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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

PÁGINA 79¿Identificas distintos tipos de ecuaciones y las resuelves con soltura?

1 Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) √x + 1 – x = x – 74

b) 1x

– x + 1x – 1

+ 52

= 0

a) √x + 1 = x – 74

+ x 8 4√x + 1 = 5x – 7

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

16(x + 1) = 25x2 – 70x + 49 8 25x2 – 86x + 33 = 0

x = 86 ± √7 396 – 3 30050

= 86 ± 6450

= 311/25

Comprobación:

x = 3 8 2 = –1 + 3 8 válida

x = 1125

8 √36/25 ? –164100

+ 1125

= – 120100

8 no válida

Solución: x = 3

b) 2(x – 1) – 2x(x + 1) + 5x (x – 1) = 0 8 8 2x – 2 – 2x2 – 2x + 5x2 – 5x = 0 8 3x2 – 5x – 2 = 0

x = 5 ± √25 + 246

= 5 ± 76

= 2–1/3

Las dos soluciones son válidas.

Soluciones: x1 = 2, x2 = – 13

¿Resuelves sistemas lineales y no lineales con eficacia?

2 Resuelve:

a) °¢£√x = 4 – yy 2 = 4 + x

b) °¢£

xy = 154x 2 – y 2 = 11

a) √x = 4 – yy 2 = 4 + x

°¢£ x = 16 + y 2 – 8yy 2 = 4 + 16 + y 2 – 8y 8 8y = 20 8 y = 5/2

x = 16 + 254

– 20 = 94

Comprobación: √94

= 4 – 52

8 32

= 32

52

22 = 4 + 94

8 254

= 254

b) xy = 154x 2 – y 2 = 11

°¢£ y = 15

x

4x2 – 225x 2

= 11 8 4x4 – 225 – 11x2 = 0

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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Cambio: x2 = z

4z2 – 11z – 225 = 0 8 z = 11 ± √121 + 3 6008

= 11 ± 618

= 9–25/4 No vale.

z = 9 8 x = ±3 8 y = ±5Soluciones: x1 = 3, y1 = 5; x2 = –3, y2 = –5

¿Sabes resolver inecuaciones de primer y segundo grado?

3 Resuelve:

a) 3x 2 – 5x – 2 Ì 0 b) °¢£

2x – 3 < 44 – x Ó –1

a) 3x2 – 5x – 2 Ì 0

3x2 – 5x – 2 = 0 8 x = 5 ± √25 + 246

= 5 ± 76

= 2–1/3

–1 / 3 2

No NoSí Soluciones: [– 1

3, 2]; – 1

3 Ì x Ì 2

b) °¢£

2x – 3 < 4 8 2x < 7 8 x < 7/24 – x Ó –1 8 –x Ó –5 8 x Ì 5

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Soluciones: (–@, 72 )

¿Ha aumentado tu capacidad de plantear y resolver problemas de enunciado?

4 Un inversor compra dos cuadros por 2 650 €. Al cabo de dos años, los vende por 3 124 € ganando en uno de ellos un 20% y en el otro un 15%. ¿Cuánto le costó cada cuadro?

x + y = 2 650 1,2x + 1,15y = 3 124

°¢£ x = 2 650 – y

1,2(2 650 – y) + 1,15y = 3 124 8 3 180 – 0,05y = 3 124 8 y = 1 120

x = 2 650 – 1 120 = 1 530

El valor de los cuadros es de 1 530 € y de 1 120 €.

5 Halla las dimensiones de un jardín rectangular cuyo perímetro es de 60 m, y su área, de 221 m2.

2x + 2y = 60xy = 221

°¢£ x + y = 30 8 x = 30 – y(30 – y)y = 221 8 30y – y2 – 221 = 0

x

y

y2 – 30y + 221 = 0 8 y = 30 ± √900 – 8842

= 30 ± 42

= 1713

Si y = 17 8 x = 13Si y = 13 8 x = 17

Las dimensiones del jardín son 13 m y 17 m.

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Unidad 3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

¿Has aprendido a plantear y resolver problemas con inecuaciones?

6 En una clase hay 5 chicos más que chicas. Sabemos que en total son algo más de 20 alumnos, pero no llegan a 25. ¿Cuál puede ser la composición de la clase?

Chicas 8 x

Chicos 8 y

y = x + 520 < x + y < 25

°¢£ 20 < x + x + 5 < 25 8 20 < 2x + 5 < 25 8

8 15 < 2x < 20 8 152

< x < 10

Es decir, las chicas pueden ser 8 o 9.

Hay dos soluciones: 8 chicas y 13 chicos o 9 chicas y 14 chicos.

7 ¿Cuántos litros de vino de 5 €/l se deben mezclar con 20 l de otro de 3,5 €/l para que el precio de la mezcla sea inferior a 4 €/l?

CANTIDAD (l) PRECIO (€/l) COSTE (€)

I x 5 5x

II 20 3,5 70

MEZCLA 20 + x < 4 < (20 + x) · 4

5x + 70 < (20 + x) · 4 8 5x – 4x < 80 – 70 8 x < 10

Se deben mezclar menos de 10 l del vino caro.

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