Soluciones a los ejercicios y problemas · 6 Soluciones a los ejercicios y problemas 14 Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que su-mándole 12. ¿Cuál es

6Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 141

c u a c i o n e s s e n c i l l a s

1 Resuelve mentalmente.

a) x + 4 = 5 b)x – 3 = 6 c) 7 + x = 10

d)7 – x = 5 e) 11 = x + 5 f ) 2 = x – 9

g) 5 = 2 + x h)9 = 15 – x i) 2 – x = 9

a) x = 1 b) x = 9 c) x = 3

d) x = 2 e) x = 6 f ) x = 11

g) x = 3 h) x = 6 i) x = –7

2 Resuelve.

a) 2x + x = 5 b)7x – 3x = 10 – 7

c) x – 9x = 9 – 7 d)5x – x = 3 – 5

e) 6 = 12x – 2x f ) 2 – 8 = x + 2xg) 5x – 13x = 6 – 10 h)2x + 4 + 5x = 18

i) 11x + 17 – 6x = 2 j) 9 = 12x – 6 – 7xk)2x – 5 + 3x + 1 = 3x – 2 l) x + 7 = 12x – 3 – 8x + 1

m) 6x – 1 + x = 4 – 5x + 3 n)x + 2x + 3x – 5 = 4x – 9

ñ)5x + 4 – 6x = 7 – x – 3 o) 4x + 2 + 7x = 10x + 3 + x

a) x = b) x = c) x = – d) x = –

e) x = f ) x = –2 g) x = h) x = 2

i) x = –3 j) x = 3 k) x = 1 l) x = 3

m) x = n) x = –2

ñ) Es una identidad. Tiene infinitas soluciones.

o) Incompatible. Sin solución.

3 Quita paréntesis y resuelve.

a) 6(x + 1) – 4x = 5x – 9 b)18x – 13 = 8 – 4(3x – 1)

c) 3x + 5(2x – 1) = 8 – 3(4 – 5x) d)5 – (4x + 6) = 3x + (7 – 4x)

e) x – 7(2x + 1) = 2(6 – 5x) – 13 f ) 11 – 5(3x + 2) + 7x = 1 – 8xg) 13x – 5(x + 2) = 4(2x – 1) + 7

a) 6x + 6 – 4x = 5x – 9 8 15 = 3x 8 x = 5

b) 18x – 13 = 8 – 12x + 4 8 30x = 25 8 x = 56

23

12

35

12

14

34

53

E

Pág. 1

Unidad 6. Ecuaciones


c) 3x + 10x – 5 = 8 – 12 + 15x 8 –1 = 2x 8 x = –

d) 5 – 4x – 6 = 3x + 7 – 4x 8 –8 = 3x 8 x = –

e) x – 14x – 7 = 12 – 10x – 13 8 –6 = 3x 8 x = –2

f ) 11 – 15x – 10 + 7x = 1 – 8x 8 1 – 8x = 1 – 8x 88 Identidad. Infinitas soluciones.

g) 13x – 5x – 10 = 8x – 4 + 7 8 8x – 10 = 8x + 3 88 Incompatible. No tiene solución.

c u a c i o n e s d e p r i m e r g r a d o c o n d e n o m i n a d o r e s

4 Quita denominadores y resuelve.

a) x + = b) + 1 = + x

c) – = x – – d) + – x = –

e) – 1 – = x + + 1 f ) + – = – +

a) 3x + 1 = x 8 x = – b) 10x + 6 = 5 + 6x 8 x = –

c) 12x – 5 = 20x – 14x – 4 8 x = d) 10x + 8 – 30x = 5 – 21x 8 x = –3

e) 14x – 8 – x = 8x + 5x + 8 8 0x = 16 8 Sin solución.

f ) 3x + 1 – 2x = x – 4 + 5 8 x + 1 = x + 1 8 Identidad. Tiene infinitas soluciones.

5 Elimina los paréntesis y los denominadores y resuelve.

a) 2x – = (x – 3) b) (2x – 1) – x =

c) – 1 = 2 x – d)x – = (2x – 5)

a) 4x – 5 = x – 3 8 x =

b) 5(2x – 1) – 6x = x 8 10x – 5 – 6x = x 8 x =

c) – 1 = 2x – 8 x – 5 = 10x – 8 8 x =

d) x – = – 8 6x – 2 = 2x – 5 8 x = – 34

56

x3

13

13

85

x5

53

23

16

13)4

5(x5

x6

56

12

52

16

14

12

56

23

x6

x3

16

x2

5x8

x8

7x4

7x10

16

415

x3

15

7x10

14

3x5

56

5x3

x3

13

E

83

12

Pág. 2



6 Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) (2 + 5x) = x – b)2(x – 3) – = x – (x – 1)

c) 1 – = – (x – 2) d)x – = (2x – 1) +

e) 5 – = 3x – f ) 1 – (x + 1) = –

a) + x = – 8 4 + 10x = 5x – 1 8 x = –1

b) 2x – 6 – = x – + 8 6x – 18 – 1 = 3x – x + 1 8 x = 5

c) 1 – = – + 1 8 8 – 3x = 6 – 4x + 8 8 x = 6

d) x – = – + 8 12x – 9x = 8x – 4 + 2x 8 x =

e) – = – 8 5x – 2 = 6x – 1 8 x = –1

f ) 21 – 9(x + 1) = 14x – 3 8 21 – 9x – 9 = 14x – 3 8 x =

7 Elimina denominadores y resuelve.

a) x – = 1 b)1 – = 2x –

c) 1 – = x + d) – 1 =

e) – 1 = 2x – 2 f ) x + = + 1

g) 2x + = h) – 1 = x –

i) – = j) + = x – 2

k) – = 1 l) – =

a) 5x – (x – 3) = 5 8 5x – x + 3 = 5 8 x =

b) 3 – (x + 1) = 6x – 1 8 3 – x – 1 = 6x – 1 8 x =

c) 6 – 2(1 – x) = 6x + 3 8 6 – 2 + 2x = 6x + 3 8 x =

d) 6x – 4 = 3x + 2 8 x = 2

14

37

12

3x – 14

x – 112

1 – x3

x – 67

x + 35

x – 25

x – 53

x3

x + 215

x5

x + 12

3x5

x – 34

x – 32

x2

2 – 3x5

3x – 12

3x + 24

3x2

12

1 – x3

13

x + 13

x – 35

1523

14

3x2

12

5x4

47

x6

13

2x3

3x4

x2

34

3x8

13

x3

13

110

x2

25

17

2x3

37)1

2(12)1

10x4(

x6

13

3x4

12

34

3x8

13

13)1

5(12

15

Pág. 3



e) 3x – 1 – 2 = 4x – 4 8 x = 1

f ) 10x + 2(2 – 3x) = 5x + 10 8 10x + 4 – 6x = 5x + 10 8 x = –6

g) 8x + 2(x – 3) = x – 3 8 8x + 2x – 6 = x – 3 8 x =

h) 6x – 10 = 10x – 5(x + 1) 8 6x – 10 = 10x – 5x – 5 8 x = 5

i) 3x – (x + 2) = 5x 8 3x – x – 2 = 5x 8 x = –

j) 5(x – 5) + 3(x – 2) = 15(x – 2) 8 5x – 25 + 3x – 6 = 15x – 30 8 x = –

k) 7(x + 3) – 5(x – 6) = 35 8 7x + 21 – 5x + 30 = 35 8 x = –8

l) 4(1 – x) – (x – 1) = 3(3x – 1) 8 4 – 4x – x + 1 = 9x – 3 8 x =

8 Resuelve estas ecuaciones:

a) – = b)2 + (x + 1) = x –

c) (1 – 3x) + = (1 – x) d) + 1 + x = x –

a) 5(3x – 1) – 4(2x + 1) = 7x – 13 8 15x – 5 – 8x – 4 = 7x – 13 88 Incompatible. No tiene solución.

b) 10 + 2(x + 1) = 5x – (2x + 3) 8 10 + 2x + 2 = 5x – 2x – 3 8 x = 15

c) 8(1 – 3x) + 9(x – 1) = 5(1 – x) 8 8 – 24x + 9x – 9 = 5 – 5x 8 x =

d) + + x = – 8 4x – 4 + 12 + 20x = 15x – 10 8 x = –2

PÁGINA 142

9 Resuelto en el libro de texto.

10 Elimina denominadores, con las indicaciones que se ofrecen, y resuelve.

a) + = 3 5 Multiplica ambos miembros por 2x.

b) – = 5 Multiplica por 10x.

c) – 1 = 5 Multiplica por (x – 2).

d) + 2 = 5 Multiplica por (3x – 1).53x – 1

2x3x – 1

xx – 2

3x – 2

25

1x

12

12

1x

12

3x4

35

x – 15

–35

)23(3

4)x – 13(3

5512

3(x – 1)4

23

2x + 35

25

7x – 1320

2x + 15

3x – 14

47

17

23

13

Pág. 4



e) + 1 = 5 Multiplica por 2 · (x – 1).

f ) – = 5 Multiplica por 5 · (x – 3).

g) + = 5 Multiplica por 5 · (x – 1).

a) 2 + x = 6x 8 x = b) 5x – 10 = 4x 8 x = 10

c) 3 – (x – 2) = x 8 x = d) 2x + 2(3x – 1) = 5 8 x =

e) 2 + 2(x – 1) = x – 1 8 x = –1 f ) 10x – (x – 3) = 10 8 x =

g) 15x + 6 = x – 1 8 x = –

roblemas para resolver con ecuaciones de pr imer grado

11 Calcula, primero, mentalmente y, después, con la ayuda de una ecuación.

a) Si a un número le sumas 12, obtienes 25. ¿De qué número se trata?

b)Si a un número le restas 10, obtienes 20. ¿Qué número es?

c) Un número, x, y su siguiente, x + 1, suman 13. ¿Cuáles son esos números?

d)En mi clase somos 29 en total, pero hay tres chicos más que chicas. ¿Cuántoschicos y cuántas chicas hay en la clase?

a) x + 12 = 25 8 x = 13 b) x – 10 = 20 8 x = 30

El número es 13. El número es 30.

c) x + (x + 1) = 13 8 x = 6 d) x + (x + 3) = 29 8 x = 13Los números son 6 y 7.

En la clase hay 13 chicas y 16 chicos.

12 Busca un número cuyo doble más tres unidades sea igual a su triple me-nos cinco unidades.

2x + 3 = 3x – 5 8 x = 8

El número es 8.

13 Dividiendo un número entre tres, se obtiene el mismo resultado que res-tándole 16. ¿De qué número se trata?

= x – 16 8 x = 24

El número es 24.

x3

°¢£

Chicas 8 xChicos 8x + 3

P

12

79

78

52

25

15

65(x – 1)

3xx – 1

2x – 3

15

2xx – 3

12

1x – 1

Pág. 5



14 Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que su-mándole 12. ¿Cuál es ese número?

5x = x + 12 8 x = 3

El número es 3.

15 Si al triple de un número se le suman 15 y el resultado se divide entre 4,da 9. ¿Cuál es ese número?

= 9 8 x = 7

El número es 7.

16 La suma de dos números es 167, y su diferencia, 19. ¿Cuáles son esos nú-meros?

Un número 8 x

Otro número 8 x + 19

x + (x + 19) = 167 8 x = 74; x + 19 = 93

Los números son 74 y 93.

17 Calcula el número natural que sumado a su siguiente da 157.

EL NÚMERO 8 x SU SIGUIENTE 8 x + 1

x + (x + 1) = 157 8 x = 78

El número es 78.

18 La suma de tres números consecutivos es 135. ¿Cuáles son esos números?

(x – 1) + x + (x + 1) = 135 8 x = 45

Los números son 44, 45 y 46.

19 Si a la cuarta parte de un número se le restan tres unidades, se obtiene suquinta parte. Calcula dicho número.

– 3 = 8 x = 60

El número es 60.

20 Teresa es siete años mayor que su hermano Antonio y dos años menorque su hermana Blanca. Calcula la edad de cada uno sabiendo que entre los tressuman 34 años.

ANTONIO 8 x – 7 TERESA 8 x BLANCA 8 x + 2

(x – 7) + x + (x + 2) = 34 8 x = 13

Antonio tiene x – 7 = 13 – 7 = 6 años.

Teresa tiene 13 años.

Blanca tiene x + 2 = 13 + 2 = 15 años.

x5

x4

3x + 154

Pág. 6



21 Una ensaimada cuesta 10 céntimos más que un cruasán. Tres cruasanes ycuatro ensaimadas han costado 6 euros. ¿Cuál es el coste de cada pieza?

Cruasán 8 x

Ensaimada 8 x + 10

3x + 4(x + 10) = 600 8 x = 80

Un cruasán cuesta 80 céntimos y una ensaimada 90 céntimos.

22 Narciso ha comprado en las rebajas dos pantalones y tres camisetas por161 €. ¿Cuál era el precio de cada artículo, sabiendo que un pantalón costabael doble que una camiseta?

Camiseta 8 x

Pantalón 8 2x

2 · 2x + 3x = 161 8 x = 23

Una camiseta cuesta 23 € y un pantalón 46 €

23 Reparte 280 € entre tres personas, de forma que la primera reciba el tri-ple que la segunda, y esta, el doble que la tercera.

PRIMERA PERSONA 8 6x SEGUNDA PERSONA 8 2xTERCERA PERSONA 8 x

6x + 2x + x = 280 8 x = 31,11

La tercera persona recibe 31,11 €

La segunda 31,11 · 2 = 62,22 €

La primera 6 · 31,11 = 186,67 €

PÁGINA 14324 Tres agricultores reciben una indemnización de 100 000 € por la expro-

piación de terrenos para la construcción de una autopista. ¿Cómo han de re-partirse el dinero, sabiendo que el primero ha perdido el doble de terreno queel segundo, y este, el triple de terreno que el tercero?

6x + 3x + x = 100 000 8 x = 10 000

Primer agricultor 8 60 000 €

Segundo agricultor 8 30 000 €

Tercer agricultor 8 10 000€

25 En la caja de un supermercado hay 1 140 euros repartidos en billetes de5, 10, 20 y 50 euros. Sabiendo que:

— Hay el doble de billetes de 5 € que de 10 €.

— De 10 € hay la misma cantidad que de 20 €.

— De 20 € hay seis billetes más que de 50 €.

¿Cuántos billetes de cada clase tiene la caja?

Pág. 7



Billetes de 50 € 8 x

Billetes de 20 € 8 x + 6

Billetes de 10 € 8 x + 6

Billetes de 5 € 8 2(x + 6)

50x + 20(x + 6) + 10(x + 6) + 5 · 2 · (x + 6) = 1 140 8 x = 10

En la caja hay 10 billetes de 50 €, 16 billetes de 20 €, 16 billetes de 10 € y 32 bi-lletes de 5 €.

26 Se han repartido 500 litros de gasóleo, a partes iguales, en dos barriles.¿Cuántos litros se han de pasar de uno al otro para que el segundo quede conel triple de cantidad que el primero?

3 · (250 – x) = 250 + x 8 x = 125

Se han de pasar 125 litros. Así, el primer barril quedará con 125 l y el segundo con375 l.

27 Un hortelano siembra la mitad de su huerta de pimientos; la tercera par-te, de tomates, y el resto, que son 200 m2, de patatas. ¿Cuál es la superficie to-tal de la huerta?

SUPERFICIE DE LA HUERTA 8 xPIMIENTOS 8 x/2

TOMATES 8 x/3

PATATAS 8 200 m2

+ + 200 = x 8 x = 1 200

La huerta tiene una superficie de 1 200 m2.


29 Un padre tiene 38 años, y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrirpara que el padre tenga solo el doble de edad que el hijo?

38 + x = 2(11 + x) 8 x = 16

Han de transcurrir 16 años.

30 La edad de doña Adela es seis veces la de su nieto Fernando, pero dentrode 8 años solo será el cuádruple. ¿Qué edad tiene cada uno?

4(x + 8) = 6x + 8 8 x = 12

Fernando tiene 12 años y Adela, 72 años.

x3

x2

Pág. 8


H OY D E N T R O D E x A Ñ O S

PA D R E 38 38 + xH I J O 11 11 + x

H OY D E N T R O D E 8 A Ñ O S

A D E L A 6x 6x + 8F E R N A N D O x x + 8


31 Roberto tiene el triple de edad que su hija Nuria. Calcula la edad de cadauno sabiendo que dentro de 12 años la edad del padre será solamente el dobleque la de la hija.

2(x + 12) = 3x + 12 8 x = 12

Nuria tiene 12 años, y Roberto, 36.

32 Un ciclista sube un puerto a 15 km/h y, después, desciende por el mismocamino a 35 km/h. Si el paseo ha durado 30 minutos, ¿cuánto tiempo ha in-vertido en la subida?

TIEMPO DE SUBIDA 8 x (horas)

TIEMPO DE BAJADA 8 – x (horas)

DISTANCIA RECORRIDA SUBIENDO 8 15x

DISTANCIA RECORRIDA BAJANDO 8 35 – x

15x = 35 – x 8 x =

En la subida ha invertido horas. Es decir, h = h = 21 minutos.

33 Dos ciclistas parten simultáneamente; uno, de A hacia B, a la velocidadde 24 km/h, y el otro, de B hacia A, a 16 km/h. Si la distancia entre A y B es de30 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?

TIEMPO HASTA EL ENCUENTRO 8 x (horas)

DISTANCIA RECORRIDA POR EL PRIMERO 8 24xDISTANCIA RECORRIDA POR EL SEGUNDO 8 16x

24x + 16x = 30 8 x =

Tardan en encontrarse tres cuartos de hora.

34 Dos trenes se encuentran, respectivamente, en las estaciones de dos ciu-dades separadas entre sí 132 km. Ambos parten a la misma hora, por vías pa-ralelas, hacia la ciudad contraria. Si el primero va a 70 km/h, y el segundo, a95 km/h, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

70x + 95x = 132 8 x =

Tardan en encontrarse h. Es decir, h = h = 48 minutos.4860

45

45

45

34

2160

720

720

720)1

2()1

2(

12

Pág. 9



N U R I A x x + 12R O B E RT O 3x 3x + 12


35 Un ciclista sale de cierta población, por carretera, a la velocidad de 22 km/h. Hora y media después, sale en su búsqueda un motorista a 55 km/h.¿Cuánto tardará en darle alcance?

• Tiempo hasta el alcance 8 x

• Distancia recorrida por el motorista 8 55x

• Distancia recorrida por el ciclista 8 22 · x +

55x = 22 · x + 8 x = 1

La moto tarda una hora en alcanzar al ciclista.

36 Un camión sale por carretera de cierta ciudad a 60 km/h. Diez minutosdespués sale en su persecución un coche que tarda quince minutos en darle al-cance. ¿A qué velocidad iba el coche?

Distancia del camión 8 60 ·

Distancia del coche 8 x ·

60 · = x · 8 x = 100

La velocidad del coche era de 100 km/h.

PÁGINA 144

37 Se han pagado 66 € por una prenda que estaba rebajada un 12%. ¿Cuálera el precio sin rebaja?

PRECIO ORIGINAL 8 x

REBAJA 8

ECUACIÓN 8 x – = 66

x – = 66 8 x = 75

El precio sin rebaja era de 75 €.

38 Laura ha comprado una falda y una blusa por 66 €. Ambas tenían el mis-mo precio, pero en la falda le han hecho un 20% de rebaja, y en la blusa, soloun 15%. ¿Cuánto costaba originalmente cada prenda?

0,80x + 0,85x = 66 8 x = 40

Cada prenda costaba 40 €.

12x100

12x100

12x100

1560

2560

1560

2560

)32(

)32(

Pág. 10



39 Un inversor ha obtenido un beneficio de 156 € por un capital colocadoal 4% durante tres años. ¿A cuánto ascendía el capital?

156 = 8 x = 1 300

El capital ascendía a 1 300 €.

40 Un fabricante de queso ha mezclado cierta cantidad de leche de vaca, a0,5 €/l, con otra cantidad de leche de oveja, a 0,80 €/l, obteniendo 300 litrosde mezcla a un precio medio de 0,70 €/l. ¿Cuántos litros de cada tipo de lecheempleó?

0,5x + 0,8(300 – x) = 0,7 · 300 8 x = 100

Se han mezclado 100 litros de leche de vaca con 200 litros de leche de oveja.

41 ¿Qué cantidad de café de 7,20 €/kg se ha de mezclar con 8 kg de otra cla-se superior de 9,30 €/kg para obtener una mezcla que salga a un precio mediode 8,40 €/kg?

7,2x + 8 · 9,3 = 8,4 · (x + 8) 8 x = 6

Se han de utilizar 6 kg del café más barato.

42 Para delimitar en una playa una zona rectangular, el doble de larga quede ancha, se han necesitado 84 m de cinta. ¿Cuáles son las dimensiones del sec-tor delimitado?

x + 2x + x + 2x = 84 8 x = 14

La zona medirá 14 m Ò 28 m.

43 La amplitud de uno de los ángulos de un triángulo es 13 grados mayor y18 grados menor, respectivamente, que las amplitudes de los otros dos ángulos.Calcula la medida de cada ángulo.

x + (x + 18) + (x – 13) = 180 8 x = 8 58° 20'

Los ángulos miden: x = = 58° 20'

x + 18 = 76° 20'

x – 13 = 45° 20'

1753

1753

x

2x

x · 4 · 3100

Pág. 11


C A N T I D A D ( l ) P R E C I O (€ /L ) C O S T E (€ )

VAC A x 0,5 0,5xO V E J A 300 – x 0,8 0,8 · (300 – x)M E Z C L A 300 0,7 0,7 · 300

C A N T I D A D (kg) P R E C I O (€ /kg) P R E C I O (€ )

C A F É A x 7,20 7,2xC A F É B 8 9,30 8 · 9,3M E Z C L A x + 8 8,40 8,4(x + 8)

x

x + 18

x – 13


44 La altura de un trapecio mide 5 cm y la base mayor es 6 cm más larga quela base menor. Calcula la longitud de cada una de esas bases sabiendo que elárea del trapecio mide 65 m2.

A = · h

· 5 = 65 8 x = 10

Las bases del trapecio miden 10 cm y 16 cm, respectivamente.

45 Calcula el perímetro de esta finca, sabiendo que el área mide 100 m2.

14x + 6x = 100 8 x = 5 m

Perímetro = 14 + 5 + 8 + 5 + 6 + 10 = 48 m


47 Un estanque se alimenta de dos bocas de agua. Abriendo solamente la pri-mera, el estanque se llena en 8 horas y, abriendo ambas, en 3 horas. ¿Cuántotarda en llenarse si se abre solamente la segunda boca?

+ = 8 x =

Si se abre solamente la segunda boca, el estanque tarda en llenarse h = 4 h y 48 minutos.

48 Un grifo llena un depósito en 30 minutos. Si se abre a la vez un segundogrifo, el depósito se llena en 20 minutos. ¿Cuánto tardaría en llenarse solo conel segundo grifo?

+ = 8 x = 60

El segundo grifo llena el estanque en 60 min = 1 h.

120

1x

130

245

245

13

1x

18

x

x

14 m

6 m

8 m2x

x + (x + 6)2

x

x + 6

5 cmB + b

2

Pág. 12



PÁGINA 145

c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o

49 Observa, razona y resuelve.

a) x2 = 100 b)x2 = 20

c) 5x2 = 45 d)12x2 = 3

e) x (x – 3) = 0 f ) (x + 5)x = 0

g) x (3x – 1) = 0 h)3x (5x + 2) = 0

i) x2 – 7x = 0 j) x2 + 4x = 0

k)3x2 = 2x l) 5x2 = x2 – 2x

a) x = ±10 b) x = ± = ±2

c) x = ±3 d) x = ±

e) x = 0; x = 3 f ) x = 0; x = –5

g) x = 0; x = h) x = 0; x = –

i) x = 0; x = 7 j) x = 0; x = –4

k) x = 0; x = l) x = 0; x = –

50 Resuelve aplicando la fórmula.

a) x2 – 10x + 21 = 0 b)x2 + 2x – 3 = 0

c) x2 + 9x + 40 = 0 d)5x2 + 14x – 3 = 0

e) 15x2 – 16x + 4 = 0 f ) 14x2 + 5x – 1 = 0

g) x2 – 10x + 25 = 0 h)9x2 + 6x + 1 = 0

i) 6x2 – 5x + 2 = 0 j) 6x2 – x – 5 = 0

a) x = 8 x = 7; x = 3

b) x = 8 x = 1; x = –3

c) x = 8 Sin solución.

d) x = 8 x = ; x = –3

e) x = 8 x = ; x =

f ) x = 8 x = ; x = – 12

17

–5 ± √25 + 5628

25

23

16 ± √256 – 24030

15

–14 ± √196 + 6010

–9 ± √81 – 1602

–2 ± √4 + 122

10 ± √100 – 842

12

23

25

13

12

√5√20

E

Pág. 13



g) x = 8 x = 5; x = 5

h) x = 8 x = – ; x = –

i) x = 8 Sin solución.

j) x = 8 x = 6; x = –5

51 Resuelve, primero, mentalmente. Después, reduce a la forma general yaplica la fórmula.

a) (x – 4)2 = 0 b) (2x – 5)2 = 0

c) (x – 1) · (x – 7) = 0 d)(x + 2) · (x + 4) = 0

e) (x – 5) · (x + 7) = 0 f ) (2x – 1) · (2x + 1) = 0

a) x2 – 8x + 16 = 0 8 x = 4; x = 4

b) 4x2 – 20x + 25 = 0 8 x = ; x =

c) x2 – 8x + 7 = 0 8 x = 1; x = 7

d) x2 + 6x + 8 = 0 8 x = –2; x = –4

e) x2 + 2x – 35 = 0 8 x = 5; x = –7

f ) 4x2 – 1 = 0 8 x = ; x = –

52 Reduce a la forma general y aplica la fórmula.

a) x2 – = – 1

b) x + = x +

c) x – = – 2x –

d) + x = – 1

a) 20x2 – x – 1 = 0 8 x = ; x = –

b) 10x2 – 7x = 0 8 x = 0; x =

c) 10x2 – 7x + 2 = 0 8 Sin solución.

d) x2 – 6x – 16 = 0 8 x = 8; x = –2

710

15

14

2x2 – 53

x2

2

)12(1

15x2

2)120(x

3

)25(x

3)130(x

2

)x4(1

514

12

12

52

52

1 ± √1 + 1202

5 ± √25 – 4812

13

13

–6 ± √36 – 3618

10 ± √100 – 1002

Pág. 14



r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n e c u a c i o n e s d e s e g u n d o g r a d o

53 Calcula, primero, mentalmente y, después, con una ecuación.

a) ¿Qué número multiplicado por su siguiente da 12?

x · (x + 1) = 12

b)La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 5. ¿De qué núme-ros se trata?

x2 + (x + 1)2 = 5

a) x = 3; x = –4. Se trata de 3 y 4 ó –4 y –3.

b) x = 1; x = –2. Se trata de 1 y 2 ó –2 y –1.

54 Si un número aumentado en tres unidades se multiplica por el mismo nú-mero disminuido en otras tres, se obtiene 55. ¿De qué número se trata?

(x + 3) · (x – 3) = 55

x = +8; x = –8

El número puede ser 8 ó –8.

55 Si el doble de un número se multiplica por ese mismo número disminui-do en 5 unidades, da 12. ¿Qué número es?

2x (x – 5) = 12 8 x = 6; x = –1

El número puede ser 6 ó –1.

56 Los miembros del equipo vamos a hacer un regalo al entrenador que cues-ta 80 €. Nos sale un poco caro, pero si fuéramos dos más, tocaríamos a dos eu-ros menos cada uno. ¿Cuántos somos en el equipo?

N.° DE COMPONENTES DEL EQUIPO 8 x

CADA UNO DEBE PAGAR 8

SI FUERAN DOS MÁS, CADA UNO PAGARÍA 8

– 2 =

– 2 =

x2 + 2x – 80 = 0 8 x = 8; x = –10

En el equipo hay 8 jugadores.


80x + 2

80x

LO QUE PAGARÍA CADA

UNO SI FUERAN DOS MÁS

LO QUE PAGA

CADA UNO

80x + 2

80x

PPág. 15



58 El perímetro de un rectángulo mide 100 m, y el área, 600 m2. Calcula susdimensiones.

x (50 – x) = 600 8 x = 30; x = 20

El rectángulo mide 30 m de largo y 20 m de ancho.

x

50 – x

600 m2

Pág. 16



PÁGINA 159

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n g r á f i c a

1 Representa estas ecuaciones:

a) Escribe las coordenadas del punto de corte.

b)Escribe la solución del sistema que forman ambas ecuaciones.

y = 3 – x y = x – 1

a) Punto de corte: (2, 1). b) Solución del sistema: x = 2, y = 1.

2 Repite el ejercicio anterior para estas ecuaciones:

y = x – 2 y =

a) Punto de corte: (4, 2). b) Solución del sistema: x = 4, y = 2.

y = x – 2

12 – xy = — 4

X –4 0 4 8

Y 4 3 2 1

X 0 2 4 6

Y –2 0 2 4

12 – x4

x – y = 2x + 4y = 12

°¢£

y = 3 – x

y = x – 1

X –2 0 2 4

Y –3 –1 1 3

X –2 0 2 4

Y 5 3 1 –1

x + y = 3x – y = 1

°¢£

S

Pág. 1

Unidad 7. Sistemas de ecuaciones


3 Resuelve gráficamente.

a) b)

a) y = 1 – x y =

Solución del sistema: x = –1, y = 2.

b) y = y = 3x + 3

Solución del sistema: x = –2, y = –3.

x – 4y = — 2

y = 3x + 3

X –4 –2 0 2

Y –9 –3 3 9

X –4 –2 0 2

Y –4 –3 –2 –1

x – 42

x + 5y = — 2

y = 1 – x

X –5 –3 –1 1

Y 0 1 2 3

X –5 –3 –1 1

Y 6 4 2 0

x + 52

x – 2y = 43x – y = –3

°¢£

x + y = 1x – 2y = –5

°¢£

Pág. 2



4 Observa el gráfico y responde.

a) Escribe un sistema cuya solución sea x = 2, y = 4.

b)Escribe un sistema cuya solución sea x = 0, y = 5.

c) Escribe un sistema sin solución.

a) b) c)

i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . R e s o l u c i ó n a l g e b r a i c a

5 Resuelve por sustitución despejando la incógnita más adecuada.

a) b)

c) d)

a) 8 x = 1; y = 2

b) 8 y = –1; x = 5

c) 8 y = 1; x = –3

d) 8 y = –5; x = –3

°§§¢§§£

2y – 5x = —5

2y – 54 · — – 3y = 35

°¢£

x = 1 – 4y2(1 – 4y) – y = –7

°¢£

x = 7 + 2y2(7 + 2y) – 3y = 13

°¢£

y = 5x – 32x + 3(5x – 3) = 8

5x – 2y = –54x – 3y = 3

°¢£

x + 4y = 12x – y = –7

°¢£

x – 2y = 72x – 3y = 13

°¢£

2x + 3y = 85x – y = 3

°¢£

S

2x – 3y + 15 = 02x – 3y + 1 = 0

°¢£

x + 2y = 102x – 3y + 15 = 0

°¢£

x + 2y = 103x – y = 2

°¢£

3x – y = 2

x + 2y = 10

2x – 3y + 1 = 0

2x – 3y + 15 = 0

Pág. 3



6 Resuelve por igualación.

a) b)

c) d)

a) 3x – 5 = 5x – 1 8 x = –2; y = –11

b) 8 7 – y = y – 3 8 y = 5; x = 2

c)8 8 + 3y = 8 y = –1; x = 5

d)8 = 8 x = 3; y = –7

7 Resuelve por reducción.

a)

b)

c)

d)

a) b)

7x = 7 8 x = 1 5y = –10 8 y = –2

2 · 1 + y = 6 8 y = 4 3x + 4 · (–2) = 1 8 x = 3

c) d)

14x = 14 8 x = 1 –y = 3 8 y = –3

2 · 1 + 3y = 8 8 y = 2 6x – 10 · (–3) = 18 8 x = –2

6x – 10y = 18–6x + 9y = –15

2x + 3y = 812x – 3y = 6

3x + 4y = 1–3x + y = –11

2x + y = 65x – y = 1

3x – 5y = 92x – 3y = 5

°¢£

2x + 3y = 84x – y = 2

°¢£

3x + 4y = 13x – y = 11

°¢£

2x + y = 65x – y = 1

°¢£

–7x3

1 – 5x2

°§§¢§§£

1 – 5xy = —2

–7xy = —3

10 – 5y3

°§¢§£

x = 8 + 3y10 – 5yx = —

3

°¢£

x = 7 – yx = y – 3

5x + 2y = 17x + 3y = 0

°¢£

x – 3y = 83x + 5y = 10

°¢£

x + y – 7 = 0x – y + 3 = 0

°¢£

y = 3x – 5y = 5x – 1

°¢£

Pág. 4



8 Resuelve por el método que te parezca más adecuado.

a) b) c)

d) e) f )

a) Sustitución: b) Reducción:

2(2x + 10) = x + 8 8 x = –4 2x + y = –1

y = 2 · (–4) + 10 8 y = 2 –x – y = 4

x = 3

2 · 3 + y = –1 8 y = –7

c) Sustitución: d) Reducción:

x = –5 – 2y 6x – 2y = 2

(–5 – 2y) – 3y = 5 8 y = –2 5x + 2y = 9

x = –5 – 2 · (–2) 8 x = –1 11x = 11 8 x = 1

5 · 1 + 2y = 9 8 y = 2

e) Reducción: f ) Igualación:

8 = 8 y = 5

x = 8 x = 5


PÁGINA 160

10 Resuelve los siguientes sistemas:

a) b)

c)

a) 8 b) 8 c) 8 x = 6y = 8

°¢£

3x – 2y = 24x – 3y = 0

x = 1y = –3

°¢£

3x + 2y = –3x – 3y = 10

x = 2y = –1

°¢£

3x + 2y = 46x – y = 13

x – 4 y – 5— – — = 02 3

x y— + — = 2x – y3 4

°§§¢§§£

5(2x + 1) = 4(x – y) – 1x – y x + 5— = —

2 3

°§¢§£

2(3x + y) + x = 4(x + 1)6(x – 2) + y = 2(y – 1) + 3

°¢£

10 + 5 · 57

3y – 52

10 + 5y7

10 + 5yx = —7

3y – 5x = —2

°§§¢§§£

6x – 2y = 0–6x + 10y = –24

8y = –24 8 y = –36x – 2 · (–3) = 0 8 x = –1

7x – 5y = 102x – 3y = –5

°¢£

6x – 2y = 03x – 5y = 12

°¢£

3x – y = 15x + 2y = 9

°¢£

x + 2y = –5x – 3y = 5

°¢£

x + y = – 42x + y = –1

°¢£

2y = x + 8y = 2x + 10

°¢£

Pág. 5



r o b l e m a s p a r a r e s o l v e r c o n s i s t e m a s d e e c u a c i o n e s

11 La suma de dos números es 57, y su diferencia, 9. ¿Cuáles son esos nú-meros?

8


12 Calcula dos números sabiendo que su diferencia es 16 y que el doble delmenor sobrepasa en cinco unidades al mayor.

8


13 Calcula dos números sabiendo que:

— El primero sobrepasa en 4 unidades a la mitad del segundo.

— El segundo sobrepasa en 7 unidades a la mitad del primero.

8


14 La suma de dos números es 73, y al cuádruplo del menor le faltan dos uni-dades para alcanzar al triple del mayor. ¿Cuáles son esos números?

8


15 Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros. Si él le diera a ella 1,50 €, ellatendría el doble. ¿Cuánto lleva cada uno?

Alejandro 8 x

Palmira 8 y

8

Alejandro tiene 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.

x = 6,5y = 8,5

°¢£

°¢£

x + y = 152(x – 1,5) = y + 1,5

x = 31y = 42

°¢£

°¢£

x + y = 734x + 2 = 3y

x = 10y = 12

°¢£

°§§¢§§£

yx = — + 42xy = — + 72

x = 37y = 21

°¢£

°¢£

x – y = 162y = x + 5

x = 33y = 24

°¢£

°¢£

x + y = 57x – y = 9

PPág. 6



16 Un ciclista sube un puerto y, después, desciende por el mismo camino.Sabiendo que en la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada y quela duración total del paseo ha sido de 87 minutos, ¿cuánto ha tardado en su-bir? ¿Y en bajar?

Tiempo de subida 8 x

Tiempo de bajada 8 y

8

La subida ha durado 55 minutos, y la bajada, 32 minutos.

17 En cierta cafetería, por dos cafés y un refresco nos cobraron el otro día2,70 €. Hoy hemos tomado un café y tres refrescos y nos han cobrado 4,10 €.¿Cuánto cuesta un café? ¿Y un refresco?

Coste del café 8 x

Coste del refresco 8 y

8

Un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.

18 Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo launidad. Andrea se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 €. Julián paga12 € por 3 melones y cuatro sandías. ¿Cuánto cuesta un melón? ¿Y una sandía?

Coste de un melón 8 x

Coste de una sandía 8 y

8

Un melón cuesta 2 € y una sandía 1,5 €.

19 Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes,unos de 2 kg y otros de 5 kg. ¿Cuántos envases de cada clase utiliza?

Envases de 2 kg 8 x

Envases de 5 kg 8 y

8

Utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.

x = 150y = 50

°¢£

°¢£

x + y = 2002x + 5y = 550

x = 2y = 1,5

°¢£

°¢£

5x + 2y = 133x + 4y = 12

x = 0,80y = 1,10

°¢£

°¢£

2x + y = 2,70x + 3y = 4,10

x = 55y = 32

°¢£

°¢£

x + y = 87x = 23 + y

Pág. 7



20 Una tienda de artículos para el hogar pone a la venta 100 juegos de camaa 70 € el juego. Cuando lleva vendida una buena parte, los rebaja a 50 €, con-tinuando la venta hasta que se agotan. La recaudación total ha sido de 6 600 €.¿Cuántos juegos ha vendido sin rebajar y cuántos rebajados?

Juegos sin rebaja 8 x

Juegos con rebaja 8 y

8

Ha vendido 80 juegos de cama sin rebaja y 20 con rebaja.

21 Un frutero pone a la venta 80 kg de cerezas. Al cabo de unos días ha ven-dido la mayor parte, pero considera que la mercancía restante no está en bue-nas condiciones y la retira. Sabiendo que por cada kilo vendido ha ganado 1 €,que por cada kilo retirado ha perdido 2 € y que la ganancia ha sido de 56 €,¿cuántos kilos ha vendido y cuántos ha retirado?

Kilos vendidos 8 x

Kilos retirados 8 y

8

Ha vendido 72 kilos y ha retirado 8.

22 En el zoo, entre búfalos y avestruces hay 12 cabezas y 34 patas. ¿Cuántosbúfalos son? ¿Y avestruces?

☞ Búfalos 8 x Avestruces 8 y

Patas de búfalo 8 4x Patas de avestruz 8 2y

Búfalos 8 x

Avestruces 8 y

8

Hay 5 búfalos y 7 avestruces.

PÁGINA 16123 En una granja, entre gallinas y conejos se cuentan 127 cabezas y 338 pa-

tas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja?

Gallinas 8 x

Conejos 8 y

8

Hay 85 gallinas y 42 conejos.

x = 85y = 42

°¢£

°¢£

x + y = 1272x + 4y = 338

x = 5y = 7

°¢£

°¢£

x + y = 124x + 2y = 34

x = 72y = 8

°¢£

°¢£

x + y = 80x – 2y = 56

x = 80y = 20

°¢£

°¢£

x + y = 10070x + 50y = 6 600

Pág. 8



24 Rosendo tiene en el bolsillo 12 monedas, unas de 20 céntimos y otras de50 céntimos. Si en total tiene 3,30 euros, ¿cuántas monedas de cada tipo lleva?

Monedas de 20 céntimos 8 x

Monedas de 50 céntimos 8 y

8

Tiene 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.

25 Cristina tiene el triple de edad que su prima María, pero dentro de diezaños solo tendrá el doble. ¿Cuál es la edad de cada una?

8

Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.

26 El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su pa-dre. Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la de Javier. ¿Cuántosaños tiene hoy cada uno?

8

Javier tiene 10 años, y su padre, 40.

27 La base de un rectángulo es 8 cm más larga que la altura, y el perímetromide 42 cm. Calcula las dimensiones del rectángulo.

8

El rectángulo mide 14,5 cm Ò 6,5 cm.

x = 14,5 y = 6,5

°¢£

°¢£

x – y = 8x + y + x + y = 42

Diferencia entre los lados:x – y = 8

Perímetro:x + y + x + y = 42

x

y

x = 10y = 40

°¢£

°§¢§£

y2x = —2

3(x + 5) = y + 5

x = 30y = 10

°¢£

°¢£

x = 3yx + 10 = 2(y + 10)

x = 20y = 3

°¢£

°¢£

x + y = 1220x + 50y = 330

Pág. 9



C R I S T I N A x x + 10M A R Í A y y + 10

E D A D H OY E D A D D E N T R O D E 5 A Ñ O S

J AV I E R x x + 5E L PA D R E y y + 5

☞


28 Para cercar una parcela rectangular, 25 metros más larga que ancha, se hannecesitado 210 metros de alambrada. Calcula las dimensiones de la parcela.

8

La parcela tiene unas dimensiones de 65 m de largo Ò 40 m de ancho.

29 Un concurso televisivo está dotado de un premio de 3 000 € para repar-tir entre dos concursantes. El reparto se hará en partes proporcionales al nú-mero de pruebas superadas. Tras la realización de estas, resulta que el primerconcursante ha superado cinco pruebas, y el segundo, siete. ¿Cuánto corres-ponde a cada uno?

☞ El primer concursante se lleva 8 x El segundo concursante se lleva 8 y

Entre los dos se llevan 8 x + y

El premio conseguido es proporcional al número de pruebas superadas 8 x/5 = y/7

8

El primer concursante se lleva 1 250 €,y el segundo, 1 750 €.

30 ¿Qué cantidades de aceite, uno puro de oliva, a 3 €/litro, y otro de orujo,a 2 €/litro, hay que emplear para conseguir 600 litros de mezcla a 2,40 €/litro?

Aceite de oliva 8 x litros

Aceite de orujo 8 y litros

8

Hay que emplear 240 litros de aceite de oliva y 360 litros de aceite de orujo.

31 Un ciclista sale de paseo y recorre un tramo de carretera, cuesta arriba, a 8 km/h. Después, sigue llaneando, a 20 km/h, hasta que llega a su destino. Si elpaseo ha durado 3 h, y la velocidad media resultante ha sido de 16 km/h, ¿cuán-to tiempo ha invertido en cada tramo?

☞ Tiempo de subida 8 x Tiempo en llano 8 y Tiempo total 8 3 h

Distancia en subida 8 8x

Distancia en llano 8 20y

Distancia total 8 16 · 3 = 48 km

8

Ha subido durante una hora y ha llaneado durante dos horas.

x = 1y = 2

°¢£

°¢£

8x + 20y = 48x + y = 3

x = 240y = 360

°¢£

°¢£

x + y = 6003x + 2y = 600 · 2,40

x = 1 250y = 1 750

°¢£

°§¢§£

x + y = 3 000x y— = —5 7

x

x

y yx = 65y = 40

°¢£

°¢£

x = y + 252x + 2y = 210

Pág. 10



32 Dos ciudades, A y B, distan 270 km. En cierto momento, un coche partede A hacia B a 110 km/h, y, a la vez, sale de B hacia A un camión a 70 km/h.¿Qué distancia recorre cada uno hasta que se encuentran?

☞ La suma de las distancias es 270 8 x + y = 270

Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales 8x/110 = y/70

8

El coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.

33 Un camión parte de cierta población a 90 km/h. Diez minutos después,sale un coche a 110 km/h. Calcula el tiempo (t ) que tarda en alcanzarle y ladistancia recorrida desde el punto de partida.

distancia = velocidad · tiempo

8

Le alcanza en tres cuartos de hora, tras recorrer 82,5 km.

34 Un peatón sale de A hacia B caminando a una velocidad de 4 km/h.Simultáneamente, sale de B hacia A un ciclista a 17 km/h. Si la distancia entre Ay B es de 7 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse y a qué distancia de A lo hacen?

Distancia desde A del peatón 8 x

Distancia desde A del ciclista 8 7 – x

Tiempo 8 t

8

Tardan h = 20 min en encontrarse.

El encuentro se produce a km › 1 km 333 m del punto de partida, A, del peatón.43

13

1t = —34x = —3

°§§¢§§£

°§§¢§§£

x = t · 4

7 – x = t · 17

3t = —4

x = 82,5

°§¢§£

°§¢§£

x = 110 · t1x = 90 · (t + —)6

x = 165y = 105

°¢£

°§¢§£

x + y = 270x y— = —

110 70

Pág. 11


D I S TA N C I A V E L O C I D A D T I E M P O

C O C H E x 110 tC A M I Ó N x 70 t + 10/60

☞


35 ¿Cuánto cuesta el frasco de zumo? ¿Y el tarro de mermelada? ¿Y la caja degalletas?

8 8 8

El zumo cuesta 1 €, el tarro de mermelada, 2 €, y la caja de galletas, 3 €.

G = 3M = 2Z = 1

°¢£

G – M = 1G + M = 5

°¢£

Z = 3 – M(3 – M ) + G = 4M + G = 5

°§¢§£

Z + M = 3Z + G = 4M + G = 5

M + G = 5 €

Z + M = 3 €Z + G = 4 €

Pág. 12



PÁGINA 99

a z o n e s y p r o p o r c i o n e s

1 Escribe:

a) Tres pares de números cuya razón sea 2/3.

b)Tres parejas de números que estén en relación de cinco a uno.

c) Tres parejas de números que estén en razón de tres a cuatro.

a) Por ejemplo: 4 y 6; 10 y 15; 18 y 27.

b) Por ejemplo: 15 y 3; 20 y 4; 35 y 7.

c) Por ejemplo: 15 y 20; 21 y 28; 33 y 44.

2 Escribe una proporción con cada conjunto de números:

a) 3 - 6 - 10 - 5 b)2 - 24 - 3 - 36

c) 35 - 10 - 6 - 21 d)52 - 28 - 63 - 117

Por ejemplo:

a) = b) = c) = d) =

3 Calcula x en las siguientes proporciones:

a) = b) = c) =

d) = e) = f ) =

g) = h) = i) =

j) = k) · = l) · =

a) x = 15 b) x = 9 c) x = 10

d) x = 3 e) x = 18 f ) x = 12

g) x = 88 h) x = 49 i) x = 8

j) x = 33 k) x = 15 l) x = 84

e l ac i ones de p ropo rc i ona l i dad

4 Indica, entre los siguientes pares de magnitudes, los que guardan relaciónde proporcionalidad directa, los que guardan relación de proporcionalidad in-versa y los que no guardan relación de proporcionalidad:

a) El número de kilos vendidos y el dinero recaudado.

b)El número de operarios que hacen un trabajo y el tiempo invertido.

c) La edad de una persona y su altura.

R

7x

1536

420

54x

85

94

5575

x45

3216

16x

x63

4254

55x

1524

4942

14x

3065

x39

428

x21

1215

8x

x6

64

10x

69

6328

11752

106

3521

336

224

510

36

R

Pág. 1

Unidad 4. Proporcionalidad y porcentajes


d)La velocidad de un vehículo y la distancia recorrida en media hora.

e) El tiempo que permanece abierto un grifo y la cantidad de agua que arroja.

f ) El caudal de un grifo y el tiempo que tarda en llenar un depósito.

g) El número de páginas de un libro y su precio.

a) Proporcionalidad directa.

b) Proporcionalidad inversa.

c) Sin relación de proporcionalidad.

d) Proporcionalidad directa.

e) Proporcionalidad directa.

f ) Proporcionalidad inversa.

g) Sin relación de proporcionalidad.

5 Observa las siguientes tablas y di si son de proporcionalidad directa, in-versa o de ninguna de las dos:

a) b) c)

No proporcionales Proporcionalidad Proporcionalidadinversa directa

15 · 1 = 3 · 5 = 5 · 3 Constante de proporcionalidad = 15

6 Completa estas tablas de proporcionalidad directa:

a) b)

a) b)

7 Completa estas tablas de proporcionalidad inversa:

a) b)

a) b)

8 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad directa:

Por ejemplo: = , = , = 255

306

2515

53

153

102

M AG N I T U D A 2 3 5 6

M AG N I T U D B 10 15 25 30

1 2 3 4 6

36 18 12 9 6

1 2 4 5 10

20 10 5 4 2

1 2 3 4

18 9 6

1 2 4 5

20 10 2

1 2 3 4 10

2,5 5 7,5 10 25

1 2 3 7 12

5 10 15 35 60

1 2 3 4

5 10 25

1 2 3 7

5 10 60

1 2 3

15 30 45

15 3 5

1 5 3

1 2 3

1 4 9

Pág. 2



9 Escribe tres proporciones diferentes con los valores de esta tabla de pro-porcionalidad inversa:

Por ejemplo: = , = , =

10 Calcula la constante de proporcionalidad en estas tablas de valores direc-tamente proporcionales:

a) b) c)

a) Cte. prop. = = 2,5 b) Cte. prop. = 0,3 c) Cte. prop. = = 1,2

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d d i r e c t a e i n v e r s a

11 Calcula mentalmente y contesta.

a) Un tren recorre 240 km en 3 horas. ¿Qué distancia recorre en 2 horas?

b)Dos kilos de manzanas cuestan 1,80 €. ¿Cuánto cuestan tres kilos?

c) Cuatro obreros hacen un trabajo en 3 horas. ¿Cuánto tardarían seis obreros?

d)Cinco entradas para un concierto han costado 40 euros. ¿Cuánto cuestancuatro entradas?

e) Un ciclista, a 20 km/h, recorre cierta distancia en 3 horas. ¿Cuánto tardaráuna moto a 60 km/h?

a) Recorre 160 km.

b) Cuestan 2,70 €.

c) Tardarían 2 horas.

d) Cuestan 32 €.

e) Tardará 1 hora.

PÁGINA 100

12 Dos kilos y medio de patatas cuestan 1,75 €. ¿Cuánto cuestan tres kilosy medio?

Cuestan 2,45 €.

x = = 2,45 €3,5 · 1,752,5

°¢£

2,5 kg 8 1,75 €3,5 kg 8 x €

P

65

310

52

0,2 3 15

0,24 3,6 18

5 6 7

1,5 1,8 2,1

2 3 4

5 7,5 10

64

1812

424

318

2436

23

M AG N I T U D A 2 3 4 6

M AG N I T U D B 36 24 18 12

Pág. 3



13 Un coche ha recorrido 30 kilómetros en 18 minutos. Si sigue a la mismavelocidad, ¿qué distancia recorrerá en el próximo cuarto de hora?

Recorrerá 25 km

x = = 25 km.

14 Cuatro operarios tardan 10 horas en limpiar un solar. ¿Cuánto tardarían5 operarios?

Tardarán 8 horas.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 8 h

15 Una cuadrilla de soladores, trabajando 8 horas diarias, renuevan la acerade una calle en 15 días. ¿Cuánto tardarían si trabajaran 10 horas diarias?

Tardarán 12 días.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 12 días

16 Un paquete de 500 folios pesa 1,8 kg. ¿Cuánto pesará una pila de 850 fo-lios?

Pesará 3,06 kg.

x = = 3,06 kg

17 En una fuente, se ha tardado 24 segundos en llenar un cántaro de 30 li-tros. ¿Cuánto se tardará en llenar un bidón de 50 litros?

Tardará 40 segundos.

x = = 40 s

18 Un albañil, trabajando 8 horas al día, construye una pared en 15 días.¿Cuántas horas debería trabajar cada día para realizar el mismo trabajo en 12días?

Debería trabajar 10 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 10 h/día8 · 1512

1215

8x

°¢£

8 h/día 8 15 díasx h/día 8 12 días

50 · 2430

°¢£

30 l 8 24 s50 l 8 x s

850 · 1,8500

°¢£

500 folios 8 1,8 kg850 folios 8 x kg

8 · 1510

x15

810

°¢£

8 h/día 8 15 días10 h/día 8 x días

4 · 105

x10

45

°¢£

4 operarios 8 10 h5 operarios 8 x h

15 · 302,5

°¢£

18 min 8 30 km15 min 8 x km

Pág. 4



19 Con la motobomba que extrae agua de un pozo, se han tardado 18 mi-nutos en llenar una cisterna de 15 000 litros. ¿Cuánto se tardará en llenar otracisterna de 25 000 litros?

Se tardará 30 minutos.

x = = 30 min

20 El dueño de un supermercado abona una factura de 720 euros por un pe-dido de 15 cajas de aceite. ¿A cuánto ascenderá la factura por otro pedido de12 cajas?

La factura será de 576 €.

x = = 576 €

21 Una piscina tiene tres desagües iguales. Si se abren dos, la piscina se va-cía en 45 minutos. ¿Cuánto tardará en vaciarse si se abren los tres?

Tardará 30 minutos en vaciarse.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 30 min

22 Una máquina embotelladora llena 750 botellas en un cuarto de hora.¿Cuántas botellas llena en hora y media?

Llena 4 500 botellas.

x = = 4 500 botellas

23 Un tractor, trabajando 8 horas diarias, labra un campo en 9 días. ¿Cuántotardaría en hacer el mismo trabajo, si las jornadas fueran de 12 horas diarias?

Tardaría 6 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 6 días

24 Un tractor, trabajando 8 horas al día, labra un campo en 9 días. ¿Cuántashoras diarias debe trabajar para realizar el trabajo en solo 6 días?

Debe trabajar 12 horas al día.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = 12 h/día8 · 96

69

8x

°¢£

8 h/día 8 9 díasx h/día 8 6 días

8 · 912

x9

812

°¢£

8 h/día 8 9 días12 h/día 8 x días

90 · 75015

°¢£

15 min 8 750 botellas1,5 h = 90 min 8 x botellas

2 · 453

x45

23

°¢£

2 desagües 8 45 min3 desagües 8 x min

12 · 72015

°¢£

15 cajas 8 720 €12 cajas 8 x €

25 000 · 1815 000

°¢£

15 000 l 8 18 min25 000 l 8 x min

Pág. 5



25 Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 65 vacas durante 32 días.¿Cuánto le durarán las provisiones si compra 15 vacas más?

Durarán 26 días.

Proporcionalidad inversa 8 = 8

8 x = = 26 días.

26 Una merluza de dos kilos y trescientos gramos, ha costado 28,75 €.¿Cuánto pagaré por otra más pequeña de kilo y medio?

Pagaré 18,75 €.

x = = 18,75 €

27 Un granjero tiene pienso en su almacén para alimentar a 2 500 gallinas du-rante 60 días. ¿Cuántas gallinas debe retirar si desea que el pienso le dure 80 días?

Debe retirar 625 gallinas.


8 x = = 1 875

Debe quedarse con 1 875 gallinas. Debe retirar 2 500 – 1 875 = 625 gallinas.

28 Un lingote de oro de 0,340 kilos tiene un valor de 2 142 euros. ¿Qué va-lor tendría una porción de 30 gramos cortada de ese lingote?

Tendría un valor de 189 €.

x = = 189 €

29 Un ciclista ha recorrido 6,3 km en 18 minutos. Expresa su velocidad me-dia en kilómetros por hora.

La velocidad media es de 21 km/h.

x = = 21 km en 1 h 8 vm = 21 km/h

30 Una pala excavadora vacía 48 metros cúbicos de tierra en 4 horas. ¿Cuántotardará en extraer 60 metros cúbicos?

Tardará 5 horas.

x = = 5 h60 · 448

°¢£

48 m3 8 4 h60 m3 8 x h

60 · 6,318

°¢£

18 min 8 6,3 km1 h = 60 min 8 x km

2 142 · 30340

°¢£

0,340 kg = 340 g 8 2 142 €30 g 8 x €

2 500 · 6080

8060

2 500x

°¢£

2 500 gallinas 8 60 díasx gallinas 8 80 días

1 500 · 28,752 300

°¢£

2 kg y 300 g = 2 300 g 8 28,75 €1,5 = 1 500 g 8 x €

65 · 3280

x32

6580

°¢£

65 vacas 8 32 días65 + 15 = 80 vacas 8 x días

Pág. 6



31 Un tren de mercancías, a una velocidad media de 72 km/h, realiza el tra-yecto entre la ciudad A y la ciudad B en 7 horas. ¿Cuál debería ser la velocidadmedia para hacer el mismo viaje en solo 6 horas?

La velocidad media debe ser de 84 km/h.

Prop. inversa 8 = 8 x = = 84 km/h

32 Un negocio que abre todos los días tiene unos gastos semanales de 420euros. ¿Qué gastos prevé para un periodo de 25 días?

Los gastos serán de 1 500 €.

x = = 1 500 €

33 Un granjero necesita cada día 255 kilos de pienso para dar de comer a sus85 vacas. ¿Cuántos kilos necesitaría si vendiera 35 vacas?

Necesitaría 150 kg de pienso.

x = = 150 kg

34 De 5 kilos de olivas se han obtenido 3,2 litros de aceite. ¿Cuántos litrosse obtendrán de una tonelada y media de aceitunas?

Se obtendrán 960 litros de aceite.

x = = 960 l

35 Cuarenta litros de aceite pesan 36,28 kilos. ¿Cuánto pesarán 60 litros?

Pesan 54,42 kg

x = = 54,42 kg

PÁGINA 101

36 En una empresa que tiene 840 empleados, 5 de cada 8 utilizan diariamenteel servicio de comedor. ¿Cuántas comidas se sirven en el comedor cada día?

Se sirven 525 comidas.

de 840 empleados = = 525 empleados se quedan a comer.5 · 8408

58

60 · 36,2840

°¢£

40l 8 36,28 kg60 l 8 x kg

1 500 · 3,25

°¢£

5 kg 8 3,2 l1,5 t = 1 500 kg 8 x l

255 · 5085

°¢£

85 vacas 8 255 kgQuedan 85 – 35 = 50 vacas 8 x kg

420 · 257

°¢£

1 semana = 7 días 8 420 €25 días 8 x €

72 · 76

67

72x

°¢£

72 km/h 8 7 hx km/h 8 6 h

Pág. 7



37 Una tienda rebaja todos sus artículos en la misma proporción. Si una blu-sa que valía 36 € se queda en 28,80 €, ¿en cuánto se quedará un vestido quecostaba 80 €?

Costará 64 €.

ANTES REBAJADO——— —————

x = = 64 €

38 Dos poblaciones separadas 5 cm en un mapa están a 35 km de distanciaen la realidad. ¿Cuál es la distancia real entre dos poblaciones que en el mapadistan 13 cm?

La distancia real es de 91 km.

MAPA REALIDAD——— —————

x = = 91 km

39 Un coche, a 90 km/h, tarda 20 minutos en ir de la población A a la pobla-ción B. ¿Cuánto tardaría un camión, a 60 km/h? ¿Y una furgoneta, a 80 km/h?

El camión tardaría 30 minutos y la furgoneta 22,5 minutos.

Proporcionalidad inversa 8

8 90 · 20 = 60 · x = 80 · y 8 x = 30 min; y = = 22,5 min


41 Un ciclista ha recorrido 25 kilómetros en hora y cuarto. A esa velocidad,¿cuánto tardaría en recorrer una etapa de 64 kilómetros?

Tardaría 3 horas y 12 minutos.

x = = h

80 h 25

5 3 h 12 minÒ 60

300 min

8025

64 · 1,2525

°¢£

25 km 8 1,25 h64 km 8 x h

90 · 2080

90 · 2060

°§¢§£

Coche 90 km/h 8 20 minCamión 60 km/h 8 x minFurgoneta 80 km/h 8 y min

13 · 355

°¢£

5 cm 8 35 km13 cm 8 x km

80 · 28,8036

°¢£

36 € 8 28,80 €80 € 8 x €

Pág. 8



42 Un tren, a 90 km/h, cubre un recorrido en 6 horas. ¿Cuánto tardaría a 100 km/h?

Tardaría 5 h y 24 minutos.

Proporcionalidad inversa 8 = 8 x = = h

43 Un manantial que aporta un caudal de 3,5 litros por minuto llena un de-pósito en una hora y media. ¿Cuánto tardaría si el caudal aumentara a 4,5 li-tros por minuto?

Tardaría 1 h y 10 minutos.


8 x = = = h 8

44 Una empresa de confección, para cumplir con un pedido que ha de en-tregar en 12 días, debe fabricar 2 000 prendas cada día. Si por una avería en lasmáquinas se retrasa el inicio del trabajo en dos días, ¿cuántas prendas diariasdebe fabricar para cumplir a tiempo con el pedido?

Debe fabricar 2 400 prendas diarias.


8 x = 8 x = 2 400 prendas/día

r o b l e m a s d e p r o p o r c i o n a l i d a d c o m p u e s t a

45 Cincuenta terneros consumen 4 200 kilos de alfalfa a la semana.

a) ¿Cuál es el consumo de alfalfa por ternero y día?

b) ¿Cuántos kilos de alfalfa se necesitan para alimentar a 20 terneros durante15 días?

c) ¿Durante cuántos días podemos alimentar a 10 terneros si disponemos de600 kilos de alfalfa?

P

2 000 · 1210

1012

2 000x

°¢£

2 000 prendas/día 8 12 díasx prendas/día 8 10 días

525450

5,254,5

3,5 · 1,54,5

x1,5

3,54,5

°¢£

3,5 l /min 8 1,5 h4,5 l /min 8 x h

54 h 10

4 5 h 24 minÒ 60

240 min

5410

90 · 6100

x6

90100

°¢£

90 km/h 8 6 h100 km/h 8 x h

Pág. 9


525 h 450

75 1 h 10 minÒ 60

4 500 min


a) 12 kg por ternero y día. b) 3 600 kg. c) 5 días.

46 En un taller de confección, con 6 máquinas tejedoras, se han fabricado600 chaquetas en 10 días.

a) ¿Cuántas prendas se fabricarían con 5 máquinas en 15 días?

b) ¿Cuántas máquinas habría que poner en producción para fabricar 750 pren-das en 15 días?

c) Si se trabajara solamente con 5 máquinas, ¿cuántos días se tardaría en fabri-car 750 prendas?

a) 750 chaquetas. b) 5 máquinas. c) 15 días.

6 10 600 600 · 5 · 15— · — = — 8 x = —— = 750 chaquetas5 15 x 6 · 10

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 y = —— = 5 máquinasy 15 750 15 · 600

6 10 600 6 · 10 · 750— · — = — 8 z = —— = 15 días5 z 750 5 · 600

MÁQUINAS DÍAS CHAQUETAS———— ——— —————

6 10 600

5 15 x

y 15 750

5 z 750

°§§§§¢§§§§£

50 7 4 200 4 200— · — = — 8 x = — = 12 kg1 1 x 50 · 7

50 7 4 200 4 200 · 20 · 15— · — = — 8 y = —— = 3 600 kg20 15 y 50 · 7

50 7 4 200 50 · 7 · 600— · — = — 8 z = —— = 5 días10 z 600 10 · 4 200

TERNEROS DÍAS PIENSO (kg)———— ——— —————

50 7 4 200

1 1 x

20 15 y

10 z 600

°§§§§¢§§§§£

Pág. 10


PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. DIRECTA

P. DIRECTA


47 Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha la-vado 1 000 kilos de ropa. ¿Cuántos kilos de ropa lavará en 12 días trabajando10 horas diarias?

Lavará 3 000 kg de ropa.

H/DÍA DÍAS KG DE ROPA—— ——— —————

· = 8 x = = 3000 kg

48 Una alfombra sintética, de 1,80 m de larga por 90 cm de ancha, ha cos-tado 72 €. ¿Cuánto costará otra alfombra de la misma calidad que tiene 3 mde larga y 1,20 m de ancha?

Costará 160 €.

• 1.a alfombra: 1,80 · 0,90 = 1,62 m2 a 72 € 8 cada m2 a €

• 2.a alfombra: 3 · 1,20 = 3,6 m2 8 3,6 m2 · €/m2 = 160 €

49 Cinco encuestadores, trabajando 8 horas diarias, completan los datospara un estudio de mercado en 27 días. ¿Cuánto tardarían en hacer el mismotrabajo 9 encuestadores trabajando 10 horas cada día?

Tardarían 12 días.

ENCUESTADORES H/DÍA DÍAS——————— ——— ———

· = 8 x = = 12 días

PÁGINA 102

á l c u l o m e n t a l c o n p o r c e n t a j e s

50 Calcula mentalmente.

a) 50% de 220 b)50% de 4 600 c) 50% de 82

d)50% de 12 e) 25% de 800 f ) 75% de 800

g) 25% de 280 h)75% de 280 i) 25% de 60

j) 75% de 60

a) 110 b) 2 300 c) 41 d) 6 e) 200

f ) 600 g) 70 h) 210 i) 15 j) 45

C

5 · 8 · 279 · 10

x27

810

59

°¢£

5 8 279 10 x

721,62

721,62

10 · 12 · 1 0008 · 5

1 000x

512

810

°¢£

8 5 1 00010 12 x

Pág. 11


PROP. DIRECTA

P. DIRECTA

PROP. INVERSA

P. INV.


51 Obtén mentalmente el valor de x en cada caso:

a) 50% de x = 150 b)50% de x = 7 c) 25% de x = 120

d)25% de x = 6 e) 75% de x = 150 f ) 75% de x = 9

a) x = 300 b) x = 14 c) x = 480

d) x = 24 e) x = 200 f ) x = 12

52 Fíjate en los ejemplos y, después, calcula mentalmente.

• 10% de 220 = 220 : 10 = 22

30% de 220 = 22 · 3 = 66

5% de 220 = 22 : 2 = 11

a) 10% de 310 b)20% de 310 c) 10% de 480

d)5% de 480 e) 10% de 70 f ) 30% de 70

a) 31 b) 62 c) 48

d) 24 e) 7 f ) 21

53 Obtén, mentalmente, el valor de x en cada caso:

a) 10% de x = 31 b)10% de x = 4 c) 20% de x = 18

d)20% de x = 86 e) 5% de x = 35 f ) 5% de x = 2

a) x = 310 b) x = 40 c) x = 90

d) x = 430 e) x = 700 f ) x = 40

54 Copia y completa.

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b)Para calcular el 25%, dividimos entre…

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por…

d)Para calcular el 10%, dividimos entre…

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por…

a) Para calcular el 50%, dividimos entre 2.

b) Para calcular el 25%, dividimos entre 4.

c) Para calcular el 75%, dividimos entre 4 y multiplicamos por 3.

d) Para calcular el 10%, dividimos entre 10.

e) Para calcular el 40%, dividimos entre 10 y multiplicamos por 4.

55 ¿Qué fracción irreducible asocias a cada uno de estos porcentajes?

a) 50% b)25% c) 75%

d)10% e) 20% f) 5%

g) 30% h)70% i) 90%

Pág. 12



a) 50% 8 b) 25% 8 c) 75% 8

d) 10% 8 e) 20% 8 f ) 5% 8

g) 30% 8 h) 70% 8 i) 90% 8

á l c u l o d e p o r c e n t a j e s

56 Calcula.

a) 15% de 160 b)13% de 700

c) 24% de 850 d)12% de 3 625

e) 4% de 75 f ) 65% de 720

g) 76% de 1 200 h)95% de 140

i) 32% de 420 j) 5% de 182

k)6% de 18 l) 72% de 641

m) 3,5% de 1 000 n)2,4% de 350

ñ)1,7% de 2 500 o) 6,2% de 85

a) 24 b) 91 c) 204 d) 435

e) 3 f ) 468 g) 912 h) 133

i) 134,4 j) 9,1 k) 1,08 l) 461,52

m) 35 n) 8,4 ñ) 42,5 o) 5,27

57 Copia la tabla y completa.

58 Calcula como se hace en el ejemplo.

• 15% de 280 = 280 · 0,15 = 42

a) 18% de 1 350

b)57% de 2 400

c) 8% de 125

d)6% de 40

a) 18% de 1 350 = 1 350 · 0,18 = 243

b) 57% de 2 400 = 2 400 · 0,57 = 1 368

c) 8% de 125 = 125 · 0,08 = 10

d) 6% de 40 = 40 · 0,06 = 2,4

23% 16% 11% 92% 87% 2% 5% 2,5%

0,23 0,16 0,11 0,92 0,87 0,02 0,05 0,025

23% 16% 92% 2%

0,23 0,11 0,87 0,05 0,025

C

910

710

310

120

15

110

34

14

12

Pág. 13



59 Calcula x como en el ejemplo.

• 15% de x = 42 8 x · 0,15 = 42 8

8 x = 42 : 0,15 = 280

a) 20% de x = 27

b)17% de x = 595

c) 5% de x = 3,2

d)7% de x = 17,5

a) 20% de x = 27 8 x · 0,20 = 27 8 x = 27 : 0,20 = 135

b) 17% de x = 595 8 x · 0,17 = 595 8 x = 595 : 0,17 = 3 500

c) 5% de x = 3,2 8 x · 0,05 = 3,2 8 x = 3,2 : 0,05 = 64

d) 7% de x = 17,5 8 x · 0,07 = 17,5 8 x = 17,5 : 0,07 = 250

r o b l e m a s d e p o r c e n t a j e s

60 Un empleado gana 1 700 euros al mes y gasta el 40% en pagar la hipote-ca de su vivienda. ¿Cuánto le queda para afrontar el resto de sus gastos?

Le quedan 1 020 €.

Queda el 60% de 1 700 € = 1 700 · 0,6 = 1 020

61 De una clase de 35 alumnos, han ido de excursión 28. ¿Qué tanto porciento ha faltado a la excursión?

Ha faltado un 20% de la clase.

x = = 20 8

8 de cada 100 alumnos 20 han faltado 8 20%

62 Un hotel tiene 187 habitaciones ocupadas, lo que supone el 85% del to-tal. ¿De cuántas habitaciones dispone el hotel?

Dispone de 220 habitaciones.

85% de x = 187 8 0,85 · x = 187 8 x = 187 : 0,85 = 220

63 Un jugador de baloncesto ha efectuado 25 lanzamientos y ha conseguido16 canastas. ¿Cuál es su porcentaje de aciertos?

64% de aciertos.

x = = 64 aciertos de 100 lanzamientos16 · 10025

°¢£

25 lanz. 8 16 aciertos100 lanz. 8 x

7 · 10035

°¢£

35 alumnos 8 35 – 28 = 7 han faltado100 alumnos 8 x

P

Pág. 14



PÁGINA 103

64 La barra de pan ha subido un 10%, y ya cuesta 0,55 €. ¿Cuánto costabaantes de la subida?

Antes costaba 0,50 €.

x = = 0,50 €

65 En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2 500 personas, elalcalde actual recibió 1 500 votos. ¿Qué tanto por ciento votó al alcalde?

Votó al alcalde el 60% del censo.

= 0,6 del censo votó al alcalde.

66 Un embalse está al final del verano al 23% de su capacidad. Si en este mo-mento contiene 35 decámetros cúbicos de agua, ¿cuál es la capacidad total delembalse?

La capacidad del embalse es de 152,2 dam3

23% de x = 35 dam3 8 0,23 · x = 35 8 x = 35 : 0,23 = 152,2 dam3

67 Se ha caído una caja de huevos y se han contado 54 rotos, lo que suponeun 15% del total. ¿Cuántos huevos había en la caja?

Había 360 huevos.

15% de x = 54 8 0,15 · x = 54 8 x = 54 : 0,15 = 360

68 De 5 475 hombres encuestados, solamente 76 declaran saber planchar.¿Qué tanto por ciento de los hombres reconoce saber planchar?

El 1,4% de los hombres.

= 0,014 8 1,4% sabe planchar.

69 Luisa tiene de tarea resolver 18 problemas de matemáticas de los que yaha solucionado más del 65% pero menos del 70%. ¿Cuántos problemas le que-dan por resolver?

Le quedan por resolver 6 problemas.

Ha terminado 12 problemas 8 quedan 18 – 12 = 6

70 Un depósito de agua está al 93% de su capacidad. Si se añaden 14 000 li-tros, quedará completo. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 200 000 l.

100% – 93% = 7% 8 7% de x = 14 000 8 x = 14 000 : 0,07 = 200 000 l

°¢£

65% de 18 = 0,65 · 18 = 11,770% de 18 = 0,7 · 18 = 12,6

76 saben planchar5 475 total encuestados

1 500 votó al alcalde2 500 censo

100 · 0,55110

°¢£

110% 8 0,55 €100% 8 x €

Pág. 15



71 Un jersey que costaba 45 € se vende en las rebajas por 36 €. ¿Qué tantopor ciento se ha rebajado?

Se ha rebajado un 20%.

PR. INICIAL REBAJADO————— —————

x = = 80 € 8

8 de cada 100 € se pagan 80 €, es decir, se rebajan 20 €.

72 Al sacar 2 000 litros de agua de un depósito cilíndrico, que estaba lleno,el nivel ha bajado un 8%. ¿Cuál es la capacidad del depósito?

La capacidad es de 25 000 l.

8% de x = 2 000 8 0,08 · x = 2 000 8 x = 2 000 : 0,08 = 25 000 l

73 Una tarta que pesa un kilo y ochocientos gramos lleva un 10% de agua,un 8% de proteínas, el doble de grasa y el resto de hidratos de carbono.¿Cuántos gramos de hidratos de carbono hay en la tarta?

1 188 g de hidratos de carbono.

Porcentaje de hidratos = 100% – 10% – 8% – 16% = 66%

66% de 1 800 g = 0,66 · 1 800 = 1 188 g de hidratos.

74 Hace cinco años compré un piso por 240 000 €. En este tiempo la vi-vienda ha subido un 37%. ¿Cuánto vale ahora mi piso?

El piso cuesta ahora 328 800 €.

137% de 240 000 € = 1,37 · 240 000 = 328 800 €

75 Un bebé pesó al nacer, hace tres meses, 3 kilos y 600 gramos. Durante estetiempo su peso ha aumentado un 43%. ¿Cuál es su peso actual?

El peso actual es de 5 kg y 148 g.

143% de 3 600 g = 1,43 · 3 600 = 5 148 g

76 Un embalse tenía, a principios de verano, 775 decámetros cúbicos deagua. Durante el estío, sus reservas han disminuido en un 68%. ¿Cuáles son lasreservas actuales ahora, al final del verano?

Las reservas son de 248 decámetros cúbicos.

Queda: 100% – 68% = 32% de 775 dam3 = 0,32 · 775 = 248 dam3

36 · 10045

°¢£

45 € 8 36 €100 € 8 x

Pág. 16



77 Este mes ha habido en mi comunidad autónoma 120 accidentes de tráfi-co, lo que mejora la cifra del año pasado que fue de 160 accidentes. ¿En qué tan-to por ciento han disminuido este tipo de accidentes?

Han disminuido en un 25% los accidentes.

ACCIDENTES DISMINUCIÓN————— ——————

x = = 25 accidentes menos de cada 100

78 Un hortelano tiene un campo de 3 500 metros cuadrados y desea plantarun 45% de los mismos de pimientos. ¿Cuántas plantas pimenteras debe adqui-rir si coloca 9 plantas por metro cuadrado y siempre compra un 10% más, parareponer las que se estropean?

Debe comprar 15 593 plantas.

• 45% de 3 500 m2 = 1 575 m2 para pimientos.

• 9 · 1 575 = 14 175 plantas.

• 10% de 14 175 = 1 417,5 8 1 418 plantas extra.

Total = 14 175 + 1 418 = 15 593 plantas.

79 En una población de 10 000 habitantes, el 15% son inmigrantes, y el 40%de los inmigrantes son ecuatorianos.

a) ¿Cuántos ecuatorianos viven en esa población?

b) ¿Qué porcentaje de la población es ecuatoriana?

a) Viven 600 ecuatorianos.

b) Un 6% de la población es ecuatoriana.

• 15% de 10 000 = 1 500 inmigrantes.

• 40% de 1 500 = 600 ecuatorianos.

• 600 ecuatorianos de 10 000 habitantes 8 = 0,06 8 6% ecuatorianos.

O bien: 40% del 15% = 0,4 · 15 = 6%

80 En unos grandes almacenes, rebajan un abrigo un 20% en las primerasrebajas y, sobre ese precio, vuelven a hacer otro 20% de descuento en las se-gundas rebajas. ¿Qué porcentaje del precio original se ha rebajado el abrigo?

☞ Supón que el abrigo costaba inicialmente 100 euros.

Se ha rebajado un 36% sobre el precio original.

Rebaja 20 €

100 € Rebaja 20% de 80 = 16 €8Rebaja total = 20 € + 16 € = 36 €

Pago 80 €

Pago 80%

60010 000

40 · 100160

°¢£

160 160 – 120 = 40100 x

Pág. 17



81 Calcula el interés producido por un capital de 3 500 euros, colocado al5% anual durante tres años.

I = = = 525 €

82 Si pido un préstamo de 4 500 euros, al 6,5%, y lo devuelvo al cabo de 4años, ¿qué intereses debo pagar?

I = = = 1 170 €


84 ¿Qué interés producen 800 euros al 6% durante un año? ¿Y durante unmes? ¿Y durante 7 meses?

• 1 año: IAÑO

= = 48 €

• 1 mes: IMES

= IAÑO

: 12 = 48 : 12 = 4 €

• 7 meses: I7 MESES= 4 · 7 = 28 €

85 Calcula los intereses que genera un préstamo de 6 000 euros al 4,5% du-rante 5 meses.

Genera unos intereses de 112,5 €.

I = · = 112,5 €

86 En un banco de las Bahamas se ingresa un capital de 35 400 dólares enuna cuenta retribuida con un interés del 5% anual. Los beneficios se ingresanmensualmente en la cuenta. ¿Cuál será el saldo dentro de año y medio?

El saldo será de 38 151,15 €.

• Capital inicial 8 35 400 €

• Al final del 1.er mes 8 35 400 + = 35 547,5

• Al final del 2.° mes 8 35 547,5 + = 35 695,614…

Así:

MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

3.° 35 695,61 35 844,35

4.° 35 844,35 35 993,70

5.° 35 993,70 36 143,67

6.° 36 143,67 36 294,27

35 547,5 · 512 · 100

35 400 · 512 · 100

6 000 · 4,5 · 1100

512

800 · 6 · 1100

4 500 · 6,5 · 4100

C · r · t100

3 500 · 5 · 3100

C · r · t100

Pág. 18



MES SALDO INICIAL SALDO FINAL——— —————— ——————

7.° 36 294,27 36 445,50

8.° 36 445,50 36 597,35

9.° 36 597,35 36 749,84

10.° 36 749,84 36 902,97

11.° 36 902,97 37 056,72

12.° 37 056,72 37 211,13

13.° 37 211,13 37 366,17

14.° 37 366,17 37 521,87

15.° 37 521,87 37 678,21

16.° 37 678,21 37 835,20

17.° 37 835,20 37 992,85

año y medio = 18.° 37 992,85 38 151,15

Pág. 19



PÁGINA 179

e o r e m a d e P i t á g o r a s

1 Calcula el área del cuadrado verde en cada uno de los siguientes casos:

A = 44 cm2

B = 15 m2

2 ¿Cuál es el área de los siguientes cuadrados?:

A = 273 cm2

B = 585 dm2

3 Di si cada uno de los siguientes triángulos es rectángulo, acutángulo u ob-tusángulo.

a) a = 15 cm, b = 10 cm, c = 11 cm

b)a = 35 m, b = 12 m, c = 37 m

c) a = 23 dm, b = 30 dm, c = 21 dm

d)a = 15 km, b = 20 km, c = 25 km

e) a = 11 millas, b = 10 milas, c = 7 millas

f ) a = 21 mm, b = 42 mm, c = 21 mm

g) a = 18 cm, b = 80 cm, c = 82 cm

a) Obtusángulo. b) Rectángulo.

c) Actuángulo. d) Rectángulo.

e) Acutángulo. f ) Obtusángulo.

g) Rectángulo.

17 cm

12 dm21 dm

4 cm

AB

30 cm2

14 cm2

45 m2

60 m2

A

B

T

Pág. 1

Unidad 8. Teorema de Pitágoras. Semejanza


4 Calcula el lado desconocido en cada triángulo:

LadoA = 25 m

LadoB = 63 mm

5 Calcula el lado desconocido en cada triángulo aproximando hasta las dé-cimas:

Lado A = 12 cm › 17 cm

Lado B = m › 5,7 m

Lado C = mm › 15,5 mm

6 Tomando como unidad el lado del cuadradito, calcula el perímetro de lafigura morada.

3 + 6 + cuadritos.

7 Se cae un poste de14,5 m de alto sobre unedificio que se encuentraa 10 m de él. ¿Cuál es laaltura a la que le golpea?

a = 10,5 m

Golpea el edificio a una altura de 10,5 m.

10

a14,5

14,5 m

10 m

√10√2

√240

√33

√2

12 cm

12 cm

28 m

m

16 m 32 mm17 mA

B C

15 m16 mm

20 m

65 mmA B

Pág. 2



8 En las fiestas de un pueblo, cuelgan una estrella de 1 m de diámetro enmedio de una cuerda de 34 m que está atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre sí. ¿A qué altura del suelo queda la estrella?

= 8

x = 12 – 8 – 1 = 3

La estrella está a 3 m del suelo.

9 Calcula el perímetro de un rectángulo cuyadiagonal mide 5,8 cm, y uno de los lados, 4 cm.

a = 4,2 8 Perímetro = 16,4 cm

El perímetro es de 16,4 cm.

10 Halla la diagonal de un cuadrado cuyo perímetro mide 28 dam.

l = = 7 dam

La diagonal mide 7 › 9,9 dam

11 Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 13 dm y 19 dm, y ellado oblicuo mide 10 dm. Calcula la longitud de la altura.

a = 8 dm

La longitud de la altura es de 8 dm.

12 Sabiendo que las bases de un trapecio isósceles miden 2,4 cm y 5,6 cm, yque la altura es de 3 cm, calcula la longitud del lado oblicuo.

a = 3,4 cm

La longitud del lado oblicuo es de 3,4 cma a3

2,4

1,65,6

a 10

13

19

√2

284

a

4 5,8

30

1515

178 8

12

1x

17 √172 – 152

1 m

12 m

34 m

30 m

Pág. 3



13 Calcula la medida de los lados de un rombo cuyas diagonales miden 1 dmy 2,4 dm.

l = 1,3 dm

Los lados miden 1,3 dm

PÁGINA 180

r e a s y p e r í m e t r o s u t i l i z a n d o e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s

En cada una de las siguientes figuras coloreadas, halla su área y su perímetro. Paraello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, án-gulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

14 a) b)

a) P = 43 m b) P = 85,4 mm

A = 39,9 m2 A = 312,5 mm2

15

P = 89 dm A = 462 dm2

16

P = 58,4 cm A = 211,2 cm2

22 cm

14,6 cm

16,5 dm32,5 dm

25 mm

25 mm

20 m

18 m2,9 m

Á

l

1,2

2,4

1

0,5

Pág. 4



17

P = 12 km A = 10,4 km2

18

P = 42,4 cm A = 100,8 cm2

19

P = 86 cm A = 318 cm2

20

P = 59,7 cm A = 28,5 cm2

21

P = 68,3 m A = 50 m2

10 m

5 cm

32 cm

20 cm13 cm 12 cm

18 cm

10,6 cm

2 km

Pág. 5



22

P = 9,7 mm A = 4 mm2

23

P = 56 m A = 132 m2

24

P = 24 m A = 21,3 m2

PÁGINA 181

25 Calcula el perímetro y el área de cada una de las siguientes secciones deun cubo:

P = 4 › 26,8 cm P = 26,1 cm

A = 45 cm2 A = 44,8 cm2

√45

6 cm6 cm

8,5 m5 m

3 m

13 m20 m

16 m 3 m

4 mm

Pág. 6



26 Calcula el perímetro y el área de esta figura teniendo en cuenta que loscuatro ángulos señalados miden 45°:

P = 42,8 cm

A = 111,28 cm2

27 Halla el área y el perímetro de la figura.

P = 37,2 dm

A = 66 dm2

28 Calcula el perímetro y el área.

P = 34 m

A = 49 m2

5 m

5 m

5 m5 m

3 m

4 dm8 dm

3 dm

6 cm

13 cm5 cm

2 cm

Pág. 7



ons t rucc ión de f i gu ras seme jan tes

29 Sobre una hoja de papel cuadriculado, realiza una copia del siguiente di-bujo pero al doble de su tamaño.

Construcción:

30 Dibuja en tu cuaderno una figura comola siguiente y amplíala al doble de su tamañoproyectándola desde un punto exterior:

CPág. 8



31 Copia la siguiente figura en tu cuadernoy amplíala al triple de su tamaño:

a) Proyectándola desde un punto interior (A).

b)Proyectándola desde uno de sus vértices (B).

a)

b)

32 Para construir un pentágono regular de 2 cm delado, copiamos un pentágono regular cualquiera (figuraroja), alargamos dos de sus lados consecutivos hasta 2 cmy completamos una figura semejante a la roja con los la-dos paralelos. Calca en tu cuaderno el pentágono rojo y,procediendo como arriba, dibuja un pentágono regularde 3 cm de lado. 2 cm

A

B

A

B

A

B

Pág. 9


3 cm


PÁGINA 182

l a n o s , m a p a s , m a q u e t a s

33 Una pareja, que va a comprar una casa, consulta un callejero a escala1:30 000, mide la distancia de esta al metro y resulta ser de 2 cm. ¿Cuál es ladistancia real?

Por otro lado, saben que la distancia de esa casa a la guardería es de 1,5 km. ¿Aqué distancia se encontrarán en el callejero?

30 000 · 2 = 60 000 cm = 600 m es la distancia al metro.

La casa estará a 5 cm de la guardería en el callejero.

34 En la orilla del río Sena (París) hay una réplica a escala 1:4 de la Estatuade la Libertad que mide 11,5 m. Halla la altura de la estatua de Nueva York.

En Cenicero, un pueblo riojano, hay una Estatua de la Libertad de 1,2 m. ¿Cuálsería la escala de esta con respecto a la de Nueva York?

11,5 · 4 = 46 m mide la de Nueva York.

= 8 La escala es 3:115

35 Las medidas de un coche teledirigido de “Fórmula 1”, a escala 1:40, son:11,75 cm de largo, 5 cm de ancho y 3 cm de alto. ¿Cuáles son las dimensionesreales del coche?

Las dimensiones son:

— 4,7 m de largo.

— 2 m de ancho.

— 1,20 m de alto.

36 Averigua cuáles son las dimensiones reales del siguiente campo de fútbol.Calcula la superficie de cada área de penalti (área grande) y del círculo central.

ESCALA 1:1400

3115

1,246

P

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Área de penalti = 682,1 m2

Área del círculo central = 301,6 m2

e m e j a n z a d e t r i á n g u l o s

37 Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados ylos ángulos que faltan.

B^

= 180° – 51° – 33° = 96° B^' = 96° b' = = 36,5 m

C^' = 51° c' = = 25,5 m

38 Los lados de un triángulo miden 7,5 cm, 18 cm y 19,5 cm. Se construyeotro semejante a él cuyo lado menor mide 5 cm.

a) ¿Cuál es la razón de semejanza?

b) ¿Cuánto medirán los otros dos lados del segundo triángulo?

c) Sabiendo que el primer triángulo es rectángulo, ¿podemos asegurar que el se-gundo también lo será? Compruébalo aplicando el teorema de Pitágoras a losdos triángulos.

a) 1,5

b) 12 cm y 13 cm.

c) Sí, 52 + 122 = 132.

512

732

40 m20 m

33° 51°

33°51 m

73 mA

B

C

C'

c'

b'A'

B'

S

ESCALA 1:1400

16,8

70 m9,840,6 m

112 m

Pág. 11



39 Explica por qué son semejantes dos triángulos rectángulos con un ángu-lo agudo igual.

Entre los siguientes triángulos rectángulos, hay algunos semejantes entre sí.

Averigua cuáles son calculando previamente el ángulo que le falta a cada unode ellos.

Porque se pueden poner en la posición de Tales. Ya que, al tener un ángulo agudoigual y otro rectángulo, tienen los tres iguales.

Son semejantes:

y y y

(90°, 60°, 30°) (90°, 45°, 45°) (90°, 53°, 37°)

40 Explica por qué estos dos triángulos isósceles son semejantes:

Por ser isósceles tienen los otros dos ángulos iguales y miden 80° cada uno.

Por tanto, tienen los mismos ángulos y los podemos colocar en posición de Tales.

20°20°

534261

1 2 3

4 5 6

53°

30°

37°

Pág. 12



PÁGINA 183

p l i c a c i o n e s d e l a s e m e j a n z a

41 La altura de la puerta de la casa mide 3 m. ¿Cuál es la altura de la casa?¿Y la de la palmera más alta?

1 cm 8 3 m

2,6 cm 8 x

2,5 8 y

x = 7,8 m mide la casa.

y = 7,5 m mide la palmera más alta.

42 Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm por 15 cm. El lado me-nor de otro rectángulo semejante a él mide 12 cm. Halla:

a) La razón de semejanza para pasar del primer al segundo rectángulo.

b)El lado mayor del segundo.

c) Las áreas de ambos rectángulos.

a) 1,2

b) 18 cm

c) El área del primero es 150 cm2, y la del segundo, 216 cm2.

43 ¿Cuál es la distancia entre el chico y la base de la torre (el chico ve la to-rre reflejada en el agua)?

x = 30 m

La distancia entre el chico y labase de la torre es de 33,3 m.

3,3 x1,76

16

3,3 m

16 m

1,76 m

A

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44 Para determinar que la altura de un eucalipto es de 11 m, Carlos ha me-dido la sombra de este (9,6 m) y la suya propia (1,44 m), ambas proyectadaspor el Sol a la misma hora. ¿Cuánto mide Carlos?

= 8 x = 1,65

Carlos mide 1,65 m

45 ¿A qué altura del mar se encuentra el foco del faro?

x = 5

= 8 y = 18

El faro está a 19 m sobre el nivel del mar.

46 ¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos isósceles? Tenloen cuenta para calcular la altura a la que se encuentra el equilibrista.

Los ángulos miden 45°, 45° y 90°.

El equilibrista está a 15 m de altura.

15

45°

45°

15

15 m

45°

x

y

20 3 4

4

y3

244

20 m

4 m

4 m

1 m

x1,44

119,6

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47 ¿Cuál es la altura del siguiente circo?:

= 8 x = 15,9 m

La altura del circo es de 15,9 m.

48 ¿Cuánto mide el alto de la estatua del dibujo?

= 8 x = 3,06 m

La estatua mide 3,06 m de alto.

0,9

0,5 m

4,6

2,1 m1,6 m

x5,50,9

x0,5

4,6 m0,9 m

1,6 m 2,1 m

91110

5,3

x

5,310

x30

10 m 11 m 9 m

5,3 m

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49 Halla la altura del edificio sabiendo que:

• La mesa tiene 1 m de altura.

• = 80 cm

• = 52 cm

= 8 h = 31,2

El edificio mide 32,2 m de altura.

480,8

h0,52

h

52 cm80 cm 47,2 m1 m

48 m

AB

C

BC

AB

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Soluciones a los ejercicios y problemas · 6 Soluciones a los ejercicios y problemas 14 Multiplicando un número por 5, se obtiene el mismo resultado que su-mándole 12. ¿Cuál es