + 2u - 1 = 1 . ln 1 + 2u+ c .8 2 - 2u + 18 3 - 2u31. 7x 2dx. 5 - x6Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 73Solucionario de Calculo IntegralHaciendo cuadrado perfecto al # 5 ,y luego le extraemos la raiz cuadrada y lo elevamos al cuadrado: 7x 2dx. (5)2 - (x3)6v = x3Falta (3) para completar el diferencial, el (7) sedv = 3x2 dx coloca fuera de la integral. Se aplica: a = 5 dv = 1. ln a + v + c .a2 - v22aa - v(7. 1 ) (3)x 2dx = 7 . 1 . ln 5 + x 3 = 7 . ln 5 + x 3 + c

3 (5)2 - (x3)63 2.55 - x3655 - x37 . 5. ln 5 + x 3 = 7 . 5. ln 5 + x 3 = 6 5. 55 - x3 6 . 5 5 - x3 7 . 5 . ln 5 + x 3 + c .305 - x3Problemas. Pagina 250 , 251 y 252.Verificar las siguientes Integraciones:1. dx . x2 + 4x + 3Factorizar el denominador y hacerlo trinomio cuadrado perfecto: Primero dividimos para (2) al coeficiente del 2dotrmino , yluego al resultado lo elevamos al cuadrado.4/2 =2;22 =4 .Luego: sumamos y restamos "4" a :x2 + 4x + 3. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 74Solucionario de Calculo Integralx2 + 4x + 4 - 4 + 3 = x2 + 4x + 4 - 1 . x 2+ 4x + 4 , es un trinomio cuadrado perfecto: (x + 2)2.Tendremos: x2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2 )2 - 1 = (x + 2 )2 - 12 .Sustituyendo este ultimo resultado en la integral; esta estar lista para desarrollarse, se usa la frmula: dv = 1 . lnv - a+ c .v2 - a22a v + adx = dx. x2 + 4x + 3 (x + 2 )2 - 12v = (x + 2 ) dv = dxEl diferencial esta completo.a = 1 dx= 1. ln x + 2 - 1= 1lnx + 1 + c . (x + 2 )2 - 12 2.1 x + 2 + 1 2 x + 3Nota.- Tambien habra casos en que se completa cuadrados a la cantidad sub-radical.Este sera el arquetipo, en que se regiranlos demas problemas.2. dx.2x - x2 - 10 - x2 + 2x - 10 = - (x2 - 2x + 10) .2= 1; 12 = 1 2 - (x2 - 2x + 1 - 1 + 10) = - [ (x - 1)2 + 9] = - [ (x - 1)2 + 32]Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 75Solucionario de Calculo Integral dx = - dx .- [ (x - 1)2 + 32][ (x - 1)2 + 32]v = x - 1 El diferencial esta completo, se procede a integrar.dv = = dxSe emplea la frmula: dv= 1 .arc tgv+ c .a = 3 v2 + a2

a a

- dx=-1arc tgx -1 + c . [(x - 1)2 + 32]

33 3. 3 dx .x2 - 8x + 258/2 = 4;42 = 16 x2 - 8x + 16 - 16 + 25 = x2 - 8x + 16 + 9 = [(x - 4)2 + 32] 3 dx.[(x - 4)2 + 32] v = x - 4 El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx dv= 1arc tgv + c . a = 3 v2 + a2

a a(3) 3 dx= 3 . 1 . arc tgx - 4= arc tgx -4+ c .[(x - 4)2 + 32] 3 3 34. dx.3x - x2 - 2

3x - x2 - 2 = - x2 + 3x - 2 = - (x2 - 3x + 2) ; 3 ; 32 = 9. 2

2 4- (x2 - 3x + 2) = - (x2 - 3x +9-9+ 2) = - [(x - 3 )2 -9+8 ] =

4 424 4Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 76Solucionario de Calculo Integral= -(x - 3 )2 - 1= -(x - 3 )2 -1 2 = 12 - (x - 3 )2 2 422 2 2 dx. 2 -x - 3/2 2

v = x - 3/2Esta completo el diferencial. Se aplica:dv = dx dv = arc senv + c .a = 1/2a2 - v2

a

2x - 3 = arc sen x - 3/2 =arc sen 2 = arc sen (2x - 3) + c . 5. dv .v2 - 6v + 5v2 - 6v + 5 ; 6= 3 ;32 = 92 v2 - 6v + 5 = v2 - 6v + 9 - 9 + 5 = (v - 3)2 - 4 = (v - 3)2 - 22 = Sustituyendo este valor en la integral:dv .(v - 3)2 - 22v = v - 3 El diferencial esta completo, se emplea la frmula:dv = dvdv= 1 . lnv - a+ c .a = 2v2 - a22av + adv = 1 . ln v - 3 - 2 = 1 . ln v -5+ c .(v - 3)2 - 22 2.2 v - 3 + 2 4 v - 1 6. dx. 2x2 - 2x + 1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 77Solucionario de Calculo Integral2x2 - 2x + 1 =2(x2 - x +1 );1; 1 2 = 1 .2 2 2 4 2(x2 - x +1- 1+ 1 ) = 2{ (x - 1 )2 - 1 + 1 } = 2{(x - 1 )2 - 1 + 2 } 4 4 2 2 422 4 4 2{(x - 1 )2 + 1 } = 2{(x - 1 )2 + 1 2 }24 222El factor (2) por estar en el denominador, sale fuera de laintegral como 1/2 .dx = 1 . dx =

2{(x - 1 )2 + 1 2}2{(x - 1 )2 + 1 2} 222

222

v = x - 1/2 El diferencial esta completo. Se aplica: dv = dx dv =1arc tgv+ c .a = 1/2v2 + a2 a a x -1 . 1 . 1 dx = 1 . 2 .arc tg2 = 2 1 {(x - 1 )2 + 1 2}21.

2 2 222 2x - 1 2arc tg2= arc tg (2x - 1) + c . 2 1.27. dx.15 + 2x - x2

15 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 15 = - (x2 - 2x - 15 ) ;2= 1 ; 12 = 12(x2 - 2x + 1 - 1 - 15 ) = - {(x - 1)2 - 16 } = - [(x - 1)2 - 42 ] =Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 78Solucionario de Calculo Integral[42 - (x - 1)2]. Se reemplaza este valor en la integral.dx = dx= 15 + 2x - x2{42 - (x - 1)2}v = x - 1 El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = arc senv+ c .a = 4 a2 - v2

a arc senx -1+ c .48. dx. x2 + 2xx2 + 2x

; 2/2 = 1 ;12 = 1 . Se suma y resta 1 a: x2 + 2x .

x2 + 2x = x2 + 2x + 1 - 1 = [(x + 1)2 - 1] = [(x + 1)2 - 12] . dx. {(x + 1)2 - 12} v = x + 1El diferencial esta completo. Se usa la frmula:dv = dx dv= 1ln v - a + c .a = 1 v2 - a2 2av + adx= 1 ln x + 1 - 1 = 1ln x+ c .{(x + 1)2 - 12} 2.1 x + 1 + 1 2x + 29. dx. 4x - x24x - x2 = - x2 + 4x = - (x2 - 4x) 4= 2 ; 22 = 4

2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 79Solucionario de Calculo Integral= - (x2 - 4x + 4 - 4) = = - {(x - 2)2 - 4} = - {(x - 2)2 - 22 } = {22 - (x - 2)2}dx . {22 - (x - 2)2}v = x - 2El diferencial esta completo,se usa la frmula:dv = dx dv = 1 . ln a + v+ c .a = 2 a2 - v2 2aa - v1 ln 2 + x - 2 = 1ln x= 1ln x + c .2.2 2 - (x - 2)4 2 - x + 24 4 - x 10. dx. 2x - x22x - x2 = - x2 + 2x = - (x2 - 2x ); 2= 1;12 = 1 2-(x2 - 2x + 1 - 1) = {-(x - 1)2 - 1} = {-(x - 1)2 - 12} = 12 - (x -1)2dx .12 - (x -1)2v = x - 1 Esta completo el diferencial, se usa la frmula:dv = dx dv=arc senv+ c .a = 1a2 - v2

a

arc senx - 1= arc sen (x - 1) + c .1 11. ds . 2as + s2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 80Solucionario de Calculo Integral2as + s2 = s2 + 2as .

2a= a ; a2 = a2 2s2 + 2as + a2 - a2 = {(s + a)2 - a2} = (s + a)2 - a2 ds. {(s + a)2 - a2}

v = s + aEl diferencial esta completo, se aplica: dv = ds dv = ln [v + (v2 - a2)] + c .a = a v2 - a2ln{(s + a) + [(s + a)2 - a2] } + c .12. dy . y2 + 3y + 1y2 + 3y + 1 . 3; 3 2 = 9 . 22 4y2 + 3y +9-9+ 1 = {( y +3)2 -9+4} = {( y +3)2 -5 } 4 4 2 442 4 {( y +3)2 - 52 } = {( y +3 )2 - 5 2 } 2 4 22 dy. v = y + 3/2El diferencial esta (y + 3/2 )2 - (5/2)2 dv = dy completo, se aplica : a = 5/2 dv= 1ln v - a + c v2 - a22a v + a

y + 3- 52y + 3 - 5 .. 1. ln 22 =1 ln 2= 2. 5y+3+ 5 5 2y + 3 + 5. 2 22 2. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 81Solucionario de Calculo Integral1 ln 2y + 3 - 5 + c . 5 2y + 3 + 513. dy. 1 + x + x21 + x + x2 = x2 + x + 1 .

1; 12 = 1. 2 2 4 = {x2 + x +1-1+ 1 } = {(x+ )2 -1+4 } = 4 4 4 4{(x +)2 + } = {(x +)2 + ( )2} =(x + )2 + (3/2)2.

dy=

(x + )2 + (3/2)2.

v = x + 1/2 El diferencial esta completo. dv = dx dv = 1arc tgv+ c .a = 3/2 v2 + a2 a a x + 1 . dy=1arc tg 2 = (x + )2 + (3/2)2 3 . 3. 22

2x + 1. 2arc tg 2 = 2arc tg 2x + 1+ c 3 333. 214. dx. 1 + x + x2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 82Solucionario de Calculo Integral1 + x + x2 = x2 + x + 1 . 1

; 1 2 = 1.

2 2 4 x2 + x +1-1+1 = {(x + )2 -1+4 } = {(x + )2 + } .4 4 44(x + )2 + 3 2

= (x +)2 + 32

= (x + )2 + (3/2)2

4

2 dx. {(x + )2 + (3/2)2} v = x + 1/2 Esta completo el diferencial. dv = dxSe aplica : dv = ln {v +v2+a2} + c.a = 3/2v2+a2

ln { x + + {(x + )2 + (3/2)2} = ln {x + + (1 + x + x2)} + c .15. dx. 4x2 + 4x + 54x2 + 4x + 5 = 4(x2 + x + 5 ) . 1; 1 2

= 1 . 4 222 4

4(x2 + x+1-1+ 5 ) = 4(x2 + x+1+4) = 4 4 4 444{(x + )2 + 1 } = 4 {(x + )2 + 12 }.El factor (4) sale como fuera de la integral 1dx. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 83Solucionario de Calculo Integral 4{(x + 1 )2 + 12}. 2 v = x + 1/2 El diferencial esta completo:dv = dx Se aplica: dv = 1arc tgv+ c a = 1 v2 + a2

a

a 1.1arc tgx + = 1arc tg(2x + 1) + c .

4 1 142

16. dx .3x2 - 2x + 4 2.3x2 - 2x + 4 = 3(x2 - 2/3x + 4/3). 3 = 2 = 1;12

= 1 . 263 3 9 1 3[x2 - 2/3x +1/9 - 1/9 + 4/3] = 3[(x - 1/3)2 - 1/9 + 12/9] = 3[(x - 1/3)2 + 11/9] = {3(x - 1/3)2 + (11/9)2 = {3(x - 1/3)2 + (11/3)2}El factor (3) del denominador, sale como 1/3 fuera de la integral .dx = 1 dx .{3(x - 1/3)2 + (11/3)2}3(x - 1/3)2 + (11/3)2v = x - 1/3El diferencial esta completo, se aplica:dv = dxdv = 1arc tgv+ c .

a = 11/3v2 + a2a a

x - 1 3x - 1.1 . 1. arc tg3 = 1arc tg 3= 3 11 1111 11..

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 84Solucionario de Calculo Integral 3 33 . 1. arc tg 3x -1 + c . 1111 .17. dx. 2 - 3x - 4x22 - 3x - 4x2 = {- 4x2 - 3x + 2} = {- 4(x2 + x - 2/4)} , = ; ()2 =9/642{- 4(x2 + x + 9/64 - 9/64 - 2/4)} = {- 4[(x + )2 - 9/64 - 32/64]}- 4[(x + )2- 41/64]} = {- 4[(x + )2- (41/64)2]} {- 4[(x + )2 - (41/8)2]} = {4[(41/8)2 - (x + )2]} = Al factor (4) se le extrae la raiz cuadrada y sale fuera de la integral como dx= dx= {4[(41/8)2 - (x + )2]} 4 . [(41/8)2 - (x + )2] dx=1 dx=2a[(41/8)2 - (x + )2]}2[(41/8)2 - (x + )2]

v = x + El diferencial esta completo, se procede a integrar. dv = dx Se aplica : dv= arc senv+ c .a = 41/8

a2 - v2a 8x + 3 .. 1 arc sen x += 1arc sen8+ c . 2 41/8 2 41. 8Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 85Solucionario de Calculo Integral 1 arc sen 8x + 3 +c . 24118. dx.x2 + 2x + 10 x2 + 2x + 10 ,2/2 = 1 ; 12 = 1 x2 + 2x +1 - 1 + 10 = (x + 1)2 - 1 + 10 =(x + 1)2 + 9 =(x + 1)2 + 32 . Sustituyendo este valor en la integral. dx.(x + 1)2 + 32 v = x + 1El diferencial esta completo. Se aplica:dv = dx dv= 1arc tgv+ c .a = 3 v2 + a2

a a dx = 1arc tgx + 1+ c .(x + 1)2 + 32 3 319. dx.x2 + 2x - 3x2 + 2x - 3.2/2 = 1; 12 = 1

x2 + 2x - 3 = x2 + 2x + 1 - 1 - 3 = (x + 1)2 - 4 =(x + 1)2 - 22 dx . (x + 1)2 - 22v = x + 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1 ln v - a+ c .a = 2 v2 - a22a v + aAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 86Solucionario de Calculo Integral 1lnx + 1 - 2 = 1ln x -1 + c . 2 . 2x + 1 + 2 4 x + 320. dy .3 - 2y - y2 3 - 2y - y2 = - y2 - 2y + 3 = - (y2 + 2y - 3 ) . 2/2 = 1 ;12 = 1

{- (y2 + 2y + 1 - 1 - 3)} = {- [(y + 1)2 - 1 - 3]} ={-[(y + 1)2 - 4]}{- [(y + 1)2 - 22 ]} = {22 - (y + 1 )2}. Sustituyendo en la integral.dy.{22 - (y + 1 )2} El diferencial esta completo, se aplica: v = y + 1dv= 1 ln a + v + c . dv = dya2 - v22aa - v a = 2 1ln 2 + y + 1= 1ln 3 + y = 1 ln 3 + y+ c . 2(2)2 - (y + 1) 42 - y - 1 4 1 - y 21. 3 du. 5 - 4u - u2

5 - 4u - u2 = - u2 - 4u + 5 = - (u2 + 4u - 5) . 4/2 = 2 ;22 = 4 {- (u2 + 4u + 4 - 4 - 5)} = {- (u + 2 )2 - 4 - 5} = {- (u + 2 )2 - 9}Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 87Solucionario de Calculo Integral{- (u + 2 )2 - 32} = {32 - (u + 2 )2} .Se reemplaza en la integral. 3 du .32 - (u + 2 )2 v = u + 2El diferencial esta completo, se aplica:dv = dudv = arc senv+ c .a = 3 a2 - v2a 3 du =3 du = 3 arc senu + 2+ c . 32 - (u + 2 )2 32 - (u + 2 )2

3

22. 5 dx. x2 + 2x + 5

x2 + 2x + 5 . 2/2 = 1;12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 + 5 = (x + 1)2 - 1 + 5 = (x + 1)2 + 4 .(x + 1)2 + 22 . Sustituyendo este resultado en la integral. 5 dx.(x + 1)2 + 22 v = x + 1El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln ( v + v2 + a2) + c .a = 2 v2 + a2ln {x + 1 + (x + 1)2 + 22 }= ln {x + 1 + (x2 + 2x + 5)} + c .23. dx . x2 + 4x + 3x2 + 4x + 3 . 4/2 = 2;22 = 4

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 88Solucionario de Calculo Integralx2 + 4x + 4 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 4 + 3 = (x + 2)2 - 1 .(x + 2)2 - 12. Este resultado se reemplaza en la integral. dx. v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica:(x + 2)2 - 12 dv = dxdv = ln [v + v2 - a2 ] + c . a = 1v2 - a2 ln{ x + 2 + [(x + 2)2 - 12] } + c .24. dx .x2 + 2xx2 + 2x . 2/2 = 1 ; 12 = 1

x2 + 2x + 1 - 1 = (x + 1)2 - 1 = (x + 1)2 - 12.Sustituyendo este valor en laintegral dx . (x + 1)2 - 12

v = x + 1El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln [v + (v2 - a2) ] + c .a = 1v2 - a2ln{x + 1 + [(x + 1)2 - 12] } + c .25. dt. 3t - 2t23t - 2t2 = - 2t2 + 3t = -2(t2 - 3/2.t) . 3/2= ; ()2 = 9/16 2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 89Solucionario de Calculo Integral{-2(t2 - 3/2.t + 9/16 - 9/16)} = {-2[(t - )2 - 9/16)]} = 2[9/16 - (t - )2]} = {2[(3/4)2 - (t - )2]} . dt=dt = {2[()2 - (t - )2]} (2).[( )2 - (t - )2] 1 dt. 2[()2 - (t - )2]v = t - El diferencial esta completo, se aplica: dv = dt dv = arc senv+ c .a = a2 - v2 a

(4t - 3) 1arc sen t - = 1arc sen 4= 1arc sen 4t - 3+ c . 2

2 323426. dx. x2 - 4x + 5x2 - 4x + 5. 4/2 = 2;22 = 4

x2 - 4x + 5 = x2 - 4x + 4 - 4 + 5 = (x - 2)2 - 4 + 5 = (x - 2)2 + 12 .Sustituyendo este valor en la integral. dx . (x - 2)2 + 1v = x - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv= 1arc tgv+ c .a = 1 v2 + a2 a a1 arc tg x - 2 =arc tg (x - 2) + c .11Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 90Solucionario de Calculo Integral27. dx .2 + 2x - x22 + 2x - x2 = - x2 + 2x + 2 = - (x2 - 2x - 2) . 2/2 = 1 ; 12 = 1

{-(x2 - 2x - 2)} = {-(x2 - 2x + 1 - 1 - 2)} = {-[(x - 1)2 - 1 - 2]} = {-[(x - 1)2 - 3]} = {-[(x - 1)2 - (3)2]} =(3)2 - (x - 1)2 .dx.

(3)2 - (x - 1)2v = x - 1El diferencial esta completo, se aplica: dv = dx dv= 1 lna + v+ c .a = 3 a2 - v2 2a a - v1ln 3 + x - 1 = 1ln 3 + x -1 + c . 23 3 - (x - 1)

23 3 - x + 1 28. dr .r2 - 2r - 3r2 - 2r - 3. 2= 1 ;12 = 1 2r2 - 2r - 3 = r2 - 2r + 1 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 1 - 3 = (r - 1)2 - 4 = (r - 1)2 - 22 Sustituyendo este valor en la integral.dr. (r - 1)2 - 22 v = r - 1 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dr dv= 1ln v - a + c .a = 2 v2 - a2 2a v + a 1. ln r - 1 - 2= 1 ln r -3 + c . 2 . 2 r - 1 + 2 4 r + 1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 91Solucionario de Calculo Integral29. 4 dx. x2 - 4x + 13x2 - 4x + 13.4/2 = 2;22 = 4 x2 - 4x + 13 = x2 - 4x + 4 - 4 + 13 = (x + 2 )2 - 4 + 13 =

(x + 2 )2 + 9 = (x + 2 )2 + 32. Reemplazando en la integral. 4 dx .(x + 2 )2 + 32

v = x + 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = ln [ v + v2 + a2 ] + c .a = 3 v2 + a2ln {x + 2 + [(x + 2 )2 + 32]} + c .30. dz .3 + 2z - z23 + 2z - z2 = - z2 + 2z + 3 = - (z2 - 2z - 3) .2/2 = 1 ; 12 = 1

{-(z2 - 2z - 3)} = {-(z2 - 2z + 1 - 1 - 3)} = {-[(z - 1)2 - 1 - 3]} = {-[(z - 1)2 - 4]} = {-[(z - 1)2 - 22]} = 22 - (z - 1)2dz . 22 - (z - 1)2v = z - 1El diferencial esta completo, se aplica:dv = dz dv= arc senv+ c . a = 2 a2 - v2 a arc senz -1+ c .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 92Solucionario de Calculo Integral231. dv. v2 - 8v + 15v2 - 8v + 15. 8/2 = 4;42 = 16

v2 - 8v + 16 - 16 + 15 = (v - 4)2- 16 + 15 = (v - 4)2- 1 =(v - 4)2- 12 . Reemplazando este valor en la integral. dv. (v - 4)2- 12 v = v - 4 Esta completo el diferencial, se aplica:dv = dv dv= ln (v + v2 - a2 ) + c .a = 1 v2 - a2 ln {v - 4 + [(v - 4)2- 12]} + c .32. x dx . x4 - x2 - 1x4 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 - 1 .1/2 ; (1/2)2 = 1. 4 (x2)2 - x2 - 1 = (x2)2 - x2 + - - 1 = (x2 - )2 - - 1 =(x2 - )2 - 5/4 = (x2 - )2 - (5/4)2 = (x2 - )2 - (5/2)2 = (x2 - )2 - (5/2)2 .reemplazando este valor en la integral. x dx . (x2 - )2 - (5/2)2v = x2 - Falta (2) para completar dv = 2x dx Se aplica: Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 93Solucionario de Calculo Integrala = 5 dv = 1lnv - a+ c . 2 v2 - a2 2a v + a 1 (2) x dx .2 (x2 - )2 - (5/2)2

x2 -1- 5 2x 2- 1 - 5 . 1 . 1 . ln 22= 1 . ln2= 2 2 . 5x2 - 1+ 5 252x 2- 1 + 5 .22 2 2. 1 . 5. ln 2x 2- 1 - 5 = 5. ln2x 2-1 - 5 + c .25.5 2x2 - 1 + 5 10 2x2 - 1 +5 33. dt.1 - t - 2t2 1 - t - 2t2 = - 2t2 - t + 1 = -2(t2 + t-). = ; ( )2= 1/162{-2(t2 + t - )} ={-2(t2 + t + 1/16 - 1/16 - )} ={-2[(t + )2 - 1/16 - ]}={-2[(t + )2 -1/16 - 8/16]}= {-2[(t + )2 - 9/16]} = {-2[(t + )2 - (9/16)2]}{2(-1)[(t + )2 - ( )2]} = {2[( )2 - (t + )2]} . dt= dt =1 dt . {2[ ()2 - (t + )2]}2 [( )2 - (t + )2] 2 [( )2 - (t + )2] Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 94Solucionario de Calculo Integralv = t + El diferencial esta completo, se aplica:dv = dt dv =arc senv+ c . a = a2 - v2a 4t + 1. 1arc sen t + = 1. 2arc sen4 = 2arc sen 4t + 1 + c .22.2 3 2 3 4.34. dx .3x2 + 4x + 1 3x2 + 4x + 1 = 3(x2 + 4/3x + 1/3). 4/3= 4/6 = 2/3;(2/3)2 = 4/9 23(x2 + 4/3x + 4/9 - 4/9 + 1/3) = 3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 1/3) =3{(x + 2/3)2 - 4/9 + 3/9) = = 3{(x + 2/3)2 - 1/9} = 3{(x + 2/3)2 - (1/9)2} = 3{(x + 2/3)2 - (1/3)2} .dx = dx= 1 dx = 3x2 + 4x + 13{(x + 2/3)2 - (1/3)2} 3(x + 2/3)2 - (1/3)2v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv = 1. lnv - a + c .a = 1/3v2 - a22a v + a 3x + 1 . 1 .1. ln x + 2/3 - 1/3= 1lnx + 1/3 = 1 ln 3 = 32. 1 x + 2/3 + 1/3 6 x + 3/3 2 3x + 3. 3 33 .1 ln 3x + 1= ln 3x + 1 1/2+ c .2 3x + 3 3x + 3Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 95Solucionario de Calculo Integral35. dw .2w2 + 2w + 12w2 + 2w + 1 = 2(w2 + w + ) . 1/2; (1/2)2 = 1.4{2(w2 + w + - + )} = {2(w + )2 - + } = {2(w + )2 - + 2/4} = = {2[(w + )2 + ]} = {2(w + )2 + [()2 ]} ={2[(w + )2 + ( )2]} .Reemplazando en la integral. dw = 1 dw. {2[(w + )2 + ( )2]}2 (w + )2 + ( )2v = w + El diferencial esta completo, se aplica:dv = dw dv = 1 arc tgv+ c .a = v2 + a2 aa2w + 1.1.1 arc tgw + = 1arc tg 2= 2

2 1.

2 2 . arc tg (2w + 1) + c .36. x 2 dx .9x6 - 3x3 - 19x6 - 3x3 - 1. Suponiendo que: x3= m 9m2 - 3m - 1 = x6 = m29(m2 - 3/9m - 1/9) =9(m2 - 1/3m - 1/9) .

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 96Solucionario de Calculo Integral1/3 ;12 = 1 . 2 6 36{9(m2 - 1/3m + 1/36 - 1/36 - 1/9)} = {9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 1/9]}{9[(m - 1/6)2 - 1/36 - 4/36]} ={9[(m - 1/6)2 - 5/36]} ={9[(m - 1/6)2 - (5/36)2]} = {9[(m - 1/6)2 - (5/6)2]} .Pero: m = x3 , sustituyendo : {9[(m - 1/6)2 - (5/6)2]} = {9[(x3 - 1/6)2 - (5/6)2]} . x 2dx= 1 x 2dx= {9[(x3 - 1/6)2 - (5/6)2]} 9 [(x3 - 1/6)2 - (5/6)2]}v = x3 - 1/6Falta (3) para completar el diferencial.dv = 3x2 dx Se aplica: dv= 1 ln v - a+ c .a = 5/6v2 - a2 2a v + a 1 . 1 (3)x 2dx = 9 3(x3 - 1/6)2 - (5/6)2 6x 3- 1 - 5.1. 1ln x 3- 1/6 - 5/6 =1ln 6 . 27 2. 5 x3 - 1/6 + 5/6 54 . 5 6x 3- 1 + 5 6 6 6. 1ln 6x 3- 1 - 5 = 1 . 5ln6x 3- 1 - 5 =

9 5 6x3 - 1 + 5 95.5 6x3 - 1 + 5 5ln6x 3- 1 - 5= 5ln

6x 3-1 - 5 +c .9 . 5 6x3 - 1 + 5456x3 - 1 + 5 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 97Solucionario de Calculo IntegralVerificacin del Ejercicio # 36, mediante la Diferenciacin:d 5. ln 6x 3- 1 - 5= 5 . d ln 6x 3- 1 - 5

. dx 45 6x3 - 1 + 545 dx6x3 - 1 + 5 5 1.d 6x 3- 1 - 5. 456x 3- 1 - 5dx6x3 - 1 + 56x3 - 1 + 5 5 . 6x 3- 1 + 5 (6x 3- 1 + 5)(18x 2 ) - (6x 3- 1 - 5)(18x 2 ) 456x3 - 1 - 5 (6x3 - 1 + 5)2 5 . (6x 3- 1 + 5).(108x 5- 18x 2+ 18 . 5 .x 2- (108x 5- 18x 2- 18 . 5 .x 2 ) 45 6x3 - 1 - 5(6x3 - 1 + 5 )2 5 . (6x 3- 1 + 5)(108x 5-18x 2+ 18 . 5 .x 2- 108x 5+18x 2+ 18 . 5 .x 2 )45 6x3 - 1 - 5(6x3 - 1 + 5 ) (6x3 - 1 + 5) 5 . 36 . 5 . x 2

= 36 . 5 . x 2.45(6x3 - 1 - 5) (6x3 - 1 + 5 ) 45(6x3 - 1 - 5 )(6x3 - 1 + 5 ) 180x 2

= 4 x 2. 45{(6x3 - 1) - (5 )} {(6x3 - 1) + (5)} (6x3 - 1)2-(5)2

4x 2 =4 x 2 =4x 2 .36x6 - 12x3 + 1-5 36x6 - 12x3 - 4 4(9x6 - 3x3 - 1)x 2 .(9x6 - 3x3 - 1)Como es una diferenciacin, para comprobar si la integral esta bien desarrollada, por comodidad no fuimos colocando el dx, en el sitio correcto que le compete, lo hacemos en la parte final; podemos asumir, como el dx esta dividiendo, pasa ahora a multiplicar.dx 2 = dx 2 dx .dx

9x6 - 3x3 - 19x6 - 3x3 - 1Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 98Solucionario de Calculo IntegralL.q.d.d. (Lo que se queria demostrar).

37. dt .15 + 4t - t215 + 4t - t2 = - t2 + 4t + 15 = -(t2 - 4t - 15) . 4/2 = 2 ; 22 = 4 -(t2 - 4t + 4 - 4 - 15) = -[(t - 2)2 - 4 - 15] = -[(t - 2)2 - 19] = [19 - (t - 2)2] = (19)2 - (t - 2)2 .Sustituyendo este valor en la integral.

dt .(19)2 - (t - 2)2 v = t - 2 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dtdv= 1ln a + v + c . a = 19 a2 - v2

2aa - v 1 ln

19 + t - 2 = 1 . 19ln 19 + t - 2= 2.19 19 - (t - 2)2.19.19 19 - t + 2 19 ln 19 + t - 2 = 19ln 19 + t -2+ c . 2.19 19 - t + 2 38 19 - t + 2 38. dx .9x2 + 12x + 89x2 + 12x + 8 = 9(x2 + 12/9x + 8/9) .

12/9= 12/18 = 2/3 ;(2/3)2 = 4/9 29(x2 + 12/9x+ 4/9 - 4/9 + 8/9) = 9[(x + 2/3)2 - 4/9 + 8/9] =9[(x + 2/3)2 + 4/9] = 9[(x + 2/3)2 + (4/9)2] = 9[(x + 2/3)2 + (2/3)2 ]Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 99Solucionario de Calculo IntegralReemplazando este valor en la integral.dx= dx = 9(x + 2/3)2 + (2/3)2 9.(x + 2/3)2 + (2/3)2

1dx . 3(x + 2/3)2 + (2/3)2v = x + 2/3 El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv= ln (v + v2 + a2) + c . a = 2/3v2 + a2

1 ln{ x + 2/3 + [(x + 2/3)2 + (2/3)2]} + c .3 39. dx . 4x2 - 12x + 74x2 - 12x + 7 = 4(x2 - 3x + 7/4) . 3/2; ( 3/2)2 = 9/4. {4(x2 - 3x + 9/4 - 9/4 + 7/4)} = {4[(x - 3/2)2 - 9/4 + 7/4]} ={4[(x - 3/2)2 - 2/4]} = {4[(x - 3/2)2 - (2/4)]}2 = {4[(x - 3/2)2 - (2/2)2]}. Reemplazando en la integral.dx = dx= {4[(x - 3/2)2 - (2/2)2]} 4. [(x - 3/2)2 - (2/2)2]1 dx=2 (x - 3/2)2 - (2/2)2v = x - 3/2El diferencial esta completo, se aplica:dv = dx dv= ln ( v + v2 - a2 ) + c .a = 2/2v2 - a2Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 100Solucionario de Calculo Integral 1ln{ x - 3/2 + (x - 3/2)2 - (2/2)2} + c . 2 Problemas. Paginas 253 y 254Veri ficar las siguientes Integraciones:Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 101Solucionario de Calculo Integral1. (1 + 2x) dx= arc tg x + ln (1 + x2) + c .1 + x2Primero tomamos como referencia un artificio aritmtico cualquiera: 7+14 = 7 +14 ;1 + 2x =1+2x.3+43 + 43 + 4 1 + x21 + x2

1 + x2Aplicando este artificio en la integral: 1+2x dx =dx+2x dx= 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2

v = x La 1ra integral, esta completa. dv = dx Se aplica: dv = 1 arc tgv + c . a = 1 a2 + v2 a a

v = 1 + x2La 2da integral, tambien esta completa. dv = 2x dx Se aplica: dv= ln v + c. v

1 arc tg x+ln (1 + x2) =arc tg x + ln (1 + x2) + c . 1 12. ( 2x + 1) dx . x2 - 12x+ dx .x2 - 1 x2 - 12x dx+dx= (x2 - 1)-1/2. 2x dx+dx =

(x2 - 1)1/2 x2 - 12 x2 - 12 v = (x2 - 1) 1 ra integral .Esta completo el diferencial.dv = 2x dx Se aplica: vn dv = v n+1 + c . n = -1/2 n+1 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 102Solucionario de Calculo Integralv = x 2 da integral. Se aplica:dv = dx dx = ln (v + v2 - a2 ) + ca = 1v2 - a2(x 2- 1) -1/2+1+ ln{x + x2 - 12}= (x 2- 1) 1/2+ ln { x + x2 - 12 }= - 1/2 + 11/22(x2 - 1)1/2 + ln {x + x2 - 12} = 2 x2 - 12 + ln{x + x2 - 12} + c . 3. (x -1) dx . 1 - x2 x dx - dx = (1 - x2)-1/2. x dx - dx. 1 - x2 1 - x21 - x2

v = 1 - x21 ra integral . Falta (-2) para completar el diferencial. dv = - 2x Se aplica: vn dv = v n+1 + c .n = -1/2 n+1v = x 2 da integral. Esta completo el diferencial. dv = dx Se aplica: dv = arc senv+ c . + c .a = 1 a2 - v2

a (- 1 ) (1 - x2)-1/2.(-2) x dx-dx .

2 12 - x2 - 1.(1 - x 2 ) -1/2+1- arc senx= - (1 - x 2 ) 1/2 -arc sen x = 2-1/2+112(1/2)-(1 - x2)1/2-arc sen x= - (1 - x2)1/2-arc sen x

+ c .4. (3x -1) dx .(x2 + 9)Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 103Solucionario de Calculo Integral 3x dx - dx=3x dx - dx . (x2 + 9)(x2 + 9) (x2 + 32) (x2 + 32)v = x2 + 9 1 ra integral. v = x2 da integral.dv= 2x dxdv = dx1ra integral. Falta (2) para completar el diferencial, se aplica: dv/v = ln v + c.Pero antes se coloca al# 3 fuera dela integral. 2da integral. Esta completo el diferencial, se aplica:dv = 1arc tgv+ c.v2 + a2

a a 3 . 1 .(2)x dx- dx=3ln(x2 + 32) -1arc tgx+ c .

2 (x2 + 32) (x2 + 32) 2 3 35. (3s - 2) ds .9 - s2

3s- 2ds = 3s- 2 ds = 9 - s29 - s2(9 - s2)1/232 - s2 3 (9 - s2)-1/2.sds- 2 ds.

32 - s2v =9 - s2 1 ra integral ,falta (-2). v = s 2 da integralesta completodv = - 2s ds Se aplica:dv = dsel diferencial.n = -1/2 vn dv = v n+1 + c . n + 1 dv = = 3(-1/2) (9 - s2)-1/2.(-2) sds- 2 ds. a2 - v2 32 - s2 -3 .(9 - s 2 ) -1/2+1

- 2 arc sens= - 3 . (9 - s 2 ) 1/2- 2arc sens=Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 104Solucionario de Calculo Integral 2-1/2+1 3 21/2 3= - 3. 2 .(9 - s2)1/2 - 2arc sens= - 3(9 - s2)1/2 - 2arc sens=2 3 3 = - 3 (9 - s2) - 2arc sens +c .

3 6. (x + 3) dx .x2 + 4x dx+ 3 dx= x dx+ 3 dx = x2 + 4 x2 + 4 (x2 + 4)1/2 x2 + 22 (x2 + 4)-1/2 . x dx + 3 dx = x2 + 22v = x2 + 41 ra integral . Falta (2) para completar el diferencial. dv = 2x dx Se aplica: vndv = v n+1 + c. n = -1/2 n+1 v = x2da integral. Completo el diferencial. Se aplica:dv = dx dv = ln[v + v2 + a2] + c . a = 2 v2 + a2(1/2) (x2 + 4)-1/2 .(2) x dx + 3 dx = x2 + 22 1. (x 2+ 4) -1/2+1 + 3 .ln {x + x2 + 22 } =

2 - 1/2+1 1 . (x 2+ 4) 1/2 + 3 ln{x + x2 + 4} =

21/2 (x2 + 4)1/2 + 3ln{x +x2 + 4} = (x2 + 4)1/2 + 3 ln{x + x2 + 4} + c .

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 105Solucionario de Calculo Integral7. (2x -5) dx .3x2 - 22xdx- 5dx= 2xdx- 5 dx =3x2 - 2 3x2 - 23x2 - 2 3 x2 - 2.

32xdx- 5 . 1 . dx= 3x2 - 23 (x)2 - 22 3

v = 3x2 - 2 1 ra integral .dv = 6x dxFalta (3) para completar el diferencial.Se aplica: dv/v = ln v + c .

v = x 2 da integral . dv =dxEsta completo el diferencial.a = 2 Se aplica: dv= 1 ln { v - a}+ c . 3v2 - a22av + a= ( 1 ) 2(3) x dx- 5dx =3 3x2 - 23 (x)2 - 2 23

x - 2. 1. ln (3x2 - 2) - 5. 1. ln 3= .

3 3 2. 2 x + 2.3

3

x - 2 . 3 . 1. ln (3x2 - 2) - 5 3 . ln 3 . 3=

36. 2 x + 2 . 3

3 . 3

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 106Solucionario de Calculo Integral x - 6 1. ln (3x2 - 2) - 5 . 3 . 2. ln 3=

36 . 2 .2x + 6 3

3x - 6 1. ln (3x2 - 2) -5 . 6 . ln 3 = .

3 6 . 23x + 6.3 1. ln (3x2 - 2) - 5 6 . ln 3x - 6+ c . 3 12 3x + 68. (5t -1) dt.3t2 - 9 5 t dt - dt = 5 t dt- dt = 3t2 - 9 [(3.t)2 - 32] (3t2 - 9)1/2[(3.t)2 - 32]5 (3t2 - 9)-1/2 . t dt- dt =

[(3.t)2 - 32]v = 3t2 - 9Falta (6) para completar el diferencial.(1ra integral). dv = 6t dtSe aplica: v n dv = v n+1 + c .n = -1/2n + 1v = 3. t Falta (3) para completar el diferencial.(2da integral).dv = 3Se aplica: dv= ln (v + v2 - a2 ) + c . a = 3 v2 - a25 . 1 . (3t2 - 9)-1/2 .(6) t dt- 1 3 dt=

6

3 [(3.t)2 - 32]= 5. (3t 2- 9) -1/2+1.- 1 . ln {3.t + [(3.t)2 - 32]} = 6 -1/2 + 1 3 Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 107Solucionario de Calculo IntegralPero :[(3.t)2 - 32]=3t2 - 9, adems ordenando 3.t = t 3 = 5(3t 2-9) 1/2- 1 . ln { t 3 + 3t2 - 9 } . 6 1/239. (x + 3) dx .6x - x2Haciendo artificios con el nmerador de la integral:x + 3 - 3 + 3 = {x - 3 + 6} = {- 3 + x + 6} = {-(3 - x) + 6}. Reemplazando en laintegral. {-(3 - x) + 6}dx = - (3 - x) dx+ 6 dx=

6x - x2 6x - x26x - x2Multiplicamos y dividimos para (2) al nmerador de la 1ra integral .-1 2 (3 - x) dx+ 6 dx= 26x - x2 6x - x2Descomponemos el denominador de la 2da integral:6x - x2 = - (x2 - 6x) . 6/2 = 3 ; 32= 9- (x2 - 6x + 9 - 9) = - {(x - 3)2 - 9 = -{(x - 3)2 - 32}. Este valor se sustituye en la 2daintegral. -1 2 (3 - x) dx+ 6 dx = 26x - x2 -{(x - 3)2 - 32}-1 2 (3 - x) dx+ 6 dx = 26x - x2 (-){(x - 3)2 - 32}Sacando el signo negativo (-) fuera de la integral como producto:-1 2 (3 - x) dx+6 dx= Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 108Solucionario de Calculo Integral 26x - x2 (-) {(x - 3)2 - 32}-1 2 (3 - x) dx-6 dx= 26x - x2 {(x - 3)2 - 32}v = 6x - x2 1ra Integral. El diferencial esta completo, al hacerdv = 6 - 2xoperaciones: 2(3 - x) = 6 - 2x , nos da el verdadero diferencial . Se aplica:dv/v = ln v + c . v = x - 32da Integral. El diferencial esta completo. Se aplica:dv = dx dv= 1 ln v - a + c .a = 3v2 - a2 2a v + a-1ln{6x - x2} - 6 .1 . ln x - 3 - 3+ c . 2 2 .3x - 3 + 3 -1ln{6x - x2} -6 .1 . ln x - 6 + c . 2 6 x -1ln{6x - x2} -ln x -6 + c . 2 x 10. (2x + 5) dx .x2 + 2x + 5Suponiendo que:v= x2 + 2x + 5; dv= 2x + 2.(verdadero diferencial)Haciendo artificios: (2x + 5) lo descomponemos en : (2x + 2 + 3)dx = [(2x + 2) + 3]dx . {(2x + 2) + 3}dx = (2x + 2)dx+ 3 dx =x2 + 2x + 5x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5Descomponiendo: x2 + 2x + 5 .{2/2 = 1;12 = 1} Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 109Solucionario de Calculo Integral x2 + 2x + 1- 1 + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1)2 + 22 .Reemplazando este resultado en la 2da integral . (2x + 2)dx+ 3 dx = x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5v = x2 + 2x + 5La 1ra integral, tiene el diferencial completo:dv = (2x + 2) dxSe aplica: dv = ln v + c . vLa 2da integral, tambien tiene el diferencial completo:Se aplica: dv = 1 arc tgv+ c .v2 + a2 a a

(2x + 2)dx+ 3 dx= (2x + 2)dx+3 dx . x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5 x2 + 2x + 5(x + 1)2 + 22ln (x2 + 2x + 5) + 3 . 1 .arc tg (x + 1)= 22ln (x2 + 2x + 5) +3 arc tg (x + 1)+ c . 2 2

11. (1 - x) dx.4x2 - 4x - 3 - (-1 + x) dx =- (x - 1) dx = -18(x - 1) dx. 4x2 - 4x - 34x2 - 4x - 38 4x2 - 4x - 3-1 8x - 8 dx= - 1(8x - 4 - 4)dx= - 1(8x - 4) - 4dx 8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3 8 4x2 - 4x - 3- 1 (8x - 4) dx -4 dx=Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 110Solucionario de Calculo Integral84x2 - 4x - 3 4(x2 - x - 3/4)- 1 (8x - 4) dx - dx. 84x2 - 4x - 3(x2 - x - 3/4)Descomponiendo: x2 - x - 3/4, para hacerlo cuadrado perfecto. (x2 - x - 3/4 ) . 1

; 1 2 = 1 . 2 2 4(x2 - x + 1/4 - 1/4 - 3/4 ) = (x2 - x + 1/4 - 4/4) = (x - 1/2) - 1 = (x - 1/2)2 - 12 . Se reemplaza en la 2da integral. - 1 (8x - 4) dx - dx . 8 4x2 - 4x - 3 (x - 1/2)2 - 12 La 1ra integral ,esta completa.v = 4x2 - 4x - 3 ; dv = 8x - 4 ; Se aplica : dv= ln v + c . v La 2da integral , tambien esta completa v = x - 1/2 ; dv = dx ; a = 1 . Se aplica : dv = 1 lnv - a + c . v2 - a2

2av + a Integrando:x -1-2 .-1 ln(4x2 - 4x - 3) - 1 ln 2 2 = 8

2.1x -1+2. 22

2x - 1 - 2.-1ln(4x2 - 4x - 3) -1ln 2= 8 22x - 1 + 2.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 111Solucionario de Calculo Integral 2

.

-1ln(4x2 - 4x - 3)+1 ln 2x - 1 - 2 = 8 8.2 2x - 1 + 2 -1ln(4x2 - 4x - 3)+1 ln2x -3+c . 8

16

2x + 1 12. (3x -2) dx. 1 - 6x - 9x2 (3x - 2) dx = - (3x - 2) dx=-(9x2 + 6x - 1) 9x2 + 6x - 1 Suponiendo que: v = 9x2 + 6x -1; dv = 18x + 6 ;(verdadero diferencial); a :(3x - 2)lo multiplicamos por (6) ; 6(3x - 2)dx = (18x - 12)dxy al mismo tiempo se le opone 1/6 a la integral. Descomponiendo :9x2 + 6x - 1 = 9(x2 + 6/9x - 1/9) = 9(x2 + 2/3x - 1/9).Se le extrae la mitad al coeficiente del 2do trmino y al al resultado se lo eleva al cuadrado.Luego, se suma y resta el resultado 1/9 : a (x + 2/3x - 1/9) .2/3= 2= 1 ;{ 1 }2 = 1 ; 9[(x + 2/3x + 1/9 - 1/9 - 1/9)]

2 6 33 9 9[(x + 1/3)2 - 1/9 - 1/9)] = 9[(x + 1/3)2 - 2/9 ] =9[(x + 1/3)2 - (2/9)2] = 9[(x + 1/3)2 - (2/3)2].Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 112Solucionario de Calculo IntegralReemplazando este valor en la 2daintegral, sumando y restando "6" al nmerador, para obtener los diferenciales. - 1 6(3x - 2) dx = - 1 18x - 12 dx= - 1 18x + 6 - 6 - 12 dx

6 9x2 + 6x - 1 69x2 + 6x - 1 6 9x2 + 6x - 1 - 1 (18x + 6) - 18 dx= - 1 18x + 6 dx- 18 dx .6 9x2 + 6x - 1 69x2 + 6x - 19x2 + 6x - 1- 1(18x + 6)dx+ 18 dx. 6 9x2 + 6x - 16 9[(x + 1/3)2 - (2/3)2] La 1 ra integral, esta completa .v = 9x2 + 6x - 1 ; dv = 18x + 6 ; Se aplica : dv= ln v + c .v La 2 da integral, tambien esta completa, v = x + 1/3 ; dv = dx ; a = 2/3 . Se aplica : dv = 1 ln v - a + c . v2 - a22a v + a- 118x dx +3dx=69x2 + 6x - 19[(x + 1/3)2 - (2/3)2]x+1- 2 - 1ln {9x2 + 6x - 1} +1 . 1. ln 3 3=. 63 2. 2 x+1+ 2 . 33 3 3x+1- 2- 1ln {9x2 + 6x - 1} +.3 . ln 3 =66. 2 3x+1+ 2. 3. - 1ln {9x2 + 6x - 1} + 1 ln 3x+1- 2=

Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 113Solucionario de Calculo Integral6 22 3x+1-2- 1ln {9x2 + 6x - 1}+ 2 ln3x+1 - 2 =

6 22.2 3x+1 - 2- 1ln {9x2 + 6x - 1} + 2 ln 3x+1- 2 =

62.2 3x+1-2- 1ln {9x2 + 6x - 1} + 2 ln3x+1- 2+ c .6 43x+1-2 13. (x + 3) dx.x2 + 2xSuponiendo que: v = x2 + 2x; dv = 2x + 2 .(verdadero diferencial). (x + 3) lo multiplicamos por 2: 2(x + 3)dx = (2x + 6) dx. 1. 2(x + 3) dx= 1 . 2x + 6 dx= 1 . 2x + 2 + 4 dx= 2 x2 + 2x2 x2 + 2x 2x2 + 2x= 1 .(2x + 2) + 4 dx = 1 (2x + 2)+ 4 dx = 2 x2 + 2x 2x2 + 2xx2 + 2x 1 (2x + 2) + 4 dx = 2(x2 + 2x)1/2(x2 + 2xDescomponiendo la cantidad sub-radical: x2 + 2xx2 + 2x .2/2 = 1;12= 1 . (x + 2x + 1 - 1) = (x + 1)2 - 12. Se sustituye en la 2da integral . 1(2x + 2) + 4 dx = 2 (x2 + 2x)1/2 (x + 1)2 - 12 1 (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx+1. 4 . dx.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 114Solucionario de Calculo Integral2 2 (x + 1)2 - 121 (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx +1. 4 . dx.22(x + 1)2 - 121 (x2 + 2x)-1/2 .(2x + 2) dx+ 2 dx.2 (x + 1)2 - 12 La 1ra integral , esta completa: v = x2 + 2x ; dv = 2x + 2 ; Se aplica : dv/v = ln v + c .

La 2da integral , tambien esta completa:v = x + 1 ;dv = dx ; a = a . Se aplica : dv = ln (v + v2 - a2 ) + c . v2 - a2

1. (x 2+ 2x) -1/2+1 +2 ln {(x + 1) + (x + 1)2 - 12 } =2- 1/2 + 1 1. (x 2+ 2x) 1/2 +2 ln {(x + 1) + [(x2 + 2x + 1) - 1] } =2 1/2 2 . 1. (x2 + 2x)1/2+2 ln {(x + 1) + [(x2 + 2x +1-1 ]} =2 . (x2 + 2x)1/2 + 2ln {(x + 1) + (x2 + 2x)} = (x2 + 2x) + 2ln{x + 1 + (x2 + 2x)}+c . 14. (x + 2) dx. 4x - x2v = 4x - x2 ; dv = - 2x + 4 .(verdadero diferencial)Se multiplica por (-2) al diferencial (x + 2): -2(x + 2) = - 2x - 4.-2(x + 2) = - 2x - 4 . se suma y resta "4" al "dv" propuesto. Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 115Solucionario de Calculo Integral{- 2x - 4}; - 2x - 4 + 4 - 4 = - 2x + 4 - 8 = (- 2x + 4) - 8 . (-1 ) (-2)(x + 2) dx= (-1 ) (-2x - 4 + 4 - 4)dx = 2 4x - x2 2 4x - x2 (-1 ) {(-2x + 4) - 8} dx. Descomponiendo: 4x - x2 = - (x2 - 4x).2 4x - x2 - (x2 - 4x) .4/2 = 2;22 = 4. {- (x2 - 4x + 4 - 4)}=

{- (x - 2)2 - 4)}= {- (x - 2)2 - 22)} = 22 - (x - 2)2

(-1 ) {(-2x + 4) - 8}.dx = (-1 ) (-2x + 4) .dx - 8 dx =24x - x22 4x - x2 22 - (x - 2)2(-1 ) (4x - x2)-1/2 . (-2x + 4) .dx+1. 8dx =22 22 - (x - 2)2 La 1ra integral, esta completa. v = 4x - x2 ; dv = -2x + 4 ; Se aplica : vn . dv = v n+1+ c . n + 1 La 2da integral, tambien esta completa. v = x - 2 ; dv = dx ; a = 2. Se aplica : dv = arc senv + c .v2 - a2

a -1. (4x - x 2 ) -1/2+1 +8. arc senx - 2 =

2(-1/2+1) 2 2-1. (4x - x 2 ) 1/2 + 4 arc sen x - 2+c . 2 (1/2) 2.

2/2.(4x - x2)1/2 + 4arc sen (x - 2) = (4x - x2) + 4arc sen (x - 2) + cAutores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 116Solucionario de Calculo Integral15. x dx. 27 + 6x - x2Multiplico por (- 2) , luego sumo y resto 6 al nmerador.- 1 (-2) x dx =- 1 (-2 x + 6 - 6) dx =2 27 + 6x - x22 27 + 6x - x2

- 1 (-2 x + 6) - 6) dx= - 1 (-2 x + 6 ) dx+16dx . 2 27 + 6x - x22 27 + 6x - x2

2 27 + 6x - x2 Descomponiendo la cantidad sub-radical del denominador de la 2da integral : 27 + 6x - x2. 27 + 6x - x2 = - (x2 - 6x - 27) .6/2 = 3;32 = 9 .(x2 - 6x - 27) = - (x2 - 6x + 9 - 9 - 27) = - [(x - 3)2 - 36] =- [(x - 3)2 - 62] = 62 - (x - 3)2. -Se sustituye este valor en el denominador de la 2da integral. - 1 (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx +1 6dx . 2262 - (x - 3)2- 1 (27 + 6x - x2)-1/2. (-2 x + 6 ) dx +6 dx . 2262 - (x - 3)2v = 27 + 6x - x2 1ra integral. Esta completo el diferencial.dv = - 2x + 6 . dxSe aplica: vn dv = v n+1 + c .n = -1/2 .n+1 v = x - 32da integral: Esta completo el difererencial. dv = dx Se aplica: dv= arc senv+c. a2 - v2 a Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 117Solucionario de Calculo Integral-1 (27 + 6x - x 2 ) -1/2+1

+ 3 arc sen (x - 3) + c . 2 - 1/2 + 16-1 .(27 + 6x - x 2 ) 1/2+ 3arc sen (x - 3) + c . 2(1/2)6- (27 + 6x - x2)1/2 + 3 arc sen (x - 3) + c .6- (27 + 6x - x2) + 3 arc sen (x -3)+ c . 616. (3x + 2) dx . 19 - 5x + x2Multiplico y divido para (2); luego sumo y resto (19). 1 2(3x + 2) dx . 2 19 - 5x + x2 1(6x + 4) dx= 1 (6x + 4 + 19 - 19)dx =

2 19 - 5x + x2219 - 5x + x2 1 {(6x + 4 - 19) + 19}dx = 1

{(6x - 15) + 19}dx= 2 19 - 5x + x2 219 - 5x + x2 = 1 (6x - 15) dx+1 .19. dx. 219 - 5x + x2

2 19 - 5x + x2 1 3(2x - 5) dx +19dx = 219 - 5x + x22 19 - 5x + x2

3

(2x - 5) dx +19 dx.Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Valladares Banchn 118Solucionario de Calculo Integral2 19 - 5x + x22 19 - 5x + x2La 1ra integral esta lista para integrarse,el radical sube comoexponente negativo ; en la 2daintegral primero completamos con cuadrados la cantidad sub-radical :19 - 5x + x2 .19 - 5x + x2 = x2 - 5x + 19 .5/2 = 5/2;(5/2)2 = 25/4 .x2 - 5x + 19 = x2 - 5x + 19 + 25/4 - 25/4 = (x2 - 5x + 25/4 + 19 - 25/4) = {(x - 5/2)2 + 76/4 - 25/4} ={(x - 5/2)2 + 51/4}= {(x - 5/2)2 + (51/2)2}Sustituyendo: {(x - 5/2)2 + (51/2)2} en la 2da integral . 3 (2x - 5) dx +19dx. 2 19 - 5x + x2219 - 5x + x2 3 (19 - 5x + x2)-1/2.(2x - 5) dx+19dx. 2 2{(x - 5/2)2 + (51/2)2}v = (19 - 5x + x2) 1ra integral. Esta completo el diferencial. dv = 2x - 5 Se aplica: vn dv = v n+1 + c . n = - 1/2n + 1v = x - 5/22da integral. Esta completo el diferencial. dv = dxSe aplica:dv = ln(v + v2 + a2) + c . a = 51/2v2 + a2 3 (19 - 5x + x 2 ) -1/2+1 +19ln (x - 5/2 + 19 - 5x + x2) + c . 2- 1/2 + 12 3 (19 - 5x + x 2 ) 1/2+19ln (x - 5/2 + 19 - 5x + x2) + c .Autores ... Marcos Antonio Valladares Sosa y Gina Alejandrina Val