Solucionario Guía 1 Generalidades de Números Reales 2015

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SOLUCIONARIO Generalidades de números

reales

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TABLA DE CORRECCIÓN

GUÍA PRÁCTICA

GENERALIDADES DE NÚMEROS REALES

Ítem Alternativa Habilidad

1 D ASE

2 C ASE

3 C ASE

4 E ASE

5 E ASE

6 A ASE

7 D Comprensión

8 D Comprensión

9 A Comprensión

10 D Comprensión

11 C Comprensión

12 B Comprensión

13 E ASE

14 D ASE

15 C ASE

16 C ASE

17 E ASE

18 B Aplicación

19 B ASE

20 B ASE

21 C ASE

22 E ASE

23 E ASE

24 A ASE

25 B ASE

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1. La alternativa correcta es D.

Unidad temática Números racionales

Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que la suma de números naturales siempre es un natural. Además, el

conjunto de los números naturales es subconjunto de los números enteros (IN Z), lo

que implica que todo natural es también un entero.

II) Falsa, ya que no siempre la resta es conmutativa en los naturales, por ejemplo: 5 – 2

= 3 pero 2 – 5 3.

III) Falsa, ya que en los naturales no existen inversos aditivos.

Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son falsas.

2. La alternativa correcta es C.


Habilidad ASE

I) Falsa, ya que la sustracción NO es conmutativa en los enteros.

Por ejemplo: (– 3) – (4) = – 7. Pero, (4) – (– 3) = 4 + 3 = 7

II) Falsa, ya que no existe inverso multiplicativo en los números enteros.

III) Verdadera, ya que el neutro aditivo es el cero.

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.



Habilidad ASE

I) Falsa, ya que 34341,0.....341343434,0 , es decir, es un número racional, ya que se

puede escribir como fracción.

II) Falsa, ya que 0

9 NO ESTÁ DEFINIDO.

III) Verdadera, ya que 153

45

15

225

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son falsas.

4

4. La alternativa correcta es E.


Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que IRQ .

II) Verdadera, ya que QZ .

III) Verdadera, ya que CII .

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Habilidad ASE

I) NO es siempre irracional, ya que si a = 32 y b = 32

43232 ba

II) NO es siempre irracional, ya que si a = 2 y b = 50

10100502502 ba

III) NO es siempre irracional, ya que si a = 8 y b = 2

242

8

2

8

b

a

Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre un irracional.

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6. La alternativa correcta es A.


Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no es un número

natural.

II) Falsa, ya que el neutro de la multiplicación en los reales es 1, que es un número

entero.

III) Falsa, ya que el neutro de la adición en los reales es 0, que no tiene recíproco.

Por lo tanto, solo I es correcta.



Habilidad Comprensión

El número real positivo n que es igual a su recíproco cumple que

nn

1

, lo cual es

válido solo para n=1.

El número real m que es igual a su opuesto cumple que mm , lo cual es válido solo

para 0m .

Por lo tanto, los números n y m son, respectivamente, 1 y 0.




Un número impar es sucesor y antecesor de números pares. Luego,

A) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número par, la

secuencia está formada por números pares consecutivos.

B) No siempre es secuencia de números impares, ya que si n es un número impar, la

secuencia está formada por números pares consecutivos.

C) No es secuencia de números impares, ya que, dado el número natural n, (n + 1) es

natural y 2(n + 1) es un número par.

D) Es secuencia de números impares consecutivos. Dado que n es un número natural,

2n es par y (2n+1) el sucesor impar. Como (2n +1) es impar, los números impares

consecutivos se obtienen sumando dos unidades al número anterior. Luego, la secuencia

de números impares consecutivos es: (2n + 1, 2n + 3, 2n + 5, 2n + 7, 2n + 9)

E) No es secuencia de números impares consecutivos, ya que dado el número natural n,

(2n+1) es número impar y el sucesor inmediato (2n +2) es número par.

Por lo tanto, la única secuencia de números impares consecutivos es (2n + 1, 2n + 3,

2n + 5, 2n + 7, 2n + 9).

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Dado que n es un número natural par y m un número natural impar, tal que n + 1 = m +

2, se cumple que el sucesor de n es el sucesor impar de m. Luego, n es el sucesor de m.

Por ejemplo, si n = 2 y m = 1, se cumplen las condiciones del enunciado. Considerando

el caso general y verificando el caso particular, podemos concluir.

A) Verdadera. Verificando en el caso particular, también se cumple la condición.

B) Falsa. Verificando en el caso particular, el antecesor de m = 1 es 0 y no 2.

C) Falso. Verificando en el caso particular, n + 1 = 2 + 1 = 3 es impar.

D) Falso. Verificando en el caso particular, n – 1 = 2 – 1 = 1 es igual a m y no el sucesor

impar de m.

E) Falso. Verificando en el caso particular, n + 2 = 2 + 2 = 4 es par.




Los números naturales menores que 5 son {1, 2, 3, 4}. En la recta numérica la distancia

entre un número y el 0 es igual a la distancia entre el opuesto de dicho número y el 0.

Luego, la distancia de un número a su opuesto es el doble de la distancia del número al

0, es decir, es el doble del valor absoluto del número. Por ello, las distancias de {1, 2, 3,

4} al 0 son iguales a {2, 4, 6, 8}. Por lo tanto, los valores que puede tomar la distancia

entre n y su opuesto en la recta numérica son {2, 4, 6, 8}.




Considerando la paridad de los factores, podemos determinar la paridad del producto. Si

en una multiplicación de dos factores, ambos son pares, el producto es par; si un factor

es par y el otro impar, el producto es par; si ambos factores son impares, el producto es

impar. Luego, el único caso en que el producto de dos enteros es impar, es cuando

ambos factores son impares.

Si además consideramos que el antecesor y el sucesor de un número par es impar y que

el antecesor y el sucesor de un número impar es par, podemos concluir que las

siguientes expresiones son:

A) Par, ya que n es factor par.

B) Par, ya que n y (m + 1) son factores pares.

C) Impar, ya que (n – 1) y m son factores impares.

D) Par, ya que (m – 1) es factor par.

E) Par, ya que (m + 1) es factor par.

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12. La alternativa correcta es B.



El conjunto de los divisores de un número primo N siempre tiene dos elementos: 1 y N.

Luego, el único divisor que tienen en común dos o más números primos es el 1.

Si consideramos que el M.C.D. corresponde al menor de los divisores que dos o más

números tienen en común, entonces el M.C.D. entre dos o más números primos siempre

será 1.

Por lo tanto, independiente de cualquier otra condición, por el hecho de ser números

primos, el M.C.D. entre los cuatro números mencionados es 1.



Habilidad ASE

I) Verdadera, ya que los números primos son aquellos que son solo divisibles por 1 y

por sí mismos. Luego, los números 13, 17, 19, y 23 son números primos. Sin

embargo, el 1 no lo es, por definición.

II) Verdadera, ya que 29, 13 y 11 son primos, por lo tanto, el mínimo común múltiplo se

obtiene multiplicándolos.

III) Verdadera, ya que el único divisor que tienen en común los números primos es el 1.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.



Habilidad ASE

El mínimo común múltiplo entre 10, 12 y 15 segundos es 60”.

Luego, los tres ciclistas se encontrarán por primera vez luego de 1 minuto.

15. La alternativa correcta es C


Habilidad ASE

El mínimo común múltiplo entre 15 y 20 minutos es 60’. Esto implica que las alarmas

de los dos relojes volverán a coincidir en una hora más, esto es, a las 9:35 horas.

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Habilidad ASE

El máximo común divisor entre 100, 75 y 50 es 25. Esto implica que la cantidad

máxima de cajitas que se pueden armar son 25; con 4 caramelos, 3 chocolates y 2

paquetes de galletas cada una.



Habilidad ASE

Sea n el primer entero, entonces la suma de cuatro enteros consecutivos a partir de n es:

n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6

Luego:

I) Siempre es divisible por 2, ya que si n es un número entero, entonces 32

64

n

n

siempre es un número entero.

II) NO siempre es divisible por 4, ya que si n es un número entero, entonces

2

3

4

64

n

n NO siempre es un número entero.

III) NO siempre es divisible por 6, ya que si n es un número entero, entonces

13

2

6

64

nn NO siempre es un número entero.

Por lo tanto, la condición NO siempre se cumple para II y III.

9



Habilidad Aplicación

Como los números dictados fueron 5, 11 y 13, al realizar la suma respectiva y luego

anotar solo los números primos:

Matías obtuvo 7, 13 y 15, anotando solo 7 y 13.

Fernanda obtuvo 9, 15 y 17, anotando solo 17.

Martina obtuvo 11, 17 y 19, anotando los tres números.

Por lo tanto, es correcta la afirmación C, “Martina tiene más números anotados que cada

uno de los otros dos amigos”.



Habilidad Aplicación

I) No podría ser la edad de Mariela, ya que no se cumple que los dos dígitos sean

números primos, dado que el 1 no es número primo.

II) Podría ser la edad de Mariela, ya que 37 es un número primo formado por dos

dígitos primos (3 y 7), y al intercambiar la posición de los dígitos se forma el 73, que es

otro número primo.

III) No podría ser la edad de Mariela, ya que al intercambiar la posición de los dígitos se

forma el 35, que no es un número primo.

Por lo tanto, solo II podría ser la edad actual de Mariela.



Habilidad ASE

Según la definición, el conjunto S es {2, 4, 6, 8} y el conjunto T es {1, 3, 5, 7}. Luego:

I) Falsa, ya que el conjunto T incluye al 1, que no es un número primo.

II) Falsa, ya que el conjunto S incluye al 2, que sí es un número primo.

III) Verdadera, ya que todos los elementos de S son distintos de todos los elementos de

T.

Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.

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Habilidad ASE

La descomposición en números primos de 18 es (2 ∙ 3 ∙ 3) y la descomposición en

números primos de 15 es (3 ∙ 5). Entonces, si a es un múltiplo de 18 y b es un múltiplo

de 15, el producto (a ∙ b) siempre será divisible por (2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5) o por alguna

combinación de estos números. Luego:

I) Verdadera, ya que 27 = (3 ∙ 3 ∙ 3), y esta es una combinación posible dentro de

(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5).

II) Falsa, ya que 36 = (2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3), y esta no es una combinación posible dentro de

(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5).

III) Verdadera, ya que 45 = (3 ∙ 3 ∙ 5), y esta es una combinación posible dentro de

(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5).

Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.



Habilidad ASE

Como m es un número par positivo. Luego, analizando cada alternativa:

A) (6m + 12) es un número divisible por 4.

Es verdadera, ya que (6m + 12) = 6(m + 2) = 2 · 3 · (m + 2) = 3 (2 (m + 2)). Como m es

par (divisible por 2), entonces (m + 2) es par (divisible por 2). Luego 2(m + 2) es

divisible por 4 y en consecuencia 3 (2 (m + 2)) = (6m + 12) también es divisible por 4.

B)

2

27mes un número entero.

Es verdadera, ya que

1

2

7

2

2

2

7

2

27 mmm. Como m es par, entonces

2

7m

es un número entero. Luego

2

271

2

7 mm también es entero.

C) 3(m + 1) es un número impar.

Es verdadera, ya que como m es par, entonces (m + 1) es impar. Dado que el producto

de dos números impares siempre es impar, entonces 3(m + 1) es impar.

D) (5 – 3m) es un número negativo.

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Es verdadera, ya que como m es un número par positivo, entonces m es mayor o igual

que dos. Luego, 3m es mayor o igual que 6, por lo cual 3m es mayor que 5, lo cual

implica que (5 – 3m) es un negativo.

E) 2(2m + 2) es un número divisible por 6.

Es falsa, ya que no siempre se cumple. Por ejemplo, si m = 4, entonces

2(2 · 4 + 2) = 2(8 + 2) = 2 · 10 = 20, que no es divisible por 6.

Por lo tanto, la afirmación falsa es “2(2m + 2) es un número divisible por 6”.



Habilidad ASE

Al completar la cuadrícula según la forma descrita resulta:

Luego:

I) Verdadera, ya que de los ocho números que forman la primera fila, cuatro son

números primos {5, 11, 17, 23}

II) Verdadera, ya que la segunda fila está formada por múltiplos de 3 (excluyendo al 3).

O sea, todos ellos son divisibles por 3, lo que significa que no son números primos.

III) Verdadera, ya que los números primos de la fila inferior son {7, 13, 19}, donde cada

término se obtiene sumando seis al término anterior.

Por lo tanto, las tres afirmaciones son correctas.



Habilidad ASE

(1) 3p es positivo. Con esta información, es posible determinar si p es positivo, ya

que si el producto de dos números es positivo, entonces necesariamente tienen el

mismo signo. Luego, como 3 es positivo, entonces p es positivo.

5 10 11 16 17 22 23 28

6 9 12 15 18 21 24 27

7 8 13 14 19 20 25 26

12

(2) p – 5 es negativo. Con esta información, no es posible determinar si p es positivo,

ya que se puede concluir que p es menor que 5, pero podría ser positivo (entre 0 y 5),

cero o negativo.

Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.



Habilidad ASE

(1) b es un número impar. Con esta información, no es posible determinar si

(a + b + 3) es un número impar, ya que, si a es un número par, entonces:

a + b + 3

par + impar + impar = par

(2) a ∙ b es un número impar. Con esta información, es posible determinar si

(a + b + 3) es un número impar, ya que el producto de dos números enteros es impar

solamente si ambos números son impares. Entonces:

a + b + 3

impar + impar + impar = impar

Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.

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