Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I

FSICA VECTORIAL 1VALLEJO-ZAMBRANO

SOLUCIONARIOPor Henry AlvaradoPrimera edicin

(Edicin Realizada en software de ofimtica)Contactos:

http://www.facebook.com/henryalvaradoj0987867212

PROLOGO

Este libro ha sido creado, con la intencin de contribuir a losestudiantes en el inters del estudio de la fsica, de un modomediante el cual puedan recurrir a esta gua para satisfacer susdudas en la resolucin de problemas del libro Fsica Vectorial1 de los autores Patricio Vallejo y Jorge Zambrano, deboadvertir que este solucionario no constituye una gua prcticapara el aprendizaje de la fsica, sino es solo un apoyo para lamisma.

El libro Fsica Vectorial 1 de Vallejo-Zambrano, es un libromediante el cual los lectores pueden aprender de un modosignificativo, sin embargo me permit resolver los ejerciciospropuestos en el mismo, para brindar una mayor facilidad decomprensin en los problemas de este tipo, he puesto miesfuerzo en cada uno de los ejercicios, adems de la edicin delos mismos.

El uso de este solucionario es de absoluta responsabilidad dellector, por tanto aconsejo se utilice debidamente paradesarrollar las destrezas en el estudio de la fsica.

Henry Alvarado.

Solucionario Fsica Vectorial 1Sistemas de coordenadas en el plano

Henry Alvarado Pgina 1

EJERCICIO N 1

1. Representar las siguientes coordenadas rectangulares en el plano:

A. -4, 3 D. 0, 6 G. -2, -5B 1, -8 E. 5, 0 H. 8, - 4

C. -7, - 2 F. 3, 4 I. -1, 7SOLUCIN:



2. Determinar las coordenadas rectangulares que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIN:

R. 5, - 6 S. -8, -3 T. -4, 0 U. 2,7 V. -2, 3 W. -8, 0 X. 8,1 Y. -7,1 Z. 7, -5

3. Sin necesidad de graficar, indicar en qu cuadrante est situado cada uno de los puntossiguientes:

R . 12, 5 U. -1, 8 X. -11, - 6S. -7, 4 V. -2, - 7 Y. 9, - 4T. 4, - 2 W. 10, 3 Z. -4, 9SOLUCIN:

R. 12, 5 Primer Cuadrante S. -7, 4 Segundo Cuadrante T. 4, - 2 Cuarto Cuadrante U. -1, 8 Segundo Cuadrante V. -2, - 7 Tercer Cuadrante W. 10, 3 Primer Cuadrante X. -11, -6 Tercer Cuadrante Y. 9, - 4 Cuarto Cuadrante Z. -4, 9 Segundo Cuadrante



4. Representar las siguientes coordenadas polares en el plano:

R . 40cm, 75 U. 15 N,110 X. 35m, 200S. 20cm, 290 V. 25 N, 330 Y. 50m, 245T. 30cm,180 W. 10 N, 200 Z. 50m, 90SOLUCIN:



5. Determinar las coordenadas polares que correspondan a los siguientes puntos:

SOLUCIN:

Q. 5cm, 65 R. 10cm,112 S. 9cm,165 T. 11cm, 225 U. 7cm, 305 V. 9 N, 70 W. 7 N,115 X. 10 N, 210 Y. 5N, 260 Z. 8 N, 325


R . 90m,119 U. 47 m, 25 X. 91N, 272S. 35m, 213 V. 63N,192 Y. 113N, 89T. 87 m, 300 W. 56 N, 94 Z. 83N,165SOLUCIN:

R. 90m,119 Segundo Cuadrante S. 35m, 213 Tercer cuadrante T. 87m, 300 Cuarto Cuadrante U. 47m, 25 Primer Cuadrante V. 63N,192 Segundo Cuadrante W. 56 N, 94 Primer Cuadrante X. 91N, 272 Cuarto Cuadrante Y. 113N, 89 Primer Cuadrante Z. 83N,165 Segundo Cuadrante

7. Representar las siguientes coordenadas en el plano:

R . 12 m, SE U. 7 m, S55O X. 11cm, S10E

S. 8m, N12O V. 9 m, N80O Y. 8cm, SZ. 7 cm, S15OT. 10 m, N35E W. 10cm, N



SOLUCIN:

8. Determinar las coordenadas geogrficas que corresponden a los siguientes puntos:

SOLUCIN:

Q. 10m, N55E R. 12m, N5E S. 8m, N65O T. 11m, S50O U. 10m, SE V. 10 N, N 40E W. 8N, N32O X. 9 N, N80O Y. 12 N, S33O Z. 11N, S52E




R . 70km, SE U. 55km, N 20E X. 75m, N 73OS. 45km, N 23O V. 80m, S35E Y. 40cm, N80ET. 60km, S80O W. 29m, S10O Z. 89cm, NE

SOLUCIN:

R. 70km, SE Cuarto Cuadrante S. 45km, N23O Segundo Cuadrante T. 60km, S80O Tercer Cuadrante U. 55km, N 20E Primer Cuadrante V. 80m, S35E Cuarto Cuadrante W. 29m, S10O Tercer Cuadrante X. 75m, N73O Segundo Cuadrante Y. 40cm, N80E Primer Cuadrante Z. 89cm, NE Primer Cuadrante

10. En el tringulo GHI, hallar:a) g en trminos de I, hb) i en trminos h, gc) G en trminos i, gd) h en trminos G, ge) i en trminos G, hf) I en trminos i, h

SOLUCIN:a) b) c)

gcosI =

hg = h cosI

2 2 2

2 2

h = i + g

i = h - g -1

gtanG =

igG = tan2

d) e) f)

gsenG =

hgh =

senG

icosG =

hi = h cosG -1

isenI =

hiI = senh



11. En el tringulo JKL, hallar:a) j en trminos de L, lb) l en trminos J, kc) J en trminos j, ld) k en trminos j, le) k en trminos j, Lf) l en trminos k, L

SOLUCIN:a) b) c)

ltanL = j

lj =tanL

lcosJ =

kl = k cosJ -1

jtanJ =

ljJ = tanl

d) e) f)

2 2k = j + lj

cosL =k

jk =cosL

lsenL =

kl = k senL

12. En el tringulo MNO, hallar:a) M en trminos de o, mb) N en trminos o, mc) n en trminos o, md) m en trminos M, ne) o en trminos N, nf) o en trminos N, m



SOLUCIN:

a) b) c)

-1

msenM =

o

mM = seno

-1

mcosN =

o

mN = coso

2 2 2

2 2

o = m + n

n = o - md) e) f)

mtanM =

n

m = n tanM

nsenN =

o

no =

senN

mcosN =

o

mo =

cosN

13. Resolver los siguientes tringulos rectngulos:

B = 90 -35B = 55

csen 35 =

dc = dsen 35c = 10sen 35 = 5,74mb

cos35 =d

b = d cos35b = 10cos35 = 8,19m

c

b

R = 90 - 42R = 48

qsen 42 =

pqp =

sen 4273cmp = = 109,09cm

sen 42qtan 42 =r

qr =

tan 4273cm

r = = 81,07cmtan 42



ECDE = 90 - 28E = 62

2EC = 47cmEC = 23,5cm

ECsen 28 =

DEECDE =

sen 2823,5cmDE = = 50,05cmsen 28

ECtan 28 =

DCECDC =

tan 2823,5cmDC = = 44,19cmtan 28

AB = DC = 44,19cm

ABC

ABCA = 90 -38A = 52

ABsen 38 =

ACABAC =

sen 3853cmAC = = 86,09cm

sen 38

ABtan 38 =

BCABBC =

tan 3853cmBC = = 67,84cmtan 38

BCD

1

1 = 90 -38

1 = 52

DCcos38 =

BCDC = BCcos38

53cmDC = cos38 = 53,46cmtan 38

BDsen 38 =

BCBD = BCsen 38

53cmBD = sen 38 = 41,76cmtan 38

2 2

2 2

AC = BC + AB

AC = 47 + 44,19AC = 64,51cm

-1

-1

ABtanC =

BCABC = tanBC44,19C = tan = 43, 24

47

A = 90 - 43, 24A = 46,76



ABCC = 90 - 40C = 50

BCsen 40 =

ACBC = ACsen 40BC = 90 kmsen 40 = 57,85km

ABcos 40 =

ACAB = ACcos 40AB = 90 km cos 40 = 68,94 km

EDB2 2EB = DB = AB = 68,94 km = 45,96 km3 3

2 2DE = 45,96 + 45,96DE = 65km

Triangulo isscelesE = 45D = 45

ED C

1 = 90 - 67

1 = 23 D = 67

DEsen 23 =

DCDE = DCsen 23DE = 71msen 23 = 27,74 m

ECcos 23 =

DCEC = DCcos 23EC = 71m cos 23 = 65,36 m

ABC

ACEC =2

AC = 2 EC = 2 65,36 m = 130,72 m

A = 90 -37A = 23

ABsen 67 =

ACAB = ACsen 67AB = 130,72 msen 67 = 120,33m

BCcos 67 =

ACBC = ACcos 67BC = 130,72 m cos 67 = 51,08m

1

Solucionario Fsica Vectorial 1Vectores en el plano


EJERCICIO N 2

1. Determinar cules de los siguientes vectores son unitarios:a) 0,5 i+ 0,5 j b) 0,8 i+ 0,6 j c) 0,37 i 0,929 j d) 0,7 i+ 0,55 j e) 0,235 i 0,972 j f) 0,3 i+ 0,4 j g) 0,33 i 0,943 j h) 0,5 i+ 0,866 j i) 0,707 i 0,707 j SOLUCIN:

a) 2 20,5 + 0,5 = 0,707 No es unitario b) 2 20,8 + 0,6 = 1 E s unitarioc) 2 20,37 + 0,929 = 1 Es unitario d) 2 20,7 + 0,55 = 0,890 No es unitarioe) 2 20, 235 + 0,972 = 1 E s unitario f) 2 20,3 + 0, 4 = 0,5 No es unitariog) 2 20,33 + 0,943 = 1 Es unitario h) 2 20,5 + 0,866 = 1 Es unitarioi) 2 20,707 + 0,707 = 1 Es unitario

2. Determinar los vectores unitarios de los siguientes vectores:a) A = 150 N,140 b) B = 27 N, N 37 E c) C = 45 N, 225b) D = -9 i+ 4 j N e) E = 400 N, S25O f) F = 235 i-520 j m c) G = 28 m, S h) H = 40 m, 335 i) I = 12 m, NO

SOLUCIN:a)

X

X

A = 150cos140A = -114,91

Y

Y

A = 150sen140A = 96,42 A = -114,91 i+ 96, 42 j N

A

A

A=

A

-114,91 i+ 96,42 j N=

150 N

A = -0,77 i+ 0,64 j



b)

X

X

B = 27sen 37B = 16,25

Y

Y

B = 27cos37B = 21,56

B = 16, 25 i+ 21,56 j N

B

B

B=

B

16,25 i+ 21,56 j N=

27 N

B = 0,60 i+ 0,79 j c)

X

X

C = 45cos 225C = -31,82

Y

Y

C = 45sen 225C = -31,82 C = -31,82 i+ -31,82 j N

C

C

C=

C

-31,82 i+ -31,82 j N=

45 N

C = -0,707 i- 0,707 j d)

2 2D = 9 + 4 N

D = 9,85 N

D

D

D=

D

-9 i+ 4 j N=

9,85 N

D = -0,91 i- 0,40 j e)

X

X

E = -400sen 25E = -169,05

Y

Y

E = -400cos 25E = -362,52 E = -169,05 i- 362,52 j N



E

E

E=

E

-169,05 i-362,52 j N=

400 N

E = 0,42 i+ 0,91 j f) g)

2 2F = 235 + 520 m

F = 570,64 m

F

F

F=

F

= 235 i-520 j m=

570,64 m

F = 0,41 i- 0,91 j G = 0 i- j

h)

X

X

H = 40cos335H = 36,25

Y

Y

H = 40sen 335H = -16,90 H = 36, 25 i+ -16,90 j m

H

H

H=

H

36,25 i+ -16,90 j m=

40 m

H = 0,91 i- 0,42 j i)

X

X

I = -12sen 45I = -8,49

X

X

I = 12cos 45I = 8,49 I = -8, 49 i 8, 49 j m

I

I

I=

I

-8,49 i 8,49 j m=

12 m

I = -0,707 i+ 0,707 j



Nota: tambin se puede resolver en funcin de los ngulos directores y cosenosdirectores.

3. Determinar los ngulos directores de los siguientes vectores:

R = -4 i+8 j m S = 5 i-9 j m T = -11i- 7 j m U = 120 m,120 V = 45 N, 229 W = 57 N, 280 X = 78 N, N 29O Y = 45 N, S72 E Z = 20 N,S45O

SOLUCIN:

R:

X

-1 X

-1

2 2

Rcos =

RR

= cosR

-4= cos = 116,57

4 + 8

Y

-1 Y

-1

2 2

Rcos =

RR

= cosR

8= cos = 26,57

4 +8

S:

X

-1 X

-1

2 2

Scos =

SS

= cosS

5= cos = 60,95

5 + 9

Y

-1 Y

-1

2 2

Scos =

SS

= cosS

-9= cos = 150,95

5 + 9

T:

X

-1 X

-1

2 2

Tcos =

TT

= cosT

-11= cos = 147,53

11 + 7

Y

-1 Y

-1

2 2

Tcos =

TT

= cosT

-7= cos = 122, 47

11 + 7

U: = 120 = 120 -90 = 30V: = 360 - 229 = 131 = 229 -90 = 139W: = 360 - 280 = 80 = 90 80 = 170 X: = 29 90 = 119 = 29Y: = 90 - 72 = 18 = 180 - 72 = 108 Z: = 90 45 = 135 = 90 45 = 135



4. Determinar los vectores unitarios para los vectores opuestos a los descritos en el literalanterior.SOLUCIN:

-R

-R

= -cos116,57 i- cos 26,57 j= 0, 45 i- 0,89 j

-S

-S

= -cos 60,95 i- cos150,95 j= -0, 49 i- 0,87 j

-T

-T

= -cos147,53 i- cos122, 47 j= 0,84 i 0,54 j

-U

-U

= -cos120 i- cos30 j= 0,50 i- 0,87 j

-V

-V

= -cos131 i- cos139 j= 0,66 i 0,75 j

-W

-W

= -cos80 i- cos170 j= -0,17 i- 0,98 j

-X

-X

= -cos119 i- cos 29 j= 0, 48 i- 0,87 j

-Y

-Y

= -cos18 i- cos108 j= -0,95 i 0,31 j

-Z

-Z

= -cos135 i- cos135 j= 0,71 i 0,71 j

5. Un vector R

parte del origen y llega al punto 12, 7 cm; determinar:a) Las componentes rectangulares del vector R

b) El mdulo del vector R

c) La direccin del vector R

d) Los ngulos directores del vector R

e) El vector en funcin de sus vectores basef) El vector unitario

SOLUCIN:a) b) c)

X

Y

R = 12cmR = 7cm

2 212 + 7 cm = 13,89cm-1 12

= tan = 59,747

N59,74 E



d) e) f)

90 -59,74 30, 2659,74

R = 12 i+ 7 j cm

R

R

R=

R

12 i+ 7 j cm=

2 212 7 cm R = 0,96 i- 0,5 j

6. Un vector S

cuya magnitud es de 54N y forma un ngulo de 213 en sentidoantihorario con el eje positivo en Y, determinar:a) Las componentes rectangulares del vector S

b) Las coordenadas del punto externo del vector S

c) Los ngulos directores del vector S

d) El vector en funcin de sus vectores basee) El vector unitario

SOLUCIN:a) b)

X

X

S = 54 Ncos 213S = -45,29 N

Y

Y

S = 54 Nsen 213S = -29,41N S -45, 29; - 29, 41 N

c) d) e)

= 360 - 213 = 147= 213 -90 = 123

S = -45, 29 i- 29, 41 j N

S

S

= cos147 i+ cos123 j= -0,84 i- 0,54 j

7. Si el ngulo director de de un vector K

es 125, y su componente en el eje X es de -37cm; determinar:a) La componente en el eje Yb) El ngulo director c) El mdulo del vector K

d) El vector unitarioe) El vector en funcin de los vectores basef) El punto extremo del vector

SOLUCIN:



a) b) c)

Y

Y

37cmtan125 =

K37cmK = = -52,84cmtan 35

= 180 -35 = 145

37 cmsen 35 =

K

37 cmK = = 64,51cmsen 35

d) e) f)

K

K

= cos125 i+ cos145 j= -0,57 i- 0,82 j

K = -37 i-52,84 j cm K -37;-52,84 j cm

8. Para el vector A = -34 i+ 67 j cm/ s; determinar:a) Las componentes rectangulares del vectorb) El vector en coordenadas polaresc) El vector en coordenadas geogrficasd) El mdulo del vector A

e) Los ngulos directores del vector A

f) El vector unitario

SOLUCIN:a) b)

X

Y

R = -34cm/ sR = 67cm/ s

-1

2 2

-34= cos

34 + 67= 116,91

2 2A = 34 + 67 = 75,13

A = 75,13cm/ s;116,91

c) d)

= 116,91 -90 = 26,91

A = 75,13cm/ s; N 26,91O

2 2A = 34 + 67 = 75,13cm/ s

e) f)

116,9126,91

S

S

= cos116,91 i+ cos 26,91 j= -0, 45 i 0,89 j



9. El rumbo de un vector E

es S68E y el valor de la componente en el eje de las X es87N, determinar:a) Los ngulos directoresb) La componente en el eje Yc) El mdulo del vector E

d) Las coordenadas en el punto extremo del vectore) El vector unitariof) Un vector F

de direccin opuesta al vector E

, cuyo mdulo es el mismo del E

SOLUCIN:a) b) c)

= 90 - 68 = 22= 180 - 68 = 112

Y

Y

87 Ntan 68 = -

E87 NE = - = -35,15 N

tan 68

87 Nsen 68 =

E

87 NE = = 93,83 Nsen 68

d) e) f)

E 87; - 35,15 N E

E

= cos 22 i+ cos112 j= 0,93 i- 0,37 j

F = -87 i+ 35,15 j N

10. El mdulo del vector C

es 84m y su direccin est dada por el vector unitario

CU = mi+ nj,

el vector C

est en el primer cuadrante; determinar:a) El valor de m y n, si n=2mb) Los ngulos directores del vector C

c) El vector en funcin de los vectores based) Las componentes rectangulares del vector C

e) Las coordenadas del punto extremo del vector C

f) La direccin del vector C

g) El vector unitario

SOLUCIN:



a) b)

222

En un vector unitario el mduloes siempre

1 = m + 2 m

5m = 11 5 2 5

m = = y n =5 5

1, entonces :

5

-1

-1

5= cos = 63,43

5

2 5= cos = 26,57

5

c) d) e)

5 2 5C = 84 m i+ j

5 5

C = 37,57 i+ 75,13 j m

X

Y

C = 37,57 mC = 75,13m C 37,57; 75,13 m

f) g)

N 26,57O

C

C

5 2 5= i+ j

5 5

= 0, 45 i+ 0,89 j

11. La componente de un vector B

en el eje X es -27cm, si sus ngulos directores son=145 y =125, determinar:a) La componente del vector en el eje Yb) El mdulo del vector B

c) Las coordenadas del punto extremo del vector B

d) La direccin del vector B

e) El vector en coordenadas polaresf) El vector unitario

SOLUCIN:a) b)

Y

Y

-27cmtan 55 =

B27cmB = - = -18,91cmtan 55

-27 cmcos145 =

B

-27 cmB = = 32,96cmcos145



c) d) e)

B -27; -18,91 cm S 55O B = 32,86cm; 215

f)

B

B

= cos145 i+ cos125 j= -0,82 i- 0,57 j

12. La componente de un vector J

en el eje Y es -45km y el ngulo formado respecto al ejepositivo de X es 207 en direccin antihoraria, determinar:a) La componente del vector en el eje Xb) Los ngulos directoresc) El mdulo del vector J

d) Las coordenadas del extremo del vectore) El vector en funcin de sus componentes rectangularesf) El vector unitario

SOLUCIN:a) b)

X

X

= 270 - 207 = 63J

tan 63 =-45km

J = -45km tan 63 = -88,32 km

= 360 - 207 = 153= 207 -90 = 117

c) d) e)

-45kmcos117 =

J

-45kmJ = = 99,12kmcos117

J -88,32; - 45 km J = -88,32; - 45 km

f)

J

J

= cos153 i+ cos117 j= -0,89 i- 0, 45 j

13. El mdulo de un vector E

es 68cm y tiene como ngulos directores =115 y =25;determinar:



a) La direccinb) Las componentes rectangulares del vectorc) Las coordenadas del punto extremo del vectord) El vector en funcin de los vectores basee) El vector unitario

SOLUCIN:a) b) c)

N 25O XX

E = 68cmcos115E = -28,74cm

X

X

E = 68cmsen115E = 61,63cm E -28,74; 61,63 cm

d) e)

E = -28,74 i+ 61,63 j cm E

E

= cos115 i+ cos 25 j= -0, 42 i 0,91 j

Solucionario Fsica Vectorial 1Formas de expresin de un vector y transformaciones


EJERCICIO N 3

1. Expresar en coordenadas rectangulares los siguientes vectores:a) mj20i15A b) B = 130 N,125c) C = 37 cm, N 37 Ed) D = 25kgf -0,6 i- 0,8 j SOLUCIN:a)

A = 15, - 20 m

b)

x

x

x

B = B cos

B = 130 Ncos125B = -74,56 N

y

y

y

B = B sen

B = 130 Nsen125

B = 106,49 N

x yB = B , B

B = -74,56;106, 49 N

c)

x

x

x

B = B sen

B = 37cmsen 37

B = 22,27cm

y

y

y

B = B cos

B = 37cmcos37

B = 29,55cm

x yB = B , B

B = 22, 27; 29,55 cm

d)

D = 25kgf -0,6 i- 0,8 jD = -15 i- 20 j kgf

D = -15, - 20 kgf



2. Expresar en coordenadas polares los siguientes vectores:a) A = -14 i+8 j m b) B = 87, 91 Nc) C = 45kgf 0,707 i- 0,707 j d) D = 22 N,S28 O

SOLUCIN:a)

2 2A = 14 + 8A = 16,12 m

1

8tan

148

tan14

29,74

180180 29,74150, 26

A = 16,12 m;150,26

b)

2 2B = 87 + 91B = 125,90 N

1

91tan

8791

tan87

46,29

B = 125,90 N; 46,29

c)

1

11

1

0,707tan

0,7070,707

tan0,707

45

1270270 45315

C = 45kgf; 315

d)

270270 28242

D = 22 N, 242



3. Expresar en coordenadas geogrficas los siguientes vectores:a) A = 52, -25 Nb) B = 47 N, 245c) C = -32 im+ 21 jm

d) D = 35cm 0,866 i+ 0,5 j SOLUCIN:a)

2 2A = 52 + 25

A = 57,7 N

1

52tan

2552

tan25

64,32

A = 57,7 N; S64,32 E

b)

270 24525

B = 47 N, S25 O

c)

2 2C = 32 + 21

C = 38, 28m

1

32tan

2132

tan21

56,73

C = 38,28m; N56,73O

d)

1

0,5tan

0,8660,5

tan0,866

30

D = 35cm; N30 E



4. Exprese en funcin de sus mdulos y vectores unitarios los siguientes vectores:a) A = 44 m, 340b) B = 25km, S14 Oc) C = -21, 45 Nd) D = 17 i+ 9 j kgf SOLUCIN:a)

x

x

x

A = A cos

A = 44mcos340A = 41,35m

y

y

y

A = A sen

A = 44 msen 340A = 15,05m

A = 41,35 i-15,05 j m

A

A

A

A=

A

41,35 i-15,05 j m=

44 m= 0,94 i 0,34 j

A = 44 m 0,94 i- 0,34 j

b)

270 14284

x

x

x

B = B cos

B = 25km cos 284B = 6,05km

y

y

y

B = A sen

B = 25kmsen 284B = 24, 26 km

A = 6,05 i- 24,26 j km

B

B

B

B=

B

6,05 i- 24, 26 j km=

25km= 0, 24 i 0,97 j

B = 25km 0, 242 i- 0,97 j



c)

2 2C 21 45

C 49,66 N

C

C

C

CC

-21i+ 45 j N49,66 N

-0,42 i+ 0,90 j

C 49,66 N -0, 42 i+ 0,90 j

d)

2 2D = 17 9

D = 19, 24 kgf

D

D

D

DD

17 i+ 9 j kgf19,24kgf

0,88 i+ 0,47 j

D 19, 24 kgf 0,88 i+ 0, 47 j

5. Expresar el vector R = -13, -27 m en:a) Coordenadas polaresb) Funcin de los vectores basec) Coordenadas geogrficasd) Funcin de su mdulo y unitario

SOLUCIN:a)

2 2R = 13 + 27

R = 29,97 m

1

11

1

27tan

1327

tan13

64,29

64, 29 180244, 29

R = 29,97 m; 244,29

b) c)

R = -13 i- 27 j m 270 244, 2925,71

R = 29,97 m; S25,71 O



d)

R

R

R

RR

-13 i- 27 j m29,97 m

-0,43 i- 0,9 j

R = 29,97 m -0, 43 i- 0,9 j 6. Expresar el vector V = 200 km, 318 en :

a) Coordenadas geogrficasb) Coordenadas rectangularesc) Funcin de los vectores based) Funcin de su mdulo y unitario

SOLUCIN:a)

318 27048

V = 200km, S48 E

b)

x

x

x

V = V cos318

V = 200 kmcos318V = 148,63km

y

y

y

V = V sen 318

V = 200 kmsen 318V = -133,83km

V = 148,63; -133,83 km

c)

V = 148,63 i-133,83 j km d)

V

V

V

VV

148,63 i-133,83 j km200 km

0,743 i- 0,669 j

V = 200 km 0,743 i- 0,669 j



7. Expresar el vector K = 20 N, N 47 O en:a) Coordenadas polaresb) Coordenadas rectangularesc) Funcin de su mdulo y unitariod) Funcin de los vectores base

SOLUCIN:a)

90 47137

K = 20 N;137

b)

x

x

x

K = K cos

K = 20 Ncos137K = -14,63N

y

y

y

K = K sen

K = 20 Nsen137K = 13,64 N

K = -14,63;13,64 N

c)

K

K

K

KK

-14,63 i 13,64 j N20 N

0,73 i 0,68 j

K 20 N 0,73 i 0,68 j

d)

K = -14,63 i 13,64 j N 8. Expresar el vector L =147cm mi- nj ; Si m = 3n , en:

a) Coordenadas geogrficasb) Coordenadas polaresc) Coordenadas rectangularesd) Funcin de los vectores base

SOLUCIN:



L

L

2 2

2 2

mi- nj m 3n3ni- nj

1 3n n

9 n n 110 n 1

1n

10n 0,316

L

L

L

L

mi- nj m 3n3ni- nj3 0,316 i- 0,316 j0,948 i- 0,316 j

a)

1

0,948tan

0,3160,948

tan0,316

71,57

L 147cm; S71,57 O

b)

270 71,57341,57

L 147cm; 341,57

c) d)

L = 147 cm 0,948;-0,316

L = 139,36;-19,99 cm

L = 139,36 i-19,99 j cm 9. Expresar el vector H = -29 i+ 35 j m s en:

a) Coordenadas rectangularesb) Funcin de su mdulo y unitarioc) Coordenadas polaresd) Coordenadas geogrficas

SOLUCIN:



a)

H = -29; 35 m s

b)

2 2H 29 35

H 45, 45m/ s

H

H

H

HH

-29 i+ 35 j m s=

45,45m s

= 0,64 i+ 0,77 j

H 45, 45m/ s 0,64 i+ 0,77 j

c)

1

0,64tan

0,770,64

tan0,77

39,73

90 39,73129,73

H 45,45m/ s;129,73

d)

H 45,45m/ s; N39,73 O

10. Expresar el vector 2E = 9 i+12 j m s en:a) Coordenadas rectangularesb) Coordenadas polaresc) Coordenadas geogrficasd) Funcin de su mdulo y unitario

SOLUCIN:a)

2E = 9;12 m s



b)

2 2

2

E = 9 +12

E = 15m/ s

1

12tan

912

tan9

53,13

2E = 15m/ s ; 53,13

c)

90 53,1336,87

2E = 15m/ s ; N36,87 E

d)

E

2

E 2

E

EE

9 i+12 j m s15m s

0,6 i+ 0,8 j

2E = 15m/ s 0,6 i+ 0,8 j

11. Exprese en funcin de sus vectores base los siguientes vectores:a) A = 65km/ h,121b) B = 70 N, NEc) C = 120km 0,873 i- 0,488 j d) D = -13, 40 N

SOLUCIN:a)

x

x

x

A = A cos

A = 65km/ hcos121A = 33, 48km/ h

y

y

y

A = A sen

A = 65km/ hsen121A = 55,72 km/ h

A = -33, 48 i+ 55,72 j km/ h



b)

x

x

x

B = B cos

B = 70 Ncos 45B = 49,5 N

B = 49,5 i 49,5 j N

c)

C = 104,76 i-58,56 j km d)

D = -13 i 40 j N

Solucionario Fsica Vectorial 1Operaciones con vectores


EJERCICIO N 4

1. Si la magnitud de los vectores F

y G

son 40m y 30m respectivamente, determinar:a) La magnitud mxima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

b) La magnitud mnima del vector resultante de la suma vectorial de F + G

c) La magnitud del vector resultante de la suma vectorial en caso de que F

y G

sean

perpendicularesd) La magnitud mxima del vector resultante de la resta vectorial de F - G

SOLUCIN:a) b)

F = 40 i+ 0 j mG = 30 i+ 0 j m

R = 70 i+ 0 j m

2R = 70 = 70 m

F = 40 i+ 0 j mG = -30 i+ 0 j m

R = 10 i+ 0 j m

2R = 10 = 10 m

c) d)

F = 40 i+ 0 j mG = 0 i+ 30 j m

R = 40 i+ 30 j m

2 2R = 40 30 = 50 m

F = 40 i+ 0 j m-G = 30 i+ 0 j m

R = 70 i+ 0 j m

2

F = 40 i+ 0 j mG = -30 i+ 0 j mR = 70 = 70m

2. Dados los vectores F = 4 i+ 6 j y G = -6 i- j , encontrar:a) El ngulo formado por los vectoresb) El rea del paralelogramo formado por los vectores F

y G

c) El vector unitario en la direccin de F- 2G SOLUCIN:



a)

1

1

FGcos

F G

4-6 + 6-1cos

52 37133,15

2 2F = 4 + 6

F 7,21

2G = 6 +1

G = 6,08

b)

24 6 rea = = -4 + 36 = 32u-6 -1

c)

F = 4 i+ 6 j G = -6 i- j 2G = -12 i- 2 j

F - 2G = 4 i+ 6 j - -12 i- 2 jF - 2G = 16 i+ 8 j

F 2G 2 2

F 2G

16 i+8 j16 8

0,89 i 0,45 j

3. Dado el vector Q = 3, - 5 m , encontrar:a) Un vector P

perpendicular a Q

, de modo que su mdulo sea de 17m y la

coordenada Y sea positivab) El rea del paralelogramo formado por Q

y P

c) La proyeccin de Q

sobre P

SOLUCIN:a)

x y

x y

x y

QP = 0

QP = 3P -5P

3P -5P = 03P 5P

P 2 2

P

P = 5 i+ 3 j m5 i+ 3 j m

5 30,86 i+ 0,51 j

P = 17 m 0,86 i+ 0,51 jP = 14,62 i 8,67 j m



b)

23 -5rea = = 26,01+ 73,1 = 99,11m14,62 8,67

c)

Los vectores son perpendiculares por lo tanto la proyeccin es cero

4. Dados los vectores P = 12 i-8 j m s Q = 15 m s ,120 , encontrar:a) P - Q

b) Q + P

c) 3 / 2P

d) QP

e) El ngulo formado entre Q y P

f) PQ

SOLUCIN:

x

x

x

Q = Q cosQ = 15m/ scos120Q = -7,5m/ s

y

y

y

Q = Q senQ = 15m/ ssen120Q = 12,99 m/ s

Q = -7,5 i+12,99 j m/ s

a) b)

P = 12 i -8 j m s- Q = 7,5 i-12,99 j m/ s

P - Q 19,5 i- 20,99 j m/ s

Q = -7,5 i 12,99 j m/ sP = 12 i -8 j m s

Q P 4,5 i 4,99 j m/ s

c) d)

3 3P = 12 i-8 j m s2 23 P = 18 i-12 j m s2

QP = -7,512+12,99-8 m/ s

QP = -193,92m/ s

e) f)



-1 2 2-7,512 +12,99-8= cos 15m/ s 12 +8

= 93,56

12 -8PQ = = 155,88 + 60 k = 215,88k

-7,5 12,99

5. Dados los vectores M = 37, 25 m N = 41m, 213 , hallar:a) M + N

b) N - M

c) -2N

d) NM

e) La proyeccin de N

sobre M

f) El rea del paralelogramo formado por los dos vectores

SOLUCIN:a)

x

x

x

N = N cos

N = 41mcos 213N = -34,39m

y

y

y

N = N sen

N = 41msen 213N = -22,33m

N = -34,39 i- 22,33 j m

M = 37 i + 25 j mN = -34,39 i- 22,33 j m

M + N = 2,61 i+ 2,67 j m

b) c)

N = -34,39 i- 22,33 j m- M = -37 i - 25 j m

N - M = - 71,39 i- 47,33 j m

-2N = -2 -34,39 i- 22,33 j m-2N = 68,78 i+ 44,66 j m

d)



NM = -34,3937 - 22,3325N M = -1830,68

e)

M M

M 2 2 2 2

M

NMN = M

37 i+ 25 j m-34,3937 - 22,3325

N = 37 + 25 37 + 25

N = -33,97 i- 22,95 j m

2 2M

M

N = 33,97 + 22,95

N = 40,99m

f)

237 25rea = = -826,21+ 934,75 = 33,54m-34,39 -22,33

6. Dados los vectores E = 15 N mi+ 0,48 j ; I = 21N, SE y F = 12 N, 312 , hallar:a) E + I + F

b) 2 / 3I - 3E + 5 / 2F

c) 2 / 5 FE d) 3I2F e) La proyeccin de E

sobre el vector resultante de I + F

f) El ngulo comprendido entre los vectores F

y E

SOLUCIN:

E = 15 N mi+ 0,48 j I = 21N, SE 2m = 1- 0, 48

m = 0,88

270 45315

E = 15 N 0,88 i+ 0, 48 jE = 13, 2 i+ 7, 2 j

x

x

x

I = I cos

I = 21Ncos315I = 14,85

y

y

y

I = I sen

I = 21Nsen 315I = -14,85



I = 14,85 i-14,85 j N F = 12 N, 312

x

x

x

F = F cos

F = 12 Ncos312F = 8,03

y

y

y

F = F sen

F = 12 Nsen 312F = -15,60

F = 8,03 i-15,60 j N

a)

E = 13,2 i+ 7,2 j NI = 14,85 i-14,85 j N

F = 8,03 i-15,60 j N

E + I + F 36,08 i- 23,25 j N

b)

22 / 3I = 14,85 i-14,85 j N3

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N

-3E = -3 13, 2 i+ 7, 2 j N-3E = -39,6 i- 21,6 j N

55 / 2F = 8,03 i-15,60 j N2

5 / 2F = 20,08 i-39 j N

2 / 3I = 9,9 i-9,9 j N-3E = -39,6 i- 21,6 j N

5 / 2F = 20,08 i-39 j N

2 / 3I -3E + 5 / 2F = -9,62 i- 70,5 j N

c)

22 / 5 FE = 8,0313,2 -15,607,25FE = -2,53

d)



3I = 3 14,85 i-14,85 j N3I = 44,55 i- 44, 45 j N

2F = 2 8,03 i-15,60 j N2F = 16,06 i-31, 2 j N

44,55 -44,553I2F = k = -1389,96 + 715,47 k = -674,49k16,06 -31,2

e) La proyeccin de E

sobre el vector resultante de I + F

I = 14,85 i-14,85 j NF = 8,03 i-15,60 j N

I + F 22,88 i-30, 45 j N

I+F I F

I+F 2 2 2 2

I+F

E I FE = I F

22,88 i-30,45 j13,222,88 7,2 30,45E =

22,88 + 30,45 22,88 + 30,45

E = 1,30 i-1,73 j m

2 2I+F

I+F

E = 1,30 1,73

E = 2,16

f)

1 8,03 13, 2 15,60 7, 2cos15 12

92,01

7. Dados los vectores A = 31m s 0,2 i+ mj ; B = 43m s ,172 y C = 55, -12 m s ,hallar:a) A - B + C

b) 1 2 A + B - 2C

c) El rea del paralelogramo formado por 2A

y 2 C3



d) La proyeccin de A + B sobre Ce) AC + AB f) A BC SOLUCIN:

A = 31m s 0,2 i+ mj B = 43m s ,172

2m = 1- 0,2m = 0,98

x

x

x

B = B cos

B = 43m/ scos172B = -41,59

y

y

y

B = B sen

B = 43m/ ssen172B = 5,98

A = 31m s 0, 2 i+ 0,98 jA = 6, 2 i+ 30,38 j m s

B = -41,59 i+ 5,98 j m/ s C = 55 i-12 j m s

a)

A = 6,2 i+ 30,38 j m s- B = 41,59 i-5,98 j m/ sC = 55 i -12 j m s

A - B + C 102,79 i 12,4 j m s

b)

11/ 2A = 6,2 i+ 30,38 j m s2

1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m s

-2C = -2 55 i-12 j m s-2C = -110 i+ 24 j m s

1/ 2A = 3,1 i+15,19 j m sB = -41,59 i+ 5,98 j m/ s

- 2C = -110 i+ 24 j m s

1 2A + B - 2C -148,49 i+ 45,17 j m s



c)

2A = 2 6, 2 i+ 30,38 j m s2A = 12, 4 i+ 60,76 j m s

22 / 3C = 55 i-12 j m s3

2 / 3C = 36,66 i-8 j m s

12,4 60,76rea = = -99,2 -934,75 = 2326,6636,66 -8

d) La proyeccin de A + B sobre C

A = 6, 2 i+ 30,38 j m sB = -41,59 i+ 5,98 j m/ s

A + B = -35,39 i+ 36,36 j m/ s

C = 55 i-12 j m s

CC

C 2 2 2 2

C

A+BCA+ B = C

55 i-12 j-35,3955 + 36,36-12

A+ B = 55 +12 55 +12

A+ B = -41,35 i+ 9,02 j

2 2C

C

A+ B = 41,35 9,02

A+ B = 42,32

e)

6,2 30,38AC = = -74,4 -1670,9 k = -1745,3k55 -12

6,2 30,38AB = = -37,08 +1263,5 k = 1226,42k-41,59 5,98

AC + AB = -1745,3k+1226,42k

AC + AB = -518,88k

f)

BC

es producto cruz por tanto es perpendicular al vector A

entonces A BC 0



8. Tomando en consideracin los vectores R = 20m, N 25 O ; S = 15 i+ 9 j m T = 30m, 260 y U = 17 m 0,5 i- 0,866 j , hallar:

a) 3 4 S - 2R + U b) 5U -1 2T + R - 2S

c) R S + T U d) TU + R S e) 3R 2 T f) La proyeccin de R +S sobre T - U g) El rea del paralelogramo formado por R - T y S+ U SOLUCIN:

R = 20m, N 25 O T = 30m, 260

90 25115

x

x

x

R = R cos

R = 20 mcos115R = -8, 45m

y

y

y

R = R sen

R = 20 msen115R = 18,13m

x

x

x

T = T cos

T = 30 mcos 260T = -5,21m

y

y

y

T = T sen

T = 30 msen 260T = -29,54 m

R = -8,45 i+18,13 j m T = -5,21i- 29,54 j m

U = 17 m 0,5 i- 0,866 jU 8,5 i-14,72 j m

a)

33 / 4S = 15 i+ 9 j m4

3 / 4S = 11,25 i+ 6,75 j m

-2R = -2 -8,45 i+18,13 j m-2R = 16,9 i-36,26 j m



3 / 4S = 11, 25 i+ 6,75 j m- 2R = 16,9 i-36, 26 j m

U 8,5 i-14,72 j m

3 4S- 2R + U 36,65 i- 44, 23 j m

b)

5U 5 8,5 i-14,72 j m5U 42,5 i- 73,6 j m

1

-1/ 2T = - -5,21i- 29,54 j m2

-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

-2S = -2 15 i+ 9 j m-2S = -30 i-18 j m

5U = 42,5 i- 73,6 j m-1/ 2T = 2,6 i+14,77 j m

R = -8,45 i+18,13 j m- 2S = -30 i -18 j m

5U -1 2T + R - 2S = 6,65 i-58,7 j m

c)

R S = -8,4515+18,139R S = 36,42

T U = -5,218,5 - 29,54-14,72T U = 390,54

R S + TU = 36,42+390,54

R S + TU = 426,96

d)

-8,45 18,13R S = = -76,05- 271,95 k = -348k15 9

-5, 21 -29,54T U = = 76,69 + 251,09 k = 327,78k8,5 -14,72



TU + RS = 327,78k-348k

TU + RS = -20,22k

e)

3R = 3 -8,45 i+18,13 j m3R = -25,35 i+ 54,39 j m

2T = 2 -5,21i- 29,54 j m2T = -10,42 i-59,08 j m

3R 2 T = -25,35-10,42+54,39-59,08

3R 2 T = -2949,21

f)

R = -8,45 i+18,13 j mS = 15 i+9 j m

R +S 6,55 i+ 27,13 j m

T = -5,21i- 29,54 j m- U = -8,5 i+14,72 j m

T - U = -13,71i-14,82 j m

T-UT-U

T-U 2 2 2 2

T-U

R+ST-UR+S = T- U

-13,71 i-14,82 j6,55-13,71+ 27,13-14,82R+S =

13,71 +14,82 13,71 +14,82

R+S = 16,54 i+17,88 j

2 2T-U

T-U

R+ S = 16,54 17,88

R+ S = 24,36

g)

R = -8,45 i+18,13 j m-T = 5,21i+ 29,54 j m

R -T = -3,24 i+ 47,67 j m

S = 15 i+ 9 j mU 8,5 i-14,72 j m

S + U 23,5 i-5,72 j m



3,24 47,67rea = = 18,53-1120,24 = 1101,7123,5 -5,72

9. Considrese los vectores A = 46cm mi- 0,23 j ; B = 81cm,155 , C = 57cm, N 21 E y D = -32 i- 29 j m , determinar:

a) 1 2A + 2C- B

b) 2D-3A +1 3C- 2 5B

c) 3B+2 3A -C-3 4D d) D -3C 3 2B + 4A e) BA + CD f) 2AC + 5BD g) El ngulo formado por D - A y B+ C SOLUCIN:

A = 46cm mi- 0,23 j B = 81cm,155

2m = 1- 0,48m = 0,88

x

x

x

B = B cos

B = 81cmcos155B = -73,41cm

y

y

y

B = B sen

B = 81cmsen155B = 34,23cm

A = 46cm 0,88 i- 0,23 jA = 40,48 i-10,58 j

B = -73,41i+ 34,23 j cm

C = 57cm, N 21 E

90 2169



x

x

x

C = C cos

C = 57cmcos 69C = 20,43cm

y

y

y

C = C sen

C = 57 cmsen 69C = 53, 21cm

C = 20,43 i+ 53,21 j cm a)

11/ 2A = 40,48 i-10,58 j cm2

1/ 2A = 20,24 i-5,29 j cm

2C = 2 20,43 i+ 53,21 j cm2C = 40,86 i+106,42 j cm

B = -73,41i+ 34,23 j cm

1/ 2A = 20, 24 i-5, 29 j2C = 40,86 i+106, 42 j- B = 73, 41 i-34, 23 j

1 2 A + 2C - B = 134,51 i+ 66,89 j

b)

2D = 2 -32 i- 29 j2D = -64 i-58 j

-3A = -3 40, 48 i-10,58 j-3A = -121, 44 i+ 31,74 j

11/ 3C = 20,43 i+53,21 j3

1/ 3C = 6,81i+17,73 j

2

-2 / 5B = - -73, 41 i+ 34, 23 j5

-2 / 5B = 29,36 i-13,69 j



2D = -64 i-58 j-3A = -121,44 i+ 31,74 j

1/ 3C = 6,81 i+17,73 j- 2 / 5B = 29,36 i-13,69 j

2D -3A +1 3C - 2 5B 149,27 i- 22,22 j

c)

3B = 3 -73, 41 i+ 34, 23 j3B = -220, 23 i+102,69 j

22 / 3A = 40,48 i-10,58 j3

2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j

4

-4 / 3D = - -32 i- 29 j3

-4 / 3D = 42,66 i+ 38,66 j

3B = -220, 23 i+102,69 j2 / 3A = 26,99 i- 7,05 j

3B + 2 3A = -193, 24 i+ 95,64 j

-C = -20,43 i-53,21 j- 4 / 3D = 42,66 i+38,66 j

-C - 4 3D = 22,23 i-14,55 j

3B+2 3A -C-4 3D = -193,2422,23+95,64-14,55

3B+2 3A -C-4 3D = -5687,28

d)

-3C = -3 20, 43 i+ 53, 21 j-3C = -61, 29 i-159,63 j

33 / 2B = -73, 41 i+ 34, 23 j2

3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j

4A = 4 40, 48 i-10,58 j4A = 161,92 i- 42,32 j

D = -32 i- 29 j-3C = -61,29 i-159,63 j

D -3C = -93,29 i-188,63 j

3 / 2B = -110,12 i+ 51,35 j4A = 161,92 i- 42,32 j

3 2 B + 4A 51,8 i 9,03 j

-93,29 -188,63D -3C 3 2B + 4A = = -842,41+ 9771,03 k = 8928,62k51,8 9,03 e)



BA = -73,4140,48+34,23-10,58BA = -3333,79

CD = 20,43-32+53,21-29CD = -2196,85

BA + CD = -3333,79 - 2196,85

BA + CD = -5530,64

f) 2AC + 5BD

2A = 2 40, 48 i-10,58 j2A = 80,96 i- 21,16 j

5B = 5 -73, 41 i+ 34, 23 j5B = -367,05 i+171,15 j

80,96 -21,162AC = = 4307,88 + 432,30 k = 4740,18k20,43 53,21

g) El ngulo formado por D - A y B+ C

D = -32 i- 29 j- A = -40,48 i+10,58 j

D - A = -72,48 i-18,42 j

B = -73, 41 i+ 34, 23 jC = 20, 43 i+ 53, 21 j

B + C = -52,98 i+ 87, 44 j

-1 2 2 2 2-72, 48-52,98 -18, 4287, 44= cos 72, 48 +18, 42 52,98 + 87, 44= 73,05

10. Dados los vectores D = 5km, 63 , E = -7, -1 km y F = 4km; S70 E , calcular:a) 2D + E + 3F

b) E - D - 2F

c) DE

d) D - EF e) La proyeccin de E

sobre D

f) El ngulo comprendido entre E

y F



g) El rea del paralelogramo formado por los vectores D

y E

SOLUCIN:a)

x

x

x

D = D cos

D = 5kmcos 63D = 2, 27 km

y

y

y

D = D sen

D = 5kmsen 63D = 4, 46 km

D = 2,27 i+ 4,46 j km

E = -7 i-1 j km 270 70340 x

x

x

F = F cos

F = 4 kmcos340F = 3,76 km

y

y

y

F = F sen

F = 4 kmsen 340F = 1,37 km

F = 3,76 i-1,37 j km

2D = 2 2, 27 i+ 4, 46 j km2D = 4,54 i+ 8,92 j km

3F = 3 3,76 i-1,37 j km3F = 11, 28 i- 4,11 j km

2D = 4,54 i+8,92 j kmE = - 7 i -1 j km

3F = 11,28 i- 4,11 j km

2D E 3F 8,82 i 3,81 j km

b)

E - D - 2F

-2F = -2 3,76 i-1,37 j km-2F = -7,52 i+ 2,74 j km

E = - 7 i -1 j km- D = -2,27 i- 4,46 j km

- 2F = -7,52 i+ 2,74 j km

E - D - 2F = -16,79 i- 2,72 j km

c)



DE = 2,27-7 + 4, 46-1D E = -20,35

d)

-7 -1EF = k = 9,59 + 3,76 k = 13,35k3,76 -1,37

D = 2, 27 i+ 4, 46 j+ 0k- E F = 0 i + 0 j-13,35k

D - E F 2, 27 i+ 4, 46 j-13,35k

e)

D E

D

D

E DE = D

2, 27 i+ 4, 46 j-72, 27 1 4, 46

E = 5 5

E = -1,85 i-3,63 j

2 2D

D

E = 1,85 3,63

E = 4,07

f)

E = -7, -1 km y F = 3,76 i-1,37 j km



-1 2-73,76 -1-1,37= cos 4 7 +1

= 86, 25

g)

22,27 4,46rea = = -2,27 + 31,22 = 28,95km-7 -1

11. Si la suma de los vectores A

y B

es 2 i- 4 j y su diferencia es 6 i-10 j encontrar elngulo formado por los vectores A

y B

SOLUCIN:

x x

x x

A + B = 2...........(1)A - B = 6............(2)

x x

x

x

(3) en (1)6 + B + B = 22B = -4B = -2

x x

x

x

x

De (2)A = 6 + B .............(3)Reemplazando el valor de B en (1)A - 2 = 2A = 4

}

y y

y y

A + B = -4.......................(1)A - B = -10.....................(2)

y yDe (2)A = -10 + B .............(3)

y y

y

y

(3) en (1)-10 + B + B = -42 B = 6B = 3

y

y

y

Reemplazando el valor de B en (1)A + 3 = -4A = -7

A = 4 i- 7 j B = -2 i+ 3 j



1

1

2 2 2 2

cos

4 2 7 3cos

4 7 2 3

176,05

A BA B

12. Determine las magnitudes de los vectores A

y B

, para A + B + C = 0

C = 0 i-16 j N Para que Y=0 y y yA = -C A = 16Calculando

xA



x

x

x

16tan 37 =

A16A =

tan 37A = 21,24 como esta en X(-) -21,24

A = -21,24 i+16 j N 2 2A = 21, 24 +16

A = 26,59 N

Para que X=0x x xB = - A B = 21, 24

B = 21,24 i+ 0 j N B = 21, 24 N

Solucionario Fsica Vectorial 1Vector Posicin


EJERCICIO N5

1. En el reloj de una iglesia el minutero mide 1,2 m y el horero 80 cm determinar laposicin relativa del extremo del horero respecto al extremo del minutero, en lassiguientes horas:a) 10H10 b) 12H35 c) 5H40 d) 8H20 e) 9H10f) 6H50 g) 2H40 h) 11H05 i) 4H00

SOLUCIN:Basados en el siguiente grafico para determinar los vectores:

a)

minXmin

Xmin

r = 1, 2 m; 30r = 1, 2 mcos30r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 30r = 0,6m

minr = 1,04 i+ 0,6 j m hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m;150r = 0,8mcos150r = 0,69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen150r = 0,4m horr = -0,69 i+ 0,4 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i+ 0,4 j m- 1,04 i+ 0,6 j mr = -1,73 i- 0,2 j m

150

180 0

90

270

30

120 60

240

210

300

330

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



b)

minXmin

Xmin

r = 1,2m; 240r = 1,2mcos 240r = -0,6m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 240r = -1,04m

minr = -0,6 i-1,04 j m horr = 0 i+ 0,8 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i+ 0,8 j m- -0,6 i-1,04 j mr = 0,6 i 1,84 j m

c)

minXmin

Xmin

r = 1,2m; 210r = 1,2mcos 210r = -1,04m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 30r = -0,6m

minr = -1,04 i- 0,6 j m

horXhor

Xhor

r = 0,8m; 300r = 0,8mcos300r = -0,4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 300r = 0,69m horr = -0,4 i- 0,69 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -1,04 i- 0,6 j m- -0,4 i- 0,69 j mr = -0,64 i- 0,09 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



d)

minXmin

Xmin

r = 1,2m; 30r = 1,2mcos330r = 1,04m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 330r = -0,6m

minr = 1,04 i- 0,6 j m hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 210r = 0,8mcos 210r = -0,69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 210r = -0,4m

horr = -0,69 i- 0,4 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,69 i- 0,4 j m- 1,04 i- 0,6 j mr = -1,73 i+ 0,2 j m

e) min

Xmin

Xmin

r = 1, 2 m; 30r = 1, 2 mcos30r = 1,04 m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 30r = 0,6m

minr = 1,04 i+ 0,6 j m horr = -0,8 i+ 0 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,8 i+ 0 j m- 1,04 i+ 0,6 j mr = -1,84 i- 0,6 j m

f) min

Xmin

Xmin

r = 1,2 m;150r = 1,2 mcos150r = -1,04 m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 30r = -0,6m

minr = -1,04 i- 0,6 j m horr = 0 i- 0,8 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0 i- 0,8 j m- -1,04 i- 0,6 j mr = 1,04 i- 0,2 j m

g) min

Xmin

Xmin

r = 1,2m; 210r = 1,2mcos 210r = -1,04m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 210r = -0,6m

minr = -1,04 i- 0,6 j m

horXhor

Xhor

r = 0,8m; 30r = 0,8mcos30r = 0,69 m

Yhor

Yhor

hor

r = 0,8msen 30r = 0,4m

r = 0,69 i+ 0,4 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i+ 0,4 j m- -1,04 i- 0,6 j mr = 1,73 i+ j m

h)

minXmin

Xmin

r = 1, 2 m; 60r = 1, 2 mcos 60r = 0,6 m

Ymin

Ymin

r = 1,2msen 30r = 1,04m

minr = 0,6 i+1,04 j m

horXhor

Xhor

r = 0,8m;120r = 0,8mcos120r = -0, 4 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen120r = 0,69m horr = -0,4 i+ 0,69 j m

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = -0,4 i+ 0,69 j m- 0,6 i+1,04 j mr = - i- 0,35 j m

i) minr = 0 i+1,2 j m hor

Xhor

Xhor

r = 0,8m; 330r = 0,8mcos150r = 0,69 m

Yhor

Yhor

r = 0,8msen 330r = -0,4m

horr = 0,69 i- 0,4 j m

hor/min hor min

hor/min

hor/min

r = r - r

r = 0,69 i- 0,4 j m- 0 i+1,2 j mr = 0,69 i-1,6 j m

2. Una persona vive a 2km en direccin NE del centro de la ciudad, si para ir a la tiendams cercana camina 200m al este y luego 100m al sur, determinar:a) La posicin de la tienda respecto a la ciudadb) La posicin de la tienda respecto a la casa de la personac) La distancia en lnea recta de la casa a la tienda

SOLUCIN:

casar = 2km; NE 1,41i+1,41 j km tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0, 2 i- 0,1 j km

a)

tienda/casa tienda casa

tienda tienda/casa casa

tienda

tienda

r = r - r

r = r + r

r = 1, 41 i+1, 41 j km+ 0, 2i- 0,1 j kmr = 1,61 i+1,31 j km

10

9 3

12

6

2

11 1

7

8

5

4



b)

tienda/casa tienda/casar = 200i-100 j m r = 0, 2 i- 0,1 j km

c)2 2

tienda/casa

tienda/casa

r = 200 +100

r = 223,60m 0,223km

3. Los vrtices de un tringulo son los puntos 1P 0,5 , 2P 2,-1 y 3P 3,6 , determinar:a) El valor de los ngulos internos del triangulob) El tipo de triangulo en funcin de sus lados

SOLUCIN:

a)

1 2

1 2

P P = 2 i- j - 0 i+ 5 jP P = 2 i- 6 j

1 3

1 3

P P = 3 i 6 j - 0 i+ 5 jP P = 3 i j

2 3

2 3

P P = 3 i+ 6 j - 2 i- jP P = i+ 7 j



-1 1 2 1 3

1 2 1 3

-1

2 2 2

PP PPA = cosP P P P

2 3 6 1A = cos2 6 3 1

A = 90

-1 1 3 2 3

1 3 2 3

-1

2 2

PP P PB = cosP P P P

3 1 1 7B = cos3 1 1 7

B = 63,43

63,43 +90 +C = 180

C = 180 -90 -63,43

C = 26,57

b)

Tringulo rectngulo

4. Los vrtices de un tringulo son los puntos A 8,9 m , B -6,1 m , C 0,-5m ,determinar:a) El valor de los ngulos internos del triangulob) El rea del tringulo ABC

SOLUCIN:



a)

AB = -6 i+ j m- 8 i+ 9 j mAB = -14 i-8 j m

AC = 0 i-5 j m- 8 i+ 9 j mAC = -8 i-14 j m

BC = 0 i-5 j m- -6 i+ j mBC = 6 i- 6 j m

-1

-1

2 2 2 2

A = cos

14 8 8 14A = cos14 8 8 14

A = 30,51

AB ACAB AC

-1

-1

2 2 2 2

ACBCC = cosAC BC

-86 -14-6C = cos8 +14 6 + 6

C = 74,74

B = 180 -30,51 -74,74

B = 74,75

b)

2

1rea = ABAC2

-14 -81rea = = 196 - 64 = 132m-8 -142

5. Una ciudad est delimitada por las rectas que unen los vrtices: P 4,5 km , Q 0,4 km, R 1,1 km , S 5,2 km , determinar:a) La forma geomtrica de la ciudadb) El rea de la ciudadc) La posicin relativa del punto R respecto del punto Pd) La posicin relativa del punto S respecto del punto R

SOLUCIN:



a)

Paralelogramo

b)

RQ = 0 i+ 4 j km- i+ j kmRQ = - i+ 3 j km

RS = 5 i+ 2 j km- i+ j kmRS = 4 i+ j km

2

rea = RQRS-1 3rea = = -1-12 = 13km4 1

c) d)

R/P

R/P

r = i+ j km- 4 i+ 5 j kmr = -3 i- 4 j km

S/R

S/R

r = 5 i+ 2 j km- i+ j kmr = 4 i+ j km

6. Se tiene las ciudades P, Q y R; determine la posicin relativa de la ciudad P respecto aR para los siguientes casos:a) P/Qr 50 km; S60 E y R/Qr 70 km; NOb) P/Qr 80 km; SO y R/Qr 25km; N 70 Oc) P/Qr 65km; N15 O y R/Qr 90 km; S30 Od) P/Qr 40 km; N 75 E y R/Qr 100 km; S25 E

SOLUCIN:



P/Q P Q

Q P P/Q

r = r - r

r = r - r .............(1)

R/Q R Q

Q R R/Q

r = r - r

r = r - r .............(2)

P/R P Rr = r - r ..............(3)

P P/Q R R/Q

P R P/Q R/Q

Igualando (1) y (2)r - r = r - r

r - r = r - r ...............(4)

P/R P/Q R/Q

(3) en (4)r = r - r

a)

P/Qr 50 km; S60 E270 60330

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 50 kmcos330r x = 43,30 km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 50 kmsen 330r y = -25km

P/Qr 43,30 i- 25 j km

R/Qr 70 km; NO 90 45135

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 70 kmcos135r x = -49,50 km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 70 kmsen135r y = 49,50 km

R/Qr -49,50 i 49,50 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 43,30 i- 25 j km -49,50 i 49,50 j kmr = 92,50 i- 74,50 j km

b)

P/Qr 80 km; SO270 45225



P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 80 kmcos 225r x = -57,57 km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 80 kmsen 315r y = -56,57 km

P/Qr = -56,57 i-56,57 j km R/Qr 25km; N 70 O 90 70

160

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 25kmcos160r x = -23, 49 km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 25kmsen160r y = 8,55km

R/Qr -23,49 i 8,55 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -56,57 i-56,57 j km- -23,49 i+8,55 j kmr = -33,08 i- 48,02 j km

c)

P/Qr 65km; N15 O 90 15105

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 65kmcos105r x = -16,82 km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 65kmsen105r y = 62,79 km

P/Qr = -16,82 i+ 62,79 j km R/Qr 90 km; S30 O 270 30

240

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 90 kmcos 240r x = -45km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 90 kmsen 240r y = -77,94 km

R/Qr = -45 i- 77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = -16,82 i+ 62,79 j km- -45 i- 77,94 j kmr = 28,18 i+140,73 j km



d)

P/Qr 40 km; N 75 E 90 7515

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r x = r cos

r x = 40 kmcos15r x = 38,64 km

P/Q P/Q

P/Q

P/Q

r y = r sen

r y = 40 kmsen15r y = 16,82 km

P/Qr = 38,64 i+16,82 j km

R/Qr 100 km; S25 E 270 25295

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r x = r cos

r x = 100 kmcos 295r x = 42, 26 km

R/Q R/Q

R/Q

R/Q

r y = r sen

r y = 100 kmsen 295r y = -90,63km

R/Qr = -45 i- 77,94 j km

P/R P/Q R/Q

P/R

P/R

r = r - r

r = 38,64 i+16,82 j km- -45 i- 77,94 j kmr = 83,64 i+ 94,76 j km

7. Para los casos del ejercicio anterior. Si se construye una carretera directa en lnea rectadesde la ciudad P hacia ciudad R, determine el ahorro de combustible para un auto queconsume 1galon de gasolina por cada 45 km, si se compara el nuevo camino con la rutaque une las ciudades P hacia Q y Q hacia R en lnea recta.

8. Dados los puntos L 8, - 6 m y J -4, 3 m , determinar:a) Los vectores posicin de L

y J

respecto al origen

b) La posicin relativa de L

con respecto a J

c) La distancia entre los puntos L

y J

SOLUCIN:a) b) c)

L

J

r = 8 i- 6 j mr = -4 i+ 3 j m

L/J L J

L/J

L/J

r = r - r

r = 8 i- 6 j m- -4 i+ 3 j mr = 12 i-9 j m

2 2L/J

L/J

r = 12 + 9

r = 15m



9. La cumbre de la montaa A est a 3km del suelo y la cumbre de la montaa B a 2kmdel suelo. Si las montaas se unen como indica el siguiente grfico:

Determinar:

a) La posicin relativa de la cumbre de la montaa B respecto a la cumbre de lamontaa A

b) La longitud del cable para instalar un telefrico de la cumbre de la montaa A a lacumbre de la montaa B

SOLUCIN:

A

A

AA

A

A

r xtan 60 =

r yr x

r y =tan 603km

r y =tan 60

r y = 1,73km

Ar = -1,73i+ 3 j kmB

B

BB

B

B

r xtan 40 =

r yr x

r y =tan 402 km

r y =tan 40

r y = 2,38km

Br = 2,38 i+ 2 j km

a)

B/A

B/A

r = 2,38 i+ 2 j km- -1,73i+ 3 j kmr = 4,11 i- j km

b)2

B/A

B/A

r = 4,11 +1

r = 4, 23km

Considerando ida y vuelta por cables independient4, 23km 2 =

es

8, 46

10. Las coordenadas de los puntos inicial y final de un vector E

son 5, - 2 m y -4, 7 mrespectivamente, determinar:



a) Las componentes rectangulares del vector E

b) La magnitud del vector E

c) El vector unitario del vector E

SOLUCIN:a) b) c)

E -4, 7 m 5, - 2 m

E -9, 9 m

2 2E = 9 + 9

E = 12,73m

E

E

E

EE

-9 i+ 9 j m12,73m

-0,706 i+ 0,706 j m

11. Un avin de aeromodelismo est a 4km, SO de la torre de control. En ese momento,su dueo desea impactar en un blanco que est ubicado en el punto 6, - 4 km ,determinar:

a) La posicin del avin respecto al blancob) La direccin que debe tomar el avin para lograr su propsitoc) La distancia del avin al blanco

SOLUCIN:a)

4km, SOx

x

x

A = A cos

A = 4kmcos 225A = -2,83km

y

y

y

A = A sen

A = 4 kmsen 225A = -2,83km

A = -2,83 i- 2,83 j km

A/B

A/B

r = -2,83 i- 2,83 j km- 6 i- 4 j kmr = -8,83 i+1,17 j km

b) c)



8,83tan

1,1782,45

S82,45 E2 2

A/B

A/B

r = 8,83 +1,17

r = 8,91km

12. En un aeropuerto, un avin B se halla parqueado en la posicin 200m, N 28 Erespecto a la torre de control. En ese instante otro avin A se encuentra en la posicin 200m, SO respecto a la misma torre de control, determinar:a) La posicin relativa de B respecto de Ab) La distancia que existe entre los dos aviones

SOLUCIN:a)

200m, N 28 Ex

x

x

B = B cos

B = 200mcos 62B = 93,89m

y

y

y

B = B sen

B = 200 msen 62B = 176,59 m

B = 93,89 i+176,59 j m

200m, SOx

x

x

A = A cos

A = 200 mcos 225A = -141, 42

y

y

y

A = A sen

A = 200 msen 225A = -141, 42

A = -141,42 i-141,42 j m

B/A

B/A

r = 93,89 i+176,59 j m- -141, 42 i-141, 42 j mr = 235,31 i+ 318,01 j m

b)2 2

B/A

B/A

r = 235,31 + 318,01

r = 395,60m



13. Un bote tiene 2 motores fuera de borda. El primer motor impulsa el bote en direccinNO con una velocidad de 20m/s, el segundo motor impulsa al bote en direccin N25Econ una velocidad de 15m/s, determinar:a) La velocidad resultante del bote en magnitud y direccinb) El vector unitario del vector velocidad resultantec) Los ngulos directores del vector velocidad resultante

SOLUCIN:a)

A = 20 m/ s; NO

x

x

x

A = A cos

A = 20 m/ scos135A = -14,14 m/ s

y

y

y

A = A sen

A = 20 m/ ssen135A = 14,14 m/ s

A = -14,14 i+14,14 j m/ s

B = 15m/ s; N 25 E

x

x

x

B = B cos

B = 15m/ scos 65B = 6,34 m/ s

y

y

y

B = B sen

B = 15m/ ssen 65B = 13,59 m/ s

B = 6,34 i+13,59 j m/ s

V = -14,14 i+14,14 j m/ s+ 6,34 i+13,59 j m/ sV = -7,8 i+ 27,73 j m/ s

2 2V = 7,8 + 27,73

V = 28,81m/ s

1 7,8tan

27,7315,71

V = 28,81m/ s; N15,71 O



b) c)

V

V

V

VV

-7,8 i+ 27,73 j m/ s=

28,81m/ s= -0,27 i+ 0,96 j m/ s

90 15,71105,71

15,71

14. Una mesa de billar tiene las siguientes dimensiones:

a) La posicin relativa de la buchaca F respecto a la buchaca Ab) La posicin relativa de la buchaca C respecto a la buchaca Ec) El ngulo formado por los vectores EA

y EC

d) La posicin relativa de una bola ubicada en el punto Q respecto a la buchaca De) La proyeccin del vector AE

sobre AQ

SOLUCIN:Considerando A como origen:

a)

F/Ar = 2,8 i-1,5 j m

b)

cr = 2,8 i+ 0 j m Er = 1,4 i-1,5 j m

C/E C E

C/E

C/E

r = r - r

r = 2,8 i+ 0 j m- 1,4 i-1,5 j mr = 1,4 i+1,5 j m



c)

EA = A - E

EA = -1,4 i+1,5 j m

EC = C - E

EC = 1, 4 i 1,5 j m

1 2 2 2 21, 4 1, 4 1,5 1,5cos 1, 4 1,5 1, 4 1,586,05

d)

Q = 2,1i- 0,75 j m D = 0 i-1,5 j m

Q/D

Q/D

r = 2,1 i- 0,75 j m- 0 i-1,5 j mr = 2,1 i 0,75 j m

e)

AE = 1,4 i-1,5 j m AQ = 2,1 i- 0,75 j m

AQ AQ

AQ 2 2 2 2

AQ

AEAQAE =AQ

1,4 2,1 1,5 0,75 2,1 i- 0,75 jAE =2,1 0,75 2,1 0,75

AE = 1,72 i- 0,61 j m

AQ

AQ

AE = 1,72 i- 0,61 j mAE = 1,82m

Solucionario Fsica Vectorial 1Cinemtica definiciones generales


EJERCICIO N6

1. Un insecto se mueve rectilneamente 8cm al Este, luego 12cm al NE y finalmente 5cmal Sur; determinar:a) Los desplazamientos realizadosb) El desplazamiento total realizadoc) El modulo del desplazamiento totald) La distancia total recorrida

SOLUCIN:a)

2

2

r x = 12cmcos 45r x = 8,49cm

2

2

r y = 12cmsen 45r y = 8,49cm

1r 8 i+ 0 j cm 2r 8,49 i+8,49 j cm 3r = 0 i-5 j cm b)

1 2 3r r r r

r 8 i+ 0 j cm 8,49 i+8,49 j cm 0 i-5 j cmr 16,49 i+ 3,49 j cm

c) d)2 2r 16, 49 3, 49

r 16,85cm

d = 8cm+12cm+ 5cmd = 25cm

2. Comenzando en el origen de coordenadas se hacen los siguientes desplazamientos en elplano XY: 45mm en la direccin Y(-); 30mm en la direccin X(-) y 76mm a 200, todosen lnea recta;: determinar:a) Los desplazamientos realizadosb) Los vectores posicin en cada puntoc) El desplazamiento total realizadod) El mdulo del desplazamientoe) La distancia recorrida



SOLUCIN:a)

3

3

r x = 76mmcos 200r x = -71,41mm

3

3

r y = 76mmsen 200r y = -25,99m

1r 0 i- 45 j mm 2r -30 i+ 0 j mm 3r = -71,41i- 25,99 j mm b)

1r 0 i- 45 j mm 2r -30 i- 45 j mm

3 2 3

3

3

r r r

r -30 i- 45 j mm -71,41 i- 25,99 j mmr -100,41 i- 70,99 j mm

c)

1 2 3r r r r

r 0 i- 45 j mm -30 i+ 0 j mm -71,41 i- 25,99 j mmr -100,41 i- 70,99 j mm

d) e)2 2r 100, 41 70,99

r 122,97 mm

d = 45mm+ 30 mm+ 76 mmd = 152 mm

3. Un auto parte a las 7h00 de una ciudad A -85, 204 km y la lectura de su odmetro es10235 km, viaja rectilneamente hacia B 123, 347 km y llega a las 11h10; determinar:a) Los vectores posicin de cada ciudadb) El desplazamiento realizadoc) La lectura del odmetro cuando llega a Bd) La velocidad mediae) La velocidad media con la que debera regresar de inmediato por la misma ruta para

llegar a las 14h15.



SOLUCIN:a)

Ar = -85 i+ 204 j km Br = 123 i+ 347 j km b)

B Ar = r - r

r = 123 i+ 347 j km- -85 i+ 204 j kmr = 208 i+143 j km

c)2 2r = 208 143

r = 252, 41km

Lectura = 10235km+ 252, 41kmLectura = 10487, 41km

d)

10 min 1h= 0,166 h

60 min

f 0t t - t

t 11,166h- 7 ht 4,166h

m

m

m

rV =t

208 i+143 j kmV =

4,166hV = 49,93 i+ 34,33 j km/ h

m

m

m

rV =t

252,41kmV =4,166h

V = 60,58km/ h

e)

15min 1h= 0, 25h

60 min

f 0t t - t

t 14,25h-11,166ht 3,084h

m

m

m

rV =t

252,41kmV =3,084h

V = 81,85km/ h



4. Dos aviones parten del mismo punto, el uno viaja a 865km;15 hasta A y el otrovuela -505 i+ 253 j km hasta B en 2 horas en lnea recta; determinar:a) Los vectores posicin de los puntos A y Bb) Los desplazamientos realizados por cada avinc) La velocidad media de cada avind) La rapidez media de cada avine) La velocidad media a la que debera viajar un avin desde A hasta BSOLUCIN:a)

865km;15

A

A

r x = 865kmcos15r x = 835,53km

A

A

r y = 865kmcos15r y = 223,88km Ar = 835,53 i+ 223,88 j km

Br -505 i+ 253 j km b)

Ar = 835,53 i+ 223,88 j km Br -505 i+ 253 j km c)

mA

mA

mA

rV =t

835,53 i+ 223,88 j kmV =

2hV = 417,77 i+116,94 j km/ h

mB

mB

mB

rV =t

-505 i+ 253 j kmV =

2 hV = -252,5 i+126,5 j km/ h

d)



2 2mA

mA

V = 417,77 116,94V = 433,83km/ h

2 2mBmB

V = 252,5 126,5V = 282, 42 km/ h

e)

B Ar r r

r -505 i+ 253 j km 835,53 i+ 223,88 j kmr -1340,53 i+ 476,88 j km

mA

mA

mA

rV =t

-1340,53 i+ 476,88 j kmV =

3hV = -446,84 i+158,96 j km/ h

2 2mA

mA

V = 446,84 +158,96V = 474,27 km/ h

5. Una partcula cuya velocidad era de 12 i+15 j m/ s se detiene en 20s por una rutarectilnea; determinar:a) El mdulo de la velocidad inicialb) El vector unitario de la velocidad inicialc) El vector velocidad finald) La aceleracin media de la partcula

SOLUCIN:a) b) d)

2 20

0

V = 12 +15

V = 19,21m/ s

0

0

0

0V

0

V

V

VV

12 i+15 j m/ s19,21m/ s

0,62 i+ 0,78 j

f 0V - Va =t

-12 i-15 j m/ sa =

20sa = -0,6 i- 0,75 j m/ s

c)

Como la partcula recorre hasta detenerse la velocidad final es 0



6. Un mvil que viaja con una aceleracin constante, cambia su velocidad de -21i-18 j m/ s a 24m/ s; S30 E ; en 10s determinar:a) Los vectores unitarios de la velocidad inicial y finalb) La aceleracin media

SOLUCIN:a)

24m/ s; S30 Ef f

f

f

V x = V cos

V x = 24m/ scos300V x = 12m/ s

f f

f

f

V y = V sen

V y = 24m/ ssen 300V y = 20,78m/ s

fV = 12 i- 20,78 j m/ s

0

0

0

0V

0

V 2 2

V

V=

V

-21i-18 j m/ s=

21 +18= -0,76 i- 0,65 j m/ s

f

f

f

fV

f

V

V

V=

V

12 i- 20,78 j m/ s=

24 m/ s= 0,5 i- 0,87 j m/ s

b)

f 0V - Va =t

12 i- 20,78 j m/ s- -21 i-18 j m/ sa =

10s33 i- 2,78 j m/ s

a =10s

a = 3,3 i- 0,278 j m/ s

Solucionario Fsica Vectorial 1Movimiento Rectilneo Uniforme


EJERCICIO N 7

1. Si un vehculo se mueve de la ciudad A -35, 50 km a la ciudad B -25, 45 km enlnea recta y con rapidez constante en 2 horas; determinar:a) El desplazamiento realizadob) La velocidad mediac) El desplazamiento durante los primeros 40 minutos de viajeSOLUCIN:a) b)

r -25 i- 45 j km- -35 i+ 50 j kmr 10 i-95 j km

rV =t

10 i-95 j kmV =

2hV = 5 i- 47,5 j km

c)

40 min 1h= 0,666 h

60 min r V t

r 5 i- 47,5 j km/ h 0,666hr 3,33 i-31,64 j km

2. Dos autos A, B se mueven por carreteras rectas horizontales con velocidades constantesde modo que al instante t=0 sus posiciones son -40 i+ 20 j y 15 i 30 j m y alinstante t=10s sus posiciones son 20 i y -10 j km respectivamente; determinar:a) El desplazamiento de cada vehculo durante ese intervalob) La velocidad media de cada vehculoc) La velocidad de A respecto a B

SOLUCIN:a)



A fA 0A

A

A

r = r - r

r = 20 i+ 0 j m- -40 i+ 20 j mr = 60 i- 20 j m

B fB 0B

B

B

r = r - r

r = -10 i+ 0 j m- 15 i-30 j mr = -25 i+ 30 j m

b)

A

A

A

rV =t

60 i- 20 j mV =

10sV = 6 i- 2 j m/ s

B

B

B

rV =t

-25 i+ 30 j mV =

10sV = -2,5 i+ 3 j m/ s

c)

A/B

A/B

V = 6 i- 2 j m/ s- -2,5 i+ 3 j m/ sV = 8,5 i-5 j m/ s

3. Un tren cuya velocidad es 60 i km/ h

, pasa por un tnel recto de 400 m de largo ydesde que penetra la maquina hasta que sale el ltimo vagn demora 30s; determinar:a) El desplazamiento del tren en 30, 60 y 90 (s)b) La longitud del tren

SOLUCIN:a)

60 i km 1000m 1h= 16,67 m/ s

h 1km 3600s

r = V tr = 16,67 m/ s 30sr = 500m

r = V tr = 16,67 m/ s 60sr = 1000m

r = V tr = 16,67 m/ s 90sr = 1500m

b)

x = r- 400mx = 500m- 400mx = 100m



4. Una partcula parte del punto 25, 20 m y movindose rectilneamente llega al punto 6, 30 m con una rapidez constante de 40 km/ h ; determinar:a) La velocidad empleadab) El tiempo empleadoc) El punto al que llegara si contina movindose por 10s ms.

SOLUCIN:a)

40 km 1000 m 1h= 11,11m/ s

h 1km 3600s

f 0r = r - r

r = -6 i-30 j m- 25 i 20 j mr = -31 i-50 j m

r

2 2

V = V

-31 i-50 jV = 11,11m/ s31 50

V = -5,85 i-9, 44 j m/ s

2 2r = 31 50

r = 58,83m

b)

A

rt =

V58,83m

t =11,11m/ s

t = 5,30s

c)

r = V t

r = -5,85 i-9,44 j m/ s 10sr = -58,5 i-94,4 j m

1 2r = r r

r = -31 i-50 j m -58,5 i-94,4 j mr = -89,5 i-144,4 j m



5. Un deportista se desplaza 1000 i km

por una ruta rectilnea, parte en moto y parte en

bicicleta, sabiendo que las velocidades han sido 120 i km/ h

en moto y 40 i km/ h

en

bicicleta y que el tiempo empleado ha sido 10 horas; determinar:a) La velocidad media durante las 10 horasb) El desplazamiento en motoc) El tiempo que recorri en bicicleta

SOLUCIN:a)

rV =t

1000 i kmV =10h

V = 100 i km/ h

b)

moto bicir r r ................(1)

moto bici

bici moto

t = t t

t t t .................(2)

moto moto motor = V t ...............(3)

bici bici bicir = V t ...............(4)

moto moto bici bici

(3) y (4) en (1)r V t V t ..................(5)

moto moto bici moto

moto moto bici bici moto

moto moto bici moto bici

moto moto bici

(2) en (5)r = V t V t t

V t V t V t = r

V t V t = r V t

t V V = r

bici

bicimoto

moto bici

moto

moto

V t

r V tt =

V V1000 km- 40 km/ h10 h

t =120 km/ h- 40 km/ h

t = 7,5h

moto

moto

r = 120km/ h7,5hr = 900km



c)

bici

bici

t 10h- 7,5ht 2,5h

6. Una partcula se mueve de acuerdo al grafico posicin-tiempo:

Determinar:

a) La posicin inicialb) La rapidez en cada tramo del viajec) El tiempo que permaneci en reposod) La posicin cuando t=35(s)e) Cundo la partcula est a 20m del origen y cuando est en el origen

SOLUCIN:

a) 0r = 10 m

b)

Tramo 1 Tramo 2 Tramo 3 Tramo 4

f 0

f 0

r - rV =t - t

30m-10mV =10s

V = 2m/ s

Reposo

f 0

f 0

r - rV =t - t

40m-30mV =30s- 20s

V = 10m/ s

f 0

f 0

r - rV =t - t

0 m- 40 mV =40s-30s

V = -4 m/ s



c) d) e)

t 20s-10st 10s

r = V tr = 4m/ s 5sr = 20m

7. Una persona parte de la esquina 0, 0 de una cancha de futbol que mide 100m x 60m ycamina primero por detrs del arco Sur, lado que se hace coincidir con el eje X(+),hacia el Este y contina su recorrido bordeando todo su permetro a una rapidezconstante igual a 2m/ s ; determinar:a) La velocidad en cada tramob) El tiempo que demora en recorrer cada ladoc) El desplazamiento y la distancia recorrida cuando ha llegado a la esquina opuesta

que partid) El tiempo mnimo que demorara en llegar a la esquina opuesta caminando a esa

misma rapidez

SOLUCIN:a)

Como se mueve tanto en el eje X como Y con rapidez constante la velocidad en cadatramo ser:

Tramo 1 Tramo 2 Tramo3 Tramo 4

V = 2 i m/ s V = 2 j m/ s V = -2 i m/ s V = -2 j m/ s b)

Lado 1 Lado 2 Lado 3 Lado 4

rt =

V60 m

t =2 m/ s

t = 30s

rt =

V100 m

t =2 m/ s

t = 50s

rt =

V60 m

t =2 m/ s

t = 30s

rt =

V100 m

t =2 m/ s

t = 50s

c)

Como recorre 60m en el eje X y 100 en Y el desplazamiento ser:

Est a 20m del origen a los 5s y alos 35s, y se encuentra en elorigen a los 40s



r 60 i 100 j m 2 2r = 60 100r = 116,62m

d)

rt =

V116,62m

t =2m/ s

t = 58,31s

8. Dos vehculos cuyas velocidades son 10 i km/ h

y 12 j km/ h se cruzan y siguen sucamino sin cambiar sus respectivas direcciones; determinar:a) El desplazamiento realizado por cada vehculo al cabo de 6 horasb) La distancia que los separa al cabo de 6 horasc) En qu tiempo desde que se cruzan estarn a 100 km de distancia

SOLUCIN:a) b)

A A

A

A

r = V t

r = 10 i km/ h 6 hr = 60 i km

B B

B

B

r = V t

r = 12 j km/ h 6 hr = 72 j km

A B2 2

A B

A B

r = 60 i 72 j km

r = 60 72

r = 93,72km

c)

2 22 2 2 2 2 2

2 2 2

10km/ h t + 12km/ h t = 100km

100km / h t +144km / h t = 100km

244km / h t = 100kmt 244 km/ h = 100km

100kmt =

244 km/ ht = 6,40h



9. Dos puntos A y B estn separados 80m. Desde A parte hacia B un mvil con unarapidez constante de 3 m/ s . Cinco segundos despus y desde B un mvil con la mismadireccin y sentido que el primero y con una rapidez constante de 2 m/ s ; determinar:a) Analticamente y grficamente cuando y donde se encuentranb) En qu tiempo la distancia que los separa ser nuevamente 80m

SOLUCIN:a)

B At = t - 5s...............(1) B Ar r 80 m...............(2)

A A A

B B B

rV =t

r V t ...............(3)r V t ...............(4)

B B A A

(3) y (4) en (2)V t = V t 80 m...........(5)

B A A A

B A B A A

A A B A B

A A B B

BA

A B

A

A

(1) en (5)V t -5s = V t -80 mV t - V 5s = V t -80 mV t - V t = 80 m- V 5st V - V = 80 m- V 5s

80 m- V 5st =

V - V80 m- 2 m/ s5s

t =3m/ s-3m/ s

t = 70s

A A A

A

A

r = V tr = 3m/ s70sr = 210m



b)

Despus de encontrarse

A Br = r + 80 m...........(1) A Bt = t ...................(2)

A A B B

(3) y (4) en (1)V t = V t + 80 m...........(5)

0102030405060708090

100110120130140150160170180190200210220230240250260

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Grfico

Mvil A Mvil B

A A A

B B B

rV =t

r V t ...............(3)r V t ...............(4)



A A B A

A A B A

AA B

A

A

(2) en (5)V t = V t +80mV t - V t = 80m

80mt =

V - V80m

t =3m/ s- 2m/ s

t = 80s

Desde que el mvil partit = 70s+80

desde As

t = 150s

10. Dos autos A y B parten simultneamente, A con una velocidad de 53 i km/ h

y B con

una velocidad de 32 i km/ h

, si los autos se encuentran al cabo de 2,4 horas;determinar:a) La distancia que los separaba inicialmenteb) El tiempo en que A llega al punto donde parti Bc) El tiempo que demorara B en llegar al punto de partida A, suponiendo que en el

instante en que encuentran B invierte el sentido

SOLUCIN:a)

A Bx = r r ..................(1) A A A

B B B

rV =t

r V t ...............(2)r V t ...............(3)

A A B B

(2) y (3) en (1)x = V t - V tx = 53km/ h2,4h-32km/ h2,4hx = 50,4km

b)

rt =

V50, 4 km

t =53km/ h

t = 0,95h



c)

Desde el punto de encuentro

A

B

rt =

V53km/ h 2, 4 h

t =32 km/ h

t = 3,98h

11. Dos automviles viajan en la misma ruta rectilnea y estn a 134km de distancia, si elms rpido viaja a 63 km/ h ; determinar:a) La rapidez del ms lento, si los dos viajan en el mismo sentido y se encuentran al

cabo de 3 horasb) Dnde y cundo se encuentran si los dos viajan en sentido contrario y con la rapidez

dada para el ms rpido y la obtenida en el punto anterior para el otro

SOLUCIN:a)

Desplazamiento del ms rpido Desplazamiento del ms lento

A A

A

A

r = V tr = 63km/ h3hr = 189km

B A

B

B

r = r -134 kmr = 189 km-134 kmr = 55km

BB

B

B

rV =t

55kmV =3h

V = 18,33km/ h

b)

A Br + r 134 km...............(1) 1 2t = t ...............(2)



A A 1

B B 2

r = V t .............(3)r = V t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)V t V t 134 km........(5)

A 1 B 1

1 A B

1A B

1

1

(2) en (5)V t + V t = 134kmt V + V = 134km

134kmt =

V + V134km

t =63km/ h+18,33km/ h

t = 1,65h

12. Dos puntos A y B estn en la misma horizontal, desde A parte hacia B un mvil conuna rapidez constante de 2 m/ s y 5 minutos despus parte desde B hacia A otro mvil a10 km/ h , si A y B distan 3km; determinar:a) Analticamente, dnde y cundo se encuentranb) Grficamente, dnde y cundo se encuentran

SOLUCIN:Datos:

AV = 2 m/ s

BV = 10 km/ h

B-reposot = 5min

r 3km 10 km 1000 m 1h

= 2,78m/ sh 1km 3600s

5min 60s= 300s

1min

3km 1000 m 3000 m1km



a)

A Br + r 3000 m...............(1) 1 2t = t + 300s...............(2)

A A 1

B B 2

r = V t .............(3)r = V t .............(4)

A 1 B 2

(3) y (4) en (1)V t V t 3000 m........(5)

A 2 B 1

A 2 A B 1

1 A B A

A1

A B

1

1

(2) en (5)V t + 300s + V t = 3000 mV t V 300s+ V t = 3000 mt V + V = 3000 m V 300s

3000 m V 300st =

V + V3000 m- 2 m/ s300s

t =2 m/ s+ 2,78m/ s

t = 502,1s

1

1

t = 502,1s+ 300st = 802,1s

A

A

r = 2m/ s802,1sr = 1604,2m

B

B

r = 3000m-1604,2mr = 1395,8m



b)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600

Grfico

Mvil A Mvil B

Solucionario Fsica Vectorial 1Movimiento Rectilneo Uniformemente Variado


EJERCICIO N81. Una partcula se mueve con MRUV retardado y aceleracin 215m/ s ; N15 E .Si a t=0,

la partcula se encuentra en la posicin -2, 3 m y su rapidez es de 8 m/ s . Para unintervalo entre 0 y 8s; determinar:a) El desplazamiento realizadob) La velocidad media

SOLUCIN:a)

215m/ s ; N15 E2

x

2x

a = 15m/ s cos75a = 3,88m/ s

2y

2y

a = 15m/ s sen 75

a = 14,49m/ s 2a = 3,88 i 14,49 j m/ s

0r = -2 i+ 3 j m Para que sea retardado

0a V= -

0

a 2 2

a V

3,88 i 14,49 j=

3,88 14,49

= 0,26 i 0,97 j -0,26 i- 0,97 j

0

0

V = 8m/ s -0, 26 i- 0,97 jV = -2,08 i- 7,76 j m/ s

20

22

1r V t a t

21

r -2,08 i- 7,76 j m/ s 8s 3,88 i 14,49 j m/ s 8s2

r 107,52 i 401,6 j m

b)



m

m

m

rV =t

107,52 i 401,6 j mV =

8sV = 13,44 i 50,2 j m/ s

2. El grafico Vx- t , representa el movimiento de dos partculas A y B que parten de dospartculas A y B que parten de una misma posicin inicial y sobre la misma trayectoriarectilnea.

Determinar:

a) El tipo de movimiento de cada partcula en cada intervalob) La distancia que recorre cada partcula de 0(s) hasta 12(s)c) La distancia que existe entre las dos partculas a los 4(s), 8(s) y 12 (s)d) Dnde y cundo se encontrarn grfica y analticamentee) Los grficos

xr - t y xa - t de cada partculaSOLUCIN:

a)

Partcula A Partcula B

0-4s 4-8s 8-16MRUVA MRU MRUVR

b)

0-8SMRUVA



Partcula A:

Intervalo de 0 a 4s Intervalo de 4 a 8s

Va =

t30m/ s

a =4s

a = 7,5m/ s

0r V t

2

22

1a t

21

r 7,5m/ s 4s2

r 60 m

r = V tr = 30m/ s4sr = 120m

Intervalo de 8 a 12s

Va =

t-30 m/ s

a =4s

a = -7,5m/ s

2

0

22

1r = V t a t

21

r = 30 m/ s 4s+ 7,5m/ s 4s2

r = 180 m

r = 60 m+120 m+180 mr = 360 m

Partcula B

Intervalo de 0 a 12s

Va =

t30m/ s

a =4s

a = 7,5m/ s

2

0

22

1r V t a t

21

r -30 m/ s12 7,5m/ s 12s2

r 180 m

c)

Desplazamiento de la partcula B de 0 a 4 s

2

0

22

1r V t a t

21

r -30 m/ s 4s 7,5m/ s 4s2

r -60 m

A/BA/B

r = 60m- -60m

r = 120m

Desplazamiento de la partcula B de 0 a 8s Desplazamiento de la partcula A de 0 a 8s



2

0

22

1r V t a t

21

r -30 m/ s8s 7,5m/ s 0s2

r 0 m

A/B

r = 60m+120mr = 180mr = 180m

Distancia de A a B a 12s

A/B

A/B

r = 240 m-180 m

r = 60 m

d)

Tomando la distancia que los separa a los 12s que es 60m

-80-60-40-200

20406080

100120140160180200220240260280300320340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Grfico r(x)-t Partcula A y B



A B

0A

r = r + r

60 m = V t

2 2

0B

2 2

2 2

2

1 2

1 1+ at + V t+ at

2 260 m = 7,5m/ s t + 60 m/ s t7,5m/ s t + 60 m/ s t- 60 m = 0

-60 60 + 47,560t =

27,5t = 0,898s t = -8,898

221r = 240m- 7,5m/ s 0,8982

r = 236,98m

e)

020406080

100120140160180200220240260

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Grfico r(x)-t Partcula A



-80-60-40-200

20406080

100120140160180200220240260280300320340

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Grfico r(x)-t Partcula B

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Grfico a-t Partcula A



3. Un mvil se desplaza a lo largo del eje X con una aceleracin constante. Si su posicinpara t=0 es 30 i m

y se mueve en direccin X negativa con una rapidez de 15 m/ s que

est disminuyendo a razn de 1,5 m/ s cada s; determinar:a) La aceleracinb) El grfico velocidad contra tiempoc) El grfico posicin contra tiempod) El tiempo que tarda la partcula en recorrer los primeros 75m

SOLUCIN:a)

2a = 1,5 i m/ s

b)

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Grfico a-t Partcula B



c)

-16-14-12-10-8-6-4-2024

0 2 4 6 8 10 12 14

Grfico V(x)-t

-50-45-40-35-30-25-20-15-10-505

101520253035

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Grfico r(x)-t

Series1



d)

20

2 2

2 2

2

1r = V t- a t

2175m = 15m/ s t- 1,5m/ s t2

0,75m/ s t -15m/ s t- 75m = 0

15 15 - 40,7575t =

20,75t = 10s

4. El mvil A parte al encuentro con B, con una rapidez inicial de 10 m/ s y acelerando a23 m/ s en lnea recta; cinco se

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Solucionario Vallejo Zambrano Tomo I