EJERCICIOS1. En un tringulo rectngulo trazamos la altura que parte del ngulo recto y el tringulo queda dividido en dos tringulos, uno de los cuales tiene el triple de rea que el otro. Si la hipotenusa mide 1, cunto miden los catetos?

2. Demostrar que, al trazar las medianas de un tringulo cualquiera, ste queda dividido en seis tringulos que tienen la misma rea.

3. El baricentro del tringuloABCesGy denotamos por

4. Y

5.

6. Las longitudes de los lados de un tringulo estn en progresin aritmtica y las longitudes de sus alturas tambin estn en progresin aritmtica. Demostrar que el tringulo es equiltero.

7.

8. O

9. P

10. U

11. I

12. O

13. La suma de las edades de los 120 estudiantes que participaron el ao pasado en la fase final de la Olimpiada Matemtica fue de 2002 aos. Demuestra que podras haber elegido 3 de ellos tales que la suma de sus edades no fuera menor de 51 aos.

14. En una reunin hay 201 personas de 5 nacionalidades diferentes. Se sabe que, en cada grupo de 6, al menos dos tienen la misma edad. Demostrar que hay al menos 5 personas del mismo pas, de la misma edad y del mismo sexo.

15. Escogemosn+1nmeros distintos desde el1al2n. Demostrar que entre esos nmeros siempre hay dos que son primos entre s. Es cierto el resultado si slo tomamosnnmeros?

16.

17. Colocamos, formando una circunferencia, 2004 fichas bicolores: blancas por una cara y negras por la otra. En cualquier momento podemos elegir una ficha con la cara negra hacia arriba, y dar la vuelta a tres fichas: la elegida, la de su derecha y la de su izquierda. Supongamos que inicialmente hay una sola ficha con la cara negra hacia arriba. Ser posible, repitiendo el movimiento descrito, conseguir que todas las fichas tengan la cara blanca hacia arriba? Y si tuviramos 2003 fichas, entre las cuales exactamente una tiene al comienzo la cara negra hacia arriba?

18. En un tablero77se colocan ocho fichas. Pueden elegirse siempre dos de ellas que no estn en la misma fila ni en la misma columna ni en la misma diagonal?

19. La suma de las edades de los 120 estudiantes que participaron el ao pasado en la fase final de la Olimpiada Matemtica fue de 2002 aos. Demuestra que podras haber elegido 3 de ellos tales que la suma de sus edades no fuera menor de 51 aos.

20. P