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Soluciones a “Ejercicios y problemas”Soluciones a “Ejercicios y problemas”5
Unidad 5. Ecuaciones
PÁGINA 106
50 Dos grifos llenan un depósito en 3 horas. Si solo se abre uno de ellos, tardaría 5 horas. ¿Cuánto tardará el otro grifo en llenar el depósito?
Los dos grifos juntos, en 1 hora, llenan 13
del depósito.
Uno de los grifos llena, en 1 hora, 15
del depósito.
El otro grifo, en 1 hora, llena 1x
del depósito.
15
+ 1x
= 13
8 1x
= 215
8 x = 152
= 7,5 h
El otro grifo tarda 7 horas y media en llenar el depósito.
51 Un grifo tarda el doble que otro en llenar un depósito. Abriendo los dos a la vez, tardan 8 horas. ¿Cuánto tardará cada uno de ellos en llenarlo?
Un grifo llena, en 1 h, 1x
del depósito, y el otro grifo llena, en 1 h, 12x
del depósito.
Los dos juntos, en 1 hora, llenan 18
.
1x
+ 12x
= 18
8 32x
= 18
8 2x = 24 8 x = 12 h
Uno de los grifos tarda 12 h, y el otro, 24 horas en llenar el depósito.
52 Regalé la mitad de mis discos a mi novia y la mitad del resto a mi hermano. De los que regalé, la tercera parte eran de pop, y los otros 6, de rock. ¿Cuántos discos regalé y cuántos tenía?
Tenía x discos.
Regalé x2
8 quedan x2
8 regalo la mitad x4
En total regalé x2
+ x4
= 34
x
La tercera parte 13
· 34
x = 14
x eran de pop.
Los otros 23
· 34
x = 12
x son los 6 de rock.
12
x = 6 8 x = 12 discos son los que tenía y 34
· 12 = 9 discos son los que regalé.
Pág. 1
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Unidad 5. Ecuaciones
■ Problemas “+”
53 La cuarta parte de los clientes de un hotel están en régimen de pensión comple-ta, y el resto, en media pensión. De estos últimos, 1/3 almuerzan y el resto cenan. Los 2/3 de pensión completa y la mitad de los que cenan toman vino, y son 180. ¿Cuántos clientes hay en el hotel? ¿Cuántos cenan en él?
En el hotel hay x clientes.x4
están en pensión completa 8 23
· x4
= x6
toman vino.
34
x están en media pensión 8 23
· 34
x = x2
cenan 8 12
x2
toman vino.
x6
+ x4
= 180 8 512
x = 180 8 x = 432 clientes hay en el hotel.
Cenan en el hotel 12
· 432 = 216 clientes.
54 Ana, en su camino diario al colegio, ha comprobado que si va andando a 4 km/h, llega 5 minutos tarde, pero si se da prisa y va a 5 km/h, llega 10 minutos an-tes de la hora. ¿Cuál es la distancia al colegio? ¿Llegará puntual si hace la mitad del camino a 4 km/h y la otra mitad a 5 km/h?
a) x4
– x5
= 14
8 x20
= 14
8 x = 5 km
Si va a 4 km/h tarda 1,25 8 1 h y 15 minSi va a 5 km/h tarda 1 h
°¢£ Tiene que tardar 1 h y 10 min
b) 2,5v = 4 km/h
2,5v = 5 km/h
8 2,54
+ 2,55
= 0,625 + 0,5 = 1,125 8 1 h 7' 30''
Llega un poco antes de la hora.
55 Luis y Miguel van a visitar a sus abuelos. Como solo tienen una bicicleta, acuerdan que Miguel la lleve hasta la mitad del camino y la deje allí hasta que Luis, que sale andando, la recoja. La segunda mitad, Miguel caminará y Luis irá en bici-cleta. De esta forma, tardan una hora en llegar a su destino. El que camina va a 4 km/h, y el que va en bicicleta, a 12 km/h. ¿Cuál es la distancia que han recorrido? ¿Cuánto tiempo estuvo parada la bicicleta?
t : tiempo que emplea Miguel en recorrer la mitad del camino en bicicleta.
12t = 4(1 – t) 8 16t = 4 8 t = 14
h
Andando tarda 34
h.
Distancia : 12 · 14
+ 4 34
= 3 + 3 = 6 km
Tiempo de bicicleta parada: La deja cuando ha pasado 14
h y el otro la recoge a los 34
h.
Está parada 12
hora.
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Unidad 5. Ecuaciones
56 Carmen hace cuentas sobre las compras que ha hecho y observa que el abrigo le ha costado el triple que el bolso; el bolso, 5 € menos que la camisa; la camisa, 6 € más que los deportivos; los deportivos, el doble que el estuche; el estuche, la mitad que el pantalón, y este, 120 € menos que la suma de todos los demás artículos. Calcu-la el precio de cada compra y el dinero que se gastó Carmen.
A = 3B; B = C – 5; C = D + 6; D = 2E; E = P2
P = A + B + C + D + E – 120
A = 3(C – 5) = 3(D + 6 – 5) = 3(D + 1) = 3(2E + 1) = 3(P + 1) = 3P + 3
B = D + 6 – 5 = D + 1 = 2E + 1 = P + 1
C = 2E + 6 = P + 6
D = P
P = 3P + 3 + P + 1 + P + 6 + P + P2
– 120 8 5P + P2
= 110 8
8 11P2
= 110 8 P = 20 € precio pantalón.
E = 10 € estuche; D = 20 € deportivos; C = 26 € camisa
B = 21 € bolso; A = 63 € abrigo
Gasto total: 140 €
57 Estas dos figuras representan dos terrenos de la misma superficie. En cada una se ha construido una vivienda y el resto de la parcela se ha dedicado a jardín.
a) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie de cada parcela.
b) Escribe las expresiones algebraicas para la superficie del jardín en cada caso.
c) ¿Cuál debe ser el valor de x para que el área de las dos parcelas sea la misma?
d) Halla, para ese valor de x, la superficie de cada casa y la superficie de cada jardín.
x – 1
x – 7
x – 4
x + 8x
xx
8
8
CASA
A B
CASA
a) Superficie A: (x + 8)2. Superficie B: (x + 8)(3x – 12)
b) Jardín A: (x + 8)2 – x2 = x2 + 16x + 64 – x2 = 16x + 64
Jardín B: (x + 8)(3x – 12) – x(x – 1) = 3x2 + 12x – 96 – x2 + x = 2x2 + 13x – 96
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Unidad 5. Ecuaciones
c) (x + 8)2 = 3x2 + 12x – 96 8 x2 + 16x + 64 – 3x2 – 12x + 96 = 0 8
8 –2x2 + 4x + 160 = 0 8 x2 – 2x – 80 = 0 8
8 x = 2 ± √4 + 3202
= 2 ± 182
x = 10x = –8. No vale.
Debe ser x = 10 m.
d) A = °¢£
Casa = 100 m2
Jardín = 224 m2 B = °¢£
Casa = 10 · 9 = 90 m2
Jardín = 2 · 102 + 13 · 10 – 96 = 234 m2
58 En una empresa disponen de dos modelos de cajas sin tapa para empaquetar. Los dos tienen la altura fija y base variable, como las de la figura. Los directivos du-dan entre elegir el valor de x para el cual las cajas tengan el mismo volumen, o ele-girlo de forma que la cantidad de cartón empleada para su fabricación sea la misma. ¿Es posible encontrar un valor de x que cumpla las dos condiciones?
x + 2 x – 2
2
4
x x
VA = 2x (x + 2) VB = 4x (x – 2)
Si VA = VB 8 2x2 + 4x = 4x2 – 8x 8 2x2 – 12x = 0 8
8 x2 – 6x = 0 x = 0 no vale.x = 6 cm
SA = 2 · 2(x + 2) + 2 · 2x + x (x + 2) = 4x + 8 + 4x + x2 + 2x 8 SA = x2 + 10x + 8
SB = x (x – 2) + 2 · 4x + 2 · 4(x – 2) = x2 – 2x + 8x + 8x – 16 8 SB = x2 + 14x – 16
Si SA = SB 8 x2 + 10x + 8 = x2 + 14x – 16 8
8 8 + 16 = 14x – 10x 8 24 = 4x 8 x = 6 cm
59 Para saldar una deuda, un banco me ofrece dos opciones: pagarla dentro de 2 años con un 8% de interés anual o pagarla dentro de 9 meses al 15% de interés anual. Con la segunda opción pago 577,3 € menos que con la primera. Calcula el dinero que debo.
x es el dinero que debo; 15% anual ≈ 1512
= 1,25 mensual
Con la 1.a opción pago x · 1,082.
Con la 2.a opción pago x (1,0125)9.
x · 1,082 – x (1,0125)9 = 577,3 8 0,048x = 577,3
x = 12 000 € es el dinero que debo.
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