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Unidad 13. Azar y probabilidad

PÁGINA 270

18 Lanzamos cuatro monedas. Halla la probabilidad de obtener:

a) Dos caras. b) Ninguna cara. c) Alguna cara.

Hacemos un diagrama en árbol para ver los casos posibles:

C + CCC+C CCCC

+ + CC++C CC+C

C + C+C+C C+CC

+ + C+++C C++C

C + +CC+C +CCC

+ + +C++C +C+C

C + ++C+C ++CC

C

+

C

C

+

++ + ++++

C +++C

Hay 2 · 2 · 2 · 2 = 24 = 16 casos posibles.

a) P [ ] = 616

= 38

b) P [ ] = 116

c) P [ ] = 1 – P [ ] = 1 – 116

= 1516

19 En una familia de 4 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que todos sean varones? ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de tres hijos, sean 2 chicos y 1 chica?

Este problema es similar al anterior. Hay 16 combinaciones distintas y solo una opción

de que los cuatro salgan varones. Por tanto, P [ ] = 116

.

En una familia de tres hijos, pueden darse 23 = 8 combinaciones distintas. En 3 de ellas

hay 2 chicos y 1 chica. Por tanto, P [ ] = 38

.

20 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las pun-tuaciones:

a) Sea 5. b) Sea 6. c) Sea 4.

☞ Haz una tabla con todos los casos posibles.

a) 1 y 5, 5 y 1 b) 1 y 6, 2 y 3, 3 y 2, 6 y 1 c) 1 y 4, 2 y 2, 4 y 1

P [. = 5] = 236

= 118

P [. = ] = 436

= 19

P [. = 4] = 336

= 112

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Unidad 13. Azar y probabilidad

21 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que la diferencia de las pun-tuaciones:

a) Sea 0. b) Sea 1. c) Sea 3. d) Sea 5.

1 2 3 4 5 6

1 0 1 2 3 4 5

2 1 0 1 2 3 4

3 2 1 0 1 2 3

4 3 2 1 0 1 2

5 4 3 2 1 0 1

6 5 4 3 2 1 0

Hay 36 posibles casos.

a) P [ 0] = 636

= 16

b) P [ 1] = 1036

= 518

c) P [ 3] = 636

= 16

d) P [ 5] = 236

= 118

22 Lanzamos dos dados. Halla la probabilidad de:

a) Obtener al menos un 6.

b) Que las dos puntuaciones coincidan.

c) Que una puntuación sea mayor que la otra.

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

a) Hay 36 opciones y 11 de ellas tienen un 6. Por tanto, P [ 6] = 1136

b) Hay 36 opciones y en 6 de ellas las puntuaciones coinciden.

Así, P [] = 636

= 16

c) Es lo mismo que decir que no coincidan las puntuaciones.

Por tanto, P [ ] = P [ ] = 1 – 16

= 56

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Unidad 13. Azar y probabilidad

23 En un centro escolar hay 1 000 alumnos repartidos como indica esta tabla:

CHICOS CHICAS

USAN GAFAS 187 113

NO USAN GAFAS 413 287

Se elige al azar uno de ellos. Di cuál es la probabilidad de que:

a) Sea chico. b) Sea chica. c) Use gafas. d) No use gafas.

e) Sea una chica con gafas.

f ) Si al elegir al azar nos dicen que es una chica, ¿cuál es la probabilidad de que use gafas?

Completamos la tabla con los totales; así se obtienen las probabilidades de forma más sencilla:

CHICOS CHICAS TOTAL

USAN GAFAS 187 113 300

NO USAN GAFAS 413 287 700

TOTAL 600 400 1 000

a) P [] = 6001 000

= 35

b) P [] = 4001 000

= 25

c) P [ ] = 3001 000

= 310

d) P [ ] = 7001 000

= 710

e) P [ ] = 1131 000

f ) P [ ] = 113400

24 En una empresa hay 200 empleados, de los que 100 son hombres y 100 son mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres.

a) Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume.

b) Si sabemos que el elegido no fuma, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

☞ Haz una tabla como la del ejercicio anterior.

Construimos una tabla como la de la actividad anterior:

HOMBRES MUJERES TOTAL

FUMAN 40 35 75

NO FUMAN 60 65 125

TOTAL 100 100 200

a) P [ ] = 60200

= 310

b) P [ ] = 65125

= 1325

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Unidad 13. Azar y probabilidad

25 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemos cuántas de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo podemos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón, que es trans-parente.

Durante unos días hacemos 1 000 veces la experiencia de agitar, inclinar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Al final, hemos obtenido estos resultados:

f ( ) = 461 f ( ) = 343 f ( ) = 196

Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuántas bolas hay de cada color. Hagámos-lo con las negras:

fr ( ) = 4611 000

= 0,461

P [ ] = n20

(n es el número de bolas negras)

Como fr ( ) ≈ P [ ], hacemos: 0,461 ≈ n20

8 n ≈ 20 · 0,461 = 9,22

Estimamos que el número de bolas negras es 9.

¿Cuántas bolas de cada color hay en la botella?

• Bolas rojas: 0,343 ≈ n20

8 n ≈ 20 · 0,343 = 6,86 8 n = 7

• Bolas verdes: 0,196 ≈ n20

8 n ≈ 20 · 0,196 = 3,92 8 n = 4

Estimamos que hay 9 bolas negras, 7 rojas y 4 verdes.

26 Elisa, para estudiar el comportamiento de un dado chapucero, lo ha lanzado 1 200 veces, obteniendo estos resultados:

CARAS 1 2 3 4 5 6

N.º DE VECES 248 355 175 180 126 116

a) Halla la frecuencia relativa de cada una de las seis caras, expresando los resultados en forma de fracción y de decimal con tres cifras decimales.

b) Justifica que es razonable decir que las probabilidades de las caras son, aproxima-damente:

P [1] = 0,2 P [2] = 0,3 P [3] = 0,15

P [4] = 0,15 P [5] = 0,1 P [6] = 0,1

a) fr(1) = 2481 200

= 0,207 fr(2) = 3551 200

= 0,296 fr(3) = 1751 200

= 0,146

fr(4) = 1801 200

= 0,15 fr(5) = 1261 200

= 0,105 fr(6) = 1161 200

= 0,097

b) 0,207 ≈ 0,2; 0,296 ≈ 0,3; 0,146 ≈ 0,15; 0,105 ≈ 0,1; 0,097 ≈ 0,1

Por tanto, a la vista de la experiencia, sí es razonable afirmar que las probabilidades son las que se nos dice.

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