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Solucionario: Lectura 7.Ecuaciones lineales y racionales
Camilo Andres Ramrez SanchezPolitecnico [email protected]
Modalidad Virtual
Bogota. 2013
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Indice
Indice
Introduccion
Estimado estudiante.
El presente documento se ha realizado con el proposito de que sea un apoyo en el proceso de formacion del modulo.
Aqu encontraras las soluciones y los procedimientos de los ejercicios y problemas de la lectura siete, ten en cuenta que loaqu planteado y desarrollado no es la la unica manera en que se puede abordar un problema por lo tanto puedes llegar a lamisma respuesta justificandola de manera diferente.
En el desarrollo de estos ejercicios se ha optado por ser lo mas minucioso posible, es decir, en algunos ejercicios encontraraspaso a paso el procedimiento junto con la justificacion.
Es recomendable que antes de ver las soluciones y procedimientos de algun ejercicio aqu planteado lo intentes desarrollarcon el proposito de que primero te enfrentes a este, lo pienses y resuelvas y luego verifiques la respuesta y en caso de quehayas cometido algun error puedas identificarlo y corregirlo.
1
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
1. Ejercicio 12
1. Encontrar el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones.
a. 9x2 16 = (3x 4)2Desarrollo:
9x2 16 = (3x 4)29x2 16 = 9x2 24x + 16 Propiedad: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
9x2 9x2 + 24x = 16 + 16 Suma de opuestos aditivos de 9x2, 24x, 1624x = 32 Operando terminos semejantes
x =32
24Multiplicacion de inverso multiplicativo de 24
x =4
3Simplicando fraccionarios
x =4
3
X
b.2x + 2
4 2x 3
7=x
3Desarrollo:
2x + 2
4 2x 3
7=
x
3
7(2x + 2) 4(2x 3)(4)(7)
=x
3Suma de fracciones
14x + 14 8x + 1228
=x
3Propiedad distributiva
6x + 26
28=
x
3Operando terminos semejantes
3(6x + 26) = 28(x) Propiedad equivalencia entre fracciones18x + 78 = 28x Propiedad distributiva
18x 28x = 78 Suma de opuestos aditivos de 28x,7810x = 78 Operando terminos semejantes
x =7810 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 10
x =39
5Simplicando fraccionarios
x =39
5
X
c. 4x 11000
=1
3x
2
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
Desarrollo:
4x 11000
=1
3x
(4x)(1000) 11000
=1
3x Suma de fracciones
4000x 11000
=1
3x Propiedad distributiva
(3)(4000x 1) = (1000)(x) Propiedad equivalencia entre fracciones12000x 3 = 1000x Propiedad distributiva
12000x = 1000x + 3 Suma de opuestos aditivos de 312000x 1000x = 3 Suma de opuestos aditivos de 1000x
11000x = 3 Operando terminos semejantes
x =3
11000Multiplicacion de inverso multiplicativo de 11000x
x =3
11000
X
d. 8 3x
= 2 +5
xDesarrollo:
8 3x
= 2 +5
xx 6= 0
8x 3x
=2x + 5
xSuma de fracciones
8x 3 = 2x + 5 Simplicando fraccionarios, x 6= 08x 2x = 5 + 3 Suma de opuestos aditivos de 2x,3
6x = 8 Operando terminos semejantes
x =8
6Multiplicacion de inverso multiplicativo de 6
x =4
3Simplicando fraccionarios
x =4
3
X
e.x + 4
4=x
2+ 5
Desarrollo:x + 4
4=
x
2+ 5
x + 4
4=
x + 10
2Suma de fracciones
x + 4
2= x + 10 Simplicando fraccionarios
3
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
x + 4 = (x + 10)(2) Propiedad equivalencia entre fraccionesx + 4 = 2x + 20 Propiedad distributivax 2x = 20 4 Suma de opuestos aditivos de 2x, 4x = 16 Operando terminos semejantesx = 16 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 1x = 16
X
f.3x 7
4 2 = x
8Desarrollo:
3x 74 2 = x
8
3x 7 (2)(4)4
=x
8Suma de fracciones
3x 7 84
=x
8Propiedad distributiva
3x 154
=x
8Operando terminos semejantes
3x 15 = x2
Simplicando fraccionarios
2(3x 15) = x Propiedad equivalencia entre fracciones6x 30 = x Operando terminos semejantes6x x = 30 Suma de opuestos aditivos de x,30
5x = 30 Operando terminos semejantes
x =30
5Multiplicacion de inverso multiplicativo de 5
x = 6 Simplicando fraccionariosx = 6
X
g.2
7(1 2x) 1 = 4
7(2x 1)
Desarrollo:2
7(1 2x) 1 = 4
7(2x 1)
2(1 2x)7
1 = 4(2x 1)7
2 4x7 1 = 8x 4
7Propiedad distributiva
2 4x (1)(7)7
=8x 4
7Suma de fracciones
4
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
2 4x 77
=8x 4
7Propiedad distributiva
4x 57
=8x 4
7Operando terminos semejantes
4x 5 = 8x 4 Simplicando fraccionarios4x 8x = 4 + 5 Suma de opuestos aditivos de 8x,512x = 1 Operando terminos semejantes
x = 112
Multiplicacion de inverso multiplicativo de 12
x = 112
X
h.6x + 1
4x 1 =3x + 1
2x 3Desarrollo:
6x + 1
4x 1 =3x + 1
2x 3 x 6=1
4, x 6= 3
2
(6x + 1)(2x 3) = (3x + 1)(4x 1) Propiedad equivalencia entre fracciones,x 6= 1
4, x 6= 3
212x2 18x + 2x 3 = 12x2 3x + 4x 1 Propiedad distributiva
12x2 16x 3 = 12x2 + x 1 Operando terminos semejantes12x2 16x 12x2 x = 1 + 3 Suma de opuestos aditivos de 12x2, x,3
17x = 2 Operando terminos semejantesx = 2
17Multiplicacion de inverso multiplicativo de 17
x = 217
X
i. (0.05)(x + 10) 0.02x = 3.2Desarrollo:
(0.05)(x + 10) 0.02x = 3.2((0.05)(x + 10) 0.02x)(100) = (3.2)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales
los decimales de la ecuacion(5)(x + 10) 2x = 320 Propiedad distributiva
5x + 50 2x = 320 Propiedad distributiva3x + 50 = 320 Operando terminos semejantes
3x = 320 50 Suma del opuesto aditivos de 503x = 270 Operando terminos semejantes
x =270
3Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 90 Simplicando fraccionariosx = 90
X
5
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
j.5x
x 7 =35
x 7Desarrollo:
5x
x 7 =35
x 7 x 6= 7
5x = 35 Simplicando fraccionarios, x 6= 7x =
35
5Multiplicacion de inverso multiplicativo de 5
x = 7 Simplicando fraccionariosx 6= 7 No hay solucion de la ecuacion
X
k. 1 +3
4
(1
3x 2
)=52
Desarrollo:
1 +3
4
(1
3x 2
)= 5
2x 6= 0
3
4
(1
3x 2
)= 5
2 1 Suma del opuesto aditivo de 1
3
4
(1
3x 2
)=5 2
2Suma de fracciones
(3)(1)
(4)(3x) (3)(2)
4= 7
2Propiedad distributiva
1
4x 3
2= 7
2Simplicando fraccionarios
1
4x= 7
2+
3
2Suma del opuesto aditivo de 3
2
1
4x=7 + 3
2Suma de fracciones
1
4x= 4
2Operando terminos semejantes
1
4x= 2 Simplicando fraccionarios
1 = (2)(4x) Propiedad equivalencia entre fracciones, x 6= 01 = 8x Propiedad distributiva
8x = 1 Igualdadx = 1
8Multiplicacion de inverso multiplicativo de 8
x = 18
x 6= 0
X
6
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
l. 3 + 4(2x + 2) 7 = 8x 2Desarrollo:
3 + 4(2x + 2) 7 = 8x 23 + 8x + 8 7 = 8x 2 Propiedad distributiva
8x 2 = 8x 2 Operando terminos semejantes8x 8x = 2 + 2 Suma de opuestos aditivos de 8x,2
0 = 0 Operando terminos semejantesx R Infinitas soluciones, puede ser
cualquier numero Real
X
m.3
2
(x2 1
)=
3
4x
Desarrollo:3
2
(x2 1
)=
3x
4
(3)(x)
(2)(2) (3)(1)
2=
3x
4Propiedad distributiva
3x
4 3
2=
3x
4Operando terminos semejantes
3x (3)(2)4
=3x
4Suma de fracciones
3x 64
=3x
4
3x 6 = 3x Simplicando fraccionarios3x 3x = 6 Suma de opuestos aditivos de 3x,6
0 = 6 Operando terminos semejantesNo hay solucion para la ecuacion
X
n.3 1
x3
5
=
(1
2
)2Desarrollo:
3 1x
3
5
=
(1
2
)2x 6= 0
3 1x
3
5
= 22 Propiedad de la potenciacion
3x 1x3
5
= 4 Suma de fracciones
(3x 1)(5)(x)(3)
= 4 Division de fracciones
7
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
15x 53x
= 4 Propiedad distributiva
15x 5 = (4)(3x) Propiedad equivalencia entre fracciones, x 6= 015x 5 = 12x Propiedad distributiva
15x 12x = 5 Suma de opuestos aditivos de 12x,53x = 5 Operando terminos semejantesx = 53 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x =5
3x 6= 0
X
2. Plantear cada una de las siguientes situaciones.
a. El doble de m
Desarrollo:2m
X
b. La mitad de x cantidad
Desarrollo:x
2
X
c. Tres unidades menos que el cuadrado de R
Desarrollo:R2 3
X
d. La suma entre el cubo de m y el opuesto de n
Desarrollo:m3 + (n)
X
e. El promedio entre X y Z
Desarrollo:X + Z
2
X
f. 8 mas que w
Desarrollo:w + 8
X
8
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
g. La diferencia entre el recproco de 34 y el triplo de x
Desarrollo:4
3 3x
X
3. Plantear las ecuaciones que relacionan los datos y solucionar
a. En una clase de ingles hay 52 estudiantes. Si el numero de hombres es 7 mas que el doble de mujeres, determine elnumero de mujeres que hay en la clase.
Desarrollo: Ya que se pide el numero de mujeres que ha en clase, entonces se va a nombrar esta cantidaddesconocida por x, es decir que:
x: Numero de mujeres que hay en clase.
Como en total hay 52 estudiantes, entonces el numero de hombres es 52 x.Ahora, dice que el el numero de hombres es 7 mas que el doble de mujeres, de esta frase resulta la ecuacion:
52 x = 7 + 2x
El desarrollo de esta ecuacion es:
52 x = 7 + 2xx 2x = 7 52 Suma de opuestos aditivos de 2x, 523x = 45 Operando terminos semejantes
x =453 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 15 Simplicando fraccionarios
Respuesta: El numero de mujeres de la clase es 15
X
b. Un hombre hace 2 inversiones, al 48 % y al 50 % anual respectivamente. Si lo que invierte al 50 % es el doble de loque invierte al 48 % y su ingreso total anual por las dos inversiones es de US$458800 Cuanto invirtio a cada tasa?
Desarrollo: En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se van a tomar dos variables(x y y), de la siguiente manera:
x: Dinero invertido al 48 %.
y: Dinero invertido al 50 %.
El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 48 % y el dinero y al 50 %.
Con estos datos resultan dos ecuaciones:
Lo que invierte al 50 % es el doble de lo que invierte al 48 %:
y = 2x
Su ingreso total anual por las dos inversiones es de US$458800
0.48x + 0.50y = 458800
Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga unavariable. En la primera ecuacion se ha despejado la variable y y esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:
0.48x + 0.50(2x) = 458800
9
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
El desarrollo de esta ecuacion es:
0.48x + 0.50(2x) = 4588000.48x + x = 458800
(100)(0.48x + x) = (458800)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales48x + 100x = 45880000
148x = 45880000 Operando terminos semejantes
x =45880000
148Multiplicacion de inverso multiplicativo de 148
x = 3100000 Simplicando fraccionariosy = 2x Reemplazando en yy = 2(3100000)y = 6200000
Respuesta: Invirtio 3100000 a una tasa de 48 % y 6200000 a una tasa de 50 %
X
c. Los miembros de una fundacion desean invertir $2100000 en dos tipos de seguros que pagan dividendos anuales del9 % y 6 % respectivamente. Cuanto deberan invertir en cada tasa si el ingreso debe ser equivalente al que produciraal 8 % la inversion total?
Desarrollo: En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se van a tomar dos variables(x y y), de la siguiente manera:
x: Dinero invertido al 9 %.
y: Dinero invertido al 6 %.
El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 9 % y el dinero y al 6 %.
Con estos datos resultan dos ecuaciones:
Los miembros de una fundacion desean invertir $2100000:
x + y = 2100000
el ingreso debe ser equivalente al que producira al 8 % la inversion total
0.09x + 0.06y = 0.08(x + y)
Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga unavariable. En la primera ecuacion se despejando la variable y se tiene:
y = 2100000 xy esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:
0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(x + 2100000 x)El desarrollo de esta ecuacion es:
0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(x + 2100000 x)0.09x + 0.06(2100000 x) = 0.08(2100000)
(100)(0.09x + 0.06(2100000 x)) = (0.08(2100000))(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales9x + 6(2100000 x) = 8(2100000)9x + 12600000 6x = 16800000 Propiedad distributiva
3x = 16800000 12600000 Suma de opuesto aditivo de 126000003x = 4200000 Operando terminos
x =4200000
3Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 1400000 Simplicando fraccionariosy = 2100000 x Reemplazando en yy = 2100000 1400000y = 700000
10
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
Respuesta: Se debera invertir 1400000 a una tasa de 9 % y 700000 a una tasa de 6 %
X
d. En una entrevista para un empleo, una persona puede elegir entre dos planes salariales. El plan A le proporcionaun salario semanal de US$200 mas una comision del 3 % sobre sus ventas; el plan B le ofrece un salario semanal deUS$100 mas una comision del 8 % sobre sus ventas, Para que valor de ventas se recibira el mismo salario semanal?
Desarrollo: En este problema se pide el valor de ventas, por lo tanto se van a toma una variable (x), de lasiguiente manera:
x: Valor de las ventas.
Ahora, dice que El plan A le proporciona un salario semanal de US$200 mas una comision del 3 % sobre sus ventas;el plan B le ofrece un salario semanal de US$100 mas una comision del 8 % sobre sus ventas. Ya que se quiere tenerel valor de las ventas para que en ambos planes se tenga el mismo salario, queda la ecuacion:
200 + 0.03x = 100 + 0.08x
El desarrollo de esta ecuacion es:
200 + 0.03x = 100 + 0.08x(100)(200 + 0.03x) = (100 + 0.08x)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales
20000 + 3x = 10000 + 8x3x 8x = 10000 20000 Suma de opuestos aditivos de 8x, 200005x = 10000 Operando terminos
x =100005 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 20000 Simplicando fraccionarios
Respuesta: El valor de las ventas que recibe el mismo salario en los dos planes es de US$20000
X
4. En cada una de las siguientes ecuaciones despejar w
a. wa + wb = c
Desarrollo:
wa + wb = cw(a + b) = c Factorizando
w =c
a + bMultiplicacion de inverso multiplicativo de (a + b)
a + b 6= 0w =
c
a + b
X
b. n(bw nw) = w + aDesarrollo:
n(bw nw) = w + anbw n2w = w + a Propiedad distributiva
nbw n2w w = a Suma de opuestos aditivos de ww(nb n2 1) = a Factorizando
w =a
nb n2 1 Multiplicacion de inverso multiplicativo de (nb n2 1)
nb n2 1 6= 0w =
a
nb n2 1
11
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
X
c. p = 2b + 2w
Desarrollo:p = 2b + 2w
2b + 2w = p2w = p 2b Suma de opuesto aditivo de 2bw =
p 2b2
Multiplicacion de inverso multiplicativo de 2
w =p 2b
2
X
d. wa + bw = c
Desarrollo:
wa + bw = cw(a + b) = c Factorizando
w =c
a + bMultiplicacion de inverso multiplicativo de (a + b)
a + b 6= 0w =
c
a + b
X
e.r
aw bw = dDesarrollo:
r
aw bw = d aw bw 6= 0
r = (aw bw)d Propiedad equivalencia entre fraccionesd(aw bw) = r Propiedad igualdadwd(a b) = r Factorizando
w =r
d(a b) Multiplicacion de inverso multiplicativo de d(a b)d 6= 0, a b 6= 0
w =r
d(a b)X
f. b(w a) = c3Desarrollo:
b(w a) = c3bw ba = c3 Propiedad distributiva
bw = c3 + ba Suma de opuesto aditivo de baw =
c3 + ba
bMultiplicacion de inverso multiplicativo de b
b 6= 0w =
c3 + ba
b
X
12
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
g.xw
a=w
bDesarrollo:
xw
a=
w
ba 6= 0, b 6= 0
(xw)(b) = (w)(a)d Propiedad equivalencia entre fraccionesbwx = adw
bwx adw = 0 Suma de opuesto aditivo de adww(bx ad) = 0 Factorizando
w =0
bx ad Multiplicacion de inverso multiplicativo de (bx ad)bx ad 6= 0
w = 0
X
h.w brw + a
= d
Desarrollo:
w brw + a
= d w + a 6= 0
w br = (w + a)d Propiedad equivalencia entre fraccionesw br = dw + ad Propiedad distributivaw dw = ad + br Suma de opuestos aditivos de dw,brw(1 d) = ad + br Factorizando
w =ad + br
1 d Multiplicacion de inverso multiplicativo de (1 d)d 6= 1
w =ad + br
1 dX
5. En cada una de las ecuaciones despejar b
a. wa + wb = c
Desarrollo:wa + wb = c
wb = c wa Suma de opuesto aditivo de wab =
c waw
Multiplicacion de inverso multiplicativo de w
w 6= 0b =
c waw
X
b. n(bw nw) = w + aDesarrollo:
n(bw nw) = w + abnw n2w = w + a Propiedad distributiva
bnw = w + a + n2w Suma de opuesto aditivo de n2wb =
w + a + n2w
nwMultiplicacion de inverso multiplicativo de nw
n 6= 0, w 6= 0b =
w + a + n2w
nw
13
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
X
c. p = 2b + 2w
Desarrollo:p = 2b + 2w
2b + 2w = p2b = p 2w Suma de opuesto aditivo de 2wb =
p 2w2
Multiplicacion de inverso multiplicativo de 2
b =p 2w
2
X
d. wa + bw = c
Desarrollo:wa + bw = c
bw = c wa Suma de opuesto aditivo de wab =
c waw
Multiplicacion de inverso multiplicativo de w
w 6= 0b =
c waw
X
e.r
aw bw = dDesarrollo:
r
aw bw = d aw bw 6= 0
r = (d)(aw bw) Propiedad equivalencia entre fraccionesr = adw bdw Propiedad distributiva
bdw = adw r Suma de opuestos aditivos de bdw, rb =
adw rdw
Multiplicacion de inverso multiplicativo de dw
d 6= 0, w 6= 0b =
adw rdw
X
f. b(w a) = c3Desarrollo:
b(w a) = c3
b =c3
w a Multiplicacion de inverso multiplicativo de w aw a 6= 0
b =c3
w aX
14
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
g.xw
a=w
bDesarrollo:
xw
a=
w
ba 6= 0, b 6= 0
bwx = aw Propiedad equivalencia entre fracciones
b =aw
wxMultiplicacion de inverso multiplicativo de wx
w 6= 0, x 6= 0b =
a
xSimplicando fraccionarios
b =a
xX
h.w brw + a
= d
Desarrollo:
w brw + a
= d w + a 6= 0
w br = (d)(w + a) Propiedad equivalencia entre fraccionesw br = dw + ad Propiedad distributivabr = dw + ad w Suma de opuesto aditivo de wbr = (dw + ad w) Multiplicacion de inverso multiplicativo de 1b = dw + ad w
rMultiplicacion de inverso multiplicativo de r
r 6= 0b = dw + ad w
r
X
6. Definir las variables, plantear y solucionar cada uno de los siguientes problemas.
a. Una persona compra tres artculos A, B y C por un total de $105. Si el precio del artculo A equivale a las dosterceras partes del precio del artculo B y, el precio del artculo B es el 10 % del precio del artculo C. Cual es elprecio de cada artculo?
Desarrollo: En este problema se pide el precio de cada artculo por lo tanto se escogeran las variables de lasiguiente manera:x: Valor del artculo A.y: Valor del artculo B.z: Valor del artculo C.
Por lo tanto resultan las ecuaciones
Una persona compra tres artculos A, B y C por un total de $105
x + y + z = 105
Si el precio del artculo A equivale a las dos terceras partes del precio del artculo B
x =2
3y
el precio del artculo B es el 10 % del precio del artculo C
y =1
10z
15
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
y se puede reemplazar la tercera ecuacion en la segunda:
x =2
3
(1
10z
)simplificando fracciones se obtiene
x =1
15z
y reemplazando x y y en la primera ecuacion (de tal manera que solo quede una variable) se obtiene:
1
15z +
1
10z + z = 105
El desarrollo de esta ecuacion es:
1
15z +
1
10z + z = 105
2z + 3z + 30z
30= 105
35z
30= 105 Operando terminos semejantes
7z
6= 105 Simplicando fraccionarios
z =(6)(105)
7Multiplicacion de inverso multiplicativo de
6
7
z =(6)(15)
1Simplicando fraccionarios
z = 90
y =
(1
10
)(90)
y = 9
x =
(2
3
)(9)
x = 6
Respuesta: El artculo A cuesta 6, el B cuesta 9 y el C cuesta 90.
X
b. El presupuesto destinado para el funcionamiento de una compana en el mes de marzo, esta distribuido de la siguientemanera: el 50 % para el pago de nomina de empleados y servicio de energa; 112 de dicho presupuesto para el pagode servicio de publicidad, US$80 para el pago de impuestos y nueve veces lo correspondiente al pago de impuestoslo invierte en la compra de un nuevo equipo de oficina. El resto, lo invierte en un bono. Cual es el presupuesto dela compana en el mes de marzo, si el bono corresponde a las 175 partes de lo destinado al pago de publicidad?
Desarrollo: En este problema se pide el presupuesto de la compana por lo tanto se escogera la variable de lasiguiente manera:x: Presupuesto de la compana.
Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones
el 50 % para el pago de nomina de empleados y servicio de energa
0.50x =1
2x
16
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Ejercicio 12
1
12de dicho presupuesto para el pago de servicio de publicidad
1
12x
US$80 para el pago de impuestos y nueve veces lo correspondiente al pago de impuestos lo invierte en la comprade un nuevo equipo de oficina
80 en impuestos y 720 en compra de equipo
La ultima parte: El resto, lo invierte en un bono reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:
Presupuesto = (Nomina y servicios de energa) + (Servicio de publicidad) + (Impuestos) + (Compra de equipo) +(Bono)
Ya que el bono corresponde a las17
5partes de lo destinado al pago de publicidad, entonces:
Presupuesto = (Nomina y servicios de energa) + (Servicio de publicidad) + (Impuestos) + (Compra de equipo)
+17
5(Servicio de publicidad)
La ecuacion que relaciona cada parte del presupuesto es:
x =1
2x +
1
12x + 80 + 720 +
17
5
(1
12x
)El desarrollo de esta ecuacion es:
x =1
2x +
1
12x + 80 + 720 +
17
5
(1
12x
)
x =1
2x +
1
12x + 80 + 720 +
17
60x
x =30x + 5x + 17x
60+ 800
x =52x
60+ 800 Operando terminos semejantes
x 5260x = 800 Suma de opuesto aditivo de
52x
60
8
60x = 800 Operando terminos semejantes
x =(60)(800)
8Multiplicacion de inverso multiplicativo de
60
8
x =(60)(100)
1
x = 6000 Simplicando fraccionariosx = 6000
Respuesta: El presupuesto de la compana en el mes de marzo fue de 6000
X
17
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
2. Taller 6
Definir las variables, plantear el problema y resolverlo:
1. Un estudiante hizo un prestamo por US$1800 para su matrcula. Si pago un interes del 15 %. El pago total debe hacerloen tres cuotas mensuales de diferente valor, as: La primera cuota excede en US$230 al 40 % de la segunda cuota; eldoble de la segunda cuota excede al total en US$230. Cuanto hay que pagar en cada cuota?
Desarrollo: En este problema se pide cuanto hay que pagar en cada cuota del prestamo por lo tanto se escogeranlas variables de la siguiente manera:x: Monto a pagar en la primera cuota.y: Monto a pagar en la segunda cuota.z: Monto a pagar en la tercera cuota.
Como se cobro un interes del 15 % del prestamo de US$1800 entonces se debe pagar:
1800 + 1800(0.15) = 2070
Con la informacion del problema se plantean las siguientes ecuaciones
La primera cuota excede en US$230 al 40 % de la segunda cuota
x = 230 + 0.4y
El doble de la segunda cuota excede al total en US$230
2y = 2070 + 230
De la ultima ecuacion se puede saber el monto de la segunda cuota, el cual es:
y = 1150
Reemplazando en la primera ecuacionx = 230 + 0.4(1150)x = 690
Ya se sabe el monto de las dos primeras cuotas y tambien el total a pagar, por lo tanto la tercera cuota se puedeencontrar mediante despejando la ecuacion:
690 + 1150 + z = 20701840 + z = 2070
z = 2070 1840z = 230
Respuesta: Las cuotas del pago del prestamo fueron de US$690 la primera, US$1150 la segunda yUS$230 la tercera
X
2. Una compana invierte una cantidad de dinero al 35 % y el doble de esta cantidad al 38 %. Si la ganancia que obtieneen total por las dos inversiones es de US$249750. Cuanto invierte en cada porcentaje?
Desarrollo: En este problema se pide el dinero invertido en cada porcentaje, por lo tanto se escogeran las variablesde la siguiente manera:x: Dinero invertido al 35 %.2x: Dinero invertido al 38 %.
18
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 35 % y el dinero 2x al 38 %) esUS$249750.
Con estos datos resulta la ecuacion:0.35x + 0.38(2x) = 249750
El desarrollo de esta ecuacion es:
0.35x + 0.38(2x) = 249750(100)(0.35x + 0.38(2x)) = (249750)(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales
35x + 38(2x) = 24975000111x = 24975000 Operando terminos semejantes
x =24975000
111Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 225000 Simplicando fraccionarios2x = 450000 La segunda inversion
Respuesta: Invierte 225000 al 35 % y 450000 al 38 %
X
3. Tres cuentas de ahorros estan en la siguiente situacion: la primera tiene saldo inferior en US$50 a la tercera. El dobledel saldo de la segunda cuenta es superior en US$20 al saldo de la primera cuenta. Si los tres saldos suman US$240Cuanto dinero hay en cada cuenta?
Desarrollo: En este problema se pide el dinero hay en cada cuenta, por lo tanto se escogeran las variables de lasiguiente manera:x: Dinero de la primera cuenta.y: Dinero de la segunda cuenta.z: Dinero de la tercera cuenta.
Por lo tanto resultan las ecuaciones
la primera tiene saldo inferior en US$50 a la tercera
x = z 50
El doble del saldo de la segunda cuenta es superior en US$20 al saldo de la primera cuenta
2y = x + 20
los tres saldos suman US$240x + y + z = 240
En la primera ecuacion se puede despejar z quedando:
z = x + 50
y en la segunda ecuacion se puede despejar y quedando:
y =x
2+ 10
Con estas dos ecuaciones se reemplaza en x + y + z = 240 para que quede solo una variable:
x +(x
2+ 10
)+ (x + 50) = 240
19
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
El desarrollo de esta ecuacion es:
x +(x
2+ 10
)+ (x + 50) = 240
x +x
2+ 10 + x + 50 = 240
5
2x + 60 = 240 Operando terminos semejantes
5
2x = 240 60 Suma de opuestos aditivos de 60
5
2x = 180 Operando terminos semejantes
x =(2)(180)
5Multiplicacion de inverso multiplicativo de
5
2
x =(2)(36)
1Simplicando fraccionarios
x = 72
y =x
2+ 10
y =72
2+ 10
y = 36 + 10y = 46z = x + 50z = 72 + 50z = 112
Respuesta: La primer cuenta tiene US$72, la segunda US$46 y la tercera US$122
X
4. Una persona invierte US$3000. Una parte la invierte al 50 % y la otra al 68 % de interes anual. Si desea obtener unrendimiento anual equivalente al 65 % de lo que invierte inicialmente, Cual es la cantidad de dinero que debe invertira la tasa del 68 %?
Desarrollo: En este problema se pide el dinero invertido en cada tasa, por lo tanto se escogeran las variables dela siguiente manera:x: Dinero invertido al 50 %. y: Dinero invertido al 68 %.
El ingreso es el dinero que se gana de las dos inversiones (Invertir el dinero x al 50 % y el dinero y al 68 %.
Con estos datos resultan dos ecuaciones:
Una persona invierte US$3000:x + y = 3000
desea obtener un rendimiento anual equivalente al 65 % de lo que invierte inicialmente
0.50x + 0.68y = 0.65(3000)
Ya que ambas ecuaciones tienen dos incognitas se pueden unir para obtener una ecuacion que solo tenga una variable.En la primera ecuacion se despejando la variable y se tiene:
y = 3000 x
20
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
y esta se reemplaza en la segunda ecuacion, quedando:
0.50x + 0.68(3000 x) = 0.65(3000)El desarrollo de esta ecuacion es:
0.50x + 0.68(3000 x) = 0.65(3000)(100)(0.50x + 0.68(3000 x)) = (0.65(3000))(100) Multiplicacion por 100 para quitar los decimales
50x + 68(3000 x) = 65(3000)50x + 204000 68x = 195000 Propiedad distributiva
50x 68x = 195000 204000 Suma de opuesto aditivo de 20400018x = 9000 Operando terminos semejantes
x =900018 Multiplicacion de inverso multiplicativo de 18
x = 500 Simplicando fraccionariosy = 3000 x Reemplazando en yy = 3000 500y = 2500
Respuesta: Se debera invertir 2500 a una tasa de 68 %
X
5. La quinta parte del costo de un artculo se cancelo de contado, de la parte restante se pago el 25 % con tarjeta de creditoy de este nuevo saldo los 23 con un cheque a 30 das, si aun se adeudan US$200. Cual es el porcentaje del cheque conrespecto al costo total del artculo?
Desarrollo: En este problema se pide el el porcentaje del cheque con respecto al costo total del artculo por lotanto se escogera la variable de la siguiente manera:x: Costo total del artculo.
Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones
La quinta parte del costo de un artculo se cancelo de contado
1
5x
de la parte restante se pago el 25 % con tarjeta de credito. La parte restante es:
x 15x =
4
5x
Entonces se pago el 25 % de4
5x con tarjeta de credito:
(0.25)4
5x =
(1
4
)4
5x =
1
5x
de este nuevo saldo los 23 con un cheque a 30 das. El nuevo saldo es:
4
5x 1
5x =
3
5x
Entonces se pago el2
3de
3
5x con un cheque a 30 das:(
2
3
)3
5x =
2
5x
21
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
Respuesta: Por lo tanto, el cheque corresponde a los2
5del costo del artculo, es decir al 40 % de este.
X
6. El Senor Perez recibio su sueldo y lo invirtio as: el 30 % en arriendo, los 25 en el estudio de sus hijos, el 25 % enalimentacion y ahorro US$55. Cual fue el sueldo del Senor Perez?
Desarrollo: En este problema se pide el sueldo del senor Perez por lo tanto se escogera la variable de la siguientemanera:x: Sueldo del senor Perez.
Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones
el 30 % en arriendo
0.30x =3
10x
los 25 en el estudio de sus hijos2
5x
el 25 % en alimentacion
0.25x =1
4x
La ultima parte: y ahorro US$55 reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:
Sueldo = (Arriendo) + (Estudio de sus hijos) + (Alimentacion) + (Ahorro)
La ecuacion que relaciona cada parte del presupuesto es:
x =3
10x +
2
5x +
1
4x + 55
El desarrollo de esta ecuacion es:
x =3
10x +
2
5x +
1
4x + 55
x =6x + 8x + 5x
20+ 55
x =19x
20+ 55 Operando terminos semejantes
x 1920x = 55 Suma de opuesto aditivo de
19
20x
1
20x = 55 Operando terminos semejantes
x =(20)(55)
1Multiplicacion de inverso multiplicativo de
1
20
x = 1100 Simplicando fraccionarios
Respuesta: El sueldo del senor Perez es de US$1100
X
22
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
7. Un comerciante tomo un prestamo por US$600, pero debe pagar esa cantidad aumentada en 25 %. El pago debe hacerloen tres cuotas quincenales teniendo en cuenta que: El 50 % de la tercera cuota es inferior en US$60 a la segunda cuota,el 200 % de la primera cuota excede en US$20 al saldo de la tercera cuota. Cuanto debe pagar el comerciante en cadacuota?
Desarrollo: En este problema se pide cuanto debe pagar el comerciante en cada cuota por lo tanto se escogeranlas variables de la siguiente manera:x: Monto a pagar en la primera cuota.y: Monto a pagar en la segunda cuota.z: Monto a pagar en la tercera cuota.
Como se cobro un interes del 25 % del prestamo de US$600 entonces se debe pagar:
600 + 600(0.25) = 750
Con la informacion del problema se plantean las siguientes ecuaciones
El 50 % de la tercera cuota es inferior en US$60 a la segunda cuota
0.5z = y 60
200 % de la primera cuota excede en US$20 al saldo de la tercera cuota
2x = 20 + z
De la primera ecuacion se puede despejar y quedando que y =1
2z + 60.
Y de la segunda ecuacion se puede despejar x quedando que x = 10 +1
2z.
Ademas se sabe que la suma de las tres cuotas debe dar el total (con el interes) es x + y + z = 750.
Por lo tanto la tercera cuota se puede encontrar reemplazando x y y en la ecuacion y despejando:
x + y + z = 750
(10 +1
2z) + (
1
2z + 60) + z = 750
10 +1
2z +
1
2z + 60 + z = 750
2z + 70 = 720 Operando terminos semejantes2z = 750 70 Suma de opuestos aditivos de 702z = 680 Operando terminos semejantes
z =680
2Multiplicacion de inverso multiplicativo de 2
z = 340 Simplicando fraccionarios
x = 10 +1
2z
x = 10 +1
2(340)
x = 180
y =1
2z + 60
y =1
2(340) + 60
y = 230
23
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
Respuesta: Las cuotas del pago del prestamo fueron de US$180 la primera, US$230 la segunda yUS$340 la tercera
X
8. Si las 35 partes del precio de un artculo se cancelan de contado, de la parte restante se paga el 40 % con cheque a 30das y aun se adeuda US$240.
a. Cual es el precio del artculo?
Desarrollo: En este problema se pide el el precio del artculo por lo tanto se escogera la variable de la siguientemanera:x: el precio del artculo.
Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones
las 35 partes del precio de un artculo se cancelan de contado
3
5x
de la parte restante se paga el 40 % con cheque a 30 das. La parte restante es:
x 35x =
2
5x
Entonces se pago el 40 % de2
5x con cheque a 30 das:
(0.4)2
5x =
(2
5
)2
5x =
4
25x
La ultima parte: aun se adeuda US$240 reune todos los anteriores datos de la siguiente manera:
Precio = (Contado) + (Cheque) + (Saldo)
La ecuacion que relaciona cada parte del presupuesto es:
x =2
5x +
4
25x + 240
El desarrollo de esta ecuacion es:
x = 35x +4
25x + 240
x =19
25x + 240 Operando terminos semejantes
x 1925x = 240 Suma de opuesto aditivo de
19
25x
6
25x = 240 Operando terminos semejantes
x =(25)(240)
6Multiplicacion de inverso multiplicativo de
6
25
x = 1000 Simplicando fraccionariosx = 1000
24
Solucionario: Lectura 7. Ecuaciones lineales y racionales Taller 6
Respuesta: El precio del artculo es de US$1000
X
b. Si se hace un descuento de US$50, A que porcentaje corresponde este descuento con respecto del precio del artculo?
Desarrollo: Si el artculo vale US$1000 entonces US$100 es el 10 %, por lo tanto US$50 es el 5 %
Respuesta: US$50 corresponde al 5 % del precio del artculo
X
9. Una persona destina US$1000 para realizar dos inversiones. Si se sabe que el doble de una de las inversiones sobrepasaen US$200 a la otra inversion, Que porcentaje respecto del total corresponde a cada inversion?
Desarrollo: En este problema se pide el el porcentaje respecto del total corresponde a cada inversion por lo tantose escogera las variables de la siguiente manera:x: dinero de la primera inversion.y: dinero de la segunda inversion.
Con la informacion del problema se plantean las siguientes expresiones
destina US$1000 para realizar dos inversionesx + y = 1000
el doble de una de las inversiones sobrepasa en US$200 a la otra inversion
2x = y + 200
De la primera ecuacion se puede despejar y quedando que y = 1000 x.Por lo reemplazando y en la segunda ecuacion y despejando:
2x = (1000 x) + 2002x = 1000 x + 200
2x + x = 1000 + 200 Suma de opuestos aditivos de x3x = 1800 Operando terminos semejantes
x =1800
3Multiplicacion de inverso multiplicativo de 3
x = 600 Simplicando fraccionariosy = 1000 xy = 1000 600y = 400
600 es el 60 % de 1000 y 400 es el 40 % de 1000, por lo tanto:
Respuesta: La primera inversion corresponde al 60 % del total y la segunda al 40 % del total
X
25